Penyelesaian Model Epidemi SEIV dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
PENYELESAIAN MODEL EPIDEMI SEIV
DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
HANI ASRI GUARDIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Model
Epidemi SEIV dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Hani Asri Guardiani
NIM G54100046
ABSTRAK
HANI ASRI GUARDIANI. Penyelesaian Model Epidemi SEIV dengan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan
ALI KUSNANTO.
Model epidemi SEIV merupakan salah satu model matematika untuk
penyebaran penyakit menular. Contoh penyakit menular yang sesuai dengan
model ini adalah polio dan rabies. Salah satu cara untuk menangani merebaknya
penyakit menular adalah dengan vaksinasi. Model epidemi SEIV telah melibatkan
faktor vaksinasi, dan bentuknya taklinear. Penyelesaian model epidemi SEIV ini
dilakukan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode
perturbasi homotopi, didefinisikan operator linear dan taklinear berdasarkan
persamaan diferensial yang muncul pada model epidemi SEIV. Grafik
penyelesaian yang diperoleh dari metode perturbasi homotopi dan metode
numeriknya menunjukkan kedua grafik penyelesaian tersebut berhimpit. Simulasi
diberikan dengan mengubah nilai parameter dari model epidemi SEIV dan tetap
memberikan galat yang kecil.
Kata kunci: model epidemi SEIV, masalah taklinear , metode perturbasi homotopi
ABSTRACT
HANI ASRI GUARDIANI. SEIV Epidemic Model Solution using the Homotopy
Perturbation Method. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
SEIV epidemic model is one of mathematical models for the spread of
infectious diseases. Examples of infectious diseases that correspond to this model
are polio and rabies. One way to handle the spread of infectious diseases is by
vaccination. SEIV epidemic model has involved factor of vaccination, and it has
nonlinear form. Solution of SEIV epidemic model is constructed by using the
perturbation homotopy method. In homotopy perturbation method, linear operator
and nonlinear operator are defined by differential equations those arise in SEIV
epidemic model. The graph of solutions obtained by the homotopy perturbation
method and that by the numerical method are coincide. Simulations which are
given by changing the parameter values of the SEIV epidemic model provided
small differences.
Keywords: SEIV epidemic model, nonlinear problem, perturbation homotopy
method
PENYELESAIAN MODEL EPIDEMI SEIV
DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
HANI ASRI GUARDIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya karya ilmiah dengan judul Penyelesaian Model Epidemi SEIV
dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat diselesaikan. Penulisan
karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Papa dan mamaku tercinta, Ir Sudarwoko dan Leila Emilia, beserta adikadikku, Bayu Tirto Guardianto dan Alya Mareta Guardiana yang telah
memberikan dukungan moral maupun material serta doa yang tulus agar
penulis selalu diberikan yang terbaik oleh Allah SWT
2. Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi, masing-masing selaku
Pembimbing Pertama dan Kedua yang telah banyak meluangkan
waktunya untuk memberikan ilmu, motivasi, serta perhatian selama
pembuatan karya ilmiah ini.
3. Bapak Drs Siswandi, MSi selaku penguji yang telah memberikan arahan
dan masukan dalam pembuatan karya ilmiah ini.
4. Dosen dan staf kependidikan Departemen Matematika atas semua ilmu
dan bantuannya.
5. Kakak-kakak dan adik-adik Matematika 45, 46, dan 48 yang telah
memberikan masukan dan bantuannya.
6. Teman-teman Matematika 47 salam ceria, serta teman-teman lainnya
yang telah mendukung saya. Semoga kita diberikan kemudahan dalam
menjalani kehidupan kita di waktu yang akan datang.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, November 2014
Hani Asri Guardiani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Matematika
2
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Analisis Metode
7
Aplikasi Metode
9
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
1 Notasi parameter pada model epidemi SEIV.
2 Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksak untuk masalah nilai awal (7) dan (8).
3 Data parameter yang digunakan dalam model epidemi SEIV.
4 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik orde enam
pada model epidemi SEIV.
5 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama.
6 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua.
4
7
11
12
23
23
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram kompertemen laju penyebaran penyakit pada model
SEIV.
2 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada model epidemi SEIV.
3 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada kasus pertama.
4 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada kasus kedua.
epidemi
3
metode
13
metode
15
metode
17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penyelesaian eksak m.n.a (8) dan (9).
2 Penyelesaian m.n.a (8) dan (9) menggunakan metode perturbasi
homotopi.
3 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama untuk t [0,1].
4 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua untuk t [0,1].
20
21
23
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saat ini, Indonesia menghadapi masalah kesehatan yang cukup serius, yaitu
dimana penyakit menular seperti rabies dan polio merebak dengan pesat. Hal ini
ditunjukkan oleh adanya landasan hukum UU No. 4 Tahun 1984 mengenai wabah
penyakit menular. Dalam pengertian medis, penyakit menular adalah penyakit
yang disebabkan virus, bakteri atau parasit dan bukan disebabkan faktor fisik
seperti luka bakar atau kimia seperti keracunan. Menurut Riset Kementerian Dasar
(Riskesdas) pada tahun 2007 oleh Kementerian Kesehatan RI, diperoleh bahwa
persentase individu yang terjangkit penyakit menular mencapai 28,1%. Hal ini
memerlukan penanganan yang lebih mendalam untuk meminimalisir penyakit
menular tersebut. Salah satu penanganan yang dapat dilakukan, yaitu dengan
vaksinasi atau menambah antibodi individu tersebut hingga penyembuhan secara
medis.
Model epidemi SEIV (Susceptible, Exposed, Infected, Vaccinated)
merupakan salah satu model matematika tentang penyebaran penyakit menular
yang telah dikembangkan. Model ini adalah hasil peninjauan lebih lanjut dari
model sebelumnya yang telah ada, yaitu model epidemi SIR (Susceptible,
Infected, Recovered) oleh (Murray 2002). Model epidemi SIR adalah model yang
mengabaikan inkubasi penyakit sehingga sekali terinfeksi, maka setiap individu
yang rentan menjadi terinfeksi dan kemudian pulih.
Semakin berkembangnya bidang ilmu matematika, maka banyak model
matematika lebih khusus yang dibangun untuk mempelajari model penularan
penyakit seperti model epidemi SEIV ini. Adapun penelitian yang terkait model
ini antara lain: sifat dinamis untuk epidemi SEIV (Hikal 2014), pemodelan
penyebaran polio dengan menggunakan vaksinasi (Agarwal dan Bhadauria 2011),
dan sistem dinamik dari epidemi rabies dan upaya pengendalian di Guangdong,
China (Hou et al. 2012). Semakin menyebarnya dampak yang ditimbulkan
penyakit ini, maka diperlukan penelitian lebih lanjut tentang model epidemi SEIV.
Penelitian model epidemi SEIV yang dibahas dalam karya ilmiah ini,
dilakukan dengan menyelesaikan model matematika tersebut. Model ini mengacu
pada (Islam et al. 2013) berbentuk sistem persamaan diferensial taklinear. Dalam
banyak kasus, masalah taklinear sulit untuk diselesaikan sehingga diperlukan
suatu metode khusus untuk menyelesaikannya. Salah satu metode yang dapat
digunakan dalam menyelesaikan masalah taklinear adalah metode perturbasi
homotopi yang akan diaplikasikan pada model epidemi SEIV.
Metode perturbasi homotopi merupakan metode yang diperkenalkan oleh
(He 1999). Metode perturbasi homotopi merupakan kombinasi antara metode
perturbasi dan metode homotopi. Metode homotopi melibatkan parameter bantu
yang dapat digunakan untuk penyesuaian dan pembatasan daerah kekonvergenan
serta tingkat hampiran yang sesuai, kemudian dapat mengefisienkan penyelesaian
hampiran dari masalah taklinear (Liao 2004). Metode perturbasi homotopi
menggunakan nilai parameter bantu yang khusus, sehingga metode ini merupakan
kasus khusus dari metode homotopi. Metode perturbasi homotopi memberikan
penyelesaian pendekatan dan dilakukan secara sederhana dan efisien. Metode
2
perturbasi homotopi juga telah digunakan oleh (Jaharuddin 2014) untuk
menyelesaikan model SEIR dengan jumlah populasi yang bervariasi. Oleh karena
itu, penyelesaian model epidemi SEIV ini akan diselesaikan menggunakan metode
perturbasi homotopi.
Tujuan Penulisan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
1 Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model
epidemi SEIV, kemudian membandingkan penyelesaiannya dengan
penyelesaian metode numerik,
2 Menggambarkan grafik penyelesaian model epidemi SEIV,
3 Menginterpretasikan hasil-hasil yang diperoleh dari metode perturbasi
homotopi pada penyelesaian model epidemi SEIV.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi pembahasan model Epidemi SEIV,
konsep dasar metode perturbasi homotopi dari (Jaharuddin 2008), serta suatu
contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Model Matematika
Model penyebaran penyakit yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah
model epidemi SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model ini
digunakan untuk menggambarkan individu yang telah terserang penyakit, tetapi
tidak ada fase penyembuhan permanen. Namun, penyakit tersebut dapat dicegah
dengan vaksinasi kepada individu yang rentan. Contoh penyakit yang sesuai
dengan model epidemi SEIV adalah rabies dan polio.
Pada model epidemi SEIV ini dibagi menjadi 4 jenis populasi yaitu,
populasi individu rentan (susceptible) dinotasikan dengan S, populasi individu
yang terjangkit tetapi belum terinfeksi (exposed) dinotasikan dengan E, populasi
individu yang terinfeksi penyakit (infected) dinotasikan dengan I, dan populasi
individu yang telah divaksinasi (vaccinated) dinotasikan dengan V. Populasi
exposed merupakan populasi yang masuk dalam masa inkubasi, yaitu masa
dimana masuknya virus ke dalam populasi yang rentan sampai timbul gejalagejala penyakit yang dideritanya. Model penyebaran penyakit diturunkan
menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang dapat digunakan
dalam penurunan model penyebaran penyakit didasarkan pada (Hethcote 2000)
sebagai berikut:
3
a Jumlah populasi cukup besar,
b Populasi tertutup, artinya tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi
atau keluar dari populasi tersebut,
c Jumlah kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu adalah sama,
d Tidak ada fase penyembuhan permanen, tetapi ada fase penyembuhan
sementara,
e Keefektifan vaksin tidak 100%,
f Hanya ada kematian secara alami, sehingga tidak ada kematian yang
disebabkan penyakit tersebut.
Berikut merupakan diagram kompartemen penyebaran penyakit dari model
epidemi SEIV yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram Kompartemen laju penyebaran penyakit pada model epidemi
SEIV
Berdasarkan Gambar 1, besarnya populasi rentan terhadap penyakit (S)
dipengaruhi oleh laju kelahiran dan laju penurunan kekebalan vaksin. Setiap
populasi yang rentan terhadap penyakit dilakukan pencegahan dengan vaksinasi,
sehingga populasi tersebut masuk dalam populasi yang telah divaksinasi (V).
Populasi yang rentan terhadap penyakit melakukan kontak dengan populasi yang
telah terinfeksi (I), maka sebelum masuk ke populasi infected terlebih dahulu
masuk ke dalam populasi exposed, yaitu populasi yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (E). Populasi yang telah terinfeksi juga diberikan vaksinasi sehingga
masuk dalam kompartemen vaksinasi. Masing-masing populasi akan berkurang
karena adanya pengaruh laju kematian alami, seperti bencana alam dan
sebagainya.
Dengan demikian, model penyebaran penyakit epidemi SEIV dalam kasus
ini dapat dirumuskan dalam sistem persamaan diferensial taklinear yang mengacu
pada (Islam et al. 2013) sebagai berikut
4
(1)
Notasi yang ada dalam persamaan (1) dijelaskan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Notasi parameter pada model epidemi SEIV
Notasi
Keterangan
Laju kelahiran
Laju penularan penyakit populasi rentan ke
populasi yang terinfeksi
Laju kematian alami
Laju penurunan kekebalan penyakit
n
Laju penularan penyakit populasi exposed ke
populasi yang terinfeksi
Laju individu yang sembuh sementara
q
Proporsi dari individu yang sembuh sementara
Laju perubahan perilaku dari populasi rentan
ke populasi yang terinfeksi
Satuan
-
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
Berikut akan dibahas penyelesaian model matematika dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Metode ini menggunakan ilustrasi dasar yang
mengacu pada (Jaharuddin 2008). Misalkan diberikan persamaan diferensial
berikut
A [u(r)] = 0, r
(2)
dimana A merupakan suatu operator turunan yang taklinear dan u(r) merupakan
fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas . Didefinisikan
pula suatu operator linear L yang memenuhi
L[f] = 0, bila f = 0.
(3)
Operator A dalam persamaan diferensial (2) dapat dibagi menjadi dua
bagian, yaitu L dan N yang masing-masing merupakan operator linear dan
taklinear. Sehingga persamaan diferensial (2) dapat ditulis
L[u] + N[u] = 0.
(4)
5
Misalkan (r) pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2). Selanjutnya,
didefinisikan fungsi real
: x [0,1]
dengan p [0,1], dimana p
adalah suatu parameter dan suatu fungsi H sebagai berikut
H(, p) = (1 – p) L[ – ] + p A[]
atau
H(, p) = L[] + p A[] – (1 – p)L[ ].
(5)
Berdasarkan persamaan (5), untuk parameter p = 0 dan p = 1 masing-masing
akan mendapatkan persamaan berikut
H( ( , 0),0) = L[ ( , 0) –
]
dan
H( ( , 1),1) = A [ ( , 1)].
Sehingga menurut persamaan (2) dan persamaan (3) diperoleh bahwa fungsi
( , 0) =
dan
( , 1) =
,
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
H( ( , 0),0) = 0
dan
H( ( , 1),1) = 0.
Adanya peningkatan nilai p dari 0 ke 1 merupakan perubahan nilai H(, p)
dari L[ – ] ke A[]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. Proses
deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada
deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal , sedangkan deformasi orde
(n = 1, 2, 3 …)
tinggi memberikan penyelesaian
. Untuk menentukan
dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan (5) diturunkan terhadap p hingga n kali
dan dihitung pada p = 0 kemudian dibagi oleh n!, maka diperoleh persamaan
berikut
Deret Taylor dari fungsi ( , p) terhadap p adalah
atau
(6)
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
yang dinyatakan pada
persamaan (6) merupakan penyelesaian dari persamaan
H
.
Berdasarkan persamaan (5), maka diperoleh
A
.
L
Jadi, untuk
dari persamaan (6) diperoleh
Karena
, maka diperoleh
6
(7)
Hasil dari persamaan (7) menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak
dan
,
yang
dari persamaan (2) dengan pendekatan awal
diperoleh
akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan
dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (6) disubstitusikan
ke dalam persamaan (5), sehingga diperoleh
dengan menyamakan koefisien
perpangkatan . Fungsi
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian
.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan suatu masalah yang dinyatakan oleh sistem
persamaan diferensial berikut
(8)
dengan syarat awal
,
.
Penyelesaian eksak dari masalah nilai awal persamaan (8) dan (9) adalah
(9)
.
(10)
Penurunan persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1. Berikut ini akan dicari
penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (8) dan (9) dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan (5) dan persamaan (8)
diperoleh persamaan berikut
(11)
Misalkan penyelesaian persamaan (11) dinyatakan dalam persamaan berikut
(12)
Persamaan (8) dan (9) akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi. Jika persamaan (12) disubstitusikan ke dalam persamaan (11),
kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan p, maka koefisien
memberikan
(13)
Jika persamaan (13) diintegralkan terhadap t dan memilih
Bentuk lain dari
,
, maka diperoleh
dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 diuraikan pada Lampiran 2.
= 1,
dan
7
Jadi, diperoleh penyelesaian untuk x dan y dari persamaan (8) dengan syarat
awal x(0) = 1 dan y(0) = 0, dengan metode perturbasi homotopi hingga orde ke
enam sebagai berikut
Berikut ini diberikan Tabel 2, yaitu selisih antara penyelesaian metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya.
Tabel 2 Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dan penyelesaian
eksak untuk masalah nilai awal (8) dan (9)
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|xeksak - xMPH|
0
3.12
2.38
7.70
1.74
3.17
4.91
6.45
6.77
4.04
4.63
|yeksak - yMPH|
0
4.53
1.64
3.36
5.44
7.75
1.02
1.28
1.54
1.81
2.10
Berdasarkan Tabel 2 galat yang dihasilkan oleh metode perturbasi homotopi
pada beberapa selang t kecil. Rata-rata galat yang dihasilkan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi untuk x dan y masing-masing adalah
3.45 10-3 dan 9.61 10-3. Hal ini menunjukkan bahwa metode pertubasi
homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak untuk sistem
persamaan diferensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan.
Selanjutnya metode ini akan diterapkan pada model epidemi SEIV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Metode
Berikut ini perluasan metode perturbasi homotopi yang telah dijelaskan
pada Tinjauan Pustaka. Misalkan diberikan fungsi
. Fungsi tersebut
merupakan fungsi yang tergantung pada parameter r, p, h dan T, dengan T adalah
fungsi bantu. Didefinisikan pula fungsi H sebagai berikut
H
L
h T (r) A
.
(14)
8
Misalkan fungsi
adalah penyelesaian dari persamaan
H
atau
h T(r) A
L
atau
L
Berdasarkan parameter (13), persamaan
h T(r) A
(15)
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
H
=0
dan
H
= 0.
Adapun beberapa hal yang memengaruhi penyelesaian-penyelesaian di atas
yaitu, parameter bantu h dan T(r), pendekatan awal , dan operator linear L. Jadi
beberapa hal tersebut, dapat menjamin adanya fungsi
dan turunanturunannya terhadap p untuk setiap p = 0 dan p = 1. Jika persamaan (5) diturunkan
terhadap p hingga n kali dan dihitung pada p = 0 kemudian dibagi oleh n!, maka
diperoleh persamaan berikut
Deret Taylor dari fungsi
terhadap p = 0 adalah
atau
(16)
Pemilihan parameter-parameter di atas juga memengaruhi kekonvergenan dari
deret di p = 1. Jadi untuk parameter p = 1, maka didapatkan persamaan berikut
Karena
, maka didapatkan
(17)
Hasil dari persamaan (17) dan persamaan (2) menunjukkan hubungan antara
dan
penyelesaian eksak yang diberikan dengan pendekatan awal
dimana n = 1, 2, 3, … y g
e
. Per m
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dengan metode ini
akan memberikan penyelesaian dari persamaan (16), dimana fungsi
pada persamaan (16) dsubstitusikan pada persamaan (15).
