58
Berdasarkan perhitungantersebut matriks A . B = C adalah : A
. B
= C
3 4
1 6
5 2
1 3
.
1 2
3 1
2 1
1 2
=
7 13
15 1
20 27
1 1
6
Misalkan B . A = D maka elemen-elemen matriks D adalah : d
11
= b
11
. a
11
+ b
12
. a
21
+ b
13
. a
31
= 2 . 3 + -1 . 2 + 0 . 1 = 6 – 2 + 0 = 4
d
12
= b
11
. a
12
+ b
12
. a
22
+ b
13
. a
32
= 2 . 1 + -1 . 5 + 0 . 6 = 2 – 5 + 0 = -3
d
13
= b
11
. a
13
+ b
12
. a
23
+ b
13
. a
33
= 2 . 0 + -1 . 6 + 0 . 3 = 0 – 6 + 0 = -6
d
21
= b
21
. a
11
+ b
22
. a
21
+ b
23
. a
31
= 1 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1 = 3 + 4 + 1 = 8 d
22
= b
21
. a
12
+ b
22
. a
22
+ b
23
. a
32
= 1 . 1 + 2 . 5 + 1 . 4 = 1 + 10 + 4 = 15 d
23
= b
21
. a
13
+ b
22
. a
23
+ b
23
. a
33
= 1 . 0 + 2 . 6 + 1 . 3 = 0 + 12 + 3 = 15 d
31
= b
31
. a
11
+ b
32
. a
21
+ b
33
. a
31
= 3 . 3 + 2 . 2 + -1 . 1 = 9 + 4 – 1 = 12
d
32
= b
31
. a
12
+ b
32
. a
22
+ b
33
. a
32
= 3 . 1 + 2 . 5 + -1 . 4 = 3 + 10 – 4 = 9
d
33
= b
31
. a
13
+ b
32
. a
23
+ b
33
. a
33
= 3 . 0 + 2 . 6 + -1 . 3 = 0 + 12 – 3 = 9
Berdasarkan perhitungan tersebut maka matriks B . A = D adalah : B
. A
= D
1 2
3 1
2 1
1 2
.
3 4
1 6
5 2
1 3
=
9 9
12 15
15 8
6 3
4
Dari hasil A . B = C dan B . A = D ternyata elemen c
ij
tidak sama dengan elemen d
ij
. Dengan demikian tidak selalu A . B = B . A.
6. Matriks yang Dikuadratkan
Misalkan A
2
= E maka matriks E = A . A sehingga elemen e
ij
adalah : e
11
= a
11
. a
11
+ a
12
. a
21
+ a
13
. a
31
= 3 . 3 + 1 . 2 + 0 . 1 = 9 + 2 + 0 = 11 e
12
= a
11
. a
12
+ a
12
. a
22
+ a
13
. a
32
= 3 . 1 + 1 . 5 + 0 . 4 = 3 + 5 + 0 = 8 e
13
= a
11
. a
13
+ a
12
. a
23
+ a
13
. a
33
= 3 . 0 + 1 . 6 + 0 . 3 = 0 + 6 + 0 = 6 e
21
= a
21
. a
11
+ a
22
. a
21
+ a
23
. a
31
= 2 . 3 + 5 . 2 + 6 . 1 = 6 + 10 + 6 = 22 e
22
= a
21
. a
12
+ a
22
. a
22
+ a
23
. a
32
= 2 . 1 + 5 . 5 + 6 . 4 = 2 + 25 + 24 = 51
59
e
23
= a
21
. a
13
+ a
22
. a
23
+ a
23
. a
33
= 2 . 0 + 5 . 6 + 6 . 3 = 0 + 30 + 18 = 48 e
31
= a
31
. a
11
+ a
32
. a
21
+ a
33
. a
31
= 1 . 3 + 4 . 2 + 3 . 1 = 3 + 8 + 3 = 14 e
32
= a
31
. a
12
+ a
32
. a
22
+ a
33
. a
32
= 1 . 1 + 4 . 5 + 3 . 4 = 1 + 20 + 12 = 33 e
33
= a
31
. a
13
+ a
32
. a
23
+ a
33
. a
33
= 1 . 0 + 4 . 6 + 3 . 3 = 0 + 24 + 9 = 33 Berdasarkan perhitungan tersebut matriks A
2
= A . A = E adalah : A
. A
= E
3 4
1 6
5 2
1 3
.
3 4
1 6
5 2
1 3
=
33 33
14 48
51 22
6 8
11
7. Kofaktor Matriks Bujursangkar
Jika matriks A =
3 4
1 6
5 2
1 3
Maka Minor-minor dari matriks A adalah :
33 32
31 23
22 21
13 12
11
M M
M M
M M
M M
M
M
11
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
3 4
6 5
= 5 . 3 – 4 . 6 = 15 – 24 = -9
M
12
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
3 1
6 2
= 2 . 3 – 1 . 6 = 6 – 6 = 0
M
13
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
4 1
5 2
= 2 . 4 – 1 . 5 = 8 – 5 = 3
M
21
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
3 4
1
= 1 . 3 – 4 . 0 = 3 – 0 = 3
60
M
22
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
3 1
3
= 3 . 3 – 1 . 0 = 9 – 0 = 9
M
23
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
4 1
1 3
= 3 . 4 – 1 . 1 = 12 – 1 = 11
M
31
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
6 5
1
= 1 . 6 – 5 . 0 = 6 – 0 = 6
M
32
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
6 2
3
= 3 . 6 – 2 . 0 = 18 – 0 = 18
M
33
=
3 4
1 6
5 2
1 3
=
5 2
1 3
= 3 . 5 – 2 . 1 = 15 – 2 = 13
Misalkan A
ij
adalah kofaktor-kofaktor elemen matriks A maka besarnya setiap elemen matriks A adalah adalah nilai tanda setiap elemennya dikalikan minornya.
Pedoman untuk menentukan tanda adalah sebagai berikut : +
- +
- +
. .
. -
+ -
+ -
. .
. +
- +
- +
. .
. .
. .
. .
. .
. Selain itu kofaktor juga dapat dihitung dengan cara mengalikan minornya dengan angka -1
pangkat jumlah dari nomor elemennya. Contoh: A
11
= -1
1+1
. M
11
= -1
2
. -9 = 1 . -9 = -9 A
12
= -1
1+2
. M
12
= -1
3
. 0 = -1 . 0 = 0 A
13
= -1
1+3
. M
13
= -1
4
. 3 = 1 . 3 = 3
61
A
21
= -1
2+1
. M
21
= -1
3
. 3 = -1 . 3 = -3 A
22
= -1
2+2
. M
22
= -1
4
. 9 = 1 . 9 = 9 A
23
= -1
2+3
. M
23
= -1
5
. 11 = -1 . 11 = -11 A
31
= -1
3+1
. M
31
= -1
4
. 6 = 1 . 6 = 6 A
32
= -1
3+2
. M
32
= -1
5
. = -1 . 18 = -18 A
33
= -1
3+3
. M
33
= -1
6
. = 1 . 13 = 13
Susunan elemen A
ij
pada matriks kofaktor A adalah :
33 32
31 23
22 21
13 12
11
A A
A A
A A
A A
A
=
13 18
6 11
9 3
3 9
8. Adjoint Matriks Bujursangkar
