Matriks Uniter Matriks Hermitian

Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB III MATRIKS HERMITIAN

Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos. Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang didefinisikan dengan ̅ adalah matriks berukuran dimana entri ke nya adalah ̅̅̅̅ . Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks Konjuget transpos adalah ̅

3.1 Matriks Uniter

Definisi 3.1.1 Anton Rorres, 2005: 818. Suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika . 25 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks uniter jika . Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter: Contoh 3.1.2: Diberikan matriks Maka Akibatnya kita peroleh bahwa Sehingga matriks adalah matriks uniter. Teorema 3.1.3 Anton Rorres, 2005: 819. Jika adalah matriks berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen a adalah uniter b vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean 26 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu c vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean. Definisi 3.1.4 Anton Rorres, 2005: 820. adalah matriks kompleks berukuran . dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks uniter sedemikian sehingga adalah matriks diagonal; matriks dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .

3.2 Matriks Hermitian

Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian. Definisi 3.2.1 Anton Rorres, 2005: 821. Suatu matriks persegi dengan entri- entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin jika . Contoh: Matriks adalah matriks Hermitian, sebab 27 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Definisi 3.2.2 Anton Rorres, 2005: 821. Matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut normal jika Setiap matriks Hermitian adalah normal karena dan setiap matriks uniter adalah normal karena . Teorema 3.2.3 Anton Rorres, 2005: 822. Jika matriks persegi dengan entri- entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen a secara uniter dapat didiagonalisasi. b memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen. c adalah matriks normal. Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor eigen dari dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah orthogonal. Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah sebagai berikut: Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks . Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1 untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. 28 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi . Contoh 3.2.4: Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah dan diperoleh nilai-nilai eigen , dan . Kemudian akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan . Perhatikan bahwa untuk , Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh Misalkan , maka diperoleh 29 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh ‖ ‖ √ √ Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen dan diperoleh basis Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh ‖ ‖ √ √ Kemudian bentuk matriks , diperoleh 30 Irmatul Hasanah, 2013 Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu √ √ √ √ Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi matriks .

3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian