E
H
i
θ
E
x
y z
Gambar 2 Vektor gelombang TE pada medium
2.3 Metode Matriks Transfer
Metode matriks adalah cara yang baik untuk menganalisis secara akurat transmisi gelombang EM dalam medium berlapis. Secara umum, formalisme matriks
digunakan untuk menghubungkan komponen medan listrik dan medan magnet pada tiap lapisan L.Carretero
et al, 2006. Metode matriks transfer standar digunakan untuk meneliti transmitansi dari gelombang TE dan TM. Keuntungan dari metode
matriks transfer adalah memberikan solusi numerik-eksak dari modus yang dibuat dan secara relatif mudah memodifikasi jika susunan model yang dibuat ingin diubah.
Medan pada lapisan akhir fotonik kristal untuk kedua polarisasi bisa dihitung dari
hubungan berikut:
1
i t
TE TM r
t
E E E
E τ
⎛ ⎞
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
12 dimana
, dan
adalah medan listrik yang datang, yang direfleksikan, dan yang ditransmisikan. Matriks transfer yang menghubungkan medan listrik tersebut
adalah:
i
E
r
E
t
E
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
3 3
2 2
1 1
2 2
M N
D D
D D
L R
D D
P PQ P Q
P Q P Q
PQ P Q P Q
P Q PQ P Q
P Q P Q
PQ P Q P
τ
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
=
1
13
i
P and untuk polarisasi TE dan TM diberikan oleh:
i
Q 1
1 cos
cos
TE i
i i
i i
P k
k θ
θ ⎛
⎞ = ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
, dan
cos cos
cos cos
cos cos
i i
i i
i i
i i
i i
i i
ik d ik d
TE i
ik d ik d
i i
i i
e e
Q k
e k
e
θ θ
θ θ
θ θ
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
cos cos
i TM
i i
i
P k
k
i
θ θ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− ⎝
⎠ , dan
cos cos
cos cos
cos cos
i i
i i
i i
i i
i i
i i
ik d ik d
i i
TM i
ik d ik d
i i
e e
Q k e
k e
θ θ
θ θ
θ θ
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
dengan
i i
k n
c ω
= ,
i = 0, 1, 2 Lapisan Bragg dan medium luar, sedangkan
1 1
d d
k n
c
ω
= ,
2 2
d d
k n
c
ω
= ,
3 3
d d
k n
c
ω
= adalah untuk lapisan defek,
i
θ
menunjukkan sudut datang pada masing-masing layer. Transmitansi medan listrik diberikan sebagai berikut:
2 2
t i
T E
E =
14 Nilai transmitansi antar lapisan dapat ditulis:
2 1
, 1 2
2 1
1 1
1 1
1
2 2
cos sin
i i
ik d i i
i i i i
i i
i i
i i
e k k
T k k
k d i
k d k
k
+ +
+ +
+ +
+ +
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
+ ⎢
⎥ ⎣
⎦ 15
Transmitansi total untuk satu sistem kristal fotonik bias didapatkan dengan cara mengalikan seluruh transmitansi antar lapisan.
Metode matriks transfer ini merupakan metode standar yang menggunakan beberapa asumsi sebagai bentuk idealisasi dari beberapa parameter dan
penyederhanaan dari segi komputasi, yakni: a. Bahan bersifat isotropik homogen, sehingga tensor ε dan dianggap skalar.
Sebenarnya r
ε merupakan bilangan kompleks
r a r
ib r ε
= +
. Bagian imajinernya adalah atenuasi bahan yang akan merubah intensitas cahaya, namun
pada tugas akhir ini dibatasi hanya pada bahan yang memiliki absorbsifitas rendah
low-loss dielectric, berarti r
ε berupa bilangan real.
b. Bahan bersifat linier, sehingga respon bahan terhadap medan luar seperti P polarisasi listrik dan
M polarisasi magnetik diabaikan. c. Bahan bersifat non-magnetik, sehingga =
d. Indeks bias medium dianggap konstan yang dalam kenyataannya indeks bias merupakan fungsi dari panjang gelombang, sebagai contoh untuk perak Ag
pada panjang gelombang diatas 350 nm memiliki nilai indeks bias yang berubah memenuhi persamaan
3 4 2
b c
a
n e
λ λ
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎝
=
⎟ ⎠
, dimana a = 0.48332493, b = 4.2648334,
dan c = 2.4317131 Z.Jaksic et al, 2004.
2.4 Distribusi Medan dalam Lapisan Defek