Vogel, 2000. Selanjutnya dalam proses transformasi ILU, jika terdapat elemen bukan nol dimana pada posisi matriks aslinya merupakan elemen yang bernilai nol
maka elemen tersebut disebut fill-in. Jika elemen fill-in diabaikan maka proses tranformasi ini disebut zero Incomplete Lower Upper factorization ILU0.
Simplifikasi dari ILU0 ini adalah Diagonal Lower Upper factorization D-ILU. Proses transformasi D-ILU hanya akan menghasilkan elemen bukan nol pada
diagonal utama matriks preconditioner Barret et al, Tanpa Tahun. Preconditioner inilah yang disebut preconditioner D-ILU.
Algoritma konstruksi preconditioner D-ILU adalah sebagai berikut: Mengkonstruksi himpunan yang dibangun dari posisi elemen matriks
A yang bukan nol yang dapat dinyatakan sebagai
: ,
ij
a j
i NZ
2.49 Mengkonstruksi matriks diagonal
D yang elemen-elemennya merupakan diagonal dari matriks A
ii ii
a d
,
n i
, ,
2 ,
1
n
adalah ukuran matriks A 2.50 Mengkonstruksi matriks diagonal baru
Dnew
yang merupakan hasil transformasi dari matriks diagonal D
ii ii
d dnew
1
, n
i ,
, 2
, 1
2.51
Mengkonstruksi matriks diagonal akhir Dfin yang merupakan hasil transformasi dari matriks diagonal sebelumnya
ij ii
ji jj
jj
a dnew
a dfin
dfin
, n
i i
j ,
, 2
, 1
2.52 dimana
NZ j
i
, dan
NZ i
j
, Barret et al, Tanpa Tahun. Matriks diagonal
Dfin inilah yang merupakan matriks preconditioner D-ILU.
2.9 Metode Quasi Minimal Residual QMR
Metode quasi minimal residual QMR merupakan salah satu klasifikasi dari metode iterasi yang bersifat non-stasioner. Metode iterasi non-stasioner
mengisyaratkan adanya komponen lain, selain vektor solusi, yang nilainya terbaharui pada setiap iterasinya. Komponen tersebut dapat berupa suatu konstan yang terbentuk
dari hasil perkalian dalam residual atau vektor lainnya yang muncul dalam proses iterasi dari metode ini Barret et al, Tanpa Tahun. Hal ini dapat dipahami karena
metode iterasi yang bersifat non-stasioner merupakan kelas dari metode subruang Krylov.
Metode subruang Krylov yang diaplikasikan pada kasus matriks non-simetris melibatkan dua subruang Krylov, yaitu subruang yang masing-masing direntang oleh
m
vektor, yang dapat dinotasikan sebagai
v A
v A
Av v
v A
m m
1 2
, ,
, ,
,
dan
w A
w A
Aw w
w A
m T
m 1
2
, ,
, ,
,
.
Subruang-subruang inilah yang akan digunakan untuk membangkitkan basis-basis yang bersifat orthogonal. Basis-basis tersebut dibangkitkan dengan menggunakan
prosedur Lanczos biorthogonalization Saad, 2003. Selanjutnya, metode subruang Krylov dapat didefinisikan sebagai suatu metode iterasi yang dapat digunakan untuk
mengaproksimasi solusi dari suatu sistem persamaan linier
b Ax
sedemikian hingga
1
, r
A r
A q
x x
m m
m
2.53 dimana
1
, ,
m
m
p x
x
dan
r
berturut-turut menyatakan aproksimasi ke-
m
dari vektor solusi, tebakan awal dari vektor solusi, polinomial dengan derajat
1
m
dan vektor residual awal dari sistem. Sedangkan residual
m
r dari metode subruang Krylov dapat dituliskan seperti pada formulasi berikut ini.
