24
2.5 Metode dan Asumsi
Pada serat optik, indeks bias inti lebih tinggi daripada kulit. Anggap bahwa tidak ada gelombang yang berpropagasi di kulit sebuah serat mode tunggal, hanya
mode
counter-propagating
dasar yang ada pada serat. Dengan pendekatan dua mode, persamaan mode-tergandeng kisi Bragg 2.11 dan 2.12 dapat
disederhanakan ke dalam dua persamaan 2.15 dan 2.16. Kisi Bragg yang seragam, seperti yang digambarkan oleh kedua persamaan ini, dapat diselesaikan
dengan metode analitik. Untuk kisi tak seragam, sulit menemukan penyelesaian analitik untuk
persamaan mode-tergandeng ini. Persamaan mode-tergandeng dalam hal ini hanya dapat diselesaikan dengan metode numerik. Ada dua metode yang cocok yang
bisa digunakan sekarang ini. Pertama dengan cara pengintegrasian langsung dengan menggunakan metode Range-Kutta.
Pendekatan kedua adalah dengan menggunakan metode transfer matriks, yang juga bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan mode-tergandeng dari kisi-
kisi tak seragam. Metode ini efektif dalam menganalisis sebagian besar periode kisi. Untuk analisis ini, kisi dibagi dan dikelompokkan menjadi sejumlah kisi
yang seragam, yang kemudian masing-masing dianalisis dengan menggunakan transfer matriks. Transfer matriks untuk keseluruhan kisi dapat diperoleh dengan
mengalikan semua komponen transfer matriks tersebut. Metode ini mudah diimplementasikan menggunakan komputer. Respon spektral, waktu tunda, dan
dispersi juga dapat dihasilkan dengan kedua metode ini.
Universitas Sumatera Utara
25
2.12
Coupled-mode Theory
Teori Mode-tergandeng
Secara umum, penulis tertarik dengan respon spektral kisi Bragg. Karakteristik spektrum FBG dapat dipahami dan dimodelkan dengan beberapa
pendekatan. Teori yang paling banyak digunakan adalah
Coupled-mode Theory
teori mode-tergandeng [9]. Teori mode-tergandeng adalah
tool
yang sesuai untuk menggambarkan propagasi gelombang optik dalam gelombang terbimbing
dengan perubahan yang perlahan pada beragam indeks di sepanjang gelombang terbimbing tersebut. Karakteristik ini dimiliki oleh struktur FBG. Teori mode-
tergandeng didasari sebuah konsep di mana medan listrik gelombang terbimbing dengan sebuah usikan dapat diwakili oleh sebuah kombinasi linear dari medan
distribusi mode tanpa
perturbation
usikan. Medan mode serat dapat dinyatakan oleh persamaan berikut.
z i
y x
e z
y x
E
j jt
j
exp ,
, ,
j
2.6 di mana
y x
e
j
,
adalah besaran medan transfer elektrik dari mode propagasi
j
th
. Tanda
menunjukkan arah propagasi dan
j
disebut konstanta propagasi atau
eigenvalue
dari mode
j
th
[8]
.
Secara umum, setiap mode memiliki harga
j
yang unik. Dalam Tugas Akhir ini, penulis secara implisit membuat anggapan bahwa
tanggungan waktu [11] adalah seharga
t i
exp
di mana adalah frekuensi
sudut. Propagasi cahaya di sepanjang gelombang optik dalam serat dapat dinyatakan oleh persamaan Maxwell. Mode propagasi adalah jawaban terhadap
persamaan sumber bebas Maxwell. Menurut ketentuan teori mode-tergandeng [5], komponen transfer medan
listrik pada posisi z dalam serat yang terusik dapat dijelaskan dengan sebuah
Universitas Sumatera Utara
26 persamaan superposisi linear dari mode serat terbimbing yang ideal, yang bisa
dituliskan sebagai berikut.
j j
j t
t z
y x
E t
z y
x E
t z
y x
E
, ,
, ,
, ,
, ,
, 2.7
substitusikan persamaan medan 2.6 ke dalam persamaan 2.7, maka medan listrik
t z
y x
E
t
, ,
,
dapat dituliskan :
t z
y x
E
t
, ,
, =
t i
y x
e z
i z
A z
i z
A
jt j
j j
j j
exp ,
exp exp
2.8
di mana
z A
j
dan
z A
j
secara berurutan adalah besaran gelombang berjalan maju dan mundur yang berubah perlahan,
j
adalah konstanta propagasi,
y x
e
jt
,
adalah medan mode transfer. Distribusi medan listrik
t z
y x
E
t
, ,
, ini bisa
diselesaikan dengan metode mode.
t z
y x
E
t
, ,
,
adalah salah satu penyelesaian persamaan Maxwell.
Indeks kisi berlangsung di sepanjang serat
z
dalam
L
. Indeks bias
z y
x n
, ,
di persamaan 2.4 dapat dituliskan kembali sebagai berikut [5].
z y
x n
, ,
=
z
z z
n n
n z
n
o
2 cos
2.9
di mana indeks bias rata-rata
n
direpresentasekan sebagai
o
n n
, dan
o
n n
,
n
adalah indeks bias inti tanpa usikan,
o
n
adalah indeks modulasi rata-rata perubahan DC,
z n
adalah amplitudo yang kecil dari indeks modulasi
perubahan AC,
z
adalah fasa kisi, dan adalah periode kisi Bragg.
Universitas Sumatera Utara
27 Distribusi medan listrik dalam kisi,
t z
y x
E
t
, ,
,
, memenuhi persamaan skalar gelombang propagasi. Hal ini berasal dari penyederhanaan persamaan Maxwell
dengan pendekatan propagasi lemah [12], yang diberikan oleh persamaan :
, ,
, ,
,
2 2
2 2
t z
y x
E z
y x
n k
t t
2.10
di mana
2
k
adalah konstanta propagasi ruang bebas, dan adalah panjang
gelombang ruang bebas. Medan listrik
t z
y x
E
t
, ,
,
dan indeks bias
z y
x n
, ,
disubstitusikan ke dalam persamaan propagasi gelombang 2.10 untuk menghasilkan persamaan mode-
tergandeng berikut :
m m
n m
z mn
t mn
m n
m z
mn t
mn m
n
z i
K K
A i
z i
K K
A i
dz dA
exp exp
2.11
m m
n m
z mn
t mn
m n
m z
mn t
mn m
n
z i
K K
A i
z i
K K
A i
dz dA
exp exp
2.12 di mana
t mn
K
z adalah koefisien gandeng transfer antara mode
n
dan
m
,
t mn
K
z dinyatakan oleh:
t mn
K
z =
y
x e
y x
e z
y x
dxdy
nt mt
, ,
, ,
4
2.13 di mana
adalah usikan terhadap permitivitas. Dengan pendekatan panjang gelombang yang lemah
n n
, maka
n
n
2
. Secara umum untuk serat,
t mn
z mn
K K
, dan dengan begitu koefisien ini biasanya diabaikan.
Universitas Sumatera Utara
28
2.7 Pemodelan
Kategori