Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
BAB III MATRIKS HERMITIAN
Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos.
Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang
didefinisikan dengan
̅
adalah matriks berukuran dimana entri ke
nya adalah
̅̅̅̅
.
Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks
Konjuget transpos adalah
̅
3.1 Matriks Uniter
Definisi 3.1.1 Anton Rorres, 2005: 818. Suatu matriks persegi
dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika
.
25
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks
uniter jika
. Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter:
Contoh 3.1.2: Diberikan matriks
Maka
Akibatnya kita peroleh bahwa
Sehingga matriks adalah matriks uniter.
Teorema 3.1.3 Anton Rorres, 2005: 819. Jika
adalah matriks berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
a adalah uniter
b vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di
dengan hasilkali dalam Euclidean
26
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
c vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di
dengan hasilkali dalam Euclidean.
Definisi 3.1.4 Anton Rorres, 2005: 820.
adalah matriks kompleks berukuran
. dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks uniter
sedemikian sehingga adalah matriks diagonal;
matriks
dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .
3.2 Matriks Hermitian
Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling
utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian.
Definisi 3.2.1 Anton Rorres, 2005: 821. Suatu matriks persegi
dengan entri- entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin
jika .
Contoh: Matriks
adalah matriks Hermitian, sebab
27
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
Definisi 3.2.2 Anton Rorres, 2005: 821. Matriks persegi
dengan entri-entri
bilangan kompleks disebut normal jika
Setiap matriks Hermitian adalah normal karena
dan setiap matriks uniter
adalah normal karena .
Teorema 3.2.3 Anton Rorres, 2005: 822. Jika
matriks persegi dengan entri-
entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
a secara uniter dapat didiagonalisasi.
b memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen.
c adalah matriks normal.
Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat
didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor eigen dari
dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah orthogonal.
Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah sebagai berikut:
Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks .
Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1 untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
28
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis
yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi .
Contoh 3.2.4:
Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan
bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah
kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah
dan diperoleh nilai-nilai eigen , dan . Kemudian akan dicari vektor
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan .
Perhatikan bahwa untuk ,
Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh
Misalkan , maka diperoleh
29
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah
jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
√ √
Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen dan diperoleh basis
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
√ √
Kemudian bentuk matriks , diperoleh
30
Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
| perpustakaan.upi.edu
√ √
√ √
Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi
matriks .
3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian