Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG
PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN
METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Gelombang Permukaan dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia
NIM G54090069
ABSTRAK
ANGGRAENI PUTRISIA. Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan dengan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan
ALI KUSNANTO.
Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika
mengamati permukaan air laut. Secara umum, gerak gelombang permukaan dalam
tiga dimensi dijelaskan secara matematis dalam bentuk persamaan KadomtsevPetviashvili (KP). Persamaan Kadomtsev-Petviashvili diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, penyelesaian persamaan KP
dimisalkan dalam bentuk deret pangkat, dengan suku pertama berupa
penyelesaian pendekatan awal. Dikaji penyelesaian persamaan KP dengan dua
jenis pendekatan awal, yaitu berupa penyelesaian gelombang soliter dan
penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional. Penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak yang diperoleh Drazin dan
Johnson (1989).
Kata kunci: persamaan Kadomtsev-Petviashvili, metode perturbasi homotopi,
gelombang soliter
ABSTRACT
ANGGRAENI PUTRISIA. Surface Wave Solution Using the Homotopy
Perturbation Method. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Surface wave is a phenomenon that is encountered at the sea surface.
Generally, the motion of surface waves in three dimensions could be described
mathematically in the form of Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation.
Kadomtsev-Petviashvili equation is solved using the homotopy perturbation
method. In this method, the solution of the KP equation is assumed in the form of
power series with the first term of the solution as the initial approach. The
solution to the KP equation is studied using two initial approaches. Those are
solitary wave solution and solutions in the form of rational functions. The solution
of homotopy perturbation method is closed to the exact solution given by Drazin
and Johnson (1989).
Keywords: Kadomtsev-Petviashvili equation, homotopy perturbation method,
solitary wave
PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG
PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN
METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul
Skripsi
Nama
NIM
:
Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
: Anggraeni Putrisia
: G54090069
dengan
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Bapak Muhammad Yusuf dan ibu Siti Masfufah, beserta kakak Nina
Kirana beserta suami, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan,
semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih
sayangnya.
2 Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi masing-masing sebagai
dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3 Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4 Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya,
teman-teman Matematika 46 atas kebersamaan, bantuan, dukungan dan
motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penilitian-penilitian selanjutnya.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Kadomtsev-Petviashvilli
2
Penyelesaian Gelombang Soliter
5
Metode Perturbasi Homotopi
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Analisis Metode
9
Aplikasi Metode
10
Kasus Pertama
11
Kasus Kedua
15
SIMPULAN
17
Simpulan
17
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH
dan penyelesaian eksaknya untuk
2 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH
dan penyelesaian eksaknya untuk
dan
3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan MPH dan
penyelesaian eksaknya untuk
dan
12
14
16
DAFTAR GAMBAR
1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan
penyelesaian eksak
2 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y
tetap
3 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y
berubah
4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian eksak
pada kasus kedua
5 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 0.1
6 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 1
12
13
14
16
17
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan persamaan (34)-(37)
Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap)
Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah)
Penyelesaian kasus kedua
19
20
21
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika
mengamati permukaan air laut. Gelombang tersebut terjadi karena perbedaan
rapat massa air dan udara. Salah satu gelombang permukaan yang akan dikaji
dalam karya ilmiah ini adalah gelombang soliter. Gelombang soliter adalah
gelombang yang hanya memiliki satu puncak dan bergerak tanpa mengalami
perubahan bentuk dan kecepatan. Partikel-partikel air pada gelombang soliter
bergerak hanya dalam arah penjalaran gelombang sehingga tidak ada aliran balik.
Pengamatan gelombang soliter pertama kali terdokumentasi oleh ilmuwan
Skotlandia pada tahun 1834, John Scott-Russel. Ia mengamati gerak sebuah
perahu dari kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti, timbullah gelombang air
dengan sebuah puncak yang bergerak menjauh dari perahu. Pergerakan
gelombang air tersebut kemudian diamati dan ditelusuri olehnya hingga sekitar 2
mil. Bentuk dan kecepatan gelombang air itu nyaris tidak berubah hingga
akhirnya menghilang dari pandangan karena masuk ke dalam terowongan air
(Newel 1985).
Sebagai suatu fenomena alam, gelombang soliter dapat dijelaskan secara
matematis. Salah satu ilmuan yang memformulasikan fenomena ini adalah
Korteweg dan de Vries dan menemukan persamaan Korteweg-de Vries (KdV).
Persamaan ini menjelaskan tentang fenomena gelombang soliter dimensi dua.
Persamaan ini yang menjadi awal motivasi dari studi mengenai gelombang soliter.
Secara matematis, penurunan persamaan KdV didasarkan pada persamaan dasar
fluida. Penurunan persamaan dasar fluida didasarkan pada hukum kekekalan
massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam karya ilmiah ini, fluida yang
ditinjau tak mampat (incompressible) dengan rapat massa konstan dan gerak
partikel fluida yang tak berotasi (irrotasional), serta tidak adanya efek kekentalan
(inviscid). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa fluida yang
ditinjau adalah fluida ideal yang tak berotasi.
Pada tahun 1970, Kadomtsev dan Petviashvili memperumum persamaan
KdV untuk dimensi tiga yang dikenal dengan persamaan Kadomtsev-Petviashvili
(KP) (Mirgolbabaei, Ganji, Taherian 2009). Sejumlah penelitian telah banyak
dilakukan menggunakan persamaan KP dengan berbagai pendekatan. Salah satu
yang menarik dari persamaan ini adalah memiliki penyelesaian eksplisit yang
berupa penyelesaian secan hiperbolik dan penyelesaian rasional. Persamaan KP
ini telah banyak menarik minat para ilmuan dalam beberapa tahun terakhir.
