Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran a. Posisi Titik P(x 1 ,y 1 ) terhadap Lingkaran x 2 +y 2 =r 2

4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran a. Posisi Titik P(x 1 ,y 1 ) terhadap Lingkaran x 2 +y 2 =r 2

1) Titik P(x ,y ) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x 2 +y 2 <r 1 2 1 1 1 .

2) Titik P(x ,y

1 1 ) terletak pada lingkaran, jika berlaku x 1 +y 2 =r 1 2 .

1 ,y 1 ) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x 1 +y 1 >r . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

2 2 3) Titik P(x 2

Contoh soal

Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x 2 +y 2 = 25

2 2 2 1. 2 A (3, 1) ⇒ x +y = 3 +1 =9+1

= 10 < 25 Jadi A(3, 1) terletak di dalam lingkaran x 2 +y 2 = 25.

2. B 2 2 2 (–3, 4) 2 ⇒ x +y = (–3) +4 = 9 + 16

= 25 = 25 Jadi B(–3, 4) terletak pada lingkaran x 2 +y 2 = 25.

Lingkaran

3. C (5, –6)

2 =5 ⇒ x 2 +y 2 + (–6) 2 = 25 + 36

= 61 > 25 Jadi C(5, –6) terletak di luar lingkaran x 2 +y 2 = 25.

b. Posisi Titik P(x ,y ) terhadap Lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 1 2 1 =r 2

a. Titik P(x ,y ) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x – a) 2 + (y – b) 2 <r 1 2 1 1 1 .

2 2 b. 2 Titik P(x

1 ,y 1 ) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x 1 – a) + (y 1 – b) =r .

c. Titik P(x ,y ) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x – a) 2 + (y – b) 1 2 1 1 1 >r 2 . Coba perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

2 Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x 2 +y – 6x + 8y = 0

1. A (0, 0) ⇒ x 2 +y 2 – 6x + 8y = 0 2 +0 2 –6 ⋅ 0+8 ⋅ 0 = 0+0+0+0= 0

Jadi titik A(0, 0) terletak pada lingkaran x 2 +y 2 – 6x + 8y = 0

2 Jadi B(2, 1) terletak di luar lingkaran x 2 +y – 6x + 8y = 0

3. C (3, –2)

2 +y 2 – 6x + 8y = 3 ⇒ x 2 + (–2) 2 –6 ⋅ 3 + 8 (–2) = 9 + 4 – 18 – 16 = –21 < 0

2 Jadi C(3, –2) terletak di dalam lingkaran x 2 +y – 6x + 8y = 0

c. Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan:

2 x + (mx + n) 2 +2Ax + 2B (mx + n) + C = 0

2 x +m 2 x 2 + 2mnx + n 2 +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

2 2 (1 + m 2 )x + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n + 2Bn + C) = 0

D = (2mn + 2A + 2Bm) 2 – 4 (1 + m 2 ) (n 2 + 2Bn + C) = 0

Ingat!!

Jika persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0,

D = diskriminan = b 2 – 4ac

ax 1 + by 1 + c Jarak pusat lingkaran P(x 1 ,y 1 ) ke garis ax + by + c = 0 adalah k = 2 a 2 + b

124 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:

1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

Perhatikan gambar berikut. y = mx + n

D>0 Untuk lebih memahami tentang posisi garis y = mx + n terhadap suatu lingkaran,

D<0

D=0

pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan posisi titik A(6, –8) terhadap lingkaran:

1. A (6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x 2 +y 2 = 100 diperoleh

Jadi A(6, –8) terletak pada lingkaran x 2 +y 2 = 100.

2 2. 2 (6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x +y – 6x + 8y + 25 = 0 diperoleh 6 2 + (–8) 2 –6 ⋅ 6 + 8 (–8) + 25 = 36 + 64 – 36 – 64 + 25

Jadi A(6, –8) terletak di luar lingkaran x 2 +y 2 – 6x + 8y + 25 = 0.

2 3. 2 A (6, –8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran (x – 1) + (y + 2) = 64 diperoleh (6 – 1) 2 + (–8 + 2) 2 = 5 2 + (–6) 2 = 25 + 36

Jadi A(6, –8) terletak di dalam lingkaran (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 64.

Lingkaran

Pelajarilah pula contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1. Tentukan posisi garis x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x 2 +y 2 = 25. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.

Penyelesaian

x –y+1=0 ⇒ y = x + 1 ….. (1) x 2 +y 2 = 25 ……(2)

Dari persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2):

x 2 +y 2 = 25

D=b 2 – 4ac

=1 2 –4 ⋅ 1 (–12) x 2 +x 2 + 2x + 1 = 25

Ternyata D > 0, sehingga garis x – y + 1 memotong lingkaran x 2 +y 2 = 25 di dua titik yang berbeda. Titik-titik potongnya adalah:

x 2 + x – 12 = 0 (x + 4) (x – 3) = 0 x +4=0

atau x – 3 = 0

Untuk x = –4 disubtitusikan ke persamaan: y = x + 1 = –4 + 1

Untuk x = 3 disubtitusikan ke persamaan: y =x+1 =3+1

Jadi, titik potongnya adalah (–4, –3) dan (3, 4).

2. Tentukan posisi garis 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 2y + 2 = 0.

Penyelesaian

2x – y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1 ……… (1) x 2 +y 2 – 4x – 2y + 2 = 0 ……… (2)

Dari persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2):

126 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

Ternyata D < 0, dengan demikian garis 2x – y + 1 tidak memotong lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 2y + 2 = 0.

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Diketahui persamaan lingkaran x 2 +y 2 =p 2 . Tentukan batas-batas nilai p supaya

a. Titik A(–9, 5) terletak di luar lingkaran

b. Titik B(–5, –5) terletak di dalam lingkaran

c. Titik C(6, 8) terletak pada lingkaran

2. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x 2 +y 2 + 2x – 4y – 60 = 0

3. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran x 2 +y 2 + 13x + 5y +6=0

a. A (p, 3)

b. B (–4, p)

c. C (p, –6)

4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x 2 +y 2 = 9.

2 5. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x 2 +y – 2x – 2y – 14 = 0