Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak Homogen Dengan Koefisien Konstan Determinan Wronski

keterangan: Jika �� = 0, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier homogeny orde −� Jika �� ≠ 0, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier non homogen orde −�. jika semua koefisien � �, � 1 �, … , � � � adalah tetap, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. jika semua koefisien � �, � 1 �, … , � � � adalah berupa fungsi, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien variabel peubah.

2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan: � � � + � 1 � �−1 + ⋯ + � �−1 � ′ + � � � = 0 2.4.1 dimana � , � 1,…, � � adalah konstanta. Untuk menentukan selesaiannya yaitu dengan mensubstitusi y = e tx , kemudian menentukan bilangan tetap t sehingga e tx sehingga persamaan 2.4.1 karena y = e tx , y’ = t e tx , y”=t 2 e tx dan seterusnya hingga y n =t n e tx . Bila disubstitusikan ke persamaan 2.4.1 akan didapatkan suatu persamaan dalam t, yaitu: � �� � � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � = 0 2.4.2 karena e tx ≠0, maka � � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � = 0 2.4.3 Persamaan 2.4.3 tersebut disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial 2.4.1 dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Ada tiga kemungkinan selesaian yang bebas linier dari persamaan 2.4.1, yaitu: 1. Bila akar-akarnya real dan berlainan, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � � 1 � , � � 2 � , … , � � � � 2. Bila akar-akarnya real dan sama, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � �� , �� �� , … , � �−1 � �� 3. Bila akar-akarnya kompleks, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � �−��� atau � �� cos �� + sin ��

2.5 Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak Homogen Dengan Koefisien Konstan

Universitas Sumatera Utara Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut : � � � � + � �−1 � �−1 + � �−2 � �−2 + ⋯ + � 1 � ′ + � � = �� 2.5.1 Solusi umum �� akan didapatkan bila solusi umum � ℎ � dari Persamaan Diferensial Homogen diketahui, dimana bentuk umum persamaan diferensial homogenya orde-n adalah sebagai berikut : � � � � + � �−1 � �−1 + � �−2 � �−2 + ⋯ + � 1 � ′ + � � = 0 2.5.2 Kemudian �� dibentuk dengan penambahan � ℎ � sembarang solusi � termasuk konstanta tak tetapnya. Sehingga, �� = � ℎ � + � � � 2.5.3 Dalam hal ini kita membahas penyelesaian untuk mendapatkan persamaan partikulirnya dengan melalui metode fungsi green dan dengan melalui metode koefisien tak tentu.

2.6 Determinan Wronski

Misalkan � 1 , � 2 , … , � � kumpulan n buah fungsi yang semuanya dan turunan- turunannya sampai dengan turunan yang ke n-1kontinyu pada selang a ≤ x ≤ b. Wronski dari � 1 , � 2 , … , � � dihitung pada x dinyatakan oleh �� 1 , � 2 , … , � � ; � dan ditentukan sebagai determinan �� 1 , � 2 , … , � � ; � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 � 2 � 1 ′ � 1 ′′ � 2 ′ � 2 ′′ ⋯ ⋯ ⋯ � � � � ′ � � ′′ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ � 1 �−1 � 2 �−1 ⋯ � � �−1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 2.6.1 tiap fungsi yang muncul dalam determinan ini dihitung pada x. Contoh Diketahui � 1 � = � 2 dan � 2 � = cos � , cari �� 1 , � 2 ; � Universitas Sumatera Utara Penyelesaian: Dari defenisi di atas dan dari fungsi-fungsi yang telah diketahui, maka dapat dihitung: �� 2 , cos �; � = �� 2 cos � 2 � − sin � � = −� 2 sin � − 2� cos � Misalkan bahwa � 1 , � 2 , … , � � merupakan n buah penyelesaian persamaan diferensial 2.4.1. Misalkan juga bahwa fungsi-fungsi tersebut bebas linier pada selang defenisi persamaan diferensial ini. Dikatakan bahwa fungsi-fungsi itu membentuk himpunan fundamental atau sistem fundamental penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Sebagai contoh fungsi cos � dan fungsi sin � merupakan suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial � ′′ + � = 0 . Juga fungsi � � dan � −� membentuk suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial � ′′ − � = 0.

2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan Metode Variasi Parameter