Formulasi Matematika TINJAUAN PUSTAKA

ini, fenomena PBG telah digunakan untuk cermin dielektrik hanya pada batas range frekuensi yang sempit untuk sudut tertentu atau sampai range sudut tertentu, sedangkan pada PPB telah digunakan untuk filter hanya pada batas insiden normal Kun-yuan Xu et al, 2005. Untuk kristal fotonik satu dimensi dengan satu defek asimetrik, telah ditunjukkan bahwa puncak dari PPB bisa divariasikan oleh perubahan indeks bias medium luar background dengan tanpa perubahan dalam posisi H. Mayditia et al, 2006. Secara numerik, telah ditunjukkan pula efek yang sama tetapi lebih fleksibel terdapat pada kristal fotonik satu dimensi dengan dua defek. Sifat dari PPB ini bisa diaplikasikan untuk membangun filter frekuensi dan divais sensor. Gambar 1 Kristal fotonik satu, dua, dan tiga dimensi C. Sibilia, 2005 Penelitian tentang kristal fotonik satu dimensi telah berkembang pesat tidak hanya terbatas pada material dielektrik. Sampai saat ini, telah banyak digunakan bahan metal yang transparan metallo-dielectric untuk manghasilkan transmisi maksimum pada semua range panjang gelombang, dari ultra-violet UV hingga gelombang radio microwave. PPB yang dihasilkan menggunakan bahan metallo dielectric lebih baik dari segi transmisi dibandingkan semua bahan dielektrik all- dielectric sehingga cocok digunakan sebagai filter untuk range yang panjang Z. Jaksic, 2004.

2.2 Formulasi Matematika

Pencarian metode terbaik untuk mengontrol perambatan cahaya selalu menjadi prioritas utama. Perhatian akan terpusat pada interaksi medan elektromagnetik dengan struktur padat seperti kristal fotonik. Persamaan Maxwell adalah yang pertama dan benar-benar yang paling penting dalam teori ini. Langkah pertama adalah menurunkan semua formula dalam persamaan Maxwell. Komponen dalam gelombang elektromagnetik, medan listrik dan medan magnet merambat melalui medium yang bebas muatan dan arus bebas telah terhubung melalui 4 persamaan Maxwell, yakni: , , t r B t t r E G G G G G ∂ ∂ − = × ∇ 1 , , , t r J t r D t t r H G G G G G + ∂ ∂ = × ∇ 2 , = ⋅ ∇ t r B G G G 3 , , t r t r D G G G G ρ = ⋅ ∇ 4 Notasi standar untuk medan listrik E G , medan magnet , perpindahan listrik , dan induksi magnet H G D JG B G telah digunakan dalam persamaan ini. Dengan menggunakan aljabar vektor dan dua persamaan konstitutif, persamaan maxwell dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan nilai-Eigen. 2 1 [ , ] , E r t E r t r c ω ε ⎛ ⎞ ∇ × ∇ × = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JG JG JG G JG G 5 2 1 [ , ] , H r t H r t r c ω ε ⎛ ⎞ ∇ × ∇ × = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JG JG JJG G JJG G 6 Persamaan 5 dan 6 memiliki beberapa kesamaan dengan persamaan nilai- Eigen Schrodinger dalam mekanika kuantum sebagaimana terangkum dalam Tabel 1. Tabel 1 Analogi persamaan nilai-Eigen untuk elektron dan foton Teori kuantum Teori elektromagnetik Medan . , i k r t r t r e ω ψ ψ − = . , i k r t E r t E r e ω − = Persamaan nilai-Eigen H E ψ ψ = 2 E c ξ ω = E Operator 2 2 2 H h m V = − ∇ + r 1 r ξ ε = × ×∇×∇× Hamiltonian dari teori kuantum menentukan energi-Eigen untuk objek, sedangkan operator ξ menjelaskan frekuensi Eigen untuk gelombang EM H E ω . Persamaan gelombang elektromagnetik sebagai persamaan nilai-Eigen merupakan titik penurunan di dalam kristal fotonik. Mengingat kembali identitas tertentu dari aritmatika vektor: 2 . A A ∇×∇× = ∇ ∇ − ∇ JG JG JJG JG JG JG JG JG A 7 dan menyesuaikan dengan persamaan Maxwell, dimana . r ε ∇ = JG dan 1 r μ ≈ , persamaan nilai-Eigen diatas menjadi: 2 2 0 0 2 E E t μ ε ε ∂ ∇ = ∂ JG JG JG 8 2 2 0 0 2 H H t μ ε ε ∂ ∇ = ∂ JJG JG JJG 9 Salah satu solusi umum dari persamaan 9 adalah persamaan gelombang datar harmonis monokromatik yang bergantung waktu , i t E r t E r e ω − = , yang jika dimasukkan kembali kedalam persamaan 9 menghasilkan gelombang EM dalam domain frekuensi 2 2 , k E r ω ∇ + = 0 . Dalam sistem koordinat kartesius, persamaan tersebut tereduksi menjadi tiga persamaan skalar untuk masing-masing komponen medan listrik , z E x E , dan y E . Persamaan ini bisa dipecahkan melalui separasi variabel. Untuk gelombang TE, medan listrik adalah terpolarisasi secara linear pada arah y dan digambarkan dalam bentuk fungsi skalar skalar 0, , 0 y E = E , y E z y , sehingga dihasilkan: , y ik y E z y E z e = 10 Dengan menggunakan teknik separasi variabel, didapatkan solusi umum persamaan gelombang datar harmonik y z z ik y i k z t i k z t E Ae Be e ω ω − − − = + 11 Dari solusi persamaan gelombang yang dihasilkan ditambah dengan aturan syarat batas, dapat dibentuk matriks transfer yang menghubungkan medan yang ditransmisikan dengan medan input. Penelitian ini dibatasi hanya pada kasus grlombang TE transverse-electric, dimana komponen medan listrik hanya ada pada arah sumbu- y dan merambat pada arah sumbu-z. E H i θ E x y z Gambar 2 Vektor gelombang TE pada medium

2.3 Metode Matriks Transfer