5.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik a. Koordinat Natural Dari Elemen
Elemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini.
y
x 1
4 3
2 t
s
Gambar 5.2. Elemen Quadrilateral Penomoran node ditentukan dalam arah
an perputaran jarum jam CCW. Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus.
Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node dari elemen tersebut. Untuk itu
tikan Gambar 5.3. berikut ini. law
perha t
4
1 2
3 -1,1
-1,-1 1,-1
1,1 s
Gambar 5.3. Koordinat Natural Untuk Elemen Quadrilateral
Dalam system koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam ar 5.3. diingatkan kembali bahwa kedua
polasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah us,t = N
1
u
1
+ N
2
u
2
+ N
3
u
3
+ N
4
u
4
vs,t = N
1
v
1
+ N
2
v
2
+ N
3
v
3
+ N
4
v
4
………………………. 5.1 Untuk Koordinat Global :
xs,t = N
1
x
1
+ N
2
x
2
+ N
3
x
3
+ N
4
x
4
ys,t = N
1
y
1
+ N
2
y
2
+ N
3
y
3
+ N
4
y
4
………………………. 5.2 Besarnya Shape Function untuk setiap node diperoleh da interpolasi
Lagrange adalah
Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1
b. Strain Elemen – Matrik Displacement
Gunakan kembali persamaan 5.1 dan 5.2 untuk menghitung Strain dari
Elemen Quadrilateral.
s,t seperti Nampak pada Gamb sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus.
Fungsi inter
ri
…. 5.3 Catatan :
N
1
+ N
2
+ N
3
+ N
4
= 1
s y
s x
s
δ
y u
x u
u
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ
+ =
4 1
. 1
t s
1
N −
− =
4 1
. 1
t s
−
2
N +
=
4 1
. 1
3
N t
s +
+ =
4 1
. 1
4
N t
s +
− =
t y
y u
t x
x u
t u
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
+ =
………………………………………….5.4 Kedua persamaan yang terdapat pada persamaan 5.4 dalam bentuk matrik
ditulis
⎪ ⎪
⎨ ⎪⎪
⎪⎪ ⎨
⎥ ⎥
⎢ ⎢
⎪ u
y x
u
δ δ
δ δ
δ
⎩ ⎭ ⎬
⎩ ⎦
⎣ =
⎭ ⎬
y x
t t
s s
t s
⎪⎪ ⎧
⎪⎪ ⎫
⎪⎪ ⎧
⎥ ⎤
⎢ ⎡
⎪ ⎫
u y
x u
δ δ
δ δ
δ δ
δ ………………………………………5.4a
Maka :
δ δ
δ δ
⎪⎪⎩ ⎪
⎭ ⎪
⎪ ⎥
⎦ ⎢
⎣ −
⎪⎪⎭ t
u s
x t
x J
y u
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
⎪⎪ ⎪ ⎫
⎪⎪ ⎥
⎤ ⎢
⎡ −
⎪⎪ s
u s
y t
x u
⎨ ⎧
⎬ ⎩
⎨ ⎧
⎥ ⎢
= ⎬
⎫ y
δ δ
δ δ
δ δ
δ ………………………………5.4b
Dimana :
｡J｡ = Determinan Jacobian δ
1
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ s
y t
x t
y s
x
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
a Diferensialkan persam an 5.2 terhadap s:
4 4
3 3
2 2
1 1
x N
N N
x s
s s
s
δ
x x
N x
s
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ
+ +
+ =
∑
=
=
4 1
i i
i
x s
N s
x
δ δ
δ δ
……………………………….…5.5
Demikian pula untuk y
s δ
δ ,
x t
δ δ
dan y
t δ
δ
∑
=
=
4 1
i i
i
y s
N s
y
δ δ
δ δ
……………………………….…5.5a
∑
=
=
4 1
i i
i
x t
N
δ δ
……………………………….…5.5b
t x
δ δ
∑
=
=
4 i
y N
y
δ δ
……………………………….…5.5c
1 i
i
t t
δ δ
Turunan dari masing-masing Shape Function terhadap s dan t menghasilkan aan berikut ini:
persamaan-persam
1 4
1 ,
1 4
1
1 1
t s
N t
s N
− −
= −
− =
δ δ
δ δ
1 4
1 ,
1 4
1
2 2
s t
N t
s N
− −
= −
=
δ δ
δ δ
1 4
1 ,
1 4
1
3 3
s t
N t
s N
+ =
+ =
δ δ
δ δ
1 1
, 1
1
4 4
N t
N −
= +
− =
4 4
s t
s
δ δ
δ δ
……………………………5.6 n J dihitung sebagai berikut:
Determinan Jacobia
｡ ｡ ｡J｡ =
⎟⎞ ⎜⎛
⎟⎞ ⎜⎛
− ⎟⎞
⎜⎛ ⎟⎞
⎜⎛ y
x y
x
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
s t
t s
=
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
−
4 1
4 1
4 1
4 1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
y s
N x
t N
y t
N x
s N
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
=
} {
4 4
N
δ
j i
i i
j i
i i
x t
N s
N s
N t
y
∑∑
−
δ δ
δ δ
δ δ
δ …………………………5.7
ersam lis sebagai
Dalam bentuk matrik, p aan 5.7 ditu
[ ]
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
=
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
a y
y y
y J
[ ]
……………………………..5.7a
Dimana [a] adalah matrik yang el ennya memenuhi persamaan
emen-elem
t N
s N
s N
t N
a
j i
j i
ij
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
− =
…………………………..5.7b Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matrik [a] masing-masing adalah
1 1
1 1
11
= −
= t
N s
N s
N t
N a
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
2 1
2 1
12
t N
s N
s N
t N
a
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
− =
} 1
4 1
}{ 1
4 1
{ }
1 4
1 }{
1 4
1 {
s t
t s
+ −
− −
− −
− −
=
1 8
1 t
− −
=
8 s
t −
− =
1
3 1
3 1
13
t N
s N
s N
t N
a −
=
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
1 1
4 1
4 1
14
− −
= −
= s
N N
N N
a 8
t s
s t
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
terusnya untuk sem en matrik [a]. disimpulkan matrik [a]
adalah Demikian se
ua elem
⎥ ⎥
− =
8 ]
[a
…………………….…..5.8
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ −
+ −
+ +
− −
+ −
+ −
− −
−
1 1
1 1
1 1
1 1
1 t
t s
s t
s t
s s
t s
t s
s t
t
Lihat kembali persamaan 5.4b. dari persamaan tersebut, tinjau pada bagian:
] [
1 t
u s
y s
u t
y J
x u
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
− =
……………………..………….…..5.9
Dari persamaan 5.1 dapat ditentukan
∑
=
4 i
u N
u
δ δ
,
=1 i
i
s s
δ δ
∑
=
4 i
u N
u
δ δ
, sedangkan
=1 i
i
t t
δ δ
t y
δ δ
dan
s y
δ δ
diperoleh dari aan 5.5c.
persamaan 5.5a dan persam Substitusikan:
s u
δ δ
,
t u
δ δ
,
t y
δ δ
,
s y
δ δ
ke persamaan 5.9 diperoleh:
} {
1
4 1
4 1
j i
j i
i j
i i
u t
N s
N s
N t
N y
J x
u
∑∑
= =
− =
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
Dalam bentuk matrik ditulis:
[ ][ ]
x
u u
u u
a y
y y
y J
x
δ
u =∈
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
=
4 3
2 1
4 3
2 1
1
δ ………………..…………...…..5.10
1x4 4x4 Bagian kedua dari persamaan 5.4b adalah
y u
] [
1 t
u s
x t
u t
x J
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
− −
=
δ δ
} {
1
4 1
4 1
j i
j i
j j
i i
u t
N s
N s
N t
N x
J
∑∑
= =
− −
=
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
Dalam bentuk matrik, persamaan terakhir ini ditulis sebagai
[ ][ ]
x
u J
y ⎪ ⎪
3 4
3 2
1
δ
u u
u a
x x
x x
u =∈
⎪⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
− =
4 2
1
1
δ ………………..…………...…..5.11
Untuk displacement kearah vertical = v , persamaan 5.4b diubah menjadi Ganti semua u dengan v