9
Apikasi Metode
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model epidemi SEIV. Model matematika yang ditinjau
adalah dari persamaan (1) yang dituliskan sebagai berikut
dengan nilai awal S(0) = S0, E(0) = E0, I(0) = I0, dan V(0) = V0. Misal
didefinisikan operator linear berikut
.
Berdasarkan dari persamaan (14) dan persamaan (1) diperoleh
(18)
Dalam metode perturbasi homotopi, penyelesaian persamaan (18) dimisalkan
dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut
.
(19)
dengan p [0,1] suatu parameter dan S0(t), E0(t), I0(t), dan V0(t) merupakan
pendekatan awal dari penyelesaian yang dipilih sembarang. Jika persamaan (18)
disubstitusikan ke persamaan (18), maka akan diperoleh koefisien
dengan
persamaan
10
(20)
Koefisien p2 memberikan persamaan
(21)
Koefisien p3 memberikan persamaan
(22)
Koefisien p4memberikan persamaan
(23)
11
Koefisien p5 memberikan persamaan
(24)
Koefisien p6 memberikan persamaan
(25)
Parameter-parameter pada persamaan (1) diberikan pada Tabel 3 yang mengacu
pada (Islam et al. 2013).
Tabel 3 Data parameter yang digunakan dalam model epidemi SEIV
Notasi
n
q
Keterangan
Laju kelahiran
Laju penularan penyakit populasi rentan
ke populasi yang terinfeksi
Laju kematian alami
Laju penurunan kekebalan penyakit
Laju penularan penyakit populasi exposed
ke populasi yang terinfeksi
Laju individu yang sembuh sementara
Proporsi dari individu yang sembuh
sementara
Laju perubahan perilaku dari populasi
rentan ke populasi yang terinfeksi
Nilai
2.00 100
7.80 10-4
5.20 10-4
3.00 10-2
8.70 10-3
9.30 10-3
4.00 10-1
1.00 10-2
12
Adapun syarat awal yang diberikan yaitu S0(t) = 100, E0(t) = 8, I0(t) = 10, dan
V0(t) = 20. Selanjutnya, persamaan (19) - (24) diintegralkan terhadap t dan
substitusi nilai parameter dan syarat awal yang telah diberikan. Dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam, didapat
penyelesaian S, E, I, dan V adalah
Hasil dari penyelesaian mengunakan metode perturbasi homotopi akan
dibandingkan dengan hampiran numerik yang diperoleh menggunakan bantuan
software berbasis fungsional sehingga didapat selisih galat yang diperoleh pada
Tabel 4.
Tabel 4
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Galat metode perturbasi homotopi dan metode numerik orde enam pada
model epidemi SEIV
|SMN – SMPH|
0
1.10 10-7
5.70 10-7
1.00 10-7
1.17 10-7
1.14 10-7
1.23 10-7
1.86 10-7
3.63 10-7
7.24 10-7
1.38 10-6
|EMN – EMPH|
0
1.04 10-7
5.94 10-7
1.01 10-7
1.15 10-7
9.60 10-7
6.20 10-7
3.20 10-7
2.10 10-7
2.70 10-7
7.30 10-7
|IMN - IMPH|
0
2.00 10-9
1.60 10-8
2.70 10-8
3.00 10-8
2.30 10-8
1.40 10-8
8.00 10-9
6.00 10-9
1.00 10-8
2.50 10-8
|VMN - VMPH|
0
0
1.00 10-8
1.00 10-8
0
1.00 10-8
0
1.00 10-8
0
0
1.00 10-8
Berdasarkan Tabel 4, dapat dilihat bahwa galat yang dihasilkan
menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode numeriknya pada populasi
S, E, I, dan V sangat kecil. Rata-rata galat yang dihasilkan oleh metode ini pada
selang waktu t [0,1] untuk populasi S, E, I, dan V masing-masing adalah 3.30
10-7, 5.97 10-7, 1.61 10-8, dan 5.00 10-9. Populasi S, E, I, dan V ini akan
tetap memberikan selisih galat yang kecil pada selang waktu t yang berbeda-beda
masing-masing, [0, 4.60], [0, 6.65], [0, 8.50], dan [0, 12.08]. Adapun grafik
penyelesaian model epidemi SEIV diberikan pada Gambar 2.
13
Gambar 2 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada model epidemi SEIV
14
Dari Gambar 2, diperoleh bahwa dalam keadaan populasi jangka panjang
pada model epidemi SEIV ini menunjukkan hasil populasi S akan mengalami
penurunan, tetapi sebaliknya pada populasi E, I, dan V mengalami kenaikan. Pada
populasi S akan konvergen ke nol setelah t = 84. Artinya, pada jangka panjang
populasi rentan ini akan menurun dan habis. Kondisi populasi jangka panjang
pada populasi E, I, dan V menunjukkan populasi akan terus meningkat dan
konvergen masing-masing ke 205 pada t = 1000, ke 120 pada t = 700, ke 55 pada t
= 850.
Selanjutnya setelah didapatkan penyelesaian model epidemi SEIV yang
parameternya mengacu pada (Islam et al 2013), maka diperlukan pembanding jika
kondisi lingkungan populasi tersebut berubah. Pada bagian di bawah ini, akan
diberikan dua kasus, kasus pertama adalah kondisi parameter diubah yaitu, laju
penularan penyakit populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju
individu yang sembuh sementara () naik, dan kasus kedua sebaliknya. Perubahan
parameter tersebut hanya diperlakukan pada parameter n dan , sehingga nilai
parameter lainnya yang digunakan tetap.
Kasus pertama
Dalam kasus pertama dibahas kondisi dimana laju penularan penyakit
populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju individu yang
sembuh sementara () naik masing-masing diberikan nilai 8.70 x 10-4 dan 9.30 x
10-2. Penyelesaian persamaan (1) adalah sebagai berikut
Pada kasus pertama, rata-rata nilai galat yang diperoleh untuk populasi S, E. I, dan
V sangat kecil, yaitu masing-masing, 6.30 10-7, 1.15 10-7, 8.40 10-9 dan
1.30 10-8. Hal tersebut terlihat pada Lampiran 3. Waktu t akan tetap memberikan
nilai galat yang kecil pada selang t masing-masing [0, 6.52], [0, 6.22], [0, 9.55],
dan [0, 8.66]. Artinya, setelah t melebihi selang tersebut nilai galat yang
dihasilkan akan semakin membesar sehingga akan menjauhi grafik penyelesaian
numeriknya.
Pada populasi S konvergen ke 87 pada t = 700. Kondisi populasi E juga
terus meningkat dan akan konvergen ke 260 pada t = 750. Populasi I
menunjukkan penurunan dalam jangka panjang, yaitu perubahan nilai parameter
menghasilkan populasi yang baik karena populasi akan konvergen ke nol, artinya
dalam jangka panjang populasi yang terinfeksi ini akan terus berkurang dan akan
habis setelah t = 21. Pada populasi V menunjukkan populasi naik pada t = 21,
tetapi setalah itu t menurun hingga akhirnya meningkat dan akan konvergen ke 29
pada t = 610.
15
Gambar 3
Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada kasus pertama
16
Kasus kedua
Dalam kasus kedua akan dibahas kondisi laju penularan penyakit populasi
exposed ke populasi yang terinfeksi (n) naik dan laju individu yang sembuh
sementara () turun masing-masing diberikan nilai 8.70 x 10-2 dan 9.30 x 10-4.
Penyelesaian persamaan (1) adalah sebagai berikut
Pada selang waktu t [0,1], dapat dilihat perubahan pada nilai galat yang
dihasilkan pada Lampiran 3 sangat kecil. Pada populasi S, E, I, dan V masingmasing memberikan rata-rata galat 2.17 x 10-5, 2.92 x 10-7, 4.10 x10-7, dan 6,00 x
10-9. Nilai ini masih cukup tinggi jika dibandingkan dengan kondisi awal. Galat
yang kecil juga disebabkan oleh penggunaan orde tinggi dalam menyelesaikan
solusi dengan metode perturbasi homotopi. Adapun grafik penyelesaian yang
saling berhimpit antara metode homotopi perturbasi dan numeriknya pada
Gambar 4. Populasi yang rentan (S), populasi yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (E), populasi yang terinfeksi (I), dan populasi yang telah divaksinasi (V)
ini akan tetap memberikan selisih galat yang kecil pada selang waktu t yang
berbeda-beda masing-masing, yaitu [0, 5.82], [0, 7.05], [0, 5.44], dan [0, 5.85].
Setelah masing-masing populasi melebihi selang waktu t tersebut, maka grafiknya
akan mulai menjauhi grafik metode numeriknya.
Populasi jangka panjang yang terjadi pada kasus kedua ini dapat dilihat pada
Gambar 4. Populasi rentan terhadap penyakit (S) konvergen ke nol pada t = 18,5.
