2002 digit ized by USU digit al library
6
untuk setiap x ≠
y, diketahui terdapat suatu indeks x sedemikian hingga f
x
x 0 dan f
x
y = 0, karena itu Fx ≠
Fy. Akhirnya, harus dibuktikan bahwa F adalah homomorphis dari X onto
bayangannya, ruang bagian Z = F X dari R
j
. Diketahui bahwa F menentukan suatu kontinu bijektif dari X dengan Z, juga hanya perlu diperlihatkan bahwa untuk setiap
himpunan terbuka U di dalam X, himpunan FU adalah terbuka di dalam Z. Misal z merupakan suatu titik dari fU. Akan ditemukan suatu himpunan terbuka W dari z
sedemikian sehingga, z
∈ W
⊂ FU
Bila x titik dari U sedemikian hingga Fx
= z pilih indeks N untuk mana f
N
x dan
f
N
X – U = 0. Ambil interval terbuka 0, + ∞
pada R, dan V himpunan terbuka
,
1
+∞ =
− N
V π
dari R
j
. Bila W = V
∩ Z; maka W adalah terbuka di dalam Z, oleh definisi ruang bagian
topologi dinyatakan bahwa z ∈
W ⊂
FU. Pertama z
∈ W karena,
φ x
f x
F z
N N
N
= =
π π
Kedua, W ⊂
FU. Jika z ∈
W, maka z = Fx untuk beberapa x ∈
X dan
. ,
+∞ ∈
z
N
π
karena,
, x
f x
F z
N N
N
= =
π π
dan f
N
hilang di luar U, haruslah x di dalam U. Maka z = Fx adalah di dalam FU. Jadi F adalah suatu penyisipan dari X di
dalam R
j
.
D e fin isi 2 .1 3 : Bila X ruang topologi, suatu koleksi A dari himpunan bagian X dinyatakan
berhingga lokal locally finite, jika setiap titik dari X mempunyai suatu lingkungan yang mengiris berhingga banyaknya elemen-elemen dari A.
Suatu koleksi
B dari himpunan bagian X dikatakan countable berhingga lokal
countably locally finite jika B dapat ditulis sebagai gabungan countable dari koleksi B
n
, dimana setiap B
n
adalah berhingga lokal. D e fin isi 2 .1 4 :
Himpunan bagian A dari ruang X disebut himpunan G
δ
di dalam X, jika A sama dengan irisan dari koleksi countable himpunan-himpunan bagian terbuka dari X.
Le m m a 2 .1 5 : Anggap X ruang regular dengan basis B yang berhingga lokal dan countable.
Maka X adalah normal dan setiap himpunan tertutup di dalam X adalah himpunan G
δ
di dalam X. Bukti:
La n gk a h 1 : Andaikan
W ⊂
X, W terbuka, maka ada koleksi countable {Un} dari himpunan-himpunan terbuka dari X sedemikian hingga,
W = ∪
U
n
= ∪
n
U
Karena basis
B
untuk X adalah countable berhingga lokal, dapat ditulis,
B =
∪ B
n
Dimana setiap koleksi B
n
adalah berhingga lokal. Bila C
n
koleksi dari elemen basis B sedemikian hingga B
∈ B
n
dan
B
⊂
W, maka C
n
adalah berhingga lokal,
merupakan sub koleksi dari B
n
. Ditentukan
Un = ∪
B ∈
C
n B
2002 digit ized by USU digit al library
7
Maka Un adalah himpunan terbuka,sedangkan,
n
U
= ∪
B ∈
Cn B Karena
itu,
juga W,
⊂
n
U W
n U
Un ⊂
∪ ⊂
∪
Dinyatakan bahwa kesamaan dipenuhi. Ambil x ∈
W, dengan keregurelan, suatu elemen basis B
∈
B sedemikian hingga x
∈ B dan
W B
⊂
. Sekarang
B ∈
B
n
untuk beberapa n. maka B ∈
C
n
dengan definisi 2.14, juga bahwa x
∈ U
n
. Jadi W =
∪ U
n
.
La n gk a h 2 :
Diperlihatkan bahwa setiap himpunan tertutup C di dalam X suatu himpunan G
δ
di dalam X. ambil C, andaikan W = X – C. Dengan langkah 1 terdapat himpunan- himpunan Un di dalam X sedemikian hingga W =
n
U
maka, C = ∩
X -
n
U
, Dari itu C sama dengan suatu irisan countable dari himpunan-himpunan
terbuka dari X. La n gk a h 3 :
Diperlihatkan bahwa X adalah normal. Andaikan C dan D himpunan tertutup yang saling asing di dalam X. menggunakan langkah 1 untuk himpunan terbuka X –
D, dibentuk suatu koleksi countable {U
n
} dari himpunan-himpunan terbuka sedemikian hingga,
∪ U
n
= ∪
n
U
= X – D Maka
{U
n
} menutup c dan setiap himpunan
n
U
adalah saling asing dari D. dengan cara yang sama, dibentuk suatu selimut countable {Vn} dari D dengan
himpunan-himpunan terbuka yang mana closurenya saling asing dengan C. Karena suatu ruang reguler dengan basis yang countable adalah normal.
Ditentukan,
n
U
=
i n
i n
i n
i
U V
V dan
V Un
1 1
= =
∪ −
= ∪
−
maka himpunan-himpunan :
n z
n n
z n
V V
dan U
U +
∪ =
+ ∪
=
∈ ∈
adalah himpunan-himpunan terbuka yang saling asing yang masing-masing memuat C dan D. lihat gambar 1.
