5. Perhatikan kembali “Masalah 1”. Jika tinggi setiap gelas t cm dan banyak gelas g, nyatakan sebuah fungsi yang menyatakn hubungan antara tinggi tumpukan dan banyak gelas yang
ditumpuk.
3. Fungsi Linear dan Garis Lurus
a. Grafik Fungsi Linear Persamaan fungsi linear f: x
→ fx = mx + n, m ≠ 0 adalah y = mx + n. Grafik fungsi linear adalah garis lurus.
Bukti: Misalkan Tx
1
, y
1
pada grafik, maka y
1
= mx
1
+ n
1
1 Tx
2
, y
2
pada grafik, maka y
2
= mx
2
+ n
2
2 Tx
3
, y
3
pada grafik, maka y
1
= mx
3
+ n
3
3 Dari 2 – 1 diperoleh: y
2
– y
1
= mx
2
– x
1
atau m =
1 2
1 2
x x
y y
− −
Dari 3 – 2 diperoleh: y
3
– y
2
= mx
3
– x
2
atau m =
2 3
2 3
x x
y y
− −
Berarti tan ∠T
2
T
1
A = ∠T
3
T
2
B. Akibatnya, T
1
, T
2
, dan T
3
segaris lurus. Hal serupa dapat ditunjukkan untuk setiap tiga titik T
n
yang terletak pada grafik, sehingga grafiknya adalah garis lurus.
A
O X Y
T
3
x
3
, y
3
y
B
3
–y
2
x
3
–x
2
T
2
x
2
, y
2
x
2
–x
1
y
T
2
x
1
, y
1 2
–y
1
Dalam persamaan y = mx + n, nilai tertentu untuk garis tersebut dinamakan gradien garis tersebut. Dari jabaran di atas tampak bahwa gradien tersebut merupakan nilai
perbandingan antara selisih komponen y dan selisih komponen x dari dua sebarang dua titik pada garis tersebut. Nilai perbandingan itu dalam trigonometri dikenal sebagai
tangens sudut yang dibentuk oleh garis tersebut ke arah belakang terhadap sumbu-X arah positif, dengan arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam. Nilai tersebut positif
untuk sudut lancip, negatif untuk sudut tumpul dan tak terdefinisi jika sudutnya 90
o
.
b. Persamaan Garis Lurus Telah dikemukakan di atas bahwa grafik fungsi konstan y = fx dengan fx = c adalah
garis lurus yang sejajar sumbu X untuk c ≠ 0 dan berimpit dengan sumbu X jika c = 0.
Dapat dibuktikan bahwa untuk setiap garis yang tidak sejajar atau berimpit dengan sumbu Y persamaannya adalah y = mx + n.
1 Persamaan umum sebuah garis lurus yang tidak sejajar atau berimpit dengan sumbu
Y adalah y = mx + n. i
m adalah gradien garis yang menunjukkan kecondongan garis. Garisnya condong ke kanan jika dan hanya jika m 0 dan condong ke kiri jika dan hanya jika m 0.
2 Jika garis y = mx + n melalui titik x
1
, y
1
, maka dipenuhi y
1
= mx
1
+ n
diperoleh: y – y
1
= mx – x
1
ii. persamaan garis melalui x
1
, y
1
dengan gradien m. 3 Jika garis ii juga melalui titik x
2
, y
2
maka y
2
– y
1
= mx
2
– x
1
⇔ m =
1 2
1 2
x x
y y
− −
. Jika nilai m tersebut disubstitusikan ke persamaan ii maka diperoleh:
y – y
1
=
1 2
1 2
x x
y y
− −
x – x
1
⇔
1 x
2 x
1 x
x 1
y 2
y 1
y y
− −
= −
−
yang merupakan persamaan garis
melalui dua titik x
2
, y
2
dan x
1
, y
1
.
4 Persamaan garis juga dapat dinyatakan dalam bentuk implisit: Ax + By + C = 0 yang
ekuivalen dengan y = –
B A
x +
A C
dengan gradien m = –
B A
. c. Hubungan dua garis
Alkris: Aljabar SLTP-01 20
Dengan mengacu pada yang telah dibahas dalam Sistem persamaan Linear dengan Dua Variabel di peroleh hubungan sebagai berikut:
untuk setiap pasang garis g
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 g
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0, maka: 1
2 1
2 1
B B
A A
≠ ⇔ g
1
dan g
2
berpotongan pada sebuah titik. 2
2 1
2 1
2 1
C C
B B
A A
≠ =
⇒ g
1
g
2
⇔ tidak ada titik persekutuan 3
2 1
2 1
2 1
C C
B B
A A
= =
⇒ g
1
= g
2
atau keduanya berimpit ⇔ ada tak berhingga titik
persekutuan
2 1
2 1
B B
A A
= ⇔
2 2
1 1
B A
B A
= ⇔
2 2
1 1
B A
B A
− =
− ⇔ m
1
= m
2
Dari hubungan tersebut diperoleh: i. m
1
= m
2
⇒ g
1
g
2
atau g
1
= g
2
. atau:
g
1
g
2
⇒ m
1
= m
2
dan g
1
= g
2
⇒ m
1
= m
2
ii. Misalkan g
1
dan g
2
adalah dua garis yang masing-masing tidak sejajar sumbu koordinat dan keduanya saling tegak lurus.
g
1
: y = m
1
x + n
1
memotong sumbu X di C–
1 1
m n
,0 dan g
2
memotong sumbu X di titik D–
2 2
m n
,0. Misalkan kedua garis berpotongan di Tx
1
, y
1
, maka diperoleh y
1
= m
1
x
1
+ n
1
dan y
1
= m
1
x
1
+n
1
.
B Y
α
1
C g
2
O A
90
o
– α
1
α
2
D X
g
1
Tx
1
,y
1
∆TAC dan ∆DAT sebangun, sehingga AC : TA = TA : AD. Diperoleh: x
1
– –
1 1
m n
: y
1
= y
1
: –
2 2
m n
– x
1
⇔ y
1 2
= –
2 1
2 1
2 1
1 1
m m
n x
m n
x m
+ +
= –
2 1
1 1
m y
× m
y
Berarti: m
1
m
2
= – 1
Jadi untuk setiap g
1
dan g
2
tidak sejajar atau berimpit sumbu koordinat: g
1
⊥ g
2
⇔ m
1
m
2
= –1 TUGAS 6
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis 2x – y = 3 dan 5x + 2y = 3 dan melalui titik 4, 1
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis 2x + y = 3 dan 5x – 2y = 4 dan 1 sejajar garis 3x + 5y = 1, 2 tegaklurus garis 3x – 5y = 2
3. Diketahui: g
1
: 2x + y – 4 = 0 dan g
2
: 5x – 2y – 5 = 0. a. Tulis persamaan g
1
+ pg
2
= 0. Berapa gradien garis tersebut? Apa syaratnya? b. Tuliskan garis yang melalui titik potong g
1
dan g
2
dan sejajar dengan garis 7x – y + 5 = 0 4. Buktikanlah bahwa persamaan garis melalui Aa, 0 dan B0, b adalah
1
b y
a x
= +
Alkris: Aljabar SLTP-01 21
4. FUNGSI KUADRAT Pengalaman BelajarMasalah