Artinya dalam jangka panjang populasi rentan ini akan punah. Populasi terjangkit
tetapi tidak terinfeksi (E) akan naik hingga t = 70. Setalah waktu t tersebut
populasi akan menurun dan konvergen ke 20 pada t = 60. Untuk populasi yang
telah terinfeksi (I) dan populasi yang telah tervaksin (V) pada jangka panjang
menunjukkan kenaikan dan masing-masing populasi akan konvergen ke 325 pada
t = 550 dan konvergen ke 31 pada t = 500.
17
Gambar 4
Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada kasus kedua
Dari kedua simulasi tersebut, terdapat nilai parameter telah diubah yaitu,
laju penularan penyakit populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) dan laju
individu yang sembuh sementara (). Dari hasil yang diperoleh menunjukkan
kondisi pada kasus pertama dan kasus kedua tetap memiliki tingkat akurasi yang
cukup tinggi antara metode perturbasi homotopi dengan numeriknya,
18
SIMPULAN
Model epidemi SEIV telah diselesaikan mengunakan metode perturbasi
homotopi. Penyelesaian dari model tersebut ditunjukkan pada grafik penyelesaian
untuk setiap populasi yang berhimpit antara penyelesaian menggunakan metode
perturbasi homotopi dengan metode numerik yang diperoleh dengan
menggunakan bantuan software berbasis fungsional. Metode perturbasi homotopi
yang digunakan hingga orde ke enam dan dihasilkan galat mencapai 5,00 x 10-9
dimana t
. Model epidemi SEIV ini berbentuk model taklinear, sehingga
metode perturbasi homotopi ini dapat digunakan untuk model taklinear karena
memberikan galat yang kecil.
Simulasi diberikan pada situasi jika besarnya lingkungan populasi tersebut
berubah. Kasus pertama adalah kondisi dimana, laju penularan penyakit populasi
exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju individu yang sembuh
sementara () naik, dan kasus kedua sebaliknya. Dari hasil yang diperoleh dalam
kasus pertama dan kasus kedua, tetap memberikan galat yang kecil antara hasil
yang diberikan metode perturbasi homotopi dan metode numeriknya.
SARAN
Penyelesaian model epidemi SEIV menggunakan metode perturbasi
homotopi dalam karya ilmiah ini dapat dibahas lebih lanjut ketika orde yang
digunakan lebih tinggi, serta asumsi-asumsi lainnya dipertimbangkan seperti laju
kematian akibat penyakit dianggap tidak konstan pada masing-masing populasi.
19
DAFTAR PUSTAKA
Agrawal M, Bhadauria AS. 2014. Modelling Spread of Polio with the Role of
Vaccanation. Applications and Applied Mathematics: an International
Journal (AAM). 6(2): 552-571.
He JH.1999. Homotopy Perturbation Tehcnique. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering. 178:257-262.
Hethcote HW. 2000. The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM Review.
42(4):599-653. doi: 10.1137/S0036144599371913.
Hikal MM. 2014. Dynamics Properties for a General SEIV Epidemic Model.
Electronic Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2(1):26-36.
Hou Q, Jin Z, Ruan S. 2012. Dynamics of Rabies Epidemics and The Impact of
Control Efforts in Guangdong Province, China. Journal of Theoritical of
Biology. 300:39-47. doi:10.1016/j.jtbi.2012.01.006.
Islam S, Zaman G, Saddiq SF, Khan MA, Khan SA, Ahmad F, Ullah M. 2013.
Analytical solution of an SEIV epidemic model by Homotopy Perturbation
method. VFAST Transactions on Mathematics. 1(2):1-7. [Internet]. [diunduh
2013 Sep 24]; Tersedia pada: http://www.vfast.org/index.php/VTM/article/
viewFile/43/58.
Jaharuddin. 2008. Analisis Homotopi dalam Penyelesaian suatu Masalah
Taklinear. Jurnal Matematika dan Aplikasinya. 7:6-16.
Jaharuddin. 2014. Homotopy Perturbation Method for A SEIR model with
Varying Total Population Size. Far East Journal of Mathematical Science.
84(2):187-198.
Liao S.2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis
Method. Boca Raton, London, New York Washington, D.C.
Murray JD. 2002. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition.
Volume ke- 17. Berlin: Springer-Verlag.
20
Lampiran 1 : Penyelesaian eksak m.n.a (8) dan (9).
Tinjau persamaan (8) berikut :
dengan syarat awal:
,
.
Penyelesaian eksak untuk y(t)
e g
me g
egr
e
r
m
dengan A =
k y(0) = 0, maka
Penyelesaian eksak untuk x(t)
e g
me g
egr
e
r
m
dengan B =
k x(0) = 1, maka
21
Lampiran 2 : Penyelesaian m.n.a (8) dan (9) dengan menggunakan metode
perturbasi.
Tinjau persamaan (8) berikut :
dengan syarat awal:
,
.
Jika persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan (10), maka diperoleh
(26)
dengan nilai awal x0(0) = 1 dan y0(0) = 0, dimana x0 dan y0 sebagai pendekatan
awal. Setelah dipisahkan bedasarkan derajat kepangakatan p seperti persamaan
(25), maka memberikan masing-masing persamaan berikut
22
(27)
Jika persamaan (27) diintegralkan terhadap t, maka koefisien p , p , p , p , p4,
p5, dan p6 masing-masing memberikan persamaan adalah
0
1
2
3
Sehingga didapatkan penyelesaian masalah nilai awal persamaan dengan syarat
awal x(0) = 1 dan y(0) = 0 hingga orde enam adalah
23
Lampiran 3: Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik
Tabel 5 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|SMN – SMPH|
0
2.60 10-7
1.30 10-7
1.99 10-7
1.95 10-7
1.53 10-7
1.55 10-7
3.00 10-7
6.82 10-7
1.45 10-6
2.81 10-6
|EMN – EMPH|
0
2.49 10-7
1.30 10-7
1.98 10-7
1.83 10-7
1.12 10-7
3.70 10-7
5.00 10-8
2.70 10-7
1.22 10-7
3.15 10-7
|IMN - IMPH|
0
1.00 10-9
8.00 10-9
1.90 10-8
1.20 10-8
8.00 10-9
6.00 10-9
3.00 10-9
4.00 10-9
9.00 10-9
1.90 10-8
|VMN - VMPH|
0
1.00 10-8
1.00 10-8
3.00 10-8
1.00 10-8
2.00 10-8
2.00 10-8
0
0
1.00 10-8
2.00 10-8
Lampiran 4: Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik
Tabel 6 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|SMN – SMPH|
0
1.20 10-7
6.10 10-7
1.34 10-7
4.76 10-7
1.72 10-6
5.12 10-6
1.29 10-5
2.86 10-5
5.80 10-5
1.09 10-4
|EMN – EMPH|
0
1.44 10-7
6.41 10-7
6.70 10-7
4.20 10-7
3.40 10-7
9.30 10-7
1.99 10-7
3.60 10-7
6.88 10-7
1.36 10-6
|IMN - IMPH|
0
2.00 10-8
1.20 10-7
1.00 10-7
7.00 10-8
8.00 10-8
1.90 10-7
3.20 10-7
5.10 10-7
9.30 10-7
1.76 10-7
|VMN - VMPH|
0
0
1.00 10-8
0
0
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
0
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis adalah putri pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Ir.
Sudarwoko dan Ibu Leila Emilia yang dilahirkan di Karawang pada tanggal 4 Juli
1992. Penulis pernah bersekolah di SDN Mardiyuana Labuan Banten sebelum
pindah ke SDN Kutakulon 1 Bondowoso Jawa Timur. Penulis lulus dari SMPN 3
Jember Jawa Timur pada tahun 2007 dan lulus dari SMAN 1 Jember Jawa Timur
pada tahun 2010. Pada tahun 2010 penulis terdaftar sebagai mahasiswa IPB
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) Departemen Matematika
Fakultas MIPA.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Serambi
Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (Serum-G) sebagai Staf Divisi Ekonomi dan
Manajemen periode 2011-2012 dan pengurus Gumatika sebagai Staf Divisi Sosial
dan Lingkungan periode 2011-2013. Penulis juga aktif sebagai pengurus
Koordinator Tutor Sebaya Asrama TPB-IPB sub bidang Ekonomi Umum dan
Club Ilmiah Asrama periode 2010-2011. Penulis menjadi tutor sebaya mata kuliah
Ekonomi Umum pada tahun 2010-2011 dan pengajar bimbingan belajar Technos
Genius untuk siswa SD, SMP, SMA pada tahun 2013-2014.
Pelatihan yang pernah diikuti penulis di antaranya adalah pelatihan
pembuatan proposal Pekan Kreativitas Mahasiswa IPB tahun 2012 dan pelatihan
seminar dunia kerja tahun 2013. Prestasi yang pernah diraih adalah Juara 3 Lomba
Essay dengan j
“Efektivitas dalam Implementasi Program Keluarga
Bere c ” yang diadakan oleh Departemen IKK Bogor, Pekan Kreativitas
M h
Ke r
h
e g j
“M e S er S g
gH y
mu
“(M
g Y )” berh
DIKTI
erm
05 I v
Indonesia yang diberikan oleh Kementerian Riset dan Teknologi RI.
DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
HANI ASRI GUARDIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Model
Epidemi SEIV dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Hani Asri Guardiani
NIM G54100046
ABSTRAK
HANI ASRI GUARDIANI. Penyelesaian Model Epidemi SEIV dengan
Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan
ALI KUSNANTO.
Model epidemi SEIV merupakan salah satu model matematika untuk
penyebaran penyakit menular. Contoh penyakit menular yang sesuai dengan
model ini adalah polio dan rabies. Salah satu cara untuk menangani merebaknya
penyakit menular adalah dengan vaksinasi. Model epidemi SEIV telah melibatkan
faktor vaksinasi, dan bentuknya taklinear. Penyelesaian model epidemi SEIV ini
dilakukan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode
perturbasi homotopi, didefinisikan operator linear dan taklinear berdasarkan
persamaan diferensial yang muncul pada model epidemi SEIV. Grafik
penyelesaian yang diperoleh dari metode perturbasi homotopi dan metode
numeriknya menunjukkan kedua grafik penyelesaian tersebut berhimpit. Simulasi
diberikan dengan mengubah nilai parameter dari model epidemi SEIV dan tetap
memberikan galat yang kecil.
Kata kunci: model epidemi SEIV, masalah taklinear , metode perturbasi homotopi
ABSTRACT
HANI ASRI GUARDIANI. SEIV Epidemic Model Solution using the Homotopy
Perturbation Method. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
SEIV epidemic model is one of mathematical models for the spread of
infectious diseases. Examples of infectious diseases that correspond to this model
are polio and rabies. One way to handle the spread of infectious diseases is by
vaccination. SEIV epidemic model has involved factor of vaccination, and it has
nonlinear form. Solution of SEIV epidemic model is constructed by using the
perturbation homotopy method. In homotopy perturbation method, linear operator
and nonlinear operator are defined by differential equations those arise in SEIV
epidemic model. The graph of solutions obtained by the homotopy perturbation
method and that by the numerical method are coincide. Simulations which are
given by changing the parameter values of the SEIV epidemic model provided
small differences.
Keywords: SEIV epidemic model, nonlinear problem, perturbation homotopy
method
PENYELESAIAN MODEL EPIDEMI SEIV
DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
HANI ASRI GUARDIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya karya ilmiah dengan judul Penyelesaian Model Epidemi SEIV
dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat diselesaikan. Penulisan
karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Papa dan mamaku tercinta, Ir Sudarwoko dan Leila Emilia, beserta adikadikku, Bayu Tirto Guardianto dan Alya Mareta Guardiana yang telah
memberikan dukungan moral maupun material serta doa yang tulus agar
penulis selalu diberikan yang terbaik oleh Allah SWT
2. Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi, masing-masing selaku
Pembimbing Pertama dan Kedua yang telah banyak meluangkan
waktunya untuk memberikan ilmu, motivasi, serta perhatian selama
pembuatan karya ilmiah ini.
3. Bapak Drs Siswandi, MSi selaku penguji yang telah memberikan arahan
dan masukan dalam pembuatan karya ilmiah ini.
4. Dosen dan staf kependidikan Departemen Matematika atas semua ilmu
dan bantuannya.
5. Kakak-kakak dan adik-adik Matematika 45, 46, dan 48 yang telah
memberikan masukan dan bantuannya.
6. Teman-teman Matematika 47 salam ceria, serta teman-teman lainnya
yang telah mendukung saya. Semoga kita diberikan kemudahan dalam
menjalani kehidupan kita di waktu yang akan datang.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, November 2014
Hani Asri Guardiani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Matematika
2
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Analisis Metode
7
Aplikasi Metode
9
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
1 Notasi parameter pada model epidemi SEIV.
2 Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksak untuk masalah nilai awal (7) dan (8).
3 Data parameter yang digunakan dalam model epidemi SEIV.
4 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik orde enam
pada model epidemi SEIV.
5 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama.
6 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua.
4
7
11
12
23
23
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram kompertemen laju penyebaran penyakit pada model
SEIV.
2 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada model epidemi SEIV.
3 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada kasus pertama.
4 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan
perturbasi homotopi pada kasus kedua.
epidemi
3
metode
13
metode
15
metode
17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penyelesaian eksak m.n.a (8) dan (9).
2 Penyelesaian m.n.a (8) dan (9) menggunakan metode perturbasi
homotopi.
3 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama untuk t [0,1].
4 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua untuk t [0,1].
20
21
23
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saat ini, Indonesia menghadapi masalah kesehatan yang cukup serius, yaitu
dimana penyakit menular seperti rabies dan polio merebak dengan pesat. Hal ini
ditunjukkan oleh adanya landasan hukum UU No. 4 Tahun 1984 mengenai wabah
penyakit menular. Dalam pengertian medis, penyakit menular adalah penyakit
yang disebabkan virus, bakteri atau parasit dan bukan disebabkan faktor fisik
seperti luka bakar atau kimia seperti keracunan. Menurut Riset Kementerian Dasar
(Riskesdas) pada tahun 2007 oleh Kementerian Kesehatan RI, diperoleh bahwa
persentase individu yang terjangkit penyakit menular mencapai 28,1%. Hal ini
memerlukan penanganan yang lebih mendalam untuk meminimalisir penyakit
menular tersebut. Salah satu penanganan yang dapat dilakukan, yaitu dengan
vaksinasi atau menambah antibodi individu tersebut hingga penyembuhan secara
medis.
Model epidemi SEIV (Susceptible, Exposed, Infected, Vaccinated)
merupakan salah satu model matematika tentang penyebaran penyakit menular
yang telah dikembangkan. Model ini adalah hasil peninjauan lebih lanjut dari
model sebelumnya yang telah ada, yaitu model epidemi SIR (Susceptible,
Infected, Recovered) oleh (Murray 2002). Model epidemi SIR adalah model yang
mengabaikan inkubasi penyakit sehingga sekali terinfeksi, maka setiap individu
yang rentan menjadi terinfeksi dan kemudian pulih.
Semakin berkembangnya bidang ilmu matematika, maka banyak model
matematika lebih khusus yang dibangun untuk mempelajari model penularan
penyakit seperti model epidemi SEIV ini. Adapun penelitian yang terkait model
ini antara lain: sifat dinamis untuk epidemi SEIV (Hikal 2014), pemodelan
penyebaran polio dengan menggunakan vaksinasi (Agarwal dan Bhadauria 2011),
dan sistem dinamik dari epidemi rabies dan upaya pengendalian di Guangdong,
China (Hou et al. 2012). Semakin menyebarnya dampak yang ditimbulkan
penyakit ini, maka diperlukan penelitian lebih lanjut tentang model epidemi SEIV.
Penelitian model epidemi SEIV yang dibahas dalam karya ilmiah ini,
dilakukan dengan menyelesaikan model matematika tersebut. Model ini mengacu
pada (Islam et al. 2013) berbentuk sistem persamaan diferensial taklinear. Dalam
banyak kasus, masalah taklinear sulit untuk diselesaikan sehingga diperlukan
suatu metode khusus untuk menyelesaikannya. Salah satu metode yang dapat
digunakan dalam menyelesaikan masalah taklinear adalah metode perturbasi
homotopi yang akan diaplikasikan pada model epidemi SEIV.
Metode perturbasi homotopi merupakan metode yang diperkenalkan oleh
(He 1999). Metode perturbasi homotopi merupakan kombinasi antara metode
perturbasi dan metode homotopi. Metode homotopi melibatkan parameter bantu
yang dapat digunakan untuk penyesuaian dan pembatasan daerah kekonvergenan
serta tingkat hampiran yang sesuai, kemudian dapat mengefisienkan penyelesaian
hampiran dari masalah taklinear (Liao 2004). Metode perturbasi homotopi
menggunakan nilai parameter bantu yang khusus, sehingga metode ini merupakan
kasus khusus dari metode homotopi. Metode perturbasi homotopi memberikan
penyelesaian pendekatan dan dilakukan secara sederhana dan efisien. Metode
2
perturbasi homotopi juga telah digunakan oleh (Jaharuddin 2014) untuk
menyelesaikan model SEIR dengan jumlah populasi yang bervariasi. Oleh karena
itu, penyelesaian model epidemi SEIV ini akan diselesaikan menggunakan metode
perturbasi homotopi.
Tujuan Penulisan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
1 Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model
epidemi SEIV, kemudian membandingkan penyelesaiannya dengan
penyelesaian metode numerik,
2 Menggambarkan grafik penyelesaian model epidemi SEIV,
3 Menginterpretasikan hasil-hasil yang diperoleh dari metode perturbasi
homotopi pada penyelesaian model epidemi SEIV.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi pembahasan model Epidemi SEIV,
konsep dasar metode perturbasi homotopi dari (Jaharuddin 2008), serta suatu
contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Model Matematika
Model penyebaran penyakit yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah
model epidemi SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model ini
digunakan untuk menggambarkan individu yang telah terserang penyakit, tetapi
tidak ada fase penyembuhan permanen. Namun, penyakit tersebut dapat dicegah
dengan vaksinasi kepada individu yang rentan. Contoh penyakit yang sesuai
dengan model epidemi SEIV adalah rabies dan polio.
Pada model epidemi SEIV ini dibagi menjadi 4 jenis populasi yaitu,
populasi individu rentan (susceptible) dinotasikan dengan S, populasi individu
yang terjangkit tetapi belum terinfeksi (exposed) dinotasikan dengan E, populasi
individu yang terinfeksi penyakit (infected) dinotasikan dengan I, dan populasi
individu yang telah divaksinasi (vaccinated) dinotasikan dengan V. Populasi
exposed merupakan populasi yang masuk dalam masa inkubasi, yaitu masa
dimana masuknya virus ke dalam populasi yang rentan sampai timbul gejalagejala penyakit yang dideritanya. Model penyebaran penyakit diturunkan
menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang dapat digunakan
dalam penurunan model penyebaran penyakit didasarkan pada (Hethcote 2000)
sebagai berikut:
3
a Jumlah populasi cukup besar,
b Populasi tertutup, artinya tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi
atau keluar dari populasi tersebut,
c Jumlah kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu adalah sama,
d Tidak ada fase penyembuhan permanen, tetapi ada fase penyembuhan
sementara,
e Keefektifan vaksin tidak 100%,
f Hanya ada kematian secara alami, sehingga tidak ada kematian yang
disebabkan penyakit tersebut.
Berikut merupakan diagram kompartemen penyebaran penyakit dari model
epidemi SEIV yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram Kompartemen laju penyebaran penyakit pada model epidemi
SEIV
Berdasarkan Gambar 1, besarnya populasi rentan terhadap penyakit (S)
dipengaruhi oleh laju kelahiran dan laju penurunan kekebalan vaksin. Setiap
populasi yang rentan terhadap penyakit dilakukan pencegahan dengan vaksinasi,
sehingga populasi tersebut masuk dalam populasi yang telah divaksinasi (V).
Populasi yang rentan terhadap penyakit melakukan kontak dengan populasi yang
telah terinfeksi (I), maka sebelum masuk ke populasi infected terlebih dahulu
masuk ke dalam populasi exposed, yaitu populasi yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (E). Populasi yang telah terinfeksi juga diberikan vaksinasi sehingga
masuk dalam kompartemen vaksinasi. Masing-masing populasi akan berkurang
karena adanya pengaruh laju kematian alami, seperti bencana alam dan
sebagainya.
Dengan demikian, model penyebaran penyakit epidemi SEIV dalam kasus
ini dapat dirumuskan dalam sistem persamaan diferensial taklinear yang mengacu
pada (Islam et al. 2013) sebagai berikut
4
(1)
Notasi yang ada dalam persamaan (1) dijelaskan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Notasi parameter pada model epidemi SEIV
Notasi
Keterangan
Laju kelahiran
Laju penularan penyakit populasi rentan ke
populasi yang terinfeksi
Laju kematian alami
Laju penurunan kekebalan penyakit
n
Laju penularan penyakit populasi exposed ke
populasi yang terinfeksi
Laju individu yang sembuh sementara
q
Proporsi dari individu yang sembuh sementara
Laju perubahan perilaku dari populasi rentan
ke populasi yang terinfeksi
Satuan
-
Metode Perturbasi Homotopi (MPH)
Berikut akan dibahas penyelesaian model matematika dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Metode ini menggunakan ilustrasi dasar yang
mengacu pada (Jaharuddin 2008). Misalkan diberikan persamaan diferensial
berikut
A [u(r)] = 0, r
(2)
dimana A merupakan suatu operator turunan yang taklinear dan u(r) merupakan
fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas . Didefinisikan
pula suatu operator linear L yang memenuhi
L[f] = 0, bila f = 0.
(3)
Operator A dalam persamaan diferensial (2) dapat dibagi menjadi dua
bagian, yaitu L dan N yang masing-masing merupakan operator linear dan
taklinear. Sehingga persamaan diferensial (2) dapat ditulis
L[u] + N[u] = 0.
(4)
5
Misalkan (r) pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2). Selanjutnya,
didefinisikan fungsi real
: x [0,1]
dengan p [0,1], dimana p
adalah suatu parameter dan suatu fungsi H sebagai berikut
H(, p) = (1 – p) L[ – ] + p A[]
atau
H(, p) = L[] + p A[] – (1 – p)L[ ].
(5)
Berdasarkan persamaan (5), untuk parameter p = 0 dan p = 1 masing-masing
akan mendapatkan persamaan berikut
H( ( , 0),0) = L[ ( , 0) –
]
dan
H( ( , 1),1) = A [ ( , 1)].
Sehingga menurut persamaan (2) dan persamaan (3) diperoleh bahwa fungsi
( , 0) =
dan
( , 1) =
,
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
H( ( , 0),0) = 0
dan
H( ( , 1),1) = 0.
Adanya peningkatan nilai p dari 0 ke 1 merupakan perubahan nilai H(, p)
dari L[ – ] ke A[]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. Proses
deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada
deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal , sedangkan deformasi orde
(n = 1, 2, 3 …)
tinggi memberikan penyelesaian
. Untuk menentukan
dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan (5) diturunkan terhadap p hingga n kali
dan dihitung pada p = 0 kemudian dibagi oleh n!, maka diperoleh persamaan
berikut
Deret Taylor dari fungsi ( , p) terhadap p adalah
atau
(6)
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
yang dinyatakan pada
persamaan (6) merupakan penyelesaian dari persamaan
H
.
Berdasarkan persamaan (5), maka diperoleh
A
.
L
Jadi, untuk
dari persamaan (6) diperoleh
Karena
, maka diperoleh
6
(7)
Hasil dari persamaan (7) menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak
dan
,
yang
dari persamaan (2) dengan pendekatan awal
diperoleh
akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan
dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (6) disubstitusikan
ke dalam persamaan (5), sehingga diperoleh
dengan menyamakan koefisien
perpangkatan . Fungsi
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian
.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan suatu masalah yang dinyatakan oleh sistem
persamaan diferensial berikut
(8)
dengan syarat awal
,
.
Penyelesaian eksak dari masalah nilai awal persamaan (8) dan (9) adalah
(9)
.
(10)
Penurunan persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1. Berikut ini akan dicari
penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (8) dan (9) dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan (5) dan persamaan (8)
diperoleh persamaan berikut
(11)
Misalkan penyelesaian persamaan (11) dinyatakan dalam persamaan berikut
(12)
Persamaan (8) dan (9) akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi. Jika persamaan (12) disubstitusikan ke dalam persamaan (11),
kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan p, maka koefisien
memberikan
(13)
Jika persamaan (13) diintegralkan terhadap t dan memilih
Bentuk lain dari
,
, maka diperoleh
dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 diuraikan pada Lampiran 2.
= 1,
dan
7
Jadi, diperoleh penyelesaian untuk x dan y dari persamaan (8) dengan syarat
awal x(0) = 1 dan y(0) = 0, dengan metode perturbasi homotopi hingga orde ke
enam sebagai berikut
Berikut ini diberikan Tabel 2, yaitu selisih antara penyelesaian metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya.
Tabel 2 Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dan penyelesaian
eksak untuk masalah nilai awal (8) dan (9)
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|xeksak - xMPH|
0
3.12
2.38
7.70
1.74
3.17
4.91
6.45
6.77
4.04
4.63
|yeksak - yMPH|
0
4.53
1.64
3.36
5.44
7.75
1.02
1.28
1.54
1.81
2.10
Berdasarkan Tabel 2 galat yang dihasilkan oleh metode perturbasi homotopi
pada beberapa selang t kecil. Rata-rata galat yang dihasilkan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi untuk x dan y masing-masing adalah
3.45 10-3 dan 9.61 10-3. Hal ini menunjukkan bahwa metode pertubasi
homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak untuk sistem
persamaan diferensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan.
Selanjutnya metode ini akan diterapkan pada model epidemi SEIV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Metode
Berikut ini perluasan metode perturbasi homotopi yang telah dijelaskan
pada Tinjauan Pustaka. Misalkan diberikan fungsi
. Fungsi tersebut
merupakan fungsi yang tergantung pada parameter r, p, h dan T, dengan T adalah
fungsi bantu. Didefinisikan pula fungsi H sebagai berikut
H
L
h T (r) A
.
(14)
8
Misalkan fungsi
adalah penyelesaian dari persamaan
H
atau
h T(r) A
L
atau
L
Berdasarkan parameter (13), persamaan
h T(r) A
(15)
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
H
=0
dan
H
= 0.
Adapun beberapa hal yang memengaruhi penyelesaian-penyelesaian di atas
yaitu, parameter bantu h dan T(r), pendekatan awal , dan operator linear L. Jadi
beberapa hal tersebut, dapat menjamin adanya fungsi
dan turunanturunannya terhadap p untuk setiap p = 0 dan p = 1. Jika persamaan (5) diturunkan
terhadap p hingga n kali dan dihitung pada p = 0 kemudian dibagi oleh n!, maka
diperoleh persamaan berikut
Deret Taylor dari fungsi
terhadap p = 0 adalah
atau
(16)
Pemilihan parameter-parameter di atas juga memengaruhi kekonvergenan dari
deret di p = 1. Jadi untuk parameter p = 1, maka didapatkan persamaan berikut
Karena
, maka didapatkan
(17)
Hasil dari persamaan (17) dan persamaan (2) menunjukkan hubungan antara
dan
penyelesaian eksak yang diberikan dengan pendekatan awal
dimana n = 1, 2, 3, … y g
e
. Per m
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dengan metode ini
akan memberikan penyelesaian dari persamaan (16), dimana fungsi
pada persamaan (16) dsubstitusikan pada persamaan (15).
9
Apikasi Metode
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model epidemi SEIV. Model matematika yang ditinjau
adalah dari persamaan (1) yang dituliskan sebagai berikut
dengan nilai awal S(0) = S0, E(0) = E0, I(0) = I0, dan V(0) = V0. Misal
didefinisikan operator linear berikut
.
Berdasarkan dari persamaan (14) dan persamaan (1) diperoleh
(18)
Dalam metode perturbasi homotopi, penyelesaian persamaan (18) dimisalkan
dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut
.
(19)
dengan p [0,1] suatu parameter dan S0(t), E0(t), I0(t), dan V0(t) merupakan
pendekatan awal dari penyelesaian yang dipilih sembarang. Jika persamaan (18)
disubstitusikan ke persamaan (18), maka akan diperoleh koefisien
dengan
persamaan
10
(20)
Koefisien p2 memberikan persamaan
(21)
Koefisien p3 memberikan persamaan
(22)
Koefisien p4memberikan persamaan
(23)
11
Koefisien p5 memberikan persamaan
(24)
Koefisien p6 memberikan persamaan
(25)
Parameter-parameter pada persamaan (1) diberikan pada Tabel 3 yang mengacu
pada (Islam et al. 2013).
Tabel 3 Data parameter yang digunakan dalam model epidemi SEIV
Notasi
n
q
Keterangan
Laju kelahiran
Laju penularan penyakit populasi rentan
ke populasi yang terinfeksi
Laju kematian alami
Laju penurunan kekebalan penyakit
Laju penularan penyakit populasi exposed
ke populasi yang terinfeksi
Laju individu yang sembuh sementara
Proporsi dari individu yang sembuh
sementara
Laju perubahan perilaku dari populasi
rentan ke populasi yang terinfeksi
Nilai
2.00 100
7.80 10-4
5.20 10-4
3.00 10-2
8.70 10-3
9.30 10-3
4.00 10-1
1.00 10-2
12
Adapun syarat awal yang diberikan yaitu S0(t) = 100, E0(t) = 8, I0(t) = 10, dan
V0(t) = 20. Selanjutnya, persamaan (19) - (24) diintegralkan terhadap t dan
substitusi nilai parameter dan syarat awal yang telah diberikan. Dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam, didapat
penyelesaian S, E, I, dan V adalah
Hasil dari penyelesaian mengunakan metode perturbasi homotopi akan
dibandingkan dengan hampiran numerik yang diperoleh menggunakan bantuan
software berbasis fungsional sehingga didapat selisih galat yang diperoleh pada
Tabel 4.
Tabel 4
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Galat metode perturbasi homotopi dan metode numerik orde enam pada
model epidemi SEIV
|SMN – SMPH|
0
1.10 10-7
5.70 10-7
1.00 10-7
1.17 10-7
1.14 10-7
1.23 10-7
1.86 10-7
3.63 10-7
7.24 10-7
1.38 10-6
|EMN – EMPH|
0
1.04 10-7
5.94 10-7
1.01 10-7
1.15 10-7
9.60 10-7
6.20 10-7
3.20 10-7
2.10 10-7
2.70 10-7
7.30 10-7
|IMN - IMPH|
0
2.00 10-9
1.60 10-8
2.70 10-8
3.00 10-8
2.30 10-8
1.40 10-8
8.00 10-9
6.00 10-9
1.00 10-8
2.50 10-8
|VMN - VMPH|
0
0
1.00 10-8
1.00 10-8
0
1.00 10-8
0
1.00 10-8
0
0
1.00 10-8
Berdasarkan Tabel 4, dapat dilihat bahwa galat yang dihasilkan
menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode numeriknya pada populasi
S, E, I, dan V sangat kecil. Rata-rata galat yang dihasilkan oleh metode ini pada
selang waktu t [0,1] untuk populasi S, E, I, dan V masing-masing adalah 3.30
10-7, 5.97 10-7, 1.61 10-8, dan 5.00 10-9. Populasi S, E, I, dan V ini akan
tetap memberikan selisih galat yang kecil pada selang waktu t yang berbeda-beda
masing-masing, [0, 4.60], [0, 6.65], [0, 8.50], dan [0, 12.08]. Adapun grafik
penyelesaian model epidemi SEIV diberikan pada Gambar 2.
13
Gambar 2 Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada model epidemi SEIV
14
Dari Gambar 2, diperoleh bahwa dalam keadaan populasi jangka panjang
pada model epidemi SEIV ini menunjukkan hasil populasi S akan mengalami
penurunan, tetapi sebaliknya pada populasi E, I, dan V mengalami kenaikan. Pada
populasi S akan konvergen ke nol setelah t = 84. Artinya, pada jangka panjang
populasi rentan ini akan menurun dan habis. Kondisi populasi jangka panjang
pada populasi E, I, dan V menunjukkan populasi akan terus meningkat dan
konvergen masing-masing ke 205 pada t = 1000, ke 120 pada t = 700, ke 55 pada t
= 850.
Selanjutnya setelah didapatkan penyelesaian model epidemi SEIV yang
parameternya mengacu pada (Islam et al 2013), maka diperlukan pembanding jika
kondisi lingkungan populasi tersebut berubah. Pada bagian di bawah ini, akan
diberikan dua kasus, kasus pertama adalah kondisi parameter diubah yaitu, laju
penularan penyakit populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju
individu yang sembuh sementara () naik, dan kasus kedua sebaliknya. Perubahan
parameter tersebut hanya diperlakukan pada parameter n dan , sehingga nilai
parameter lainnya yang digunakan tetap.
Kasus pertama
Dalam kasus pertama dibahas kondisi dimana laju penularan penyakit
populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju individu yang
sembuh sementara () naik masing-masing diberikan nilai 8.70 x 10-4 dan 9.30 x
10-2. Penyelesaian persamaan (1) adalah sebagai berikut
Pada kasus pertama, rata-rata nilai galat yang diperoleh untuk populasi S, E. I, dan
V sangat kecil, yaitu masing-masing, 6.30 10-7, 1.15 10-7, 8.40 10-9 dan
1.30 10-8. Hal tersebut terlihat pada Lampiran 3. Waktu t akan tetap memberikan
nilai galat yang kecil pada selang t masing-masing [0, 6.52], [0, 6.22], [0, 9.55],
dan [0, 8.66]. Artinya, setelah t melebihi selang tersebut nilai galat yang
dihasilkan akan semakin membesar sehingga akan menjauhi grafik penyelesaian
numeriknya.
Pada populasi S konvergen ke 87 pada t = 700. Kondisi populasi E juga
terus meningkat dan akan konvergen ke 260 pada t = 750. Populasi I
menunjukkan penurunan dalam jangka panjang, yaitu perubahan nilai parameter
menghasilkan populasi yang baik karena populasi akan konvergen ke nol, artinya
dalam jangka panjang populasi yang terinfeksi ini akan terus berkurang dan akan
habis setelah t = 21. Pada populasi V menunjukkan populasi naik pada t = 21,
tetapi setalah itu t menurun hingga akhirnya meningkat dan akan konvergen ke 29
pada t = 610.
15
Gambar 3
Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada kasus pertama
16
Kasus kedua
Dalam kasus kedua akan dibahas kondisi laju penularan penyakit populasi
exposed ke populasi yang terinfeksi (n) naik dan laju individu yang sembuh
sementara () turun masing-masing diberikan nilai 8.70 x 10-2 dan 9.30 x 10-4.
Penyelesaian persamaan (1) adalah sebagai berikut
Pada selang waktu t [0,1], dapat dilihat perubahan pada nilai galat yang
dihasilkan pada Lampiran 3 sangat kecil. Pada populasi S, E, I, dan V masingmasing memberikan rata-rata galat 2.17 x 10-5, 2.92 x 10-7, 4.10 x10-7, dan 6,00 x
10-9. Nilai ini masih cukup tinggi jika dibandingkan dengan kondisi awal. Galat
yang kecil juga disebabkan oleh penggunaan orde tinggi dalam menyelesaikan
solusi dengan metode perturbasi homotopi. Adapun grafik penyelesaian yang
saling berhimpit antara metode homotopi perturbasi dan numeriknya pada
Gambar 4. Populasi yang rentan (S), populasi yang terjangkit tetapi belum
terinfeksi (E), populasi yang terinfeksi (I), dan populasi yang telah divaksinasi (V)
ini akan tetap memberikan selisih galat yang kecil pada selang waktu t yang
berbeda-beda masing-masing, yaitu [0, 5.82], [0, 7.05], [0, 5.44], dan [0, 5.85].
Setelah masing-masing populasi melebihi selang waktu t tersebut, maka grafiknya
akan mulai menjauhi grafik metode numeriknya.
Populasi jangka panjang yang terjadi pada kasus kedua ini dapat dilihat pada
Gambar 4. Populasi rentan terhadap penyakit (S) konvergen ke nol pada t = 18,5.
Artinya dalam jangka panjang populasi rentan ini akan punah. Populasi terjangkit
tetapi tidak terinfeksi (E) akan naik hingga t = 70. Setalah waktu t tersebut
populasi akan menurun dan konvergen ke 20 pada t = 60. Untuk populasi yang
telah terinfeksi (I) dan populasi yang telah tervaksin (V) pada jangka panjang
menunjukkan kenaikan dan masing-masing populasi akan konvergen ke 325 pada
t = 550 dan konvergen ke 31 pada t = 500.
17
Gambar 4
Grafik perbandingan penyelesaian metode numerik dengan metode
perturbasi homotopi pada kasus kedua
Dari kedua simulasi tersebut, terdapat nilai parameter telah diubah yaitu,
laju penularan penyakit populasi exposed ke populasi yang terinfeksi (n) dan laju
individu yang sembuh sementara (). Dari hasil yang diperoleh menunjukkan
kondisi pada kasus pertama dan kasus kedua tetap memiliki tingkat akurasi yang
cukup tinggi antara metode perturbasi homotopi dengan numeriknya,
18
SIMPULAN
Model epidemi SEIV telah diselesaikan mengunakan metode perturbasi
homotopi. Penyelesaian dari model tersebut ditunjukkan pada grafik penyelesaian
untuk setiap populasi yang berhimpit antara penyelesaian menggunakan metode
perturbasi homotopi dengan metode numerik yang diperoleh dengan
menggunakan bantuan software berbasis fungsional. Metode perturbasi homotopi
yang digunakan hingga orde ke enam dan dihasilkan galat mencapai 5,00 x 10-9
dimana t
. Model epidemi SEIV ini berbentuk model taklinear, sehingga
metode perturbasi homotopi ini dapat digunakan untuk model taklinear karena
memberikan galat yang kecil.
Simulasi diberikan pada situasi jika besarnya lingkungan populasi tersebut
berubah. Kasus pertama adalah kondisi dimana, laju penularan penyakit populasi
exposed ke populasi yang terinfeksi (n) turun dan laju individu yang sembuh
sementara () naik, dan kasus kedua sebaliknya. Dari hasil yang diperoleh dalam
kasus pertama dan kasus kedua, tetap memberikan galat yang kecil antara hasil
yang diberikan metode perturbasi homotopi dan metode numeriknya.
SARAN
Penyelesaian model epidemi SEIV menggunakan metode perturbasi
homotopi dalam karya ilmiah ini dapat dibahas lebih lanjut ketika orde yang
digunakan lebih tinggi, serta asumsi-asumsi lainnya dipertimbangkan seperti laju
kematian akibat penyakit dianggap tidak konstan pada masing-masing populasi.
19
DAFTAR PUSTAKA
Agrawal M, Bhadauria AS. 2014. Modelling Spread of Polio with the Role of
Vaccanation. Applications and Applied Mathematics: an International
Journal (AAM). 6(2): 552-571.
He JH.1999. Homotopy Perturbation Tehcnique. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering. 178:257-262.
Hethcote HW. 2000. The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM Review.
42(4):599-653. doi: 10.1137/S0036144599371913.
Hikal MM. 2014. Dynamics Properties for a General SEIV Epidemic Model.
Electronic Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2(1):26-36.
Hou Q, Jin Z, Ruan S. 2012. Dynamics of Rabies Epidemics and The Impact of
Control Efforts in Guangdong Province, China. Journal of Theoritical of
Biology. 300:39-47. doi:10.1016/j.jtbi.2012.01.006.
Islam S, Zaman G, Saddiq SF, Khan MA, Khan SA, Ahmad F, Ullah M. 2013.
Analytical solution of an SEIV epidemic model by Homotopy Perturbation
method. VFAST Transactions on Mathematics. 1(2):1-7. [Internet]. [diunduh
2013 Sep 24]; Tersedia pada: http://www.vfast.org/index.php/VTM/article/
viewFile/43/58.
Jaharuddin. 2008. Analisis Homotopi dalam Penyelesaian suatu Masalah
Taklinear. Jurnal Matematika dan Aplikasinya. 7:6-16.
Jaharuddin. 2014. Homotopy Perturbation Method for A SEIR model with
Varying Total Population Size. Far East Journal of Mathematical Science.
84(2):187-198.
Liao S.2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis
Method. Boca Raton, London, New York Washington, D.C.
Murray JD. 2002. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition.
Volume ke- 17. Berlin: Springer-Verlag.
20
Lampiran 1 : Penyelesaian eksak m.n.a (8) dan (9).
Tinjau persamaan (8) berikut :
dengan syarat awal:
,
.
Penyelesaian eksak untuk y(t)
e g
me g
egr
e
r
m
dengan A =
k y(0) = 0, maka
Penyelesaian eksak untuk x(t)
e g
me g
egr
e
r
m
dengan B =
k x(0) = 1, maka
21
Lampiran 2 : Penyelesaian m.n.a (8) dan (9) dengan menggunakan metode
perturbasi.
Tinjau persamaan (8) berikut :
dengan syarat awal:
,
.
Jika persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan (10), maka diperoleh
(26)
dengan nilai awal x0(0) = 1 dan y0(0) = 0, dimana x0 dan y0 sebagai pendekatan
awal. Setelah dipisahkan bedasarkan derajat kepangakatan p seperti persamaan
(25), maka memberikan masing-masing persamaan berikut
22
(27)
Jika persamaan (27) diintegralkan terhadap t, maka koefisien p , p , p , p , p4,
p5, dan p6 masing-masing memberikan persamaan adalah
0
1
2
3
Sehingga didapatkan penyelesaian masalah nilai awal persamaan dengan syarat
awal x(0) = 1 dan y(0) = 0 hingga orde enam adalah
23
Lampiran 3: Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik
Tabel 5 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|SMN – SMPH|
0
2.60 10-7
1.30 10-7
1.99 10-7
1.95 10-7
1.53 10-7
1.55 10-7
3.00 10-7
6.82 10-7
1.45 10-6
2.81 10-6
|EMN – EMPH|
0
2.49 10-7
1.30 10-7
1.98 10-7
1.83 10-7
1.12 10-7
3.70 10-7
5.00 10-8
2.70 10-7
1.22 10-7
3.15 10-7
|IMN - IMPH|
0
1.00 10-9
8.00 10-9
1.90 10-8
1.20 10-8
8.00 10-9
6.00 10-9
3.00 10-9
4.00 10-9
9.00 10-9
1.90 10-8
|VMN - VMPH|
0
1.00 10-8
1.00 10-8
3.00 10-8
1.00 10-8
2.00 10-8
2.00 10-8
0
0
1.00 10-8
2.00 10-8
Lampiran 4: Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik
Tabel 6 Galat antara metode perturbasi homotopi dan metode numerik pada kasus
kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|SMN – SMPH|
0
1.20 10-7
6.10 10-7
1.34 10-7
4.76 10-7
1.72 10-6
5.12 10-6
1.29 10-5
2.86 10-5
5.80 10-5
1.09 10-4
|EMN – EMPH|
0
1.44 10-7
6.41 10-7
6.70 10-7
4.20 10-7
3.40 10-7
9.30 10-7
1.99 10-7
3.60 10-7
6.88 10-7
1.36 10-6
|IMN - IMPH|
0
2.00 10-8
1.20 10-7
1.00 10-7
7.00 10-8
8.00 10-8
1.90 10-7
3.20 10-7
5.10 10-7
9.30 10-7
1.76 10-7
|VMN - VMPH|
0
0
1.00 10-8
0
0
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
1.00 10-8
0
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis adalah putri pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Ir.
Sudarwoko dan Ibu Leila Emilia yang dilahirkan di Karawang pada tanggal 4 Juli
1992. Penulis pernah bersekolah di SDN Mardiyuana Labuan Banten sebelum
pindah ke SDN Kutakulon 1 Bondowoso Jawa Timur. Penulis lulus dari SMPN 3
Jember Jawa Timur pada tahun 2007 dan lulus dari SMAN 1 Jember Jawa Timur
pada tahun 2010. Pada tahun 2010 penulis terdaftar sebagai mahasiswa IPB
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) Departemen Matematika
Fakultas MIPA.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Serambi
Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (Serum-G) sebagai Staf Divisi Ekonomi dan
Manajemen periode 2011-2012 dan pengurus Gumatika sebagai Staf Divisi Sosial
dan Lingkungan periode 2011-2013. Penulis juga aktif sebagai pengurus
Koordinator Tutor Sebaya Asrama TPB-IPB sub bidang Ekonomi Umum dan
Club Ilmiah Asrama periode 2010-2011. Penulis menjadi tutor sebaya mata kuliah
Ekonomi Umum pada tahun 2010-2011 dan pengajar bimbingan belajar Technos
Genius untuk siswa SD, SMP, SMA pada tahun 2013-2014.
Pelatihan yang pernah diikuti penulis di antaranya adalah pelatihan
pembuatan proposal Pekan Kreativitas Mahasiswa IPB tahun 2012 dan pelatihan
seminar dunia kerja tahun 2013. Prestasi yang pernah diraih adalah Juara 3 Lomba
Essay dengan j
“Efektivitas dalam Implementasi Program Keluarga
Bere c ” yang diadakan oleh Departemen IKK Bogor, Pekan Kreativitas
M h
Ke r
h
e g j
“M e S er S g
gH y
mu
“(M
g Y )” berh
DIKTI
erm
05 I v
Indonesia yang diberikan oleh Kementerian Riset dan Teknologi RI.