Penyelesaian model infeksi HIV pada sel darah Putih (T CD4+) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi
PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH
PUTIH (T CD4+) DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penyelesaian Model Infeksi HIV
pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Homotopi adalah
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal
atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Juni 2011
Wahfuanah
NIM G551090231
ABSTRACT
WAHFUANAH. Homotopy Perturbation Method to Solve a Model of HIV
Infection of Cells (T CD4+). Supervised by JAHARUDDIN and ALI
KUSNANTO.
Acquired immunodefficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of
human immune system deterioration caused by human immunodefficiency virus
(HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person is infected by
the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually he/she will not
be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as
having unsafe sex, using unsterilized syringe and blood transfusion. Homotopy
perturbation method is implemented to give approximate and analytical solutions
of nonlinear ordinary differential equation systems as a model for HIV infection
of CD4+ T cells. A modification of the homotopy perturbation method (HPM),
based on the use of numerical solution, is proposed. Some plots are presented to
show the reliability and simplycity of the homotopy perturbation method. The
results obtained in this study indicate that the homotopy perturbation method is
highly efficient to solve models of HIV infection of cells (T CD4+). Errors
resulting from this method is so small that the solution obtained by is very close to
the exact solution.
Keywords: Homotopy perturbation method, leucocytes, HIV.
RINGKASAN
WAHFUANAH. Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih
(T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan sejenis retrovirus, yaitu
virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya.
HIV merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini
berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman,
bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. Virus HIV hidup di semua cairan
tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma,
cairan vagina dan ASI. Penularan dapat juga terjadi melalui hubungan seksual,
tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi. Selain itu virus ini dapat
menular antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui.
Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih),
sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV
yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting
dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem
tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan
deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya
fungsi sel tersebut. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak
menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh
seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan
bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya
sistem kekebalan tubuh.
Dalam penelitian ini akan diturunkan suatu model matematika yang
menyatakan hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih
yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih.
kemudian model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah
diperoleh akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Dalam tulisan ini dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model, yaitu sel
darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi
oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat
melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah
putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang berbentuk taklinear.
Model ini diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi Dalam
metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan
bentuk dari model infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari
deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan
pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk
deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde
tinggi. Penyelesaian dengan metode ini digambarkan dengan bantuan software
Matematica. Interpretasi hasil dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang
digunakan.
Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini menunjukan bahwa metode
perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada
sel darah putih. Galat yang dihasilkan dari metode ini sangat kecil sehingga
penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang
sesungguhnya. Selain itu, dalam penelitian ini kajian hasil dibagi dalam tiga
kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa sebagai acuan. Kasus kedua adalah
kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih
lebih kecil dari laju kematiannya. Dan kasus ketiga kasus pada anak-anak dimana
laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
Berdasarkan ketiga kasus tersebut diperoleh bahwa jika laju sel darah
putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju kematiannya, maka populasi sel
darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan lebih lambat dan populasi virus
HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam setelah faktor penambah sel darah
putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih besar dari pada
laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi dan virus akan stabil
dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem). Namun jumlah virus baru yang
dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu
berpengaruh karena lama kelamaan jumlah virus akan berkurang oleh faktor
kematian alaminya.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu
masalah
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian
Bogor
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya
tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH
PUTIH (T CD4+) DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Drs. Paian Sianturi
Judul Tesis : Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+)
dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
Nama
: Wahfuanah
NIM
: G551090231
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S.
Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
Tanggal Ujian :
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya
sehingga tesis yang berjudul Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah
Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat
diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi
pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan
Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah banyak
memberikan arahan dan bimbingan sehingga selesainya tesis ini. Terimakasih
juga penulis sampaikan kepada Dr. Drs. Paian Sianturi selaku penguji luar komisi,
dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS yang mewakili ketua Program Studi Matematika
Terapan yang telah banyak memberikan saran dalam ujian tesis. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada ibu, bapak, adik-adik, sahabat serta seluruh
keluarga, atas segala do’a, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya tulis ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2011
Wahfuanah
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 15 Pebruari 1983 dari bapak
Supyan dan ibu Jaronah. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2001 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang, Indramayu dan pada
tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Pendidikan
Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Wiralodra
Indramayu, lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program
Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pascasarjana IPB.
Penulis bekerja sebagai pengajar di Madrasah Aliyah Darun sejak tahun 2004.
Selain itu, penulis juga aktif di organisasi Pramuka sebagai Wakil Ketua Dewan
Kerja Daerah Jawa Barat masa bakti 2005-2010.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .................................................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR.............................................................................................. xiv
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................... xv
1
2
3
4
PENDAHULUAN .............................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang .......................................................................................... 1
1.2
Tujuan penelitian ...................................................................................... 2
1.3
Metodologi Penelitian ............................................................................... 2
1.4
Sistematika Penulisan ............................................................................... 3
LANDASAN TEORI ......................................................................................... 4
2.1
Metode Homotopi ..................................................................................... 4
2.2
Model Matematika .................................................................................... 9
PEMBAHASAN DAN HASIL ........................................................................ 13
3.1
Analisis Metode ...................................................................................... 13
3.2
Aplikasi Metode ...................................................................................... 15
SIMPULAN DAN SARAN ............................................................................. 25
4.1
Simpulan ................................................................................................. 25
4.2
Saran ....................................................................................................... 25
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 26
LAMPIRAN ............................................................................................................ 27
DAFTAR TABEL
Halaman
1
2
3
4
5
Galat antara penyelesaian numerik dengan solusi pendekatan
menggunakan metode perturbasi homotopi. ....................................................... 8
Galat penyelesaian , dan
hingga orde keenam dan orde ketiga
dengan penyelesaian numeriknya.. .................................................................... 18
Galat Penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa. ................... 20
Galat penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula). .......22
Galat penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Anak-anak. ....................... 24
DAFTAR GAMBAR
Halaman
10
1
Proses infeksi virus
2
Diagram penyebaran virus................................................................................ 11
3
Grafik penyelesaian untuk , dan
4
5
untuk orang dewasa. ........................... 19
Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang tua (manula) ketika
s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 1.5,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1. ................................................................ 21
Grafik penyelesaian untuk , dan untuk kasus pada anak-anak ketika
s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 6,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1. ................................................................ 23
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
A 1. Penurunan persamaan (2.4) .............................................................................28
A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8) .................................................................29
A 3. Penurunan Persamaan untuk , dan ..........................................................32
B 1. Menentukan , dan
..................................................................................45
B 2. Menggambar Grafik , dan
B 3. Menggambar Grafik , dan
B 4. Menggambar Grafik , dan
pada kasus orang dewasa ...........................46
pada kasus orang tua (manula)................... 46
pada kasus anak-anak.................................47
B 5. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus dewasa ...................................................... 48
B 6. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus orang tua (manula) ....................................49
B 7. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus anak-anak .................................................. 50
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan
gejala) yang timbul akibat rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat
terinfeksi virus HIV (Human Immunodeficiency Virus). AIDS bukan merupakan
penyakit, melainkan kumpulan gejala penyakit yang disebabkan oleh berbagai
macam mikro organisma yang menyerang tubuh akibat menurunnya sistem
kekebalan tubuh penderita.
HIV merupakan sejenis retrovirus (virus yang dapat menggandakan
dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya) yang merusak sistem kekebalan tubuh
terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh
melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke
dalam tubuh. HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui
cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat
terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi,
antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Sejak pertama
kali ditemukan tanggal 5 Juni 1981 (Weiss 1993), AIDS diperkirakan menginfeksi
38.6 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan kematian lebih dari 25 juta
orang pada tahun 2006 dan meningkat tajam pada tahun 2009 yang menginfeksi
lebih dari 90 juta orang dan menyebabkan kematian lebih dari 26 juta orang
(Wikipedia.org/wiki/HIV).
Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih),
sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV
yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting
dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem
tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan
deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya
fungsi sel tersebut. Seseorang yang positif mengidap HIV, belum tentu mengidap
AIDS. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit
dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus
merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak
berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Sejumlah model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan tentang sistem
kekebalan tubuh pasien penderita AIDS. Pada tulisan ini akan dibahas tiga
komponen dasar dari pembentukan model yaitu sel darah putih sehat yang belum
terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV
yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh.
Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan
matematika yang umumnya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya
sulit diselesaikan baik secara analitik maupun numerik, karena faktor taklinear yang
sangat kuat. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah taklinear.
Salah satu pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah
metode perturbasi homotopi (He 1998, 2000).
1.2 Tujuan penelitian
Berdasarkan dari uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menurunkan suatu hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel
darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi
sel darah putih.
2. Menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang
telah diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
3. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh menggunakan bantuan software
Matematica dan membandingkannya dengan hasil numeriknya.
1.3 Metodologi Penelitian
Pada penelitian ini, dibahas penurunan model matematika untuk
menjelaskan infeksi virus HIV pada sel darah putih. Masuknya virus HIV ke sel
darah putih menyebabkan terbentuknya dua tipe sel darah putih, yaitu sel darah
putih sehat dan sel darah putih terinfeksi virus HIV.
Untuk menentukan penyelesaian bagi model infeksi HIV pada sel darah
putih (T CD4+), digunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, terlebih
dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model
3
infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde
tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi
orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret
yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi.
Pendekatan penyelesaiannya digambarkan dengan bantuan software Matematica.
Interpretasi hasil yang diperoleh dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang
digunakan. Kemudian memanfaatkan data dari penyelesaian numeriknya untuk
membandingkan hasil-hasil yang diperoleh.
1.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan
pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, metodologi
penelitian, dan sistematika penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berupa
definisi dan teori yang mendukung karya ilmiah ini, ilustrasi penggunaan metode
perturbasi homotopi dan model matematika yang dikaji dalam penelitian ini. Bab
ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk
menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi, hasil numerik, serta interpretasi
numerik. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan, dan beberapa saran untuk kelanjutan untuk penelitian ini.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Metode Homotopi
Dalam penelitian ini, diperlukan suatu metode matematika yang disebut
metode perturbasi homotopi. Uraian mengenai metode ini disarikan dari (Liao,
2004). Metode homotopi merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi Adomain (Jaharuddin 2008). Dalam metode perturbasi, faktor
taklinear diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Kemudian
dalam metode dekomposisi adomain, penyelesaian masalah taklinear dinyatakan
dalam suatu deret pangkat (polinomial) yang hanya terdefinisi pada daerah
kekonvergenannya. Pada metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah
seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear
dengan menggunakan metode homotopi berupa deret, tapi tidak perlu dimisalkan
dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode
dekomposisi Adomain.
Untuk mengilustrasikan metode perturbasi homotopi (HPM), tinjau masalah
nilai awal berikut : (He 1998, 2000)
=
, ϵ Ω 2.1
dengan syarat awal
0 = , dengan
=
,
,
,…,
dan
=
,
,
dengan
A
: Operator turunan yang bentuknya taklinear
u
: Fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas r
: Fungsi kontinu yang diketahui pada domain Ω
,…,
5
Misalkan u0 pendekatan awal dari penyelesaian masalah nilai awal (2.1) dan
p ϵ[0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real v(r, p) :
fungsi H sebagai berikut:
,
= 1−
!
−!
"
x [0, 1] → R dan suatu
#+
# 2.2
−
Berdasarkan persamaan (2.2), maka untuk p = 0 dan p = 1 masing-masing
memberikan persamaan berikut:
,0 = !
,1 =
Dengan demikian
−!
"
−
,0 =
"
penyelesaian dari persamaan
,
. 2.3
,1 =
dan
masing-masing merupakan
, 0 = 0 dan
, 1 = 0. Jadi, peningkatan
nilai p dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H(v, p) dari !
!
"
−
dan
− !
. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan !
−
"
ke
−
disebut homotopi.
Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan deformasi
orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal
sedangkan
, . . . ,
deformasi
&.
tinggi
&
Untuk menentukan
,
Misalkan fungsi
,
atau
orde
memberikan
penyelesaian
,
",
,
' = 1, 2, 3, . . . dilakukan sebagai berikut.
penyelesaian dari persamaan berikut
=0
1−
!
−!
"
#−
# 2.4
−
Jika kedua ruas pada persamaan (2.4) diturunkan terhadap
hingga ' kali dan
mengevaluasi pada p=0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh persamaan
berikut:
!
-&
dengan
&
− ᵡ&
&*
#=
&*
= ℎ , -&
1
/ &*
/
'−1 !
&*
&*
#
,
#
|12" .
6
&
=
dan
1
'!
" |12"
ᵡ& =
0
,m≤1
1
, m lainnya
Penurunan diberikan pada lampiran (A.1).
,
Deret Taylor dari fungsi
,
=
"
4
+3
&
&2
terhadap
&
adalah
. 2.5
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
2.5 merupakan penyelesaian persamaan
,
atau
!
−!
=
"
#+
−
= 0. 2.6
= 1 diperoleh
,1 =
Karena
yang dinyatakan dalam bentuk
=0
1−
Jadi untuk
,
"
4
+3
&2
#
& .
, 1 , maka diperoleh
=
"
4
+3
&2
&.
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
2.1 dengan penyelesaian pendekatan awal
"
dan
& , '
= 1,2,3, … yang
ditentukan berdasarkan persamaan (2.5) dan (2.6).
(bukti pada lampiran A.1)
Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu
masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem berikut :
7
/7
= 8 − 39 *:
/,
/8
/,
= 7 − 39 *: 2.7
dengan syarat awal
7 0 = 2 dan
8 0 = 3. 2.8
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.7) dan (2.8) adalah:
7 , = 9 : + 9 *:
8 , = 9 : + 29 *: .
Selanjutnya akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal 2.7 dan 2.8
dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan 2.6
diperoleh
1−
1−
/7"
/
/
−
>+ =
−
=
/,
/,
/,
+ 39 *: > = 0
/8"
/
/
−
>+ =
−
=
/,
/,
/,
= 0 . 2.9
+ 39 *: >
Dipilih 7" , dan 8" , suatu konstanta, masing-masing
dan
.
Misalkan penyelesaian persamaan 2.9 dinyatakan dalam bentuk:
=
,"
+
,
=
+
,"
+
+
,
,
+
+ …
,
,
+
,
+ … . 2.10
Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9 , dan menyusun
berdasarkan perpangkatan dari , maka koefisien dari
berikut:
/ ,
−
/,
+ 39 *: = 0
memberikan persamaan
8
/ ,
−
/,
dengan
,"
=
dan
+ 39 *:
= 0 2.11
,"
= .
Penyelesaian 2.11 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada
persamaan 2.11 terhadap t, sehingga diperoleh
,
,
= , + 39 *: − 3
= , + 39 *: − 3.
,@
Bentuk yang lain dari
,@
dan
dapat dilihat pada lampiran (A.2).
Dengan demikian penyelesaian 7 ,
dan 8 ,
dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi berbentuk:
7 , =
8 , =
,"
,"
+
+
,
,
+
+
,
,
+
,
+
,
+ ⋯
+ ⋯ .
Jika syarat awal 7 0 = 2 dan 8 0 = 3 digunakan, maka penyelesaian untuk
7 , dan 8 , hingga orde kelima adalah:
7 , = −7 + 99 *: −
7,
,B ,C
−, −
+
2
24 40
8 , = −6 + 99 *: − , − 3, −
7,
,C
+
6
60
Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi diberikan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Galat antara penyelesaian numerik dan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
penyelesaian
dengan
t
x
y
0.1
0
0
0.2
4.96048 x10-13
1.90998 x10-11
0.3
1.27041 x10-10
2.35053 x10-9
0.4
3.25772 x10-9
3.85606 x10-8
0.5
3.25658 x10-8
2.76954 x10-7
0.6
1.94302 x10-7
1.26404 x10-6
0.7
8.36485 x10-7
4.32742 x10-6
9
2.87515 x10-6
0.8
1.21391 x10-5
Dari Tabel 1 terlihat bahwa galat antara penyelesaian numerik dengan
penyelesaian pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi sangatlah
kecil, sehingga metode perturbasi homotopi bisa digunakan untuk menyelesaikan
masalah nilai awal dan masalah nilai batas.
2.2
Model Matematika
Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun
berdasarkan proses infeksi virus HIV pada sel T CD4+ yang dihasilkan Limposit T
Helper sel darah putih. Proses infeksi virus HIV pada sel darah putih sampai
menghasilkan virus-virus baru terdiri dari beberapa fase, yaitu:
1. Fase adsorpsi, yaitu pelekatan virus pada membran plasma sel darah putih.
2. Fase penetrasi, yaitu pemasukan Ribonucleic Acid (RNA) virus pada sel darah
putih.
3. Fase penggabungan, yaitu RNA virus bergabung dengan RNA sel darah putih.
4. Fase replikasi, yaitu pembentukan kapsoid / selubung protein virus. Enzim
virus Reverse Transcriptase (RT) pada genom RNA virus membuat salinan
Deoxyribonucleic Acid (DNA).
5. Fase perakitan, yaitu terjadi perakitan fage-fage baru (komponen virus baru)
yang sudah sempurna. Salinan DNA bergabung dengan DNA inang
membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan
membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease yang membuat
virus menjadi matang.
6. Fase lisis (pembebasan), pecahnya membran plasma sel darah putih dan keluar
virus-virus
baru
yang
(http://www.ittelkom.ac.id).
siap
menyerang
sel
darah
putih
lainnya
10
Gambar 1 Proses infeksi virus
Proses infeksi diawali masuknya virus ke dalam sel darah putih sehat. Di
dalam sel, enzim virus yakni Reverse Transcriptase (RT) pada genom Ribonucleic
Acid (RNA) virus, membuat suatu salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA). DNA
virus akan bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah
banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus
dihasilkan protease virus untuk menghasilkan virus baru yang siap menyerang sel
darah putih sehat lainnya. Dalam pustaka (Perelson dan Nelson, 2002)
diperlihatkan diagram penyebaran virus tersebut seperti pada Gambar 2.
Laju Infeksi (k)
Produksi virus(N)
T
I
s
Sel darah putih
terinfeksi
Virus (V)
β
mati
Sel darah
putih sehat
γ
mati
r
α
mati
11
Gambar 2 Diagram penyebaran virus
Pada Gambar 2, T menyatakan sel darah putih sehat yang belum terinfeksi
virus HIV dan I menyatakan sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV. Sel
T CD4+ baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih diasumsikan
diproduksi dengan laju s dan mati pada laju α, sedangkan sel darah putih yang
terinfeksi akan mati secara alami dengan laju β. Virus baru yang dihasilkan oleh
sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya dengan laju N dan virus akan
mati secara alami dengan laju γ. Laju poliferasi maksimum yang mengacu pada
keberadaan batas maksimum dari populasi dinyatakan dengan r dan laju infeksi
virus terhadap sel darah putih dinyatakan dengan k.
Laju kematian T dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu laju sel T CD4+
baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih dalam tubuh, sel T
yang mempunyai laju kematian alami sebesar α sehingga tingkat kematian sel T
pada suatu waktu adalah αT, proliferasi (perkembangbiakan) sel darah putih yang
ada sehingga jumlah total sel darah putih dibatasi oleh kepadatan populasi sel T
pada proliferasi yaitu Tmax.. Pada kehadiran HIV, sel darah putih menjadi
terinfeksi. Virus ini yaitu V menginveksi sel T dengan laju k menyebabkan
berkurangnya jumlah sel darah putih sehat dalam darah sebesar kVT.
Selanjutnya jumlah populasi sel darah putih terinfeksi pada waktu t
dipengaruhi oleh tingkat infeksi virus dan kematian alami sel tersebut. Tingkat
infeksi virus adalah kVT, dengan laju kematian sel darah putih terinfeksi adalah β,
maka kematian sel darah putih terinfeksi pada suatu waktu adalah βI.
Sementara itu, penambahan jumlah virus di dalam tubuh ditandai dengan
jumlah total virus yang diproduksi oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu
hidupnya, yaitu sebanyak N. Jadi tingkat produksi virus baru adalah NβI. Virus
mempunyai laju kematian alami sebesar γ, menyebabkan jumlah virus pada waktu
t berkurang sebesar γV .
Konstruksi model matematika untuk model infeksi virus HIV pada sel
T CD4+ yang dihasilkan Limposit T helper sel darah putih menggunakan asumsi
sel darah putih terinfeksi menghasilkan N virus selama waktu hidupnya dan semua
parameter dan variabel yang digunakan taknegatif.
12
Dengan demikian, uraian di atas dapat diekspresikan secara matematika
sebagai suatu sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
/
=D−E +
/,
/
=H
/,
=1 −
+1
&FG
>−H
−I
/
/,
= JI − K 2.12
dengan:
T
: Jumlah sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV
I
: Jumlah sel darah putih yang sudah terinfeksi virus HIV
V
: Jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih
s
: Laju sel T CD4+ baru yang di produksi oleh Limposit T
helper sel darah putih
r
: Laju proliferasi
k
: Laju infeksi
N
: Jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi
selama waktu hidupnya
α
: Laju kematian alami sel darah putih sehat
β
: Laju kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi
γ
: Laju kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih
persamaan (2.12) merupakan model infeksi HIV pada sel darah putih
(T CD4+) yang bentuknya tak linear, persamaan (2.12) akan diselesaikan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari metode homotopi yang telah
diuraikan pada landasan teori. Kemudian metode perturbasi homotopi tersebut
digunakan untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+).
Alur penelitian yang dilakukan ini mengikuti alur penelitian pada (Liao, 2004) dan
(He, 2007)
3.1
Analisis Metode
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi
seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi
,, , ℎ,
yang tidak hanya bergantung pada t dan p, tetapi juga bergantung pada parameter
bantu h ≠ 0 dan fungsi bantu
, , ℎ,
= 1−
≠ 0. Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut
!
ℎ
,; , ℎ,
Selanjutnya, misalkan fungsi , , ℎ,
−
,; , ℎ,
"
, # +
−
, #
(3.1)
merupakan penyelesaian dari persamaan
berikut:
,, , ℎ,
= 0
atau
1−
!
,; , ℎ,
−
"
, #= ℎ
,; , ℎ,
=0
Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk
−
dan = 1
, # 3.2
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
, 0, ℎ,
=!
,; 0, ℎ,
, 1, ℎ,
=ℎ
N ,; 1, ℎ,
−
"#
(3.3)
dan
O−
#.
(3.4)
14
, 0, ℎ,
Menurut persamaan (2.1), maka penyelesaian dari persamaan
, 1, ℎ, P = 0 masing-masing adalah:
=
"
,; 0, ℎ,
dan
=
= 0 dan
,; 1, ℎ,
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu h dan fungsi bantu ,
pemilihan parameter bantu h, fungsi bantu T, pendekatan awal
",
dan operator
linear M perlu memperhatikan validitas dari metode perturbasi homotopi. Dengan
,; , ℎ,
pemilihan ini terjamin adanya fungsi
dan turunan-turunannya terhadap
untuk setiap ϵ 0,1#. Turunan ke m dari fungsi
dihitung di
= 0 adalah:
&
"
=
/&
,; , ℎ,
/ &
,; , ℎ,
terhadap
yang
|12"
sehingga dinotasikan
&
1
=
'!
&
"
,,
Deret Taylor dari fungsi
,, , ℎ,
1 / & ,; , ℎ,
=
/ &
'!
=
,, 0, ℎ,
atau
,, , ℎ,
Selanjutnya h, T,
=
"
terhadap
"
4
+3
&2
adalah
4
+3
&2
&
&
1 / & ,; , ℎ,
/ &
'!
|12"
&
3.5
dan M dipilih sedemikian sehingga digunakan untuk
menyesuaikan kekonvergenan deret (3.5) di
persamaan (3.5) diperoleh
,, 1, ℎ,
|12"
=
"
4
+3
&2
&
= 1 terjamin. Jadi untuk
= 1 dari
15
Karena
=
,, 1, ℎ,
=
"
, maka diperoleh
4
+3
&
&2
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.1
"
dengan pendekatan awal
& , '
dan
Persamaan untuk menentukan
& , '
= 1,2,3, … yang akan ditentukan.
= 1,2,3, … dilakukan dengan metode
perturbasi, dimana persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) untuk
&.
mendapatkan suatu persamaan untuk
Persamaan umum dari
&
diperoleh
berdasarkan koefisien perpangkatan dari .
3.2
Aplikasi Metode
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+). Model
matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan (2.12) yang dinyatakan berikut:
/
= D − E
/,
/
= H
/,
/
= JI
/,
= ,
dengan
0 = ,
+
=1 −
+1
&FG
>−H
−I
−K
=
3.6
dan
0 =
= . Syarat awal dimisalkan sebagai berikut:
dan
0 = .
Misalkan didefinisikan operator berikut
!=
/
,
/,
maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh
1−
/7"
/
−
>
=
/,
/,
/
+ =
− D + E
/,
−
=1 −
−
&FG
>+H
>=0
16
/8"
/
/
−
>+ =
− H
=
/,
/,
/,
1−
− I
/Q"
/
/
−
>+ =
− JI
=
/,
/,
/,
1−
>=0
+ K > = 0. 3.7
Sebagai pendekatan awal dimisalkan 7" , = , 8" , =
dan Q" , = .
Dalam metode homotopi yang dibahas disini, penyelesaian persamaan (3.7)
dimisalkan berbentuk:
=
=
=
,"
,"
,"
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+ …
+ …
+ … 3.8
Jika persamaan (3.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), maka diperoleh
koefisien
"
berikut:
/ ," /7"
−
=0
/,
/,
dengan penyelesaian dalam bentuk
,"
=
.
Dengan cara yang sama didapat
,"
=
dan
,"
= .
(3.9)
(bukti pada lampiran A.3).
Koefisien
memberikan persamaan:
/ ,
−D+ E−
/,
/ ,
− H
/,
/ ,
− JI
/,
+ I
+ K
+
&FG
+
&FG
+ H
=0
=0
= 0. 3.10
Penyelesaian persamaan 3.10 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada
persamaan (3.10) terhadap t, sehingga diperoleh:
17
,
= , D − R −
,
= −I
= , IN
,
+H
−K
−H
−
STU
−
STU
. 3.11
,@ ,
Penurunan bentuk yang lain dari
,@
dan
,@
dapat dilihat pada lampiran (B.2).
, dan
Dengan demikian penyelesaian
dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi berbentuk:
=
=
=
,"
,"
,"
+
+
+
,
,
,
+
+
+
,
,
,
Untuk menggambarkan hubungan
+
+
+
,
,
,
+ …
+ …
+ … 3.12
, dan
yang dinyatakan oleh persamaan
(3.12), maka berikut ini diberikan data-data sebagai berikut:
s, yaitu laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah
putih, dipilih sebesar 0.1 mm per hari
r, yaitu laju proliferasi, dipilih sebesar 3 per hari
α, yaitu kematian alami sel darah putih sehat, sebesar 0.02 per hari
β, yaitu kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi, dipilih sebesar
0,3 per hari
γ, yaitu kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih, dipilih
sebesar 2.4 per hari
k, yaitu laju infeksi, dipilih sebesar 0.0027 mm3 per hari
Tmax, yaitu populasi maksimum sel T pada poliferasi, dipilih sebesar 1500
mm3, dan
N, yaitu jumlah total virus yang diproduksi oleh sel I selama waktu hidupnya,
dipilih sebesar 10 per hari.
Berdasarkan data tersebut di atas, maka penyelesaian untuk , dan
keenam adalah:
hingga orde
18
T = 0.1 + 0.397953 t + 0.592849 , + 0.588699 t + 0.437846 t B
+ 0.259247 t C + 0.12579 t Y
I = 0.000027 − 8.1 × 10*Y t + 0.000022596 t − 0.00009467 t
+ 0.000362153 t B + 0.00008222 t C − 0.00131937 t Y
V = 0.1 − 0.239919 t + 0.287891 t − 0.23029 t + 0.138103 t B
− 0.0663042 t C + 0.0265732 t Y
, dan
Penurunan persamaan untuk
dengan bantuan software Mathematica
diberikan pada lampiran (A.3)
Galat antara penyelesaian untuk , dan
untuk , dan
orde keenam dan penyelesaian
orde ketiga terhadap penyelesaian numeriknya diberikan pada
Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Galat penyelesaian
, dan
orde keenam dan orde ketiga dengan
penyelesaian numeriknya.
t
I
Orde 3
Orde 6
Orde 3
Orde 6
Orde 3
Orde 6
0
0
0
0.000027
0.000027
0
0
0.1
1.84x10-5
2.81x10-5
2.34x10-5
2.35x10-5
6.47x10-6
6.71x10-6
0.2
7.15x10-4
7.62x10-5
1.95x10-5
2.00x10-5
1.90x10-4
1.11x10-5
0.3
4.13x10-3
1.40x10-4
1.46x10-5
1.67x10-5
9.62x10-4
1.50x10-5
0.4
1.42x10-2
1.52x10-4
8.16x10-5
1.28x10-5
2.94x10-3
2.68x10-5
0.5
3.75x10-2
1.40x10-4
3.17x10-6
4.27x10-6
6.90x10-3
7.37x10-5
0.6
8.42x10-2
1.45x10-2
1.14x10-5
1.96x10-5
1.38x10-3
2.24x10-4
0.7
1.68x10-1
5.43x10-3
2.56x10-5
8.01x10-5
2.45x10-2
6.21x10-4
0.8
3.13x10-1
1.54x10-2
4.37x10-4
2.12x10-4
4.03x10-2
1.53x10-3
0.9
5.45x10-1
3.80x10-2
6.60x10-4
4.81x10-4
6.22x10-2
3.41x10-3
1
9.07x10-1
8.44x10-2
9.32x10-4
9.68x10-4
9.14x10-2
6.95x10-3
Dari Tabel 2 terlihat bahwa galat yang muncul untuk
, dan
dengan
menggunakan orde enam lebih kecil dari galat untuk orde tiga. Dengan demikian
penyelesaian dengan menggunakan orde enam lebih baik dari orde tiga, sehingga
pembahasan selanjutnya akan menggunakan penyelesaian hingga orde keenam.
19
Nilai ini semakin membesar seiring dengan bertambahnya waktu. Ini menunjukan
bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin dekat dengan
penyelesaian eksaknya. Selain itu dengan menggunakan orde keenam penyelesaian
pendekatan dengan metode perturbasi homotopi dapat dianggap mendekati
penyelesaian sesungguhnya.
Grafik penyelesaian untuk , dan
untuk orang dewasa diberikan dalam
Gambar 3
T t
2.5
it
0.000026
2.0
0.000024
1.5
0.000022
0.00002
1.0
0.000018
0.5
0.000016
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
V t
0.10
0.08
0.06
0.04
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gambar 3 Grafik penyelesaian untuk , dan
0.6
t
untuk orang dewasa.
Dari Gambar 3 terlihat bahwa jumlah populasi sel T orde 6 meningkat
sebesar 2.4 pada hari pertama. Hal ini disebabkan karena sel T CD4+ terus
diproduksi oleh limposit T helper dan proses poliferasi sel darah putih, sedangkan
sel I menurun dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 14 jam 24 menit.
Penurunan ini terjadi karena kondisi sel darah putih terinveksi virus HIV tidak
20
dapat bertahan di dalam populasi. Pada gambar 3, Jumlah virus juga menurun dan
mengalami kepunahan setelah kira-kira 16 jam 12 menit. Penurunan ini terjadi
karena pada kondisi ini virus tidak dapat bertahan di dalam populasi dan akhirnya
virus akan punah.
Perbandingan galat
, dan
antara penyelesaian numerik dengan nilai
pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam untuk
kasus orang dewasa diberikan dalam Tabel 3.
Tabel 3 Galat Penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa.
t
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
2.05117 x10-6
2.34919 x10-5
6.70866 x10-6
0.2
4.2779 x10-6
2.00144 x10-5
1.11087 x10-5
0.3
6.64464 x10-6
1.67462 x10-5
1.50448 x10-5
0.4
9.17145 x10-6
1.286949 x10-5
2.67794 x10-5
0.5
1.18631 x10-5
4.27226 x10-6
7.36792 x10-5
0.6
1.47315 x10-5
1.96298 x10-5
2.24173 x10-4
0.7
1.77776 x10-5
8.01148 x10-5
6.21813 x10-4
0.8
2.10083 x10-5
2.14257 x10-4
1.53239 x10-3
0.9
2.44327 x10-5
4.81005 x10-4
3.40569 x10-3
1
2.80585 x10-5
9.68211 x10-4
6.95276 x10-3
Pada Tabel 3 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 2.80585 x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian
dengan metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
9.68211 x10-4 dan galat untuk fungsi
yang muncul antara penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
6.95276 x10-3.
21
, dan
Gambar 4 menyatakan grafik penyelesaian
(manula), dengan D dan
pada orang tua
dibuat seperdua dari kasus orang dewasa, sedangkan
E, I, K dibuat dua kali dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena pada
lanjut usia sel darah putih yang di produksi orang tua lebih sedikit dari orang
dewasa.
T t
it
0.5
0.00004
0.4
0.00003
0.3
0.00002
0.2
0.00001
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
t
V t
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Gambar 4 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang tua (manula) ketika
s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 1.5,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1.
Pada Gambar 4, poliferasi dan laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh
limposit T helper sel darah putih menurun menjadi setengahnya, sedangkan laju
kematian alami, baik kematian alami sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel
T naik dua kali lipatnya. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang
diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka jumlah sel
darah putih sehat meningkat sebesar 0.55 pada hari pertama. Nilai ini lebih kecil
bila dibandingkan dengan nilai pada kasus orang dewasa. Sel darah putih yang
sudah terinveksi akan naik setelah kira-kira 10 jam, dan akan menurun setelah kira-
22
kira 12 jam dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 18 jam. Jumlah virus
yang menginfeksi mula-mula akan menurun dan akan mengalami peningkatan
populasi setelah kira-kira 13 jam dan akan terus meningkat lebih cepat bila
dibandingkan dengan penurunan pada waktu mula-mula. Namun perbandingan
jumlah virus yang menginfeksi dengan sel darah putih sehat masih lebih banyak sel
darah putih sehat.
dengan menggunakan metode perturbasi
Tabel 4 Galat penyelesaian , dan
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula).
t
T
I
V
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
1.0149 x10-6
2.2818 x10-5
1.18521 x10-5
0.2
2.06747 x10-6
1.96048 x10-5
3.03448 x10-5
0.3
3.1566 x10-6
1.93295 x10-5
2.33927 x10-4
0.4
4.28342 x10-6
2.3695x10-5
1.55079 x10-3
0.5
5.449 x10-6
3.14497 x10-5
6.97483 x10-3
0.6
6.6544 x10-6
3.47335 x10-5
2.37962 x10-2
0.7
7.90066 x10-6
1.44597 x10-5
6.68655 x10-2
0.8
9.18557 x10-6
6.52689 x10-5
1.62963 x10-1
0.9
1.05165x10-5
2.63708 x10-4
3.56318 x10-1
1
1.18194x10-5
6.70986 x10-4
7.15307 x10-1
Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 1.18194x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian
dengan metode perturbasi homotopi dan
6.70986 x10-4 dan galat untuk fungsi
metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
yang muncul antara penyelesaian dengan
dengan metode numerik terbesar sekitar 7.15307
x10-1. Galat yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada
setelah waktu tersebut jumlah sel T CD4+ yang dihasilkan limposit T helper
semakin berkurang.
23
Gambar 5 menyatakan grafik penyelesaian
dengan D dan
, dan
pada anak-anak,
dibuat dua kali dari kasus orang dewasa, sedangkan E, I, K dibuat
seperdua dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena anak-anak yang
masih dalam masa pertumbuhan masih memproduksi sel darah putih yang relatif
banyak bila dibandingkan dengan orang dewasa dan manula, dan memiliki faktor
kematian yang masih sedikit. Jadi perbandingan pertambahan sel darah putihnya
menjadi dua kali dari kasus orang dewasa dan faktor kematiannya menjadi
setengahnya kasus orang dewasa.
T t
it
30
0.00003
25
0.000028
20
0.000026
0.000024
15
0.000022
10
0.00002
0.000018
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.1
0.2
0.8
1.0
0.3
0.4
t
V t
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.2
0.4
0.6
t
Gambar 5 Grafik penyelesaian untuk , dan
untuk kasus pada anak-anak
ketika s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = 0.0027, Tmax = 1500,
r = 6, N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1.
Pada Gambar 5, saat laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh limposit T
helper sel darah putih dan laju poliferasi meningkat dua kali lipat dibandingkan
dengan kasus orang dewasa, sedangkan laju kematian alami, baik kematian alami
sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel T menurun setengahnya dari kasus
orang dewasa. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang
diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka peningkatan
24
jumlah sel T pada anak-anak jauh lebih besar per satuan waktu dibandingkan
dengan kasus pada orang dewasa dan kasus pada orang tua sebesar 31.9 pada hari
pertama. Sel I lebih cepat menuju 0 per satuan waktu bila dibandingkan kasus
pada orang dewasa setelah kira-kira 11 jam. Jumlah virus yang menginfeksi sel T
akan terus menurun dan akan punah setelah sehari, dan virus akan cepat punah
sehingga proses penyembuhan berjalan lebih cepat dari kedua kasus sebelumnya.
dengan menggunakan metode perturbasi
Tabel 5 Galat penyelesaian , dan
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Anak-anak.
t
T
I
V
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
4.1897 x10-3
2.2612 x10-5
1.0022 x10-2
0.2
8.7648x10-3
1.5702 x10-5
1.6773 x10-2
0.3
1.3753 x10-2
4.7431 x10-6
2.1077 x10-2
0.4
1.9183 x10-2
1.3818 x10-5
2.3564 x10-2
0.5
2.5087 x10-2
4.8465 x10-5
2.4694 x10-2
0.6
3.1499 x10-2
1.1685 x10-4
2.4772 x10-2
0.7
3.8453 x10-2
2.5155 x10-4
2.3941x10-2
0.8
4.5988 x10-2
5.0776 x10-4
2.2152 x10-2
0.9
5.4144 x10-2
9.7314 x10-4
1.9124 x10-2
1
6.2964 x10-2
1.7805 x10-3
1.4274 x10-2
Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 6.2964 x10-2, galat untuk yang muncul terbesar sekitar 1.78058
x10-3 dan galat untuk fungsi
yang muncul terbesar sekitar 1.42742 x10-2. Galat
yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada setelah waktu
tersebut jumlah sel T CD4+ yang dihasilkan limposit T helper semakin berkurang.
Oleh karena galat yang diperoleh relatif besar yang berarti penyelesaian
pendekatannya jauh dari penyelesaian eksaknya, maka kasus pada orang tua
(manula) dan anak-anak perlu dikaji lagi untuk mendapatkan penyelesaian yang
mendekati penyelesaian eksaknya dengan cara menambah orde pendekatannya.
BAB 4
SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Metode perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model
infeksi HIV pada sel darah putih yang bentuknya taklinear khususnya pada kasus
orang dewasa. Galat yang dihasilkan dari metode perturbasi homotopi pada kasus
ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati
penyelesaian yang sesungguhnya.
Analisis penyelesaian pada model infeksi virus HIV pada sel darah putih
dibagi menjadi tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa. Sebagai acuan,
kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel
darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. dan ketiga kasus pada anak-anak
dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju
kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan
lebih lambat dan populasi virus HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam
setelah faktor penambah sel darah putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang
dihasilkan lebih besar dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih
terinfeksi dan virus akan stabil dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem).
Namun banyak sedikitnya jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih
terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu berpengaruh karena lama kelamaan
jumlah virus akan berkurang oleh faktor kematian alaminya.
4.2 Saran
Dalam penelitian ini metode perturbasi homotopi yang digunakan untuk
menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih hanya hingga orde
keenam. Penyelesaian akan menjadi akurat bi
PUTIH (T CD4+) DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penyelesaian Model Infeksi HIV
pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Homotopi adalah
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal
atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Juni 2011
Wahfuanah
NIM G551090231
ABSTRACT
WAHFUANAH. Homotopy Perturbation Method to Solve a Model of HIV
Infection of Cells (T CD4+). Supervised by JAHARUDDIN and ALI
KUSNANTO.
Acquired immunodefficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of
human immune system deterioration caused by human immunodefficiency virus
(HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person is infected by
the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually he/she will not
be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as
having unsafe sex, using unsterilized syringe and blood transfusion. Homotopy
perturbation method is implemented to give approximate and analytical solutions
of nonlinear ordinary differential equation systems as a model for HIV infection
of CD4+ T cells. A modification of the homotopy perturbation method (HPM),
based on the use of numerical solution, is proposed. Some plots are presented to
show the reliability and simplycity of the homotopy perturbation method. The
results obtained in this study indicate that the homotopy perturbation method is
highly efficient to solve models of HIV infection of cells (T CD4+). Errors
resulting from this method is so small that the solution obtained by is very close to
the exact solution.
Keywords: Homotopy perturbation method, leucocytes, HIV.
RINGKASAN
WAHFUANAH. Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih
(T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan sejenis retrovirus, yaitu
virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya.
HIV merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini
berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman,
bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. Virus HIV hidup di semua cairan
tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma,
cairan vagina dan ASI. Penularan dapat juga terjadi melalui hubungan seksual,
tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi. Selain itu virus ini dapat
menular antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui.
Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih),
sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV
yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting
dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem
tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan
deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya
fungsi sel tersebut. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak
menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh
seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan
bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya
sistem kekebalan tubuh.
Dalam penelitian ini akan diturunkan suatu model matematika yang
menyatakan hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih
yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih.
kemudian model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah
diperoleh akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Dalam tulisan ini dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model, yaitu sel
darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi
oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat
melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah
putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang berbentuk taklinear.
Model ini diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi Dalam
metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan
bentuk dari model infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari
deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan
pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk
deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde
tinggi. Penyelesaian dengan metode ini digambarkan dengan bantuan software
Matematica. Interpretasi hasil dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang
digunakan.
Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini menunjukan bahwa metode
perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada
sel darah putih. Galat yang dihasilkan dari metode ini sangat kecil sehingga
penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang
sesungguhnya. Selain itu, dalam penelitian ini kajian hasil dibagi dalam tiga
kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa sebagai acuan. Kasus kedua adalah
kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih
lebih kecil dari laju kematiannya. Dan kasus ketiga kasus pada anak-anak dimana
laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
Berdasarkan ketiga kasus tersebut diperoleh bahwa jika laju sel darah
putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju kematiannya, maka populasi sel
darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan lebih lambat dan populasi virus
HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam setelah faktor penambah sel darah
putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih besar dari pada
laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi dan virus akan stabil
dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem). Namun jumlah virus baru yang
dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu
berpengaruh karena lama kelamaan jumlah virus akan berkurang oleh faktor
kematian alaminya.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu
masalah
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian
Bogor
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya
tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH
PUTIH (T CD4+) DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Drs. Paian Sianturi
Judul Tesis : Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+)
dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
Nama
: Wahfuanah
NIM
: G551090231
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S.
Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
Tanggal Ujian :
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya
sehingga tesis yang berjudul Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah
Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat
diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi
pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan
Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah banyak
memberikan arahan dan bimbingan sehingga selesainya tesis ini. Terimakasih
juga penulis sampaikan kepada Dr. Drs. Paian Sianturi selaku penguji luar komisi,
dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS yang mewakili ketua Program Studi Matematika
Terapan yang telah banyak memberikan saran dalam ujian tesis. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada ibu, bapak, adik-adik, sahabat serta seluruh
keluarga, atas segala do’a, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya tulis ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2011
Wahfuanah
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 15 Pebruari 1983 dari bapak
Supyan dan ibu Jaronah. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2001 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang, Indramayu dan pada
tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Pendidikan
Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Wiralodra
Indramayu, lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program
Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pascasarjana IPB.
Penulis bekerja sebagai pengajar di Madrasah Aliyah Darun sejak tahun 2004.
Selain itu, penulis juga aktif di organisasi Pramuka sebagai Wakil Ketua Dewan
Kerja Daerah Jawa Barat masa bakti 2005-2010.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .................................................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR.............................................................................................. xiv
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................... xv
1
2
3
4
PENDAHULUAN .............................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang .......................................................................................... 1
1.2
Tujuan penelitian ...................................................................................... 2
1.3
Metodologi Penelitian ............................................................................... 2
1.4
Sistematika Penulisan ............................................................................... 3
LANDASAN TEORI ......................................................................................... 4
2.1
Metode Homotopi ..................................................................................... 4
2.2
Model Matematika .................................................................................... 9
PEMBAHASAN DAN HASIL ........................................................................ 13
3.1
Analisis Metode ...................................................................................... 13
3.2
Aplikasi Metode ...................................................................................... 15
SIMPULAN DAN SARAN ............................................................................. 25
4.1
Simpulan ................................................................................................. 25
4.2
Saran ....................................................................................................... 25
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 26
LAMPIRAN ............................................................................................................ 27
DAFTAR TABEL
Halaman
1
2
3
4
5
Galat antara penyelesaian numerik dengan solusi pendekatan
menggunakan metode perturbasi homotopi. ....................................................... 8
Galat penyelesaian , dan
hingga orde keenam dan orde ketiga
dengan penyelesaian numeriknya.. .................................................................... 18
Galat Penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa. ................... 20
Galat penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula). .......22
Galat penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Anak-anak. ....................... 24
DAFTAR GAMBAR
Halaman
10
1
Proses infeksi virus
2
Diagram penyebaran virus................................................................................ 11
3
Grafik penyelesaian untuk , dan
4
5
untuk orang dewasa. ........................... 19
Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang tua (manula) ketika
s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 1.5,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1. ................................................................ 21
Grafik penyelesaian untuk , dan untuk kasus pada anak-anak ketika
s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 6,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1. ................................................................ 23
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
A 1. Penurunan persamaan (2.4) .............................................................................28
A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8) .................................................................29
A 3. Penurunan Persamaan untuk , dan ..........................................................32
B 1. Menentukan , dan
..................................................................................45
B 2. Menggambar Grafik , dan
B 3. Menggambar Grafik , dan
B 4. Menggambar Grafik , dan
pada kasus orang dewasa ...........................46
pada kasus orang tua (manula)................... 46
pada kasus anak-anak.................................47
B 5. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus dewasa ...................................................... 48
B 6. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus orang tua (manula) ....................................49
B 7. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian numerik pada kasus anak-anak .................................................. 50
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan
gejala) yang timbul akibat rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat
terinfeksi virus HIV (Human Immunodeficiency Virus). AIDS bukan merupakan
penyakit, melainkan kumpulan gejala penyakit yang disebabkan oleh berbagai
macam mikro organisma yang menyerang tubuh akibat menurunnya sistem
kekebalan tubuh penderita.
HIV merupakan sejenis retrovirus (virus yang dapat menggandakan
dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya) yang merusak sistem kekebalan tubuh
terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh
melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke
dalam tubuh. HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui
cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat
terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi,
antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Sejak pertama
kali ditemukan tanggal 5 Juni 1981 (Weiss 1993), AIDS diperkirakan menginfeksi
38.6 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan kematian lebih dari 25 juta
orang pada tahun 2006 dan meningkat tajam pada tahun 2009 yang menginfeksi
lebih dari 90 juta orang dan menyebabkan kematian lebih dari 26 juta orang
(Wikipedia.org/wiki/HIV).
Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih),
sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV
yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting
dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem
tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan
deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya
fungsi sel tersebut. Seseorang yang positif mengidap HIV, belum tentu mengidap
AIDS. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit
dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus
merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak
berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Sejumlah model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan tentang sistem
kekebalan tubuh pasien penderita AIDS. Pada tulisan ini akan dibahas tiga
komponen dasar dari pembentukan model yaitu sel darah putih sehat yang belum
terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV
yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh.
Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan
matematika yang umumnya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya
sulit diselesaikan baik secara analitik maupun numerik, karena faktor taklinear yang
sangat kuat. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah taklinear.
Salah satu pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah
metode perturbasi homotopi (He 1998, 2000).
1.2 Tujuan penelitian
Berdasarkan dari uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menurunkan suatu hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel
darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi
sel darah putih.
2. Menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang
telah diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
3. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh menggunakan bantuan software
Matematica dan membandingkannya dengan hasil numeriknya.
1.3 Metodologi Penelitian
Pada penelitian ini, dibahas penurunan model matematika untuk
menjelaskan infeksi virus HIV pada sel darah putih. Masuknya virus HIV ke sel
darah putih menyebabkan terbentuknya dua tipe sel darah putih, yaitu sel darah
putih sehat dan sel darah putih terinfeksi virus HIV.
Untuk menentukan penyelesaian bagi model infeksi HIV pada sel darah
putih (T CD4+), digunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, terlebih
dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model
3
infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde
tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi
orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret
yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi.
Pendekatan penyelesaiannya digambarkan dengan bantuan software Matematica.
Interpretasi hasil yang diperoleh dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang
digunakan. Kemudian memanfaatkan data dari penyelesaian numeriknya untuk
membandingkan hasil-hasil yang diperoleh.
1.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan
pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, metodologi
penelitian, dan sistematika penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berupa
definisi dan teori yang mendukung karya ilmiah ini, ilustrasi penggunaan metode
perturbasi homotopi dan model matematika yang dikaji dalam penelitian ini. Bab
ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk
menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi, hasil numerik, serta interpretasi
numerik. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan, dan beberapa saran untuk kelanjutan untuk penelitian ini.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Metode Homotopi
Dalam penelitian ini, diperlukan suatu metode matematika yang disebut
metode perturbasi homotopi. Uraian mengenai metode ini disarikan dari (Liao,
2004). Metode homotopi merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi Adomain (Jaharuddin 2008). Dalam metode perturbasi, faktor
taklinear diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Kemudian
dalam metode dekomposisi adomain, penyelesaian masalah taklinear dinyatakan
dalam suatu deret pangkat (polinomial) yang hanya terdefinisi pada daerah
kekonvergenannya. Pada metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah
seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear
dengan menggunakan metode homotopi berupa deret, tapi tidak perlu dimisalkan
dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode
dekomposisi Adomain.
Untuk mengilustrasikan metode perturbasi homotopi (HPM), tinjau masalah
nilai awal berikut : (He 1998, 2000)
=
, ϵ Ω 2.1
dengan syarat awal
0 = , dengan
=
,
,
,…,
dan
=
,
,
dengan
A
: Operator turunan yang bentuknya taklinear
u
: Fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas r
: Fungsi kontinu yang diketahui pada domain Ω
,…,
5
Misalkan u0 pendekatan awal dari penyelesaian masalah nilai awal (2.1) dan
p ϵ[0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real v(r, p) :
fungsi H sebagai berikut:
,
= 1−
!
−!
"
x [0, 1] → R dan suatu
#+
# 2.2
−
Berdasarkan persamaan (2.2), maka untuk p = 0 dan p = 1 masing-masing
memberikan persamaan berikut:
,0 = !
,1 =
Dengan demikian
−!
"
−
,0 =
"
penyelesaian dari persamaan
,
. 2.3
,1 =
dan
masing-masing merupakan
, 0 = 0 dan
, 1 = 0. Jadi, peningkatan
nilai p dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H(v, p) dari !
!
"
−
dan
− !
. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan !
−
"
ke
−
disebut homotopi.
Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan deformasi
orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal
sedangkan
, . . . ,
deformasi
&.
tinggi
&
Untuk menentukan
,
Misalkan fungsi
,
atau
orde
memberikan
penyelesaian
,
",
,
' = 1, 2, 3, . . . dilakukan sebagai berikut.
penyelesaian dari persamaan berikut
=0
1−
!
−!
"
#−
# 2.4
−
Jika kedua ruas pada persamaan (2.4) diturunkan terhadap
hingga ' kali dan
mengevaluasi pada p=0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh persamaan
berikut:
!
-&
dengan
&
− ᵡ&
&*
#=
&*
= ℎ , -&
1
/ &*
/
'−1 !
&*
&*
#
,
#
|12" .
6
&
=
dan
1
'!
" |12"
ᵡ& =
0
,m≤1
1
, m lainnya
Penurunan diberikan pada lampiran (A.1).
,
Deret Taylor dari fungsi
,
=
"
4
+3
&
&2
terhadap
&
adalah
. 2.5
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
2.5 merupakan penyelesaian persamaan
,
atau
!
−!
=
"
#+
−
= 0. 2.6
= 1 diperoleh
,1 =
Karena
yang dinyatakan dalam bentuk
=0
1−
Jadi untuk
,
"
4
+3
&2
#
& .
, 1 , maka diperoleh
=
"
4
+3
&2
&.
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
2.1 dengan penyelesaian pendekatan awal
"
dan
& , '
= 1,2,3, … yang
ditentukan berdasarkan persamaan (2.5) dan (2.6).
(bukti pada lampiran A.1)
Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu
masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem berikut :
7
/7
= 8 − 39 *:
/,
/8
/,
= 7 − 39 *: 2.7
dengan syarat awal
7 0 = 2 dan
8 0 = 3. 2.8
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.7) dan (2.8) adalah:
7 , = 9 : + 9 *:
8 , = 9 : + 29 *: .
Selanjutnya akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal 2.7 dan 2.8
dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan 2.6
diperoleh
1−
1−
/7"
/
/
−
>+ =
−
=
/,
/,
/,
+ 39 *: > = 0
/8"
/
/
−
>+ =
−
=
/,
/,
/,
= 0 . 2.9
+ 39 *: >
Dipilih 7" , dan 8" , suatu konstanta, masing-masing
dan
.
Misalkan penyelesaian persamaan 2.9 dinyatakan dalam bentuk:
=
,"
+
,
=
+
,"
+
+
,
,
+
+ …
,
,
+
,
+ … . 2.10
Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9 , dan menyusun
berdasarkan perpangkatan dari , maka koefisien dari
berikut:
/ ,
−
/,
+ 39 *: = 0
memberikan persamaan
8
/ ,
−
/,
dengan
,"
=
dan
+ 39 *:
= 0 2.11
,"
= .
Penyelesaian 2.11 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada
persamaan 2.11 terhadap t, sehingga diperoleh
,
,
= , + 39 *: − 3
= , + 39 *: − 3.
,@
Bentuk yang lain dari
,@
dan
dapat dilihat pada lampiran (A.2).
Dengan demikian penyelesaian 7 ,
dan 8 ,
dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi berbentuk:
7 , =
8 , =
,"
,"
+
+
,
,
+
+
,
,
+
,
+
,
+ ⋯
+ ⋯ .
Jika syarat awal 7 0 = 2 dan 8 0 = 3 digunakan, maka penyelesaian untuk
7 , dan 8 , hingga orde kelima adalah:
7 , = −7 + 99 *: −
7,
,B ,C
−, −
+
2
24 40
8 , = −6 + 99 *: − , − 3, −
7,
,C
+
6
60
Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi diberikan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Galat antara penyelesaian numerik dan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
penyelesaian
dengan
t
x
y
0.1
0
0
0.2
4.96048 x10-13
1.90998 x10-11
0.3
1.27041 x10-10
2.35053 x10-9
0.4
3.25772 x10-9
3.85606 x10-8
0.5
3.25658 x10-8
2.76954 x10-7
0.6
1.94302 x10-7
1.26404 x10-6
0.7
8.36485 x10-7
4.32742 x10-6
9
2.87515 x10-6
0.8
1.21391 x10-5
Dari Tabel 1 terlihat bahwa galat antara penyelesaian numerik dengan
penyelesaian pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi sangatlah
kecil, sehingga metode perturbasi homotopi bisa digunakan untuk menyelesaikan
masalah nilai awal dan masalah nilai batas.
2.2
Model Matematika
Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun
berdasarkan proses infeksi virus HIV pada sel T CD4+ yang dihasilkan Limposit T
Helper sel darah putih. Proses infeksi virus HIV pada sel darah putih sampai
menghasilkan virus-virus baru terdiri dari beberapa fase, yaitu:
1. Fase adsorpsi, yaitu pelekatan virus pada membran plasma sel darah putih.
2. Fase penetrasi, yaitu pemasukan Ribonucleic Acid (RNA) virus pada sel darah
putih.
3. Fase penggabungan, yaitu RNA virus bergabung dengan RNA sel darah putih.
4. Fase replikasi, yaitu pembentukan kapsoid / selubung protein virus. Enzim
virus Reverse Transcriptase (RT) pada genom RNA virus membuat salinan
Deoxyribonucleic Acid (DNA).
5. Fase perakitan, yaitu terjadi perakitan fage-fage baru (komponen virus baru)
yang sudah sempurna. Salinan DNA bergabung dengan DNA inang
membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan
membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease yang membuat
virus menjadi matang.
6. Fase lisis (pembebasan), pecahnya membran plasma sel darah putih dan keluar
virus-virus
baru
yang
(http://www.ittelkom.ac.id).
siap
menyerang
sel
darah
putih
lainnya
10
Gambar 1 Proses infeksi virus
Proses infeksi diawali masuknya virus ke dalam sel darah putih sehat. Di
dalam sel, enzim virus yakni Reverse Transcriptase (RT) pada genom Ribonucleic
Acid (RNA) virus, membuat suatu salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA). DNA
virus akan bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah
banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus
dihasilkan protease virus untuk menghasilkan virus baru yang siap menyerang sel
darah putih sehat lainnya. Dalam pustaka (Perelson dan Nelson, 2002)
diperlihatkan diagram penyebaran virus tersebut seperti pada Gambar 2.
Laju Infeksi (k)
Produksi virus(N)
T
I
s
Sel darah putih
terinfeksi
Virus (V)
β
mati
Sel darah
putih sehat
γ
mati
r
α
mati
11
Gambar 2 Diagram penyebaran virus
Pada Gambar 2, T menyatakan sel darah putih sehat yang belum terinfeksi
virus HIV dan I menyatakan sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV. Sel
T CD4+ baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih diasumsikan
diproduksi dengan laju s dan mati pada laju α, sedangkan sel darah putih yang
terinfeksi akan mati secara alami dengan laju β. Virus baru yang dihasilkan oleh
sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya dengan laju N dan virus akan
mati secara alami dengan laju γ. Laju poliferasi maksimum yang mengacu pada
keberadaan batas maksimum dari populasi dinyatakan dengan r dan laju infeksi
virus terhadap sel darah putih dinyatakan dengan k.
Laju kematian T dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu laju sel T CD4+
baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih dalam tubuh, sel T
yang mempunyai laju kematian alami sebesar α sehingga tingkat kematian sel T
pada suatu waktu adalah αT, proliferasi (perkembangbiakan) sel darah putih yang
ada sehingga jumlah total sel darah putih dibatasi oleh kepadatan populasi sel T
pada proliferasi yaitu Tmax.. Pada kehadiran HIV, sel darah putih menjadi
terinfeksi. Virus ini yaitu V menginveksi sel T dengan laju k menyebabkan
berkurangnya jumlah sel darah putih sehat dalam darah sebesar kVT.
Selanjutnya jumlah populasi sel darah putih terinfeksi pada waktu t
dipengaruhi oleh tingkat infeksi virus dan kematian alami sel tersebut. Tingkat
infeksi virus adalah kVT, dengan laju kematian sel darah putih terinfeksi adalah β,
maka kematian sel darah putih terinfeksi pada suatu waktu adalah βI.
Sementara itu, penambahan jumlah virus di dalam tubuh ditandai dengan
jumlah total virus yang diproduksi oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu
hidupnya, yaitu sebanyak N. Jadi tingkat produksi virus baru adalah NβI. Virus
mempunyai laju kematian alami sebesar γ, menyebabkan jumlah virus pada waktu
t berkurang sebesar γV .
Konstruksi model matematika untuk model infeksi virus HIV pada sel
T CD4+ yang dihasilkan Limposit T helper sel darah putih menggunakan asumsi
sel darah putih terinfeksi menghasilkan N virus selama waktu hidupnya dan semua
parameter dan variabel yang digunakan taknegatif.
12
Dengan demikian, uraian di atas dapat diekspresikan secara matematika
sebagai suatu sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
/
=D−E +
/,
/
=H
/,
=1 −
+1
&FG
>−H
−I
/
/,
= JI − K 2.12
dengan:
T
: Jumlah sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV
I
: Jumlah sel darah putih yang sudah terinfeksi virus HIV
V
: Jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih
s
: Laju sel T CD4+ baru yang di produksi oleh Limposit T
helper sel darah putih
r
: Laju proliferasi
k
: Laju infeksi
N
: Jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi
selama waktu hidupnya
α
: Laju kematian alami sel darah putih sehat
β
: Laju kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi
γ
: Laju kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih
persamaan (2.12) merupakan model infeksi HIV pada sel darah putih
(T CD4+) yang bentuknya tak linear, persamaan (2.12) akan diselesaikan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari metode homotopi yang telah
diuraikan pada landasan teori. Kemudian metode perturbasi homotopi tersebut
digunakan untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+).
Alur penelitian yang dilakukan ini mengikuti alur penelitian pada (Liao, 2004) dan
(He, 2007)
3.1
Analisis Metode
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi
seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi
,, , ℎ,
yang tidak hanya bergantung pada t dan p, tetapi juga bergantung pada parameter
bantu h ≠ 0 dan fungsi bantu
, , ℎ,
= 1−
≠ 0. Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut
!
ℎ
,; , ℎ,
Selanjutnya, misalkan fungsi , , ℎ,
−
,; , ℎ,
"
, # +
−
, #
(3.1)
merupakan penyelesaian dari persamaan
berikut:
,, , ℎ,
= 0
atau
1−
!
,; , ℎ,
−
"
, #= ℎ
,; , ℎ,
=0
Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk
−
dan = 1
, # 3.2
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
, 0, ℎ,
=!
,; 0, ℎ,
, 1, ℎ,
=ℎ
N ,; 1, ℎ,
−
"#
(3.3)
dan
O−
#.
(3.4)
14
, 0, ℎ,
Menurut persamaan (2.1), maka penyelesaian dari persamaan
, 1, ℎ, P = 0 masing-masing adalah:
=
"
,; 0, ℎ,
dan
=
= 0 dan
,; 1, ℎ,
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu h dan fungsi bantu ,
pemilihan parameter bantu h, fungsi bantu T, pendekatan awal
",
dan operator
linear M perlu memperhatikan validitas dari metode perturbasi homotopi. Dengan
,; , ℎ,
pemilihan ini terjamin adanya fungsi
dan turunan-turunannya terhadap
untuk setiap ϵ 0,1#. Turunan ke m dari fungsi
dihitung di
= 0 adalah:
&
"
=
/&
,; , ℎ,
/ &
,; , ℎ,
terhadap
yang
|12"
sehingga dinotasikan
&
1
=
'!
&
"
,,
Deret Taylor dari fungsi
,, , ℎ,
1 / & ,; , ℎ,
=
/ &
'!
=
,, 0, ℎ,
atau
,, , ℎ,
Selanjutnya h, T,
=
"
terhadap
"
4
+3
&2
adalah
4
+3
&2
&
&
1 / & ,; , ℎ,
/ &
'!
|12"
&
3.5
dan M dipilih sedemikian sehingga digunakan untuk
menyesuaikan kekonvergenan deret (3.5) di
persamaan (3.5) diperoleh
,, 1, ℎ,
|12"
=
"
4
+3
&2
&
= 1 terjamin. Jadi untuk
= 1 dari
15
Karena
=
,, 1, ℎ,
=
"
, maka diperoleh
4
+3
&
&2
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.1
"
dengan pendekatan awal
& , '
dan
Persamaan untuk menentukan
& , '
= 1,2,3, … yang akan ditentukan.
= 1,2,3, … dilakukan dengan metode
perturbasi, dimana persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) untuk
&.
mendapatkan suatu persamaan untuk
Persamaan umum dari
&
diperoleh
berdasarkan koefisien perpangkatan dari .
3.2
Aplikasi Metode
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+). Model
matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan (2.12) yang dinyatakan berikut:
/
= D − E
/,
/
= H
/,
/
= JI
/,
= ,
dengan
0 = ,
+
=1 −
+1
&FG
>−H
−I
−K
=
3.6
dan
0 =
= . Syarat awal dimisalkan sebagai berikut:
dan
0 = .
Misalkan didefinisikan operator berikut
!=
/
,
/,
maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh
1−
/7"
/
−
>
=
/,
/,
/
+ =
− D + E
/,
−
=1 −
−
&FG
>+H
>=0
16
/8"
/
/
−
>+ =
− H
=
/,
/,
/,
1−
− I
/Q"
/
/
−
>+ =
− JI
=
/,
/,
/,
1−
>=0
+ K > = 0. 3.7
Sebagai pendekatan awal dimisalkan 7" , = , 8" , =
dan Q" , = .
Dalam metode homotopi yang dibahas disini, penyelesaian persamaan (3.7)
dimisalkan berbentuk:
=
=
=
,"
,"
,"
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+ …
+ …
+ … 3.8
Jika persamaan (3.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), maka diperoleh
koefisien
"
berikut:
/ ," /7"
−
=0
/,
/,
dengan penyelesaian dalam bentuk
,"
=
.
Dengan cara yang sama didapat
,"
=
dan
,"
= .
(3.9)
(bukti pada lampiran A.3).
Koefisien
memberikan persamaan:
/ ,
−D+ E−
/,
/ ,
− H
/,
/ ,
− JI
/,
+ I
+ K
+
&FG
+
&FG
+ H
=0
=0
= 0. 3.10
Penyelesaian persamaan 3.10 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada
persamaan (3.10) terhadap t, sehingga diperoleh:
17
,
= , D − R −
,
= −I
= , IN
,
+H
−K
−H
−
STU
−
STU
. 3.11
,@ ,
Penurunan bentuk yang lain dari
,@
dan
,@
dapat dilihat pada lampiran (B.2).
, dan
Dengan demikian penyelesaian
dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi berbentuk:
=
=
=
,"
,"
,"
+
+
+
,
,
,
+
+
+
,
,
,
Untuk menggambarkan hubungan
+
+
+
,
,
,
+ …
+ …
+ … 3.12
, dan
yang dinyatakan oleh persamaan
(3.12), maka berikut ini diberikan data-data sebagai berikut:
s, yaitu laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah
putih, dipilih sebesar 0.1 mm per hari
r, yaitu laju proliferasi, dipilih sebesar 3 per hari
α, yaitu kematian alami sel darah putih sehat, sebesar 0.02 per hari
β, yaitu kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi, dipilih sebesar
0,3 per hari
γ, yaitu kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih, dipilih
sebesar 2.4 per hari
k, yaitu laju infeksi, dipilih sebesar 0.0027 mm3 per hari
Tmax, yaitu populasi maksimum sel T pada poliferasi, dipilih sebesar 1500
mm3, dan
N, yaitu jumlah total virus yang diproduksi oleh sel I selama waktu hidupnya,
dipilih sebesar 10 per hari.
Berdasarkan data tersebut di atas, maka penyelesaian untuk , dan
keenam adalah:
hingga orde
18
T = 0.1 + 0.397953 t + 0.592849 , + 0.588699 t + 0.437846 t B
+ 0.259247 t C + 0.12579 t Y
I = 0.000027 − 8.1 × 10*Y t + 0.000022596 t − 0.00009467 t
+ 0.000362153 t B + 0.00008222 t C − 0.00131937 t Y
V = 0.1 − 0.239919 t + 0.287891 t − 0.23029 t + 0.138103 t B
− 0.0663042 t C + 0.0265732 t Y
, dan
Penurunan persamaan untuk
dengan bantuan software Mathematica
diberikan pada lampiran (A.3)
Galat antara penyelesaian untuk , dan
untuk , dan
orde keenam dan penyelesaian
orde ketiga terhadap penyelesaian numeriknya diberikan pada
Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Galat penyelesaian
, dan
orde keenam dan orde ketiga dengan
penyelesaian numeriknya.
t
I
Orde 3
Orde 6
Orde 3
Orde 6
Orde 3
Orde 6
0
0
0
0.000027
0.000027
0
0
0.1
1.84x10-5
2.81x10-5
2.34x10-5
2.35x10-5
6.47x10-6
6.71x10-6
0.2
7.15x10-4
7.62x10-5
1.95x10-5
2.00x10-5
1.90x10-4
1.11x10-5
0.3
4.13x10-3
1.40x10-4
1.46x10-5
1.67x10-5
9.62x10-4
1.50x10-5
0.4
1.42x10-2
1.52x10-4
8.16x10-5
1.28x10-5
2.94x10-3
2.68x10-5
0.5
3.75x10-2
1.40x10-4
3.17x10-6
4.27x10-6
6.90x10-3
7.37x10-5
0.6
8.42x10-2
1.45x10-2
1.14x10-5
1.96x10-5
1.38x10-3
2.24x10-4
0.7
1.68x10-1
5.43x10-3
2.56x10-5
8.01x10-5
2.45x10-2
6.21x10-4
0.8
3.13x10-1
1.54x10-2
4.37x10-4
2.12x10-4
4.03x10-2
1.53x10-3
0.9
5.45x10-1
3.80x10-2
6.60x10-4
4.81x10-4
6.22x10-2
3.41x10-3
1
9.07x10-1
8.44x10-2
9.32x10-4
9.68x10-4
9.14x10-2
6.95x10-3
Dari Tabel 2 terlihat bahwa galat yang muncul untuk
, dan
dengan
menggunakan orde enam lebih kecil dari galat untuk orde tiga. Dengan demikian
penyelesaian dengan menggunakan orde enam lebih baik dari orde tiga, sehingga
pembahasan selanjutnya akan menggunakan penyelesaian hingga orde keenam.
19
Nilai ini semakin membesar seiring dengan bertambahnya waktu. Ini menunjukan
bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin dekat dengan
penyelesaian eksaknya. Selain itu dengan menggunakan orde keenam penyelesaian
pendekatan dengan metode perturbasi homotopi dapat dianggap mendekati
penyelesaian sesungguhnya.
Grafik penyelesaian untuk , dan
untuk orang dewasa diberikan dalam
Gambar 3
T t
2.5
it
0.000026
2.0
0.000024
1.5
0.000022
0.00002
1.0
0.000018
0.5
0.000016
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
V t
0.10
0.08
0.06
0.04
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gambar 3 Grafik penyelesaian untuk , dan
0.6
t
untuk orang dewasa.
Dari Gambar 3 terlihat bahwa jumlah populasi sel T orde 6 meningkat
sebesar 2.4 pada hari pertama. Hal ini disebabkan karena sel T CD4+ terus
diproduksi oleh limposit T helper dan proses poliferasi sel darah putih, sedangkan
sel I menurun dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 14 jam 24 menit.
Penurunan ini terjadi karena kondisi sel darah putih terinveksi virus HIV tidak
20
dapat bertahan di dalam populasi. Pada gambar 3, Jumlah virus juga menurun dan
mengalami kepunahan setelah kira-kira 16 jam 12 menit. Penurunan ini terjadi
karena pada kondisi ini virus tidak dapat bertahan di dalam populasi dan akhirnya
virus akan punah.
Perbandingan galat
, dan
antara penyelesaian numerik dengan nilai
pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam untuk
kasus orang dewasa diberikan dalam Tabel 3.
Tabel 3 Galat Penyelesaian , dan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa.
t
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
2.05117 x10-6
2.34919 x10-5
6.70866 x10-6
0.2
4.2779 x10-6
2.00144 x10-5
1.11087 x10-5
0.3
6.64464 x10-6
1.67462 x10-5
1.50448 x10-5
0.4
9.17145 x10-6
1.286949 x10-5
2.67794 x10-5
0.5
1.18631 x10-5
4.27226 x10-6
7.36792 x10-5
0.6
1.47315 x10-5
1.96298 x10-5
2.24173 x10-4
0.7
1.77776 x10-5
8.01148 x10-5
6.21813 x10-4
0.8
2.10083 x10-5
2.14257 x10-4
1.53239 x10-3
0.9
2.44327 x10-5
4.81005 x10-4
3.40569 x10-3
1
2.80585 x10-5
9.68211 x10-4
6.95276 x10-3
Pada Tabel 3 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 2.80585 x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian
dengan metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
9.68211 x10-4 dan galat untuk fungsi
yang muncul antara penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
6.95276 x10-3.
21
, dan
Gambar 4 menyatakan grafik penyelesaian
(manula), dengan D dan
pada orang tua
dibuat seperdua dari kasus orang dewasa, sedangkan
E, I, K dibuat dua kali dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena pada
lanjut usia sel darah putih yang di produksi orang tua lebih sedikit dari orang
dewasa.
T t
it
0.5
0.00004
0.4
0.00003
0.3
0.00002
0.2
0.00001
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
t
V t
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Gambar 4 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang tua (manula) ketika
s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 1.5,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1.
Pada Gambar 4, poliferasi dan laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh
limposit T helper sel darah putih menurun menjadi setengahnya, sedangkan laju
kematian alami, baik kematian alami sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel
T naik dua kali lipatnya. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang
diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka jumlah sel
darah putih sehat meningkat sebesar 0.55 pada hari pertama. Nilai ini lebih kecil
bila dibandingkan dengan nilai pada kasus orang dewasa. Sel darah putih yang
sudah terinveksi akan naik setelah kira-kira 10 jam, dan akan menurun setelah kira-
22
kira 12 jam dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 18 jam. Jumlah virus
yang menginfeksi mula-mula akan menurun dan akan mengalami peningkatan
populasi setelah kira-kira 13 jam dan akan terus meningkat lebih cepat bila
dibandingkan dengan penurunan pada waktu mula-mula. Namun perbandingan
jumlah virus yang menginfeksi dengan sel darah putih sehat masih lebih banyak sel
darah putih sehat.
dengan menggunakan metode perturbasi
Tabel 4 Galat penyelesaian , dan
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula).
t
T
I
V
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
1.0149 x10-6
2.2818 x10-5
1.18521 x10-5
0.2
2.06747 x10-6
1.96048 x10-5
3.03448 x10-5
0.3
3.1566 x10-6
1.93295 x10-5
2.33927 x10-4
0.4
4.28342 x10-6
2.3695x10-5
1.55079 x10-3
0.5
5.449 x10-6
3.14497 x10-5
6.97483 x10-3
0.6
6.6544 x10-6
3.47335 x10-5
2.37962 x10-2
0.7
7.90066 x10-6
1.44597 x10-5
6.68655 x10-2
0.8
9.18557 x10-6
6.52689 x10-5
1.62963 x10-1
0.9
1.05165x10-5
2.63708 x10-4
3.56318 x10-1
1
1.18194x10-5
6.70986 x10-4
7.15307 x10-1
Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 1.18194x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian
dengan metode perturbasi homotopi dan
6.70986 x10-4 dan galat untuk fungsi
metode perturbasi homotopi dan
dengan metode numerik terbesar sekitar
yang muncul antara penyelesaian dengan
dengan metode numerik terbesar sekitar 7.15307
x10-1. Galat yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada
setelah waktu tersebut jumlah sel T CD4+ yang dihasilkan limposit T helper
semakin berkurang.
23
Gambar 5 menyatakan grafik penyelesaian
dengan D dan
, dan
pada anak-anak,
dibuat dua kali dari kasus orang dewasa, sedangkan E, I, K dibuat
seperdua dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena anak-anak yang
masih dalam masa pertumbuhan masih memproduksi sel darah putih yang relatif
banyak bila dibandingkan dengan orang dewasa dan manula, dan memiliki faktor
kematian yang masih sedikit. Jadi perbandingan pertambahan sel darah putihnya
menjadi dua kali dari kasus orang dewasa dan faktor kematiannya menjadi
setengahnya kasus orang dewasa.
T t
it
30
0.00003
25
0.000028
20
0.000026
0.000024
15
0.000022
10
0.00002
0.000018
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.1
0.2
0.8
1.0
0.3
0.4
t
V t
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.2
0.4
0.6
t
Gambar 5 Grafik penyelesaian untuk , dan
untuk kasus pada anak-anak
ketika s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = 0.0027, Tmax = 1500,
r = 6, N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1.
Pada Gambar 5, saat laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh limposit T
helper sel darah putih dan laju poliferasi meningkat dua kali lipat dibandingkan
dengan kasus orang dewasa, sedangkan laju kematian alami, baik kematian alami
sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel T menurun setengahnya dari kasus
orang dewasa. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang
diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka peningkatan
24
jumlah sel T pada anak-anak jauh lebih besar per satuan waktu dibandingkan
dengan kasus pada orang dewasa dan kasus pada orang tua sebesar 31.9 pada hari
pertama. Sel I lebih cepat menuju 0 per satuan waktu bila dibandingkan kasus
pada orang dewasa setelah kira-kira 11 jam. Jumlah virus yang menginfeksi sel T
akan terus menurun dan akan punah setelah sehari, dan virus akan cepat punah
sehingga proses penyembuhan berjalan lebih cepat dari kedua kasus sebelumnya.
dengan menggunakan metode perturbasi
Tabel 5 Galat penyelesaian , dan
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Anak-anak.
t
T
I
V
0
0
2.7 x10-5
0
0.1
4.1897 x10-3
2.2612 x10-5
1.0022 x10-2
0.2
8.7648x10-3
1.5702 x10-5
1.6773 x10-2
0.3
1.3753 x10-2
4.7431 x10-6
2.1077 x10-2
0.4
1.9183 x10-2
1.3818 x10-5
2.3564 x10-2
0.5
2.5087 x10-2
4.8465 x10-5
2.4694 x10-2
0.6
3.1499 x10-2
1.1685 x10-4
2.4772 x10-2
0.7
3.8453 x10-2
2.5155 x10-4
2.3941x10-2
0.8
4.5988 x10-2
5.0776 x10-4
2.2152 x10-2
0.9
5.4144 x10-2
9.7314 x10-4
1.9124 x10-2
1
6.2964 x10-2
1.7805 x10-3
1.4274 x10-2
Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi
penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan
yang muncul antara
dengan metode numerik
terbesar sekitar 6.2964 x10-2, galat untuk yang muncul terbesar sekitar 1.78058
x10-3 dan galat untuk fungsi
yang muncul terbesar sekitar 1.42742 x10-2. Galat
yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada setelah waktu
tersebut jumlah sel T CD4+ yang dihasilkan limposit T helper semakin berkurang.
Oleh karena galat yang diperoleh relatif besar yang berarti penyelesaian
pendekatannya jauh dari penyelesaian eksaknya, maka kasus pada orang tua
(manula) dan anak-anak perlu dikaji lagi untuk mendapatkan penyelesaian yang
mendekati penyelesaian eksaknya dengan cara menambah orde pendekatannya.
BAB 4
SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Metode perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model
infeksi HIV pada sel darah putih yang bentuknya taklinear khususnya pada kasus
orang dewasa. Galat yang dihasilkan dari metode perturbasi homotopi pada kasus
ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati
penyelesaian yang sesungguhnya.
Analisis penyelesaian pada model infeksi virus HIV pada sel darah putih
dibagi menjadi tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa. Sebagai acuan,
kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel
darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. dan ketiga kasus pada anak-anak
dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju
kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan
lebih lambat dan populasi virus HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam
setelah faktor penambah sel darah putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang
dihasilkan lebih besar dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih
terinfeksi dan virus akan stabil dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem).
Namun banyak sedikitnya jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih
terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu berpengaruh karena lama kelamaan
jumlah virus akan berkurang oleh faktor kematian alaminya.
4.2 Saran
Dalam penelitian ini metode perturbasi homotopi yang digunakan untuk
menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih hanya hingga orde
keenam. Penyelesaian akan menjadi akurat bi