Kinematika Gerak Perpindahan Gelombang Air Dipermukaan Bidang Berbentuk Lingkaran

KINEMATIKA GERAK PERPINDAHAN GELOMBANG AIR DI

PERMUKAAN BIDANG BERBENTUK LINGKARAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

FLORA.T.HUTAGALUNG 050801056

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

JUDUL : KINEMATIKA GERAK PERPINDAHAN

GELOMBANG AIR DIPERMUKAAN

BIDANG BERBENTUK LINGKARAN KATEGORI : SKRIPSI

NAMA : FLORA T HUTAGALUNG

NOMOR INDUK MAHASISWA : 050801056

PROGRAM STUDI : SARJANA (S1) FISIKA DEPARTEMEN : FISIKA

FAKULTAS : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

Diluluskan di

Medan, 10 Mei 2011

Komisi Pembimbing

Pembimbing II Pembimbing I

Tua Raja .S,S.Si,M.Si Drs.Tenang Ginting,MS NIP.197211152000121001 NIP.194806101976031003

Diketahui/Disetujui oleh : Departemen Fisika FMIPA USU Ketua,

Dr.Marhaposan Situmorang,M.Sc NIP.195110041980032001

PERNYATAAN

KINEMATIKA GERAK PERPINDAHAN GELOMBANG AIR DIPERMUKAAN BIDANG BERBENTUK LINGKARAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2011

Flora T Hutagalung 050801056

PENGHARGAAN

Pujilah Tuhan, hai jiwaku! Pujilah namanya hai segenap batinku! Pujilah Tuhan hai jiwaku, jangan lupakan segala kebaikannya! Dia yang mengampuni segala kesalahanmu, yang menyembuhkan segala penyakitmu. Dia yang menebus hidupnu dari lobang kubur, yang memahkotai engkau dengan kasih setia dan rahmat. Dia yang memuaskan hasratmu dengan kebaikan, sehingga masa mudamu menjadi baru seperti pada burung rajawali.(Maz 103:1-5).

Puji syukur kepada Allah bapa di surga pencipta segala yang ada, kepada Yesus Kristus sahabat yang selalu menemani setiap langkahku dan juga roh kudus yang selalu menolong untuk tetap bertahan dalam segala kesukaran, suka duka dalam mengerjakan tugas akhir ini.Dan terkhusus kepada bapak dan mamak yang terkasih, (alm) R.Hutagalung dan S.br.Simanjuntak yang telah mendidik penulis hingga saat ini bahkan yang telah memberikan segenap tenaga dan doa untuk penulis sehingga dapat menjadi seperti saat ini. Ucapan terima kasih saya ucapkan kepada :

1. Dosen pembimbing I saya, Bapak Drs.Tenang Ginting,MS yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya mulai dari pencarian judul hingga terselasaikanya tugas akhir ini.

2. Dosen pembimbing II saya, Bapak Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si yang telah memberikan masukan, saran dan semangat kepada saya sehingga tugas akhir ini selesai dengan baik.

3. Ketua Departemen Fisika Bapak Dr.Marhaposan Situmorang dan sekertaris departemen fisika ibu Drs.Justinon,MS.

4. Saudara-saudari saya Sabam, Anggreni,Wira dan Raja.

5. Abang yang saya kasihi, teman tumbuh berdua di dalam Tuhan Parulian Simbolon.

6. Teman-teman di departeman fisika stambuk 2005. Tetap semangat!

7. Teman-teman Efata (k’Heni, Kata, Leo,Frans,Meyenny dan Farto) yang selalu memebrikan semangat dan doa.

KINEMATIKA GERAK PERPINDAHAN GELOMBANG AIR DIPERMUKAAN BIDANG BERBENTUK LINGKARAN

ABSTRAK

Kinematika gerak perpindahan gelombang air dipermukaan bidang berbentuk lingkaran membahas tentang persamaan gelombang dua dimensi dalam sistem koordinat kartesian dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Dalam pembahasan ini persamaan gelombang dua dimensi tersebut diubah menjadi sistem koordinat polar. Dengan menentukan syarat – syarat batasnya yaitu bidang batasnya tetap dimana r = R, nilai t lebih besar daripada nol dan harga-harga nol fungsi Bessel yang dipergunakan. Maka didapatkan persamaan untuk gerak perpindahan, yaitu persamaan Fourier-Bessel. Dari persamaan tersebut didapatkan nilai perpindahan gelombang yang bergantung waktu.

KINEMATICS OF MOTION DISPLACEMENT OF WATER WAVES IN CIRCLE SURFACE

ABSTRACT

Kinematics of motion displacement of water waves in circle surface consider about two-dimensional wave equation in a Cartesian coordinate system by using variable separation method. In entire discussion, the two-dimensional wave equation is transformed into polar coordinate system. By determine the conditions that limit the field of fixed limit where r = R, t value greater than zero and the Bessel functions values are used. Thus, the motion displacement equation obtained, namely Fourier - Bessel equation. From equation, the motion displacement values of wave are found time-dependent.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ... ii

Pernyataan ...iii

Penghargaaan ...iv

Abstrak ...v

Abstract ... vi

Daftar isi ...vii

Daftar Gambar ...ix

Daftar Tabel ...x

Bab I Pendahuluan ...1

1.1Latar Belakang ... 2

1.2Batasan Masalah ... 2

1.3Tujuan ... 2

1.4Metodologi... 3

1.5Sistematika Penulisan ...3

Bