Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan

1. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan

Jika diketahui A = {a 1 ,a 2 ,a 3 }, B = {b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 }, dan C = {c 1 ,c 2 ,c 3 }, maka fungsi

f :A → B dan g : B → C didefinisikan seperti diagram berikut.

a 1 b 1 f (a 1 )=b 2 b 1 c 1 g (b 1 )=c 2

a 3 f b 3 f (a 2 )=b 1 g (b 2 b )=c 3 c 1 3

b 4 f (a 3 )=b 3 b 4 g (b

)=c 3

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari

A ke C sebagai berikut.

a 1 b 1 c 1 f (a

1 )=b 2 dan g(b 2 )=c 2 sehingga (g f) (a 1 )=c 2

b 3 g (b )=c dan g(b )=c sehingga (g f) (a a )=c 3 f c 3 2 1 1 1 2 1

b 4 g g (b 3 )=c 3 dan g(b 3 )=c 3 sehingga (g f) (a 3 )=c 3

Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.

a 1 c 1 (g f) (a 1 )=c 2

a 2 c 2 (g f) (a

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan

gf dibaca “fungsi g bundaran f”. g f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g.

Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis: (g f)(x) = g(f(x))

(f g)(x) = f(g(x))

f (x)

g (f(x))

Sedangkan, untuk f g dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.

g (x)

f (g(x))

f ฀g

182 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsi berikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas.

Bila f, g, dan h suatu fungsi, maka:

a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f g ≠ g f;

b. jika I fungsi identitas berlaku : I f = f I = f;

c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f (g h) = (f g) h.

Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1. Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x 2 + 2.

a. Tentukan (g f)(x).

b. Tentukan (f g)(x).

c. Apakah berlaku sifat komutatif: g f = f g?

Penyelesaian

a. (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1)

b. (f g)(x) = f(g(x))

= f(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) – 1 = 4x 2 +4–1 = 4x 2 +3

c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g f ≠ f g.

2. Diketahui f(x) = x 2 , g(x) = x – 3, dan h(x) = 5x.

a. Tentukan (f (g h))(x).

b. Tentukan ((f g) h)(x).

c. Apakah f (g h) = (f g) h, mengapa?

Penyelesaian

a. (f (g h))(x) = …. Misal p(x) = (g h)(x)

= g (h(x)) = g (5x)

= 5x – 3

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Soalnya menjadi (f (g h)(x)) = (f p)(x)

= f(p(x)) = f(5x – 3) = (5x – 3) 2

= 25x 2 – 30x + 9

b. ((f g) h)(x) = …. Misal s(x) = (f g)(x)

= f(g(x)) = f(x – 3)

= (x – 3) 2

Soalnya menjadi: ((f g) h)(x) = (s h)(x)

= s(h(x)) = s(5x) = (5x – 3) 2

= 25x 2 – 30x + 9

c. Ya, (f (g h))(x) = ((f g) h)(x) sebab berlaku sifat asosiatif.

3. Diketahui f(x) = 5x – 2 dan I(x) = x. Buktikan I f = f I = f.

Bukti

(I f)(x) = I(f(x)) = I(5x – 2) = 5x – 2

(f I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 5x – 2

Tampak bahwa I f = f I = f (terbukti).

Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1. Diketahui f(x) = x – 2 dan g(x) = x 2 – x – 2.

Tentukan:

a. (f + g)(x)

c. (f × g)(x)

d.  f  () x  g

b. (f – g)(x)

184 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

2. Diketahui f(x) = x 2 dan g(x) = x + 4. Tentukan:

a. (f + g)(–3)

c. (f × g)(–1)

d.  

b. (f – g)(1)

 g (2)

3. Diketahui fungsi yang ditentukan oleh f(x) = x + 1, g(x) = 2 – x. Tentukan fungsi yang dinyatakan oleh f 2 (x) + g 2 (x) + (f + g)(x) + (g – f)(x).

4. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x + 3.

Tentukan:

a. (f g)(x)

c. (f f)(x)

b. (g f)(x)

d. (g g)(x)

5. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x 2 . Tentukan:

a. (f g)(x)

c. (f f)(x)

b. (g f)(x)

d. (g g)(x)

6. Diketahui g(x) = 2x + 3 dan (g f)(x) = 2x 2 + 4x + 5. Tentukan f(x).