Integral Tak Tentu dari Aturan turunan (Anti Turunan)
A. Integral Tak Tentu dari Aturan turunan (Anti Turunan)
Mengintegralkan suatu fungsi turunan F(x) berarti adalah mencari integral atau turunan –antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari F(x) adalah :
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tentu. Dalam rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x)dx adalah deferensial dari F(x);f(x) sendirian disebut integeran; dx sendirian disebut deferensial ; F(x)merupakan integral particular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x)+k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses meng integeralkan disebut juga integrasi.
Dalam deferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu dungsi asal dilambangkan dengan f(x) maka
Untuk fungsi asal : F(x) = x 2 +5
Fungsi turunannya :
Jika proswsnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka:
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta terebut tidak dengan sendirinya bias diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika di dalam soal bilangan sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidak tentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integeral yang merupkan kebalikan dari deferensial dinamakan integral tak tentu.
1. Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Kaidah 1. Formula Pangkat n 1
x x dx
Contoh :
Kaidah 2. Formula Logaritmis
1 dx ln x k
Contoh :
Kaidah 3. Formula Eksponensial x
e x dx
u f(x)
uu
e du e k
Contoh : ∫ ∫
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
F (x) G(x) k
Contoh : ∫ ∫ ∫
Kaidah 5. Formula Perkalian ∫ ∫ Contoh :
Kaidah 6. Formula Subtitusi
∫ Contoh :
2. Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar
a. Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabary ∫ disebut integral tak tentu dari fungsi aljabar jika
fungsi integran f(x) merupakan fungsi aljabar dengan F’(x)=f(x).
1 n 1 n Jika
F ' ( x ) f ( x ) x sehingga n 1
x maka
x dx x c .Aturan dasar yang berlaku
f ( x ) dx
secara umum pada integral tak tentu dari fungsi-fungsi aljabar dapat dituliskan sebagai berikut :
1) dx x c
2) a dx ax c
3) {( f ( x ) g ( x ) h ( x )} dx f ( x ) g ( x ) dx h ( x ) dx
4) {( f ( x ) g ( x ) h ( x )} dx f ( x ) dx g ( x ) dx h ( x ) dx
5) x dx
x c , dengan n bilangan rasional dan n # -1
x c , dengan n bilangan rasional dan n # -1
6) a dx
b. Menentukan F(x) Jika F(a) diketahui dengan a=konstanta Jika F’(x) dan F(a) diketahui maka nilai c pada fungsi
asal F(x) akan mempunyai nilai tertentu sehingga akan memperoleh sebuah fungsi F(x) Contoh :
Diketahui : F’(x)= 4x + 1 dan F(2) = 6, tentukanlah F(x) Jawab :
F 2 ( x ) F ' ( x ) dx ( 4 x 1 ) dx 2 x x c
8+2+c =6
c = -4 Jadi, F(x) = 2 2 x x 4
3. Integral Tak Tentu Pada Pnerapan Ekonomi
a. Fungsi Biaya
Biaya total : C f (Q )
Biaya Marjinal : MC = C’ = dC f 'Q ( ) dQ
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal :
C MC dQ f ' ( Q ) dQ
b. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R f (Q ) Penerimaan Marjinal : MR = R’ = dR f 'Q ( )
dQ
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal :
R MR dQ f ' ( Q ) dQ
c. Fungsi Utilitas Utiliti total : U MR dQ
Utiliti Marjinal : MU = U’ = dU f 'Q ( ) dQ
Utiliti total tak lain adalah integral dari utilities marjinal :
U MU dQ f ' ( Q ) dQ
d. Fungsi Produksi
Produk total : P f (X ) dimana, P = keluaran
X = masukan Produk Marjinal : MP = P’ = dP f 'X ( )
dX
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal :
P MP dX f ' ( X ) dX
e. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y)
C f ( y ) a bY C f ( y ) a bY
dY Karena Y = C + S, maka;
dS MPS S '
dY Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan
masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity
C MPC dY F ( Y ) k k a
S MPS dY G ( Y ) k k a
Konstanta pada fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masing-masing adalah autonomous consumption dan autonomous saving. Contoh soal