Metode dasar telah digunakan oleh Grubaum (1989) untuk memperoleh
penyelesaian dari persamaan KP dengan berbagai asumsi. Metode yang sama juga
digunakan oleh Latham (1990) untuk mendapatkan penyelesaian eksplisit dari
persamaan KP berdasarkan operator turunan. Bratsos dan Twizell (1998)
menggunakan metode beda hingga untuk mendapatkan penyelesaian numerik dari
persamaan KP dan menjelaskan fenomena soliton. Dalam karya ilmiah ini,
persamaan KP akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi.
2
Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode yang banyak
digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah taklinear. Metode ini
memberikan pendekatan dari penyelesaian dengan tingkat akurasi yang tinggi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan KP dengan
menggunakan metode peturbasi homotopi dengan pendekatan awal berupa
penyelesaian gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional.
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan
penyelesaian eksak yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989).
Tujuan Karya Ilmiah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
a Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan KP
dan membandingkan penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksak
yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989).
b Menganalisis penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian
dalam bentuk fungsi rasional.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah. Teori-teori tersebut meliputi penurunan persamaan KP (KadomtsevPetviashvili) dan penyelesaian eksaknya yang disarikan dari (Pangaribuan 2008)
dan (Drazin dan Johnson 1989), konsep dasar metode perturbasi homotopi (He
2000), serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi.
Persamaan Kadomtsev-Petviashvili
Pada bagian ini akan diuraikan secara singkat penurunan persamaan KP
berdasarkan sistem Hamiltonian. Bukti penurunan didasarkan pada (Pangaribuan
- dan di atas oleh
2008). Domain fluida dibatasi oleh batas bawah di
simpangan
Energi total yang dimiliki gelombang terdiri dari energi potensial yang
dihasilkan dari ketinggian permukaan air dan energi kinetik yang dihasilkan dari
pergerakan partikel fluida. Misalkan Hamiltonian H adalah energi total pada
fluida yang didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik K dan energi
potensial P, yaitu
,
dengan K dan P masing-masing adalah
∭ |
|
3
∭
Fungsi
∬
adalah penyelesaian masalah nilai batas berikut :
pada
dengan
|
Sistem Hamilton untuk fluida tersebut dapat dinyatakan oleh
dengan
dan
masing-masing turunan variasi H terhadap
dan
(Pudjaprasetya 1996). Jika
dan persamaan (1) diturunkan terhadap x,
maka diperoleh
)(
(
)
Untuk mendapatkan hampiran yang memenuhi sistem Hamilton pada
persamaan (2), maka diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau mempunyai
panjang gelombang yang cukup panjang dan amplitudo yang cukup kecil. Oleh
karena itu diperkenalkan suatu parameter kecil ɛ yang memenuhi
̂
̂ √
√
sehingga diperoleh hampiran berikut :
̂
-
-
̂
√
̂
√
-
(3)
dengan F(X,Y,T) merupakan nilai pada orde terendah dan tanda topi telah
dihilangkan. Karena
dengan
pada persamaan (3), maka diperoleh
persamaan
̂
∬
(
)
Sehingga berdasarkan sistem Hamilton (2), maka diperoleh sistem Hamilton
berikut :
̂
(
)
̂
dengan ̂ memenuhi persamaan (4). Persamaan (5) merupakan sistem Hamilton
untuk gelombang yang bergerak dalam dua arah. Jika digunakan persamaan (4),
maka persamaan (5) dapat dinyatakan dalam bentuk
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Boussinesq yang menggambarkan
gelombang yang merambat ke dua arah.
4
Misalkan didefinisikan variabel r dan s sebagai berikut :
(
dengan
)
dimana r dan s masing-masing menyatakan bentuk gelombang yang merambat ke
arah kanan dan ke kiri, dan merupakan kecepatan gelombang linear. Persamaan
(5) dapat dinyatakan sebagai sistem Hamilton dalam peubah r dan s berikut :
(
)
)(
Diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau hanya merambat dalam satu
, maka
. Sehingga sistem Hamilton
arah, misalnya ke arah kanan saja
pada persamaan (6) memberikan persamaan untuk yang merupakan sistem
Hamilton untuk gelombang yang bergerak dalam satu arah sebagai berikut :
-
(7)
dengan
∬
dan
Berdasarkan
, persamaan (7) menjadi
(
)
)
(
Persamaan (8) merupakan persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) yang
dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan melakukan
transformasi. Untuk itu, misalkan
⁄
̂
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
sehingga persamaan (8) menjadi
(
̂
⁄
Kemudian misalkan
⁄
⁄
⁄
⁄
̂
⁄
̂
̂̂̂ )
dan ̅
⁄
̂
-
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
lalu disubstitusikan ke dalam persamaan (9) dan dibagi dengan
dihilangkan semua tanda garis pada Y, maka diperoleh
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
dan
5
atau
Persamaan tersebut merupakan bentuk baku dari persamaan KadomtsevPetviashvili (KP) yang akan diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Penyelesaian Gelombang Soliter
Berikut ini persamaan Kadomtsev-Petviashvili akan diselesaikan secara
analitik dengan penyelesaian dimisalkan dalam bentuk gelombang soliter, yaitu
gelombang berjalan yang dimisalkan dalam bentuk :
dengan
dengan
masing-masing merupakan kecepatan phase gelombang,
panjang gelombang dalam arah X, dan panjang gelombang dalam arah Y. Jika u
pada persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan (10), kemudian
diintegralkan dua kali terhadap , maka diperoleh
)
(
dengan K adalah konstanta integrasi. Karena yang akan ditinjau adalah gelombang
soliter, maka bentuk
dan semua turunannya di
sama dengan nol
mengakibatkan K = 0 sehingga persamaan (12) menjadi
Jika persamaan (13) dikalikan dengan
diperoleh
kemudian integralkan terhadap
maka
atau
√(
)
Jika kedua ruas pada persamaan di atas diintegralkan, maka diperoleh
atau
√
√
√
Jika pada persamaan (11) disubstitusikan ke persamaan (14), maka diperoleh
penyelesaian soliter bagi persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) sebagai
berikut :
6
√
atau
(
dengan
)
-
(15)
Dari persamaan (16), diperoleh
Berdasarkan persamaan (15) diperoleh bahwa gelombang soliter bergantung pada
parameter amplitudo a, kecepatan phase gelombang , panjang gelombang k
dalam arah X, dan panjang gelombang l dalam arah Y.
