Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks
G. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks
1. Dengan Metode Invers Matriks
ax + by = p cx + dy = q dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
= = ,sehingga didapat :
Contoh : Dengan menggunakan Matriks selesaikan system persamaan berikut 4x + 5y = 17 2x + 3y = 11 Jawab : 4x + 5y = 17 2x + 3y = 11
Dapat dinyatakan dalam bentuk :
= maka =
Jadi x = -2 dan y = 5 dan Hp ={-2,5}
2. Menggunakan Metode Determinan
ax + by = p cx + dy = q
ditentukan oleh x = dan y = ,dengan catatan D 0
Contoh : Selesaikan sistem persamaan dua variable berikut menggunakan metode determinan 4x + 3y = 30 x+y =9
dinyatakan dalam bentuk matriks
Selanjutnya, y =
Jadi x = 3 dan y = 6,Hp ={3,6}
3. Menentukan Determinan Matriks Ordo (3 x 3)
Jika Matriks A= ( ) maka detreminan dapat dicari
dengan cara :
a. Perkalian Diagonal
= Diberi tanda = Diberi tanda +
= ((a 11 *a 22 *a
33) + ( a 12 *a 23 *a
31) + ( a 13 *a 21 *a 32)) – (( a 13 *a 22 *a
( a 11 *a 23 *a 32) + ( a 12 *a 21 *a 3)
b. Cara Exspansi Baris Pertama || =a 11 |
a 12 |
+ a 13 |
a 1( a 22 *a 33) - (a 23 *a 32)) a 12 (( a 21 *a 33) - (a 23 *a 31)) + a 13 (( a 21 *a 32) –( a 22 *a 31))
Contoh : Tentukan Determinan Matriks Berikut :
R= | |
Jawab : Cara a(Perkalian Diagonal) :
= ((5 * -1 * -2) + (-2 * 4 *2) + (3 * 1 *3)) – ((3 * -1 * 2) + (5 * 4 * 3) + (-2 * 1 * -2)) = (10 – 16 + 9) – (-6 + 60 + 4) = 3 -58 = -55
Cara b (Ekspansi Baris Pertama) ||=5|
=5 (2 – 12) + 2(-2-8) + 3(3 + 2) = -50 -20 + 15 = -55
4. Sifat – Sifat Determinan
Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai numeriknya. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut :
Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama.
Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur – unsurnya sama.
Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur – unsurnya sebanding.
Nilai determinan adalah nol jika unsure – unsure pada salah satu baris atau kolom semuanya nol
Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling bertukar letak,dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan determinan dari matriks ubahannya A’ ; | | = | |.
||=| | = 54 + 168 + 40 – 105 - 54 – 64 = 39
| |=| | = 54 + 40 + 168 – 105 - 54 – 64 = 39
Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika baris atau dua kolomnya bertukar letak.
||=| | = 54 + 168 + 40 – 105 - 54 – 64 = 39
||=| | = 54 + 105 + 64 – 168 - 54 – 40 = 39
Perhatikan bahwa | | adalah | | setelah baris pertama dan ke- dua bertukar tempat.
Determinan dari suatu matriks Diagonal adalah hasil kali unsur – unsur diagonalnya :
Jika setiap unsur pada satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasil
kalinya dengan bilangan tersebut.
||=| | = 39, jika baris kedua dikalikan 2, maka :
| |=| | = 108 + 336 + 80 – 210 - 108 – 128 = 78 = 2| |
Jika semua unsure merupakan penjumlahan dari dua baris atau lebih,determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.
Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan
(inverse).Jadi jika -1 | | = 0, A merupakan matriks singular dan A tidak ada.
Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non singular dan mempunyai balikan.Jadi
bila -1 | | 0, A merupakan matriks non singular dan A ada.
Pada penguraian determinan(ekspansi laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsure baris atau kolom dikalikan dengan
kofaktor unsure baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsure suatu baris atau kolom dikalikan dengan unsure suatu baris atau kolom itu sendiri.
5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Contoh : Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut : 2x + 2y + 3 z = 4 x-y+z
= -5
x + 2y –z = 11 Penyelesaian : x
= (2 * -1 *-1) + (2 * 1 *1) +(3 * 1 * 3) – (3 * -1 * 1) – (2 * 1 * 3 ) – (2 * 1 * -1) =2+2+9+3 –6+2 = 12
= (2 * 1 * 11) + (3 * -5 * 3) + (4 * -1 * -1) – (4 * 1 * 3) – (2 * -5 * -1) – (3 * -1 * -11) = 22 – 45 + 4 – 12 – 10 + 33 = -8
y= | | =
= - 3,6
z= | = - 0,66 | =