2002 digit ized by USU digit al library
8 U
1
U
2
C D
V
1
V
3
V
2
U
1
U
2
C D
V
1
V
3
V
2
Gambar 1: Elemen pada ruang Normal.
Te or e m a 2 .1 6 : Syarat cukup Nagata-Smirnov. Andaikan X ruang regular dengan suatu basis B yang countable danberhingga
lokal, maka x adalah metrizable. Bukti:
Langkah 1. Diperlihatkan bahwa jika W terbuka di dalam X, terdapat suatu fungsi kontinu
f : X →
[0,1] sedemikian hingga fx 0 untuk x ∈
W dan fx = 0 untuk x ∉
W. Oleh Lemma 2.15, setiap himpunan tertutup dari X adalah irisan countable
dari himpunan-himpunan terbuka dari X. dengan komplemennya, memberikan bahwa himpunan terbuka W adalah gabungan countable dari himpunan-himpunan
tertutup A
n
dari X. Menggunakan kenormalan, pilih untuk setiap bilangan positip n, suatu fungsi
kontinu. fn
: X
→ [0,1] sedemikian hingga
fnA
n
= {1} dan fnX-W = {0}. Ditentukan fx =
∑
n n
f 2
Deret tersebut konvergen seragam, dengan perbandingan
∑
n 2
1
, karena itu f adalah kontinu, juga f positip pada W dan hilang di luar W.
Langkah 2: Andaikan
B =
∪ B
n
dimana setiap koleksi B
n
adalah berhingga lokal. Untuk setiap bilangan positip n dan setiap elemen basis B
∈ B
n
, pilih suatu fungsi kontinu,
f
n
,B : X →
[0,1n] sedemikian hingga f
n
,B x 0 untuk x ∈
B dan f
n,
B = 0 untuk x
∉ B. Koleksi
{f
n
,B} titik-titik terpisah dari himpunan-himpunan tertutup dari X.
2002 digit ized by USU digit al library
9
Ambil suatu titik x dan suatu lingkungan U darix
, ada suatu elemen basis B sedemikian hingga: x
∈ B
⊂ U. Maka B
∈ B
n
untuk beberapa n, karena itu f
n
,Bx 0 dan f
n
, B hilang di luar U. Andaikan J himpunan bagian dari z
+
x B terdiri dari semua pasangan n,B sedemikian hingga B berada pada B
n
. Ditentukan, F : X
→ [0,1]
j
dengan persamaan Fx = f
n,B
x
n,B ∈
j
. Relatif ke pergandaan topologi pada [0,1]
j
, pemetaan F adalah suatu penyisipan imbedding, oleh teorema 2.12.
Jadi, [0,1]
j
bukan metrizable secara umum. Langkah 3:
Sekarang berikan [0,1]
j
topologi dihasilkan oleh metrik seragam
ρ
dan diperlihatkan bahwa F adalah suatu penyisipan relatif ke topologi ini.
Topologi seragam lebih besar dari pergandaan topologi. Karena itu relatif ke metrik seragam, pemetaan F adalah injektif dan membawa himpunan-
himpunan terbuka dari X onto himpunan-himpunan terbuka dari ruang bayangan Z = FX. harus diberikan bukti terpisah bahwa F adalah kontinu.
Pada ruang bagian [0,1]
j
pada R
j
, metrik seragam sama dengan metrik
{ }
α α
α α
ρ y
x y
x −
= lub
] ,
[
Ambil suatu titik x ∈
X dan bilangan ε
0, dan temukan suatu lingkungan W dari x
sedemikian hingga, X
∈ W
⇒ ρ
[Fx, Fx ]
ε .
Pilih suatu lingkungan U
n
darix yang mengiris hanya berhingga banyaknya
elemen-elemen dari koleksi Bn. Ini dimaksud sebagai B daerah peta di atas B
n semua tetapi berhingga banyaknya dari fungsi-fungsi f
n,B
adalah sama dengan nol pada U
n
. Tetapi semua fungsi f
n,B
adalah kontinu. Sekarang dapat dipilih suatu lingkungan V
n
dari x termuat di dalam U
n
pada mana setiap sisa fungsi f
n,B
untuk B ∈
Bn, berganti pada hampir
ε 2
. Dipilih sedemikian suau lingkungan V
n
dari x untuk setiap n
∈ z+. maka pilih
N sedemikian
1 N
≤
ε 2
, dan tentukan W = V
1
∩ V
2
… ∩
V
N
. Dinyatakan bahwa W adalah lingkungan x
dimaksud. Bila
x ∈
W. Jika n N, maka,
2 ,
,
ε
≤ −
x f
x f
B n
B n
Karena fungsi f
n,B
juga hilang atau berganti dengan hampir
ε 2
pada W, jika n N, maka;
2 1
, ,
ε
π
n B
n B
n
x f
x f
≤ −
karena f
n,B
pemetaan X ke [0,
1 n
]. karena
itu
ε ρ
ε
π
2
, ≤
x F
x F
D e fin isi 2 .1 7 :
Bila A
adalah suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian X. Suatu koleksi
B dari himpunan bagian X dikatakan penyempurnaan refinement dari A jika untuk
setiap element B ∈
B, terdapat suatu elemen A
