Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan
1. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan
Jika diketahui A = {a 1 ,a 2 ,a 3 }, B = {b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 }, dan C = {c 1 ,c 2 ,c 3 }, maka fungsi
f :A → B dan g : B → C didefinisikan seperti diagram berikut.
a 1 b 1 f (a 1 )=b 2 b 1 c 1 g (b 1 )=c 2
a 3 f b 3 f (a 2 )=b 1 g (b 2 b )=c 3 c 1 3
b 4 f (a 3 )=b 3 b 4 g (b
)=c 3
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari
A ke C sebagai berikut.
a 1 b 1 c 1 f (a
1 )=b 2 dan g(b 2 )=c 2 sehingga (g f) (a 1 )=c 2
b 3 g (b )=c dan g(b )=c sehingga (g f) (a a )=c 3 f c 3 2 1 1 1 2 1
b 4 g g (b 3 )=c 3 dan g(b 3 )=c 3 sehingga (g f) (a 3 )=c 3
Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.
a 1 c 1 (g f) (a 1 )=c 2
a 2 c 2 (g f) (a
Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan
gf dibaca “fungsi g bundaran f”. g f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g.
Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis: (g f)(x) = g(f(x))
(f g)(x) = f(g(x))
f (x)
g (f(x))
Sedangkan, untuk f g dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.
g (x)
f (g(x))
f g
182 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsi berikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas.
Bila f, g, dan h suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f g ≠ g f;
b. jika I fungsi identitas berlaku : I f = f I = f;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f (g h) = (f g) h.
Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x 2 + 2.
a. Tentukan (g f)(x).
b. Tentukan (f g)(x).
c. Apakah berlaku sifat komutatif: g f = f g?
Penyelesaian
a. (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1)
b. (f g)(x) = f(g(x))
= f(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) – 1 = 4x 2 +4–1 = 4x 2 +3
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g f ≠ f g.
2. Diketahui f(x) = x 2 , g(x) = x – 3, dan h(x) = 5x.
a. Tentukan (f (g h))(x).
b. Tentukan ((f g) h)(x).
c. Apakah f (g h) = (f g) h, mengapa?
Penyelesaian
a. (f (g h))(x) = …. Misal p(x) = (g h)(x)
= g (h(x)) = g (5x)
= 5x – 3
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Soalnya menjadi (f (g h)(x)) = (f p)(x)
= f(p(x)) = f(5x – 3) = (5x – 3) 2
= 25x 2 – 30x + 9
b. ((f g) h)(x) = …. Misal s(x) = (f g)(x)
= f(g(x)) = f(x – 3)
= (x – 3) 2
Soalnya menjadi: ((f g) h)(x) = (s h)(x)
= s(h(x)) = s(5x) = (5x – 3) 2
= 25x 2 – 30x + 9
c. Ya, (f (g h))(x) = ((f g) h)(x) sebab berlaku sifat asosiatif.
3. Diketahui f(x) = 5x – 2 dan I(x) = x. Buktikan I f = f I = f.
Bukti
(I f)(x) = I(f(x)) = I(5x – 2) = 5x – 2
(f I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 5x – 2
Tampak bahwa I f = f I = f (terbukti).
Kerjakan soal-soal di bawah ini.
1. Diketahui f(x) = x – 2 dan g(x) = x 2 – x – 2.
Tentukan:
a. (f + g)(x)
c. (f × g)(x)
d. f () x g
b. (f – g)(x)
184 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
2. Diketahui f(x) = x 2 dan g(x) = x + 4. Tentukan:
a. (f + g)(–3)
c. (f × g)(–1)
d.
b. (f – g)(1)
g (2)
3. Diketahui fungsi yang ditentukan oleh f(x) = x + 1, g(x) = 2 – x. Tentukan fungsi yang dinyatakan oleh f 2 (x) + g 2 (x) + (f + g)(x) + (g – f)(x).
4. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x + 3.
Tentukan:
a. (f g)(x)
c. (f f)(x)
b. (g f)(x)
d. (g g)(x)
5. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x 2 . Tentukan:
a. (f g)(x)
c. (f f)(x)
b. (g f)(x)
d. (g g)(x)
6. Diketahui g(x) = 2x + 3 dan (g f)(x) = 2x 2 + 4x + 5. Tentukan f(x).