Integral Taktentu

3 Tentukan 2 ∫ x + 2 x dx

3 2 2 1 Jawab : Misalkan u = x + 2 maka du = 3x →x dx = du .

3 2 1 Sehingga

x + 2 x dx = u . du ∫ ∫

u ∫ 2 du =

( x + 3 ) dx

Contoh 2. : ∫

Jawab : Misalkan u = x 2 + 6x → du = (2x + 6)dx

1 → (x + 3)dx = du .

( 1 x + 3 ) dx

Sehingga : ∫

2 du

∫ u 9 du = 2

Contoh 3.

Integralkanlah 5 ∫ sin 3 x dx

5 2 Jawab : 2 ∫ sin 3 x dx = ∫ (sin 3 x ) sin 3x dx

Misalkan u = cos 3x → du = -3 sin 3x dx − 1

du sin 3x dx =

2 2 2 Sehingga 2 ∫ (sin 3 x ) sin 3x dx = ∫ (1 - cos 3 x ) sin 3x dx

( 1 − u ) ( − = du ) ∫

5 ∫ 3 sin 5 x cos 5 x dx

Jawab : Misalkan u = sin 5x → du = 5 cos 5x dx

du − cos 5x dx

6 3 6 x 2 x ∫ x sin 5 cos 5 dx = ∫ sin 5 ( . 1 − sin 6 x ). cos 5x dx

6 = 2 ∫ sin 5

1. ∫ ( x + 2 ) 3 x dx 9. ∫ 3

cos x

3 2 cos x dx

2. ( ∫ + x 2 ) 2 x dx 10. ∫ 2

cos x

5. ∫ 3 x 1 − 2 x dx 13. ∫

cos( 3 x + 2 )

6. ∫ x 1 - 2x dx 14. ∫

3 2 sin 2x dx

(1 - cos 2x)

7. x 3 − 2 x dx 15. ∫ ∫

3 4 cos 3x dx

(3 + 2 sin 3x) x dx tan x − 1

8. ∫ ∫ 16. 2 dx 2

2x +3

cos x

Tentukan pula antiderivatif dari soal-soal di bawah ini ! x 3

4 17. 3 ∫ dx cos 24. 2 x sin 2 xdx

2 dx 25. ∫ sin 3 x cos 3 x dx

( x + 1 ) ( x + 1 ) dx

19. ∫ ∫ cos 26. 2 dx

20. 4 sin ∫ dx

2 ∫ sin 3 28. x cos 3 x dx

( a + bx ) 3

22. 5 cos x dx 29. ( 1 + cos 3 x ) ∫ 2 ∫ sin 3 x dx

2 3 3 23. 4 ∫ sin x cos xdx ∫ (tan 30. 3 x sec 3 x ) dx

2 3. 2 Menentukan Hasil dari ∫ a − x

dx dengan Substitusi x = sin t atau y=cost

Bentuk-bentuk integral di atas dapat digunakan substitusi dengan menggunakan bantuan sketsa geometri.

Contoh 1

Tentukan 2 ∫ 4 − x dx

2 Misalkan sin t =

Sehingga ∫ 4 − 4− x x dx = ∫ 2 cos t . 2 cos tdt 2

4− x = 2cos t

=2 2 ∫ 2 cos tdt =2 ∫ ( 1 + cos 2 t ) dt

1 = 2(t + sin 2t) + c

Untuk mengembalikan hasil dalam t ini kembali ke variabel x digunakan fungsi invers dari fungsi trigonometri, yang biasa kita kenal sebagai fungsi siklometri.

Bahwa jika f(x) = sin x maka f (x) = sin x = arc sin x

f(x) = cos x maka f (x) = cos x = arc cos x

f(x) = tan x maka f (x) = tan x = arc tan x

Dengan hubungan jika y = sin x maka x = arc sin y Dari persoalan di atas, dari

∫ 2 4 − x dx = 2t + sin 2t + c

= 2t + 2sint.cos t + c

sin t =

t = arc sin

yang berarti :

∫ 4 − x dx = 2 arc sin + 2. .

Tentukan 2 ∫ 9 − 4 x dx

Jawab :

Misalkan sin t =

2 3 Sehingga : ∫ 9 − 4 x dx = ∫ 3 cos t . cos tdt

= ∫ cos tdt

4 ∫ (1 + cos 2t) dt

(t + sin 2t) + c

9 = (t + sint. cos t) + c

= (arc sin

. )+c

= 2 arc sin + 9− 4 x +c

Contoh 3. dx

Tentukanlah ∫

Misalkan tan t =

Sehingga ∫

= ∫ sin t cos t dt

= ∫ sin d (sin t )

1 − 1 =- sin t+c

+c

4 sin t − 1

+c

+c

Latihan 6

Tentukanlah integral dari soal-soal di bawah ini !

1. 1 − x dx 11.

dx

2. ∫ 25 − x dx 12. ∫

dx

3. ∫ 3 − x dx 13. ∫

5. ∫ 9 − 4 x dx 15. ∫

2 dx

2 3 2 6. 2 ∫ 3 − 4 x dx 16. ∫ x a − x dx

7. ∫ 5 − 3 x dx 17. ∫

dx

3 ( 2 16 − 9 x ) 2

6 dx 18. ∫ 3 − 2 x − x dx

x x 2 dx

dx

dx

4. Integral Parsial

Misalkan u dan v masing-masing fungsi yang diferensiabel dalam x, maka diferensial dari y = u.v adalah :

d(u.v) = u.dv + v.du dan jika kedua ruas diintegralkan, akan diperoleh :

∫ d ( uv ) = ∫ udv + ∫ vdu uv = udv + vdu ∫ ∫

atau :

udv = uv − vdu ∫ ∫

Rumus integral ini disebut rumus integral parsial dimana rumus ini biasa digunakan

apabila vdu mudah dicari dalam upaya mencari penyelesaian dari udv yang secara ∫ ∫

langsung sulit.

Contoh 1.

Tentukan integral-integral :

a. ∫ x 3 +x dx

b. ∫ x sin 3 x dx

Jawab :

a. Misalkan u = x maka du = dx

2 dan dv =

3 + maka v = x

3 +x dx = ( 3 + x ) 2 d ( 3 + x ) = ( 3 + x ) 2 ∫ +c ∫

3 ∫ 3 ( 3 + x ) dx

2 3 Sehingga ∫ x 3 +x dx = x. ( 3 + x ) 2 – 2 2

= 2 x ( 3 + x ) 2 – 4 3 2 15 ( 3 + x ) + c

b. Misal u = x du = dx

dv = sin 3x dx v = ∫ sin 3 xdx = − 1 3 cos 3 x + c Sehingga ∫ x sin 3 x dx = x(– 1 3 cos 3 x ) − ∫ ( − 1 3 cos 3 x ) dx

=– 1 x cos 3 x + 1 sin 3 x + c

Untuk soal-soal tertentu kadang-kadang diperlukan lebih dari sekali memparsialkan. Contoh 2.

Tentukanlah 2 ∫ x cos( 2 x + dx 3 ) Jawab : Misalkan u = x 2 maka du = 2x dx dan dv = cos(2x + 3) dx

Maka v =

∫ 1 cos( 2 x + 3 ) dx = sin( 2 x + 3 ) + c

Sehingga :

2 x 2 cos( 2 x ( ∫ 1 + dx 3 ) =x sin( 2 x + 3 ) – 1 ∫ sin( 2 x + 3 ). 2 xdx

= 1 x 2 sin( 2 x + 3 ) − ∫ x sin( 2 x + 3 ) dx …. (i)

2 Integral ∫ x sin( 2 x + dx 3 ) dapat dicari dengan memparsialkan sekali lagi

∫ x sin( 2 x + dx 3 ) = ∫ x ( − 1 d (cos( 2 x + 3 )) =– 2 1 2 ∫ xd (cos( 2 x + )) 3

=– 1 ( x cos( 2 x + 3 ) − ∫ cos( 2 x + 3 ) dx )

=– 1 x cos( 2 x + 3 ) + 1 sin( 2 x + 3 ) + c ……..(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

∫ 2 x cos( 2 x + dx 3 ) = 1 x 2 sin(2x+3) –(– 1 x cos( 2 x + 3 ) + 1 sin( 2 x + 3 )) + c

= 1 x 2 sin(2x+3) + 1 x cos( 2 x + 3 ) – 1 sin( 2 x + 3 )) + c

Pengembangan :

Khusus untuk pengintegralan parsial berulang bentuk ∫ udv yang turunan ke-k dari u adalah 0 (nol), dan integral ke-k dari v ada, maka integral berulang di atas dapat

ditempuh cara praktis sebagaimana contoh di bawah ini. Contoh 2

Tentukanlah

∫ 2 x cos( 2 x + dx 3 )

Jawab :

2 cos(2x+3) x

1 sin( 2 x + 3 )

2 – 1 cos( 2 x + 3 )

0 1 – sin( 2 x + 3 )

Sehingga :

2 x 2 cos( 2 x + dx 3 ) = 1 x sin( 2 x + 3 ) + 1 x cos( 2 x + 3 ) − ∫ 1 sin( 2 x + 3 ) + c

Contoh 3

Integralkanlah : 4 ∫ x sin( 2 x + dx 3 ) Jawab : x 4 sin(2x+3)