1
, ,
r A
r A
A r
r A
p r
m m
m m
2.54
dimana
m
q
menyatakan polinomial berderajat
m
. Pada kasus matriks non-simetris terdapat dua subruang yang melibatkan vektor residual seperti halnya pada dua
subruang yang digunakan untuk membangkitkan basis-basis orthogonal. Subruang yang pertama adalah subruang sebagaimana yang telah tersuratkan pada formulasi
2.53 maupun 2.54 dan yang kedua dapat dinotasikan sebagai subruang
, r A
T m
yang menghasilkan formulasi yang bersifat analogi dengan subruang yang pertama
Gutknectht, Tanpa Tahun. Metode QMR merupakan kelas dari metode subruang Krylov yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan kasus matriks non- simetris. Poin utama dari metode QMR ini adalah meminimumkan nilai norm dari
vektor residual sistem. Algoritma metode QMR dengan menggunakan split preconditioner dapat
dituliskan sebagai berikut. Membangkitkan vektor residual awal
Ax b
r
2.55 dimana
x adalah tebakan awal vektor solusi Membangkitkan vektor awal
1
~ r
v
2.56 dan
1
~ r
w
2.57 Membangkitkan vektor y
1 1
1
~ v
M y
2.58 Mengkalkulasi nilai norm vektor y
2 1
y
2.59
Membangkitkan vektor
z
w M
z
T
~
1 2
2.60
Mengkalkulasi nilai norm vektor
z
2 1
z
2.61
Mengasumsikan nilai skalar awal 1
2.62 dan
1
2.63 Untuk iterasi ke- i sampai iterasi maksimum
, ,
, 2
, 1
n i
langkah-langkah selanjutnya yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut.
Membangkitkan vektor basis
i i
i
v v
~
2.64 dan
i i
i
w w
~
2.65 Memperbaharui vektor y dan
z
menjadi
i
y y
2.66 dan
i
z z
2.67 jika nilai
i
atau
i
maka metode ini gagal.
Menentukan nilai skalar
i
y z
T i
2.68
Membangkitkan vektor y ~
y M
y
1 2
~
2.69 Membangkitkan vektor z
~
z M
z
T 1
1
~
2.70
Membangkitkan vektor p dan vektor q dengan ketentuan: untuk
1
i
berlaku: y
p ~
1
2.71 dan
z q
~
1
2.72 sedangkan untuk
n i
, ,
3 ,
2
iterasi maksimum berlaku:
1 1
~
i i
i i
i
p y
p
2.73 dan
1 1
~
i i
i i
i
q z
q
2.74 dengan
i T
i i
Ap q
jika nilai
i
maka metode ini gagal.
Membangkitkan skalar
i
i i
i
2.75 jika nilai
i
maka metode ini gagal.
Memperbaharui vektor
v ~
menjadi
i i
i
v p
v
~ ~
1
2.76 Memperbaharui vektor y
1 1
1
~
i
v M
y
2.77 Mengkalkulasi nilai norm vektor y
2 1
y
i
2.78
Memperbaharui vektor
w ~
menjadi
i i
i T
i
w q
A w
~ ~
1
2.79 Memperbaharui vektor
z
1 1
2
~
i T
w M
z 2.80
Mengkalkulasi nilai norm vektor
z
2 1
z
i
2.81
Membangkitkan skalar
i
i i
i i
1 1
2.82 Memperbaharui skalar
menjadi
2
1 1
i i
2.83 Memperbaharui skalar
menjadi
2 1
2 1
i i
i i
i i
2.84 Membangkitkan vektor
d
dan vektor
s
dengan ketentuan: untuk
1
i
berlaku:
1
p d
i i
2.85 dan
p s
i i
~
2.86
sedangkan untuk n
i ,
, 3
, 2
iterasi maksimum berlaku:
1 2
1
i i
i i
i i
d p
d
2.87 dan
1 2
1
~
i i
i i
i i
s p
s
2.88 Memperbaharui vektor solusi
x
menjadi
i i
d x
x
1
2.89 Memperbaharui vektor residual
r
menjadi
i i
i
s r
r
1
2.90 Selesai Barret et al, Tanpa Tahun.
BAB 3. METODE PENELITIAN
