Gambar 4.4 Pola matriks sparse dengan ukuran matriks
30 30
Simbol asterisk yang berwarna biru pada gambar 4.4 menyatakan posisi elemen- elemen yang bukan nol. Matriks sparse pada kasus gambar 4.4 tersebut mempunyai
elemen bukan nol sebanyak 99 elemen. Pola yang hampir serupa juga berlaku untuk
matriks lain yang dibangkitkan dengan parameter
n
dan
m
yang berbeda-beda.
4.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier SPL dengan Metode Quasi Minimal Residual QMR dan
Preconditioner D-ILU
Setelah nilai eigen didapatkan dan disubstitusikan kembali pada matriks awal, matriks tersebut akan menjadi matriks yang singular. Hal ini mengimplikasikan
bahwa salah satu koefisien defleksi bergantung linier terhadap koefisien defleksi yang lainnya. Agar kondisi matriks tidak berubah atau dengan kata lain tetap merupakan
matriks yang non-singular, maka salah satu nilai koefisien defleksi tersebut perlu diasumsikan sebagai suatu nilai tertentu. Konsekuensinya, nilai koefisien yang
diasumsikan tersebut dieliminasi dari sistem sehingga akan berdampak pula pada eliminasi baris dan kolom dari matriks A serta baris dari vektor b pada posisi yang
bersesuaian dengan posisi koefisien defleksi tersebut. Selanjutnya, akan terbentuk matriks baru
N
A
berukuran
1 1
1 1
m
n m
n yang mengilustrasikan suatu
Sistem Persamaan Linier SPL r
b A
N N
dimana
N
b juga merupakan vektor baru yang dapat dinyatakan sebagai,
min
c b b
N
dengan
c
dan
min
b berturut-turut menyatakan koefisien defleksi yang telah
diasumsikan nilainya dan vektor awal yang salah satu elemennya telah dieliminasi akibat dari pengasumsian nilai salah satu koefisien defleksi tersebut. Sedangkan
r
adalah vektor ruas kanan yang elemen-elemennya merupakan hasil perkalian antara
vektor kolom kolom yang dieleminasi dari matriks
A
kecuali elemen yang bersesuaian dengan koefisien defleksi yang telah diasumsikan dengan negatif dari
nilai koefisien defleksi yang telah diasumsikan. SPL tersebut, sebagaimana yang telah disebutkan pada bab 3, diselesaikan dengan menggunakan metode Quasi Minimal
Residual QMR dan preconditioner D-ILU. Preconditioner D-ILU diaplikasikan pada sisi kanan matriks koefisien SPL right preconditioner.
4.4 Simulasi Program
Dalam subbab ini akan disimulasikan persamaan Euler-Bernoulli Beam yang didiskritisasi dengan metode Discontinuous Galerkin DG berbantu metode Quasi
Minimal Residual QMR dan preconditioner D-ILU. Selanjutnya, hasil simulasi tersebut dibandingkan dengan solusi analitik dari persamaan Euler-Bernoulli Beam.
Simulasi persamaan Euler-Bernoulli Beam ini dilakukan dalam selang 2
x
dengan variasi parameter
n
dan parameter
m
untuk panjang subinterval seperti pada persamaan 3.1.
Pada penulisan tugas akhir ini diberikan masing-masing 3 variasi parameter
n
dan parameter
m
. Variasi parameter
n
yang akan disimulasikan adalah 10
n
, 20
n
dan 30
n
. Sedangkan variasi parameter
m
yang akan disimulasikan adalah 3
m
, 6
m
dan 9
m
. Simulasi pertama melibatkan variasi parameter
10
n dan
3
m . Tabel 4.2
menunjukkan beberapa nilai kuadrat frekuensi angular beam nilai eigen dengan interval
.
Tabel 4.2 Kuadrat frekuensi cantilever beam pada
interval untuk variasi parameter
10
n dan
3
m
No. Kuadrat Frekuensi
Cantilever Beam Numerik Frekuensi
Cantilever Beam Analitik Nilai Error
4 5
6
Sedangkan gambar 4.5 mengilustrasikan profil mode shape model defleksi dari cantilever beam untuk variasi parameter n dan m yang sama dengan nilai kuadrat
frekuensi angular 4086 ,
1
Gambar 4.5 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
10
n
dan
3
m
Parameter input lain yang juga mempengaruhi profil mode shape pada gambar 4.5 adalah baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang dieliminasi, nilai salah satu
koefisien defleksi yang diasumsikan c , nilai toleransi dan vektor tebakan awal.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
Nilai dari tiga parameter input pertama berturut-turut adalah 10 ;
1; 0000001
0, .
Sedangkan vektor tebakan awal berupa vektor kolom berukuran 1
39 dengan tiap-
tiap nilai elemennya adalah
25 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
6230 2,
. Simulasi kedua menggunakan parameter
10
n dan
6
m . Beberapa nilai
kuadrat frekuensi angular nilai eigen pada interval dari cantilever beam pada
simulasi yang kedua ini ditunjukkan pada tabel 4.3
Tabel 4.3 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 10
n
dan 6
m
No. Kuadrat Frekuensi
Cantilever Beam Numerik
Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
4 5
6
Profil mode shape model defleksi cantilever beam pada simulasi kedua dengan nilai kuadrat frekuensi angular 8152
, 1
diilustasikan pada gambar 4.6.
Gambar 4.6 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
10
n
dan
6
m Parameter input baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang dieliminasi,
nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai toleransi pada kasus
simulasi kedua ini berturut-turut nilainya adalah 16 ; 1 dan
0000001 0,
. Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor kolom berukuran
1 69
dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah adalah
082 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
0556 3,
. Simulasi ketiga, dengan parameter
10
n dan
9
m menghasilkan beberapa
nilai kuadrat frekuensi angular nilai eigen dari cantilever beam pada simulasi yang ketiga ditunjukkan pada tabel 4.4.
Tabel 4.4 Kuadrat frekuensi cantilever beam pada
interval untuk variasi parameter
10
n dan
9
m
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
No. Kuadrat Frekuensi
Cantilever Beam Numerik
Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
3 4
5 6
Selanjutnya, profil mode shape model defleksi dari cantilever beam pada simulasi ketiga ini, dengan nilai kuadrat frekuensi angular
812497 1,
, diilustasikan pada gambar 4.7. Parameter input lain yang turut mempengaruhi profil yang
diilustrasikan pada 4.7 meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan
c dan nilai toleransi pada simulasi ketiga ini berturut-turut nilainya adalah
10 ; 1 dan
0000001. 0,
Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor kolom berukuran
1 99
dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
04 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
0584 3,
.
Gambar 4.7 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
10
n
dan
9
m
Selanjutnya, simulasi keempat, dimana parameter 20
n
dan 3
m
, akan menghasilkan beberapa nilai kuadrat frekuensi angular nilai eigen pada interval
dari cantilever beam pada simulasi keempat ini diberikan pada tabel 4.5.
Tabel 4.5 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 20
n
dan 3
m
No. Kuadrat Frekuensi
Cantilever Beam Numerik
Frekuensi Cantilever Beam Analitik
Nilai Error
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
4 5
Profil mode shape model defleksi dari cantilever beam pada simulasi keempat, dimana nilai kuadrat frekuensi angular
6868 1,
, dapat diinterpretasikan secara grafis seperti pada gambar 4.12.
Gambar 4.8 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
20
n
dan
3
m Parameter input lain yang turut berpengaruh secara signifikan terhadap profil
yang diilustrasikan pada gambar 4.8 meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
toleransi pada simulasi keempat ini berturut-turut nilainya adalah 77 ;
1 dan 0000001.
0, Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor
kolom berukuran 1
79 dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
25 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
6962 3,
. Beranjak pada simulasi kelima yang mengisyaratkan nilai parameter
20
n dan
6
m , maka akan diperoleh beberapa nilai kuadrat frekuensi angular nilai
eigen pada interval dari cantilever beam pada simulasi kelima ini diberikan
pada tabel 4.6.
Tabel 4.6 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 20
n
dan 6
m
No. Kuadrat Frekuensi Cantilever
Beam Numerik Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
4
Profil mode shape dari cantilever beam pada simulasi kelima, dengan nilai kuadrat frekuensi angular
845226 1,
, dapat diinterpretasikan secara grafis seperti pada gambar 4.9.
Gambar 4.9 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
20
n
dan
6
m
Parameter input lain yang turut berpengaruh terhadap profil pada gambar 4.9 yaitu baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang dieliminasi, nilai salah satu
koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai toleransi pada simulasi kelima ini
berturut-turut nilainya adalah 34 ;
1 dan 0000001.
0, . Sedangkan parameter input
untuk vektor tebakan awal berupa vektor kolom berukuran 1
139 dengan tiap-tiap
nilai elemennya adalah
083 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
0018 4,
. Selanjutnya, simulasi keenam, dengan parameter
20
n dan
9
m , akan
menghasilkan beberapa nilai kuadrat frekuensi angular nilai eigen pada interval dari cantilever beam pada simulasi keenam ini ditampilkan pada tabel 4.7.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
Tabel 4.7 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 20
n
dan 9
m
No. Kuadrat Frekuensi Cantilever
Beam Numerik Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
4
Profil mode shape pada simulasi keenam, dengan nilai kuadrat frekuensi angular
7274 1,
, dapat diinterpretasikan secara grafis seperti pada gambar 4.10.
Gambar 4.10 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
20
n
dan
9
m
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
Adapun parameter input lain yang juga berpengaruh terhadap profil yang diilustrasikan pada gambar 4.10 meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal
yang dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai
toleransi pada simulasi keenam ini berturut-turut nilainya adalah 74 ;
1 dan 0000001.
0, Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor
kolom berukuran 1
199 dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
04 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
0713 4,
. Pada simulasi ketujuh, dengan nilai parameter
30
n dan
3
m , akan
diperoleh nilai kuadrat frekuensi angular dari cantilever beam pada simulasi ketujuh, dengan interval
, diinterpretasikan pada tabel 4.8.
Tabel 4.8 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 30
n
dan 3
m
No. Kuadrat Frekuensi Cantilever
Beam Numerik Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
Profil mode shape model defleksi pada simulasi ketujuh, dengan nilai kuadrat frekuensi angular
34 2,
, dapat diilustrasikan sebagaimana yang terdapat pada gambar 4.11.
Gambar 4.11 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
30
n
dan
3
m
Beberapa parameter input lain yang turut mempengaruhi profil yang diinterpretasikan pada gambar 4.11 meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal
yang dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai
toleransi pada simulasi ketujuh ini berturut-turut nilainya adalah 107 ;
1 dan 0000001.
0, Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor
kolom berukuran 1
119 dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
25 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
5458 4,
. Berlanjut pada simulasi kedelapan, dimana nilai parameter
30
n dan
6
m ,
akan diperoleh nilai kuadrat frekuensi angular dari cantilever beam pada simulasi kedelapan ini, dengan interval
, diinterpretasikan pada tabel 4.9.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
Tabel 4.9 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 30
n
dan 6
m
No. Kuadrat Frekuensi Cantilever
Beam Numerik Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
Selanjutnya profil mode shape model defleksi pada simulasi kedelapan, dimana nilai kuadrat frekuensi angular
1793 2,
, dapat diinterpretasikan secara grafis seperti pada gambar 4.20.
Gambar 4.12 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
30
n
dan
6
m
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
Parameter input lain yang juga berpengaruh terhadap profil yang terintepretasi pada gambar 4.12 yakni meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang
dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai
toleransi pada simulasi kedelapan ini berturut-turut nilainya adalah 45 ;
1 ,
0 dan 0000001.
0, Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor
kolom berukuran 1
209 dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
082 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
9374 4,
. Terakhir adalah simulasi kesembilan dengan nilai parameter
30
n dan
9
m . Selanjutnya, nilai-nilai kuadrat frekuensi angular dari cantilever beam pada
simulasi kesembilan ini, dengan interval ,
diinterpretasikan pada tabel 4.10.
Tabel 4.10 Kuadrat frekuensi cantilever beam
untuk variasi parameter 30
n
dan 9
m
No. Kuadrat Frekuensi Cantilever
Beam Numerik Frekuensi Cantilever Beam
Analitik Nilai Error
2
Profil mode shape model defleksi pada simulasi kesembilan, dengan nilai kuadrat frekuensi angular
8978 1,
, dapat diilustrasikan seperti pada gambar 4.13.
Gambar 4.13 Profil mode shape cantilever beam untuk variasi parameter
30
n
dan
9
m
Parameter input yang juga berpengaruh terhadap profil yang terintepretasi pada gambar 4.13 diantaranya meliputi baris dan kolom ke- i dari matriks awal yang
dieliminasi, nilai salah satu koefisien defleksi yang diasumsikan c dan nilai
toleransi pada simulasi kedelapan ini berturut-turut nilainya adalah 111; 1
dan 0000001.
0, Sedangkan parameter input untuk vektor tebakan awal berupa vektor
kolom berukuran 1
299 dengan tiap-tiap nilai elemennya adalah
04 0,
. Nilai L
2
errornya adalah
0335 5,
.
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
1.8 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
x M
o d
e S
h a
p e
M o
d e
l D
e fl
e k
s i
Defleksi Cantilever Beam Solusi numerik
Solusi analitik
4.5 Analisis Hasil Simulasi