1 – cos( 2 x + 3 )

12x 2 – 1 sin( 2 x + 3 )

24x

1 cos( 2 x + 3 )

24 1 sin( x

0 – 1 cos( 2 x + 3 )

Sehingga :

4 4 3 ∫ 2 x sin( 2 x + dx 3 ) = − 1 x cos( 2 x + 3 ) +x sin(2x+3) + 3 x cos( 2 x + 3 ) –

– 3 x sin( 2 x + 3 ) – 3 cos( 2 x + 3 ) + c

Latihan 7

Dengan menggunakan integral parsial, carilah integral berikut ini :

5 1. 2 ∫ x ( 2 x − 3 ) dx 11. ∫ x sin( 3 x − dx 3 )

2. ∫ x ( 3 x + 4 ) 6 dx 12. ∫ x 2 sin( 3 x + dx 2 )

3. 3 x

∫ 2 ( x − 2 ) 2 dx 13. x 9

− dx x

xdx

14. ∫ x3 cos( 2 x − dx 3 )

x −3

2 xdx

5. 3 ∫ 15. ∫ sin xdx (petunjuk ubah kebentuk

3 x −1

∫ sin 2 x sin xdx )

x 3 dx

16. cos4 xdx

x −4

7. ∫ 3 x cos 3 xdx 17. ∫

xdx

x −1

8. ∫ x sin( 1 x ) dx 18. ∫ x 2 − dx x

9. ∫ ( 3 x + 4 ) cos( 4 x − 3 ) dx 19. ∫ x cos xdx

∫ 5 x cos xdx 20. ∫ x cos( 2 x − dx )

du

5. Pengintegralan

Dari f(x) = ln x →f ′ (x) =

1 dx

maka ∫ = ln | x + | c

du Yang berarti

∫ = ln | u | + c u .

Contoh 1.

2 x 2 2 Tentukanlah x ∫ ( 1 − e ) e dx

Jawab : Misalkan u = 1 – e 2x maka

du = -2e dx → e dx = − du

2x 2x

Sehingga ∫ ( 1 − 2 ) e dx = ∫ u ( − du ) = − u du

Contoh 2.

3 - cos Tentukanlah dx x ∫ sin x e

Jawab misalkan u = 3 – cos x

du = sin x dx

sehingga u sin x e dx = e du ∫ ∫

3-cos x +c =e

Contoh 3.

Integralkanlah ∫

dx

x ( 5 + x) ln

Jawab : Misalkan u = 5 + ln x

dx

du =

∫ x ( 3 + ln x) ∫ u

= ln |u| + c = ln(5 + ln |x|) + c

Contoh 4.

Integralkanlah log (2x ∫ + dx 3)

ln (2x + 3) Jawab : Misalkan u = log (2x + 3) =

(2x + 3)ln 10

1 1 du = dx = d (2x + 3) → u = ( 2 x + 3 ) + c

2 2 Sehingga :

log (2x + 2)dx = ( 2 x + 3 ) log( 2 x + 3 ) −

2 ∫ 2 (2x + 3)ln 10

1 1 2 dx

2 ln 10 ∫

( 2 x = + 3 ) log (2x + 3) - dx

Integralkanlah dx x ∫ e sin x

Jawab : x ∫ e sin x dx = - ∫ ex d (cos x)

− ⎜ e cos = x -

∫ cos x d (e ) ⎟ . ⎠

− x e cos = x + ∫ e cos x dx

− x e cos = x + ∫ e d(sin x)

− x e cos = x + e sin x - ∫ sin x d(e )

− x e cos = x + e sin x - ∫ e sin x dx

2 x ∫ e sin x = dx = - e cos x + e sin x + c

Jadi ∫ e sin x dx = e (sin x - cos x) + c.

Latihan 9.

Tentukanlah integral dari :

1. ∫ 2 11. ∫ 2 x

3. ∫ e dx 13. ∫ 2 x

( e − 1 ) dx

4. ∫ e dx 14. ∫

sec 5x dx

tg 5x dx x e dx

5. ∫ x 15. ∫

u +1

2 2 x x dx e dx

3 16. ∫ 2 x

7. 2 ∫ tg ( 3 x − dx 4 ) 17. ∫ x − 16 dx

2 2 8. 2 ∫ x ctg ( x + dx 4 ) 18. ∫ x − 36 dx

⎛ Petunjuk mis. ⎞

9. 2 ∫ sec x dx

⎟⎟ 19. ∫ 3 x + 5 dx

⎝ u = sec x + tg x ⎠

10. 2 ∫ cos 3x dx 20. ∫ 3 x − 4 x + 5 dx