⎪⎪⎩ ⎪⎪
⎧ ⎪
⎭ ⎪
⎫
⎪ ⎪
⎩ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ −
⎪⎪⎭ t
v
s t
y
δ δ
δ δ
δ
⎨ ⎬ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎢
⎢ ⎡
− =
⎪⎪ ⎬
⎫ v
s x
x s
y t
y J
v x
v
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ
1
……………..…………...…..5.12
te ditulis:
Dari persamaan rsebut,
x v
δ δ
] [
1 t
v s
y s
v t
y J
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
− =
[ ]
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
=
4 3
2 1
4 3
2 1
[ ]
v v
v v
a y
y y
y J
……………..…………..……...…..5.13
Dari persamaan 5.4b juga diperoleh:
1
y v
δ δ
] [
t s
s t
δ
1 v
x v
x J
δ δ
δ δ
δ δ
δ
− −
=
[ ][ ]
y
v v
v v
a x
x x
x J
=∈ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
− =
4 3
2 1
4 3
2 1
1
………..…………..……...…..5.14
Diingatkan kembali tentang defenisi dari Strain :
dimana
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎪ ⎭
⎪ ⎬
∈ ∈=
xy y
γ
⎧ ⎫ ∈
x
x v
y u
xy
δ δ
δ δ
γ
+ =
dari persamaan 5.11 dan ambil
x v
δ δ
y u
δ δ
Ambil dari persamaan 5.13
kemudian jumlahkan, maka didapatkan:
xy
γ
x v
y u
δ δ
δ δ
+ =
[ ][ ]
⎪ ⎪
⎨ −
=
4 3
2 1
1 u
a x
x x
x J
⎪⎩ ⎪
⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
4 3
2 1
u u
u
+
[ ]
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
4 3
2 1
4 3
2 1
1 v
v v
v a
y y
y y
J
[ ]
Sehingga: ………..…………..……...…..5.15
8x1 3x8
ari persamaan 5.10 berikut ini akan d
[ ] [ ]
} {
q B
v v
u v
u
B
xy y
x
=
⎪ ⎪
⎪
⎭ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎪ ⎪
⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ =
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫ ∈
∈ ∈=
4 2
2 1
1
... ...
γ
u ⎪
⎪ ⎪
⎪
4
D ihitung berapakah harga dari B
ij
.
∑
=1 i
−
=
4 1
2 ,
1
1
ij i
j
a y
J B
, j = 1, 2, 3, 4 ………..…………..…….......5.16a
untuk j
= 2,
4, 6,
8 …..5.16b
Dengan kata lain ; B
1,genap
= 0.
, 1
=
j
B
………..…………..
∑
=
4
a x
B
, j = 1, 2, 3, 4 ….……..…………..…….......5.16c
=
−
1 2
, 2
1
i ij
i j
J
, 2
=
j
B
untuk j
= 1,
3, 5,
7 ………..…………..…..5.16d
Dengan kata lain ; B
2,gasal
= 0. Dari persamaan 5.11 dan 5.13 diperoleh:
B
3,j
= B
2,j+1
untuk j = 1, 3, 5, 7 ………..…………..…..5.16e =
B
1,j-1
untuk j = 2, 4, 6, 8 ………..…………..…..5.16f Agar penulisan lebih sederhana, diadakan peringkasan sebagai berikut:
x
m,n
= x
m
– x
n
d y
m,n
= y
m
– y
n
maka elemen-elemen matrik [B] dinyatakan sebagai berikut: an
y t
y s
y B
43 24
32 11
− =
J 8
1 B
32
+ =
y t
y s
y J
8
14 34
31 34
13
1 B
B +
+ =
=
y t
y y
J 8
1 B
23 21
42 36
+ +
= B
15
=
y y
B
21 17
= y
t s
J 8
1 B
23 13
38
+ +
=
t x x
s x
J 8
B
31 22
= =
1 B
23 34
42
+ +
t x x
s x
1 B
+ +
= =
J 8
B
41 43
13 33
24
t x x
s x
J 8
1 B
B
14 21
24 35
26
+ +
= =
x x
B =
..…………....…..5.16g
t x s
J 8
1 B
32 12
31 37
28
+ +
=
dimana,
[ ]
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎬ ⎥
⎥ ⎢
⎢ +
− −
3 4
3 2
1 1
8 y
t s
t s
x x
x x
J
...5.16h
⎩ ⎭ ⎦
⎣
4
⎪⎪ ⎧
⎪ ⎪⎪
⎫ ⎥
⎥ ⎤
⎢ +
− +
− +
+ −
+ −
− =
2 1
1
1 1
1 1
1 y
y y
t t
s s
s t
s s
⎢ ⎡
− −
1 1
s t
t t
BAB VI APLIKASI
Kategori