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi
berdasarkan pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai
berikut:
(17)
fungsi yang akan ditentukan
dengan suatu operator turunan taklinear dan
yang bergantung pada . Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua
bagian, yaitu
dan
yang masing-masing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi persamaan diferensial (17) dapat ditulis:
pendekatan awal dari penyelesaian dan
Misalkan
parameter. Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
( - ) [ -
Berdasarkan persamaan (18), maka untuk
H
dan untuk p = 1 memberikan persamaan
]
(18)
memberikan persamaan
-
Berdasarkan persamaan (17), maka penyelesaian persamaan H
masing-masing diperoleh
v
dan
v
Deret Taylor dari fungsi
terhadap di sekitar
adalah
∑
suatu
|
dan
7
Misal dinotasikan
, maka
Karena
Jadi untuk
|
∑
dari persamaan (19), diperoleh
Karena
, maka diperoleh
∑
∑
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (17)
dan
diperoleh dengan
dengan pendekatan awal
menggunakan metode perturbasi.
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
yang dinyatakan pada
persamaan (19) merupakan penyelesaian dari persamaan
atau
( - )[
-
]
(20)
Jika persamaan (19) disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh
dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan dari .
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi yang telah dibahas,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh persamaan
berikut :
dengan syarat awal
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (21) adalah
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (21)
dan (22) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Didefinisikan
operator sebagai berikut:
dan
8
Berdasarkan persamaan (20), maka diperoleh persamaan berikut :
Diasumsikan penyelesaian dari
berikut:
persamaan (23) dinyatakan dalam persamaan
Jika persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan (23), kemudian
dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan maka koefisien
,
masing-masing memberikan persamaan
(25)
Misalkan
sebagai berikut :
, maka diperoleh penyelesaian persamaan (25)
Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (21) dan (22) dengan metode
perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut :
Penyelesaian pada persamaan (26) dapat ditulis
( )
( )
( )
Deret di ruas kanan merupakan deret geometri terhadap t, sehingga deret (26)
konvergen ke fungsi
yang merupakan penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (21) dan (22).
Hasil ini menunjukkan bahwa penyelesaian dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (21) dan (22) mendekati penyelesaian
eksaknya dengan sangat baik. Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi
homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial
dengan syarat awal yang diberikan.
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi
homotopi untuk menyelesaikan persamaan Kadomtsev-Petviashvili dengan syarat
awal berupa gelombang soliter dan gelombang dengan penyelesaian berupa fungsi
rasional. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan
dibandingkan dengan penyelesaian eksak untuk gelombang soliter pada
persamaan (15) dan fungsi rasional pada (Drazin dan Johnson 1989).
Analisis Metode
Berikut ini dibahas perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi
seperti yang diuraikan pada tinjauan pustaka. Misalkan diberikan persamaan
diferensial
A
(27)
pendekatan awal dari penyelesaian dan didefinisikan suatu
Misalkan
fungsi H sebagai berikut :
( - ) [
H
-
Berdasarkan persamaan (28), maka untuk
memberikan persamaan berikut :
[
H
dan
dan
]
-
Deret Taylor dari fungsi
di sekitar
∑
Misalkan dinotasikan
Karena
Jadi untuk
adalah
, maka
, dari persamaan (29) diperoleh
∑
∑
(28)
masing-masing
H
Berdasarkan persamaan (27), maka penyelesaian dari persamaan H
dan H
masing-masing adalah
dan
]
10
Karena
, maka diperoleh
∑
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari
dan
persamaan (27) dengan pendekatan awal
yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode
perturbasi homotopi, fungsi
yang diberikan pada persamaan (29)
merupakan penyelesaian dari persamaan
)
H(
atau
(30)
Aplikasi Metode
Pada bagian ini metode perturbasi homotopi yang telah dijelaskan pada
bagian sebelumnya akan diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan
Kadomtsev-Petviashvili (10) yang dituliskan sebagai berikut :
Didefinisikan operator:
( )
dan
( )
Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31) diperoleh :
( )
merupakan pendekatan awal dari
dengan
suatu parameter dan
penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (32) dinyatakan dalam deret
pangkat berikut:
(33)
Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32),
maka koefisien memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan
(
)
11
Koefisien
memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan
(
)
Penurunan persamaan (34)-(37) dapat dilihat pada lampiran 1.
Penyelesaian persamaan (34)-(37) bergantung pada
yaitu pendekatan
awal dari penyelesaian. Dalam karya ilmiah ini, dibahas dua bentuk
yaitu
penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk
fungsi rasional.
Kasus pertama : Penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter
Dalam kasus ini akan ditinjau situasi dimana variabel y tetap dan variabel y
berubah.
Variabel y tetap
Misalkan diasumsikan bentuk gelombang pada arah sumbu y adalah sama
sehingga dipilih pendekatan awal berupa gelombang soliter pada t = 0 berikut
Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian ,i = 0,1,2,3,4 sebagai
berikut:
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan
(38) hingga orde keempat sebagai berikut :
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 2.
12
Tabel 1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan
MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x = 20
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
|
exact
0
6.21983 ×
3.91580 ×
1.90518×
8.44504 ×
3.58142 ×
1.48453 ×
6.08205 ×
2.47762 ×
1.00665 ×
4.08533 ×
MPH |
5
5
Tabel 1 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dengan
pendekatan awal pada persamaan (38) menggunakan metode perturbasi homotopi
(MPH) dan penyelesaian eksak yang dibentuk pada persamaan (15) untuk x=20
pada selang waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa galat yang
ditimbulkan sangat kecil dengan rata-rata galat
.
Gambar 1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan
penyelesaian eksak
Gambar 1 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk t = 0.01. Berdasarkan Gambar
1 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik.
15
Kasus kedua: Penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional
Penyelesaian eksak persamaan KP dalam bentuk fungsi rasional adalah
dengan
(Drazin dan Johnson 1989).
Misalkan dipilih a =1 sehingga pendekatan awal dipilih berbentuk :
Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian , i = 0,1,2,3 sebagai
berikut :
],
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal
pada persamaan (41) hingga orde ketiga sebagai berikut :
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 4.
16
Tabel 3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan
MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x=100 dan y=100
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
|
exact
0
1.16413×
2.32833×
3.49266×
4.65719×
5.82197×
6.98708×
8.15258×
9.31853×
1.04850×
1.16520×
MPH |
5
5
Tabel 3 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dalam
bentuk fungsi rasional dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan
penyelesaian eksak pada persamaan (40) untuk x=100 dan y=100 pada selang
waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh bahwa galat yang ditimbulkan cukup
kecil dengan rata-rata galat
. Pada Tabel 3 terlihat bahwa pada kasus ini
metode perturbasi homotopi baik digunakan untuk selang waktu t yang sangat
kecil.
Gambar 4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian
eksak pada kasus kedua
Gambar 4 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk y =0,5 dan t =0,1. Berdasarkan
Gambar 4 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik untuk x yang cukup besar.
18
waktu [0,1]. Kemudian kekonvergenan metode perturbasi homotopi pada kasus
pertama (pendekatan awal berupa fungsi secan hiperbolik) cepat tercapai. Hal ini
disebabkan karena pendekatan awal yang diberikan berupa gelombang soliter.
Berdasarkan metode ini pula diperoleh bahwa untuk pendekatan awal berupa
gelombang soliter, gelombang yang dihasilkan bergerak tanpa mengalami
perubahan bentuk dan kecepatan sesuai dengan sifat gelombang soliter. Untuk
pendekatan awal berupa fungsi rasional, diperoleh bahwa gelombang yang
dihasilkan bukan berupa gelombang soliter.
DAFTAR PUSTAKA
Bratsos A, Twizell. 1998. An explicit finite difference scheme for the solution of
Kadomtsev-Petviashvili. International Journal of Computer Mathematics.
68:175-187. doi: 10.1080/00207169808804685.
Drazin PG, Johnson RS. 1989. Solitons : an Introduction. Cambridge Texts in
Applied Mathematics. New York (US): Cambridge University Press.
Grubaum F. 1989. The Kadomtsev-Petviashvili equation : an alternative approach
“rank tw ” solutions of Krichever and Novikof. Physics Letters A.
139:146-150. doi: 10.1016/0375-9601(89)90349-6.
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear
Mechanic. 1:37-43.
Latham G. 1990. Solutions of the KP equation associated to rank-three
commuting differential operators over a singular elliptic curve. Journal
Physica D. 41:55-66. doi: 10.1016/0167-2789(90)90027-M.
Mirgolbabaei H, Ganji DD, Taherian H. 2009. Soliton solution of the KadomtsevPetviashvili equation by homotopy perturbation method. World Journal of
Modelling and Simulation. 1: 38-44.
Newell AC. 1985. Solitons in Mathematics and Physics. Society for Industrial and
Applied Mathematics. Philadelphia (US): University of Arizona.
Pangaribuan RU. 2008. Formulasi hamiltonian untuk menggambarkan gerak
gelombang soliter dimensi tiga di permukaan laut [skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor.
Pudjaprasetya SR. 1996. Evolution of waves above slightly varying bottom: a
variational approach [disertasi]. Bandung (ID): Institut Teknologi
Bandung.
19
Lampiran 1 Penurunan persamaan (34)-(37)
Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31), diperoleh
( )
Misalkan penyelesaian persamaan (32) dinyatakan dalam bentuk berikut :
Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32),
maka diperoleh
(
)
atau
(
(
)
)
(
)
20
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
(
)
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
(
)
Lampiran 2 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap)
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
,
persamaan (34)-(37) dengan pendekatan awal berikut :
,
,
dan
pada
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
sebagai berikut :
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
21
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
digunakan
kemudian
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan syarat awal pada persamaan (38)
hingga orde keempat sebagai berikut :
Lampiran 3 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah)
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian ,
(34)-(37) dengan pendekatan awal berikut :
=
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
,
,
dan
5 pada
persamaan
22
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
(
)
5
digunakan
kemudian
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan
(39) hingga orde kelima sebagai berikut :
23
Lampiran 4 Penyelesaian kasus kedua
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , , dan pada persamaan
(34)-(37) dengan pendekatan awal dalam bentuk fungsi rasional berikut :
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
].
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
24
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal
pada persamaan (40) hingga orde ketiga sebagai berikut :
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 8 Mei 1991 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara, anak dari pasangan Muhammad Yusuf dan Siti Masfufah.
Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Islam
Annuriyah lulus pada tahun 1997, SD Kartini 1 Jakarta Pusat lulus pada tahun
2003, SMP Negeri 10 Jakarta Pusat lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 3 Depok
lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur UTMI di Departmen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Pengembangan
Sumber Daya Manusia (PSDM) pada tahun 2011, dan sebagai staf divisi Math
Event pada tahun 2012. Selain itu penulis pernah menjadi asisten dosen untuk
mata kuliah Kalkulus III pada semester ganjil tahun 2012. Berbagai kegiatan
kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswi matematika seperti Masa
Perkenalan Departemen (MPD) sebagai Komisi Disiplin, Matematika Ria 2011
dan Matematika Ria 2012 sebagai staf Divisi Acara.
PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN
METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Gelombang Permukaan dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia
NIM G54090069
ABSTRAK
ANGGRAENI PUTRISIA. Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan dengan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan
ALI KUSNANTO.
Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika
mengamati permukaan air laut. Secara umum, gerak gelombang permukaan dalam
tiga dimensi dijelaskan secara matematis dalam bentuk persamaan KadomtsevPetviashvili (KP). Persamaan Kadomtsev-Petviashvili diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, penyelesaian persamaan KP
dimisalkan dalam bentuk deret pangkat, dengan suku pertama berupa
penyelesaian pendekatan awal. Dikaji penyelesaian persamaan KP dengan dua
jenis pendekatan awal, yaitu berupa penyelesaian gelombang soliter dan
penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional. Penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak yang diperoleh Drazin dan
Johnson (1989).
Kata kunci: persamaan Kadomtsev-Petviashvili, metode perturbasi homotopi,
gelombang soliter
ABSTRACT
ANGGRAENI PUTRISIA. Surface Wave Solution Using the Homotopy
Perturbation Method. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Surface wave is a phenomenon that is encountered at the sea surface.
Generally, the motion of surface waves in three dimensions could be described
mathematically in the form of Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation.
Kadomtsev-Petviashvili equation is solved using the homotopy perturbation
method. In this method, the solution of the KP equation is assumed in the form of
power series with the first term of the solution as the initial approach. The
solution to the KP equation is studied using two initial approaches. Those are
solitary wave solution and solutions in the form of rational functions. The solution
of homotopy perturbation method is closed to the exact solution given by Drazin
and Johnson (1989).
Keywords: Kadomtsev-Petviashvili equation, homotopy perturbation method,
solitary wave
PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG
PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN
METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul
Skripsi
Nama
NIM
:
Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
: Anggraeni Putrisia
: G54090069
dengan
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Bapak Muhammad Yusuf dan ibu Siti Masfufah, beserta kakak Nina
Kirana beserta suami, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan,
semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih
sayangnya.
2 Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi masing-masing sebagai
dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3 Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4 Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya,
teman-teman Matematika 46 atas kebersamaan, bantuan, dukungan dan
motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penilitian-penilitian selanjutnya.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Kadomtsev-Petviashvilli
2
Penyelesaian Gelombang Soliter
5
Metode Perturbasi Homotopi
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Analisis Metode
9
Aplikasi Metode
10
Kasus Pertama
11
Kasus Kedua
15
SIMPULAN
17
Simpulan
17
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH
dan penyelesaian eksaknya untuk
2 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH
dan penyelesaian eksaknya untuk
dan
3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan MPH dan
penyelesaian eksaknya untuk
dan
12
14
16
DAFTAR GAMBAR
1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan
penyelesaian eksak
2 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y
tetap
3 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y
berubah
4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian eksak
pada kasus kedua
5 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 0.1
6 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 1
12
13
14
16
17
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan persamaan (34)-(37)
Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap)
Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah)
Penyelesaian kasus kedua
19
20
21
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika
mengamati permukaan air laut. Gelombang tersebut terjadi karena perbedaan
rapat massa air dan udara. Salah satu gelombang permukaan yang akan dikaji
dalam karya ilmiah ini adalah gelombang soliter. Gelombang soliter adalah
gelombang yang hanya memiliki satu puncak dan bergerak tanpa mengalami
perubahan bentuk dan kecepatan. Partikel-partikel air pada gelombang soliter
bergerak hanya dalam arah penjalaran gelombang sehingga tidak ada aliran balik.
Pengamatan gelombang soliter pertama kali terdokumentasi oleh ilmuwan
Skotlandia pada tahun 1834, John Scott-Russel. Ia mengamati gerak sebuah
perahu dari kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti, timbullah gelombang air
dengan sebuah puncak yang bergerak menjauh dari perahu. Pergerakan
gelombang air tersebut kemudian diamati dan ditelusuri olehnya hingga sekitar 2
mil. Bentuk dan kecepatan gelombang air itu nyaris tidak berubah hingga
akhirnya menghilang dari pandangan karena masuk ke dalam terowongan air
(Newel 1985).
Sebagai suatu fenomena alam, gelombang soliter dapat dijelaskan secara
matematis. Salah satu ilmuan yang memformulasikan fenomena ini adalah
Korteweg dan de Vries dan menemukan persamaan Korteweg-de Vries (KdV).
Persamaan ini menjelaskan tentang fenomena gelombang soliter dimensi dua.
Persamaan ini yang menjadi awal motivasi dari studi mengenai gelombang soliter.
Secara matematis, penurunan persamaan KdV didasarkan pada persamaan dasar
fluida. Penurunan persamaan dasar fluida didasarkan pada hukum kekekalan
massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam karya ilmiah ini, fluida yang
ditinjau tak mampat (incompressible) dengan rapat massa konstan dan gerak
partikel fluida yang tak berotasi (irrotasional), serta tidak adanya efek kekentalan
(inviscid). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa fluida yang
ditinjau adalah fluida ideal yang tak berotasi.
Pada tahun 1970, Kadomtsev dan Petviashvili memperumum persamaan
KdV untuk dimensi tiga yang dikenal dengan persamaan Kadomtsev-Petviashvili
(KP) (Mirgolbabaei, Ganji, Taherian 2009). Sejumlah penelitian telah banyak
dilakukan menggunakan persamaan KP dengan berbagai pendekatan. Salah satu
yang menarik dari persamaan ini adalah memiliki penyelesaian eksplisit yang
berupa penyelesaian secan hiperbolik dan penyelesaian rasional. Persamaan KP
ini telah banyak menarik minat para ilmuan dalam beberapa tahun terakhir.
Metode dasar telah digunakan oleh Grubaum (1989) untuk memperoleh
penyelesaian dari persamaan KP dengan berbagai asumsi. Metode yang sama juga
digunakan oleh Latham (1990) untuk mendapatkan penyelesaian eksplisit dari
persamaan KP berdasarkan operator turunan. Bratsos dan Twizell (1998)
menggunakan metode beda hingga untuk mendapatkan penyelesaian numerik dari
persamaan KP dan menjelaskan fenomena soliton. Dalam karya ilmiah ini,
persamaan KP akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi.
2
Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode yang banyak
digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah taklinear. Metode ini
memberikan pendekatan dari penyelesaian dengan tingkat akurasi yang tinggi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan KP dengan
menggunakan metode peturbasi homotopi dengan pendekatan awal berupa
penyelesaian gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional.
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan
penyelesaian eksak yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989).
Tujuan Karya Ilmiah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
a Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan KP
dan membandingkan penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksak
yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989).
b Menganalisis penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian
dalam bentuk fungsi rasional.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah. Teori-teori tersebut meliputi penurunan persamaan KP (KadomtsevPetviashvili) dan penyelesaian eksaknya yang disarikan dari (Pangaribuan 2008)
dan (Drazin dan Johnson 1989), konsep dasar metode perturbasi homotopi (He
2000), serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi.
Persamaan Kadomtsev-Petviashvili
Pada bagian ini akan diuraikan secara singkat penurunan persamaan KP
berdasarkan sistem Hamiltonian. Bukti penurunan didasarkan pada (Pangaribuan
- dan di atas oleh
2008). Domain fluida dibatasi oleh batas bawah di
simpangan
Energi total yang dimiliki gelombang terdiri dari energi potensial yang
dihasilkan dari ketinggian permukaan air dan energi kinetik yang dihasilkan dari
pergerakan partikel fluida. Misalkan Hamiltonian H adalah energi total pada
fluida yang didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik K dan energi
potensial P, yaitu
,
dengan K dan P masing-masing adalah
∭ |
|
3
∭
Fungsi
∬
adalah penyelesaian masalah nilai batas berikut :
pada
dengan
|
Sistem Hamilton untuk fluida tersebut dapat dinyatakan oleh
dengan
dan
masing-masing turunan variasi H terhadap
dan
(Pudjaprasetya 1996). Jika
dan persamaan (1) diturunkan terhadap x,
maka diperoleh
)(
(
)
Untuk mendapatkan hampiran yang memenuhi sistem Hamilton pada
persamaan (2), maka diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau mempunyai
panjang gelombang yang cukup panjang dan amplitudo yang cukup kecil. Oleh
karena itu diperkenalkan suatu parameter kecil ɛ yang memenuhi
̂
̂ √
√
sehingga diperoleh hampiran berikut :
̂
-
-
̂
√
̂
√
-
(3)
dengan F(X,Y,T) merupakan nilai pada orde terendah dan tanda topi telah
dihilangkan. Karena
dengan
pada persamaan (3), maka diperoleh
persamaan
̂
∬
(
)
Sehingga berdasarkan sistem Hamilton (2), maka diperoleh sistem Hamilton
berikut :
̂
(
)
̂
dengan ̂ memenuhi persamaan (4). Persamaan (5) merupakan sistem Hamilton
untuk gelombang yang bergerak dalam dua arah. Jika digunakan persamaan (4),
maka persamaan (5) dapat dinyatakan dalam bentuk
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Boussinesq yang menggambarkan
gelombang yang merambat ke dua arah.
4
Misalkan didefinisikan variabel r dan s sebagai berikut :
(
dengan
)
dimana r dan s masing-masing menyatakan bentuk gelombang yang merambat ke
arah kanan dan ke kiri, dan merupakan kecepatan gelombang linear. Persamaan
(5) dapat dinyatakan sebagai sistem Hamilton dalam peubah r dan s berikut :
(
)
)(
Diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau hanya merambat dalam satu
, maka
. Sehingga sistem Hamilton
arah, misalnya ke arah kanan saja
pada persamaan (6) memberikan persamaan untuk yang merupakan sistem
Hamilton untuk gelombang yang bergerak dalam satu arah sebagai berikut :
-
(7)
dengan
∬
dan
Berdasarkan
, persamaan (7) menjadi
(
)
)
(
Persamaan (8) merupakan persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) yang
dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan melakukan
transformasi. Untuk itu, misalkan
⁄
̂
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
sehingga persamaan (8) menjadi
(
̂
⁄
Kemudian misalkan
⁄
⁄
⁄
⁄
̂
⁄
̂
̂̂̂ )
dan ̅
⁄
̂
-
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
lalu disubstitusikan ke dalam persamaan (9) dan dibagi dengan
dihilangkan semua tanda garis pada Y, maka diperoleh
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
dan
5
atau
Persamaan tersebut merupakan bentuk baku dari persamaan KadomtsevPetviashvili (KP) yang akan diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Penyelesaian Gelombang Soliter
Berikut ini persamaan Kadomtsev-Petviashvili akan diselesaikan secara
analitik dengan penyelesaian dimisalkan dalam bentuk gelombang soliter, yaitu
gelombang berjalan yang dimisalkan dalam bentuk :
dengan
dengan
masing-masing merupakan kecepatan phase gelombang,
panjang gelombang dalam arah X, dan panjang gelombang dalam arah Y. Jika u
pada persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan (10), kemudian
diintegralkan dua kali terhadap , maka diperoleh
)
(
dengan K adalah konstanta integrasi. Karena yang akan ditinjau adalah gelombang
soliter, maka bentuk
dan semua turunannya di
sama dengan nol
mengakibatkan K = 0 sehingga persamaan (12) menjadi
Jika persamaan (13) dikalikan dengan
diperoleh
kemudian integralkan terhadap
maka
atau
√(
)
Jika kedua ruas pada persamaan di atas diintegralkan, maka diperoleh
atau
√
√
√
Jika pada persamaan (11) disubstitusikan ke persamaan (14), maka diperoleh
penyelesaian soliter bagi persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) sebagai
berikut :
6
√
atau
(
dengan
)
-
(15)
Dari persamaan (16), diperoleh
Berdasarkan persamaan (15) diperoleh bahwa gelombang soliter bergantung pada
parameter amplitudo a, kecepatan phase gelombang , panjang gelombang k
dalam arah X, dan panjang gelombang l dalam arah Y.
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi
berdasarkan pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai
berikut:
(17)
fungsi yang akan ditentukan
dengan suatu operator turunan taklinear dan
yang bergantung pada . Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua
bagian, yaitu
dan
yang masing-masing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi persamaan diferensial (17) dapat ditulis:
pendekatan awal dari penyelesaian dan
Misalkan
parameter. Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
( - ) [ -
Berdasarkan persamaan (18), maka untuk
H
dan untuk p = 1 memberikan persamaan
]
(18)
memberikan persamaan
-
Berdasarkan persamaan (17), maka penyelesaian persamaan H
masing-masing diperoleh
v
dan
v
Deret Taylor dari fungsi
terhadap di sekitar
adalah
∑
suatu
|
dan
7
Misal dinotasikan
, maka
Karena
Jadi untuk
|
∑
dari persamaan (19), diperoleh
Karena
, maka diperoleh
∑
∑
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (17)
dan
diperoleh dengan
dengan pendekatan awal
menggunakan metode perturbasi.
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
yang dinyatakan pada
persamaan (19) merupakan penyelesaian dari persamaan
atau
( - )[
-
]
(20)
Jika persamaan (19) disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh
dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan dari .
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi yang telah dibahas,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh persamaan
berikut :
dengan syarat awal
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (21) adalah
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (21)
dan (22) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Didefinisikan
operator sebagai berikut:
dan
8
Berdasarkan persamaan (20), maka diperoleh persamaan berikut :
Diasumsikan penyelesaian dari
berikut:
persamaan (23) dinyatakan dalam persamaan
Jika persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan (23), kemudian
dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan maka koefisien
,
masing-masing memberikan persamaan
(25)
Misalkan
sebagai berikut :
, maka diperoleh penyelesaian persamaan (25)
Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (21) dan (22) dengan metode
perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut :
Penyelesaian pada persamaan (26) dapat ditulis
( )
( )
( )
Deret di ruas kanan merupakan deret geometri terhadap t, sehingga deret (26)
konvergen ke fungsi
yang merupakan penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (21) dan (22).
Hasil ini menunjukkan bahwa penyelesaian dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (21) dan (22) mendekati penyelesaian
eksaknya dengan sangat baik. Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi
homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial
dengan syarat awal yang diberikan.
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi
homotopi untuk menyelesaikan persamaan Kadomtsev-Petviashvili dengan syarat
awal berupa gelombang soliter dan gelombang dengan penyelesaian berupa fungsi
rasional. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan
dibandingkan dengan penyelesaian eksak untuk gelombang soliter pada
persamaan (15) dan fungsi rasional pada (Drazin dan Johnson 1989).
Analisis Metode
Berikut ini dibahas perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi
seperti yang diuraikan pada tinjauan pustaka. Misalkan diberikan persamaan
diferensial
A
(27)
pendekatan awal dari penyelesaian dan didefinisikan suatu
Misalkan
fungsi H sebagai berikut :
( - ) [
H
-
Berdasarkan persamaan (28), maka untuk
memberikan persamaan berikut :
[
H
dan
dan
]
-
Deret Taylor dari fungsi
di sekitar
∑
Misalkan dinotasikan
Karena
Jadi untuk
adalah
, maka
, dari persamaan (29) diperoleh
∑
∑
(28)
masing-masing
H
Berdasarkan persamaan (27), maka penyelesaian dari persamaan H
dan H
masing-masing adalah
dan
]
10
Karena
, maka diperoleh
∑
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari
dan
persamaan (27) dengan pendekatan awal
yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode
perturbasi homotopi, fungsi
yang diberikan pada persamaan (29)
merupakan penyelesaian dari persamaan
)
H(
atau
(30)
Aplikasi Metode
Pada bagian ini metode perturbasi homotopi yang telah dijelaskan pada
bagian sebelumnya akan diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan
Kadomtsev-Petviashvili (10) yang dituliskan sebagai berikut :
Didefinisikan operator:
( )
dan
( )
Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31) diperoleh :
( )
merupakan pendekatan awal dari
dengan
suatu parameter dan
penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (32) dinyatakan dalam deret
pangkat berikut:
(33)
Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32),
maka koefisien memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan
(
)
11
Koefisien
memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan
(
)
Penurunan persamaan (34)-(37) dapat dilihat pada lampiran 1.
Penyelesaian persamaan (34)-(37) bergantung pada
yaitu pendekatan
awal dari penyelesaian. Dalam karya ilmiah ini, dibahas dua bentuk
yaitu
penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk
fungsi rasional.
Kasus pertama : Penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter
Dalam kasus ini akan ditinjau situasi dimana variabel y tetap dan variabel y
berubah.
Variabel y tetap
Misalkan diasumsikan bentuk gelombang pada arah sumbu y adalah sama
sehingga dipilih pendekatan awal berupa gelombang soliter pada t = 0 berikut
Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian ,i = 0,1,2,3,4 sebagai
berikut:
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan
(38) hingga orde keempat sebagai berikut :
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 2.
12
Tabel 1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan
MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x = 20
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
|
exact
0
6.21983 ×
3.91580 ×
1.90518×
8.44504 ×
3.58142 ×
1.48453 ×
6.08205 ×
2.47762 ×
1.00665 ×
4.08533 ×
MPH |
5
5
Tabel 1 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dengan
pendekatan awal pada persamaan (38) menggunakan metode perturbasi homotopi
(MPH) dan penyelesaian eksak yang dibentuk pada persamaan (15) untuk x=20
pada selang waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa galat yang
ditimbulkan sangat kecil dengan rata-rata galat
.
Gambar 1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan
penyelesaian eksak
Gambar 1 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk t = 0.01. Berdasarkan Gambar
1 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik.
15
Kasus kedua: Penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional
Penyelesaian eksak persamaan KP dalam bentuk fungsi rasional adalah
dengan
(Drazin dan Johnson 1989).
Misalkan dipilih a =1 sehingga pendekatan awal dipilih berbentuk :
Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian , i = 0,1,2,3 sebagai
berikut :
],
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal
pada persamaan (41) hingga orde ketiga sebagai berikut :
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 4.
16
Tabel 3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan
MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x=100 dan y=100
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
|
exact
0
1.16413×
2.32833×
3.49266×
4.65719×
5.82197×
6.98708×
8.15258×
9.31853×
1.04850×
1.16520×
MPH |
5
5
Tabel 3 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dalam
bentuk fungsi rasional dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan
penyelesaian eksak pada persamaan (40) untuk x=100 dan y=100 pada selang
waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh bahwa galat yang ditimbulkan cukup
kecil dengan rata-rata galat
. Pada Tabel 3 terlihat bahwa pada kasus ini
metode perturbasi homotopi baik digunakan untuk selang waktu t yang sangat
kecil.
Gambar 4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian
eksak pada kasus kedua
Gambar 4 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk y =0,5 dan t =0,1. Berdasarkan
Gambar 4 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik untuk x yang cukup besar.
18
waktu [0,1]. Kemudian kekonvergenan metode perturbasi homotopi pada kasus
pertama (pendekatan awal berupa fungsi secan hiperbolik) cepat tercapai. Hal ini
disebabkan karena pendekatan awal yang diberikan berupa gelombang soliter.
Berdasarkan metode ini pula diperoleh bahwa untuk pendekatan awal berupa
gelombang soliter, gelombang yang dihasilkan bergerak tanpa mengalami
perubahan bentuk dan kecepatan sesuai dengan sifat gelombang soliter. Untuk
pendekatan awal berupa fungsi rasional, diperoleh bahwa gelombang yang
dihasilkan bukan berupa gelombang soliter.
DAFTAR PUSTAKA
Bratsos A, Twizell. 1998. An explicit finite difference scheme for the solution of
Kadomtsev-Petviashvili. International Journal of Computer Mathematics.
68:175-187. doi: 10.1080/00207169808804685.
Drazin PG, Johnson RS. 1989. Solitons : an Introduction. Cambridge Texts in
Applied Mathematics. New York (US): Cambridge University Press.
Grubaum F. 1989. The Kadomtsev-Petviashvili equation : an alternative approach
“rank tw ” solutions of Krichever and Novikof. Physics Letters A.
139:146-150. doi: 10.1016/0375-9601(89)90349-6.
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear
Mechanic. 1:37-43.
Latham G. 1990. Solutions of the KP equation associated to rank-three
commuting differential operators over a singular elliptic curve. Journal
Physica D. 41:55-66. doi: 10.1016/0167-2789(90)90027-M.
Mirgolbabaei H, Ganji DD, Taherian H. 2009. Soliton solution of the KadomtsevPetviashvili equation by homotopy perturbation method. World Journal of
Modelling and Simulation. 1: 38-44.
Newell AC. 1985. Solitons in Mathematics and Physics. Society for Industrial and
Applied Mathematics. Philadelphia (US): University of Arizona.
Pangaribuan RU. 2008. Formulasi hamiltonian untuk menggambarkan gerak
gelombang soliter dimensi tiga di permukaan laut [skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor.
Pudjaprasetya SR. 1996. Evolution of waves above slightly varying bottom: a
variational approach [disertasi]. Bandung (ID): Institut Teknologi
Bandung.
19
Lampiran 1 Penurunan persamaan (34)-(37)
Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31), diperoleh
( )
Misalkan penyelesaian persamaan (32) dinyatakan dalam bentuk berikut :
Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32),
maka diperoleh
(
)
atau
(
(
)
)
(
)
20
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
(
)
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
(
)
Lampiran 2 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap)
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
,
persamaan (34)-(37) dengan pendekatan awal berikut :
,
,
dan
pada
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
sebagai berikut :
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
21
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
digunakan
kemudian
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan syarat awal pada persamaan (38)
hingga orde keempat sebagai berikut :
Lampiran 3 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah)
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian ,
(34)-(37) dengan pendekatan awal berikut :
=
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
,
,
dan
5 pada
persamaan
22
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
Persamaan masalah nilai batas untuk
(
)
5
digunakan
kemudian
yaitu
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian
diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan
(39) hingga orde kelima sebagai berikut :
23
Lampiran 4 Penyelesaian kasus kedua
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , , dan pada persamaan
(34)-(37) dengan pendekatan awal dalam bentuk fungsi rasional berikut :
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan
(
)
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
].
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan
(
)
24
Jika bentuk
dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan
terhadap x dan t, maka diperoleh
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal
pada persamaan (40) hingga orde ketiga sebagai berikut :
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 8 Mei 1991 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara, anak dari pasangan Muhammad Yusuf dan Siti Masfufah.
Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Islam
Annuriyah lulus pada tahun 1997, SD Kartini 1 Jakarta Pusat lulus pada tahun
2003, SMP Negeri 10 Jakarta Pusat lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 3 Depok
lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur UTMI di Departmen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Pengembangan
Sumber Daya Manusia (PSDM) pada tahun 2011, dan sebagai staf divisi Math
Event pada tahun 2012. Selain itu penulis pernah menjadi asisten dosen untuk
mata kuliah Kalkulus III pada semester ganjil tahun 2012. Berbagai kegiatan
kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswi matematika seperti Masa
Perkenalan Departemen (MPD) sebagai Komisi Disiplin, Matematika Ria 2011
dan Matematika Ria 2012 sebagai staf Divisi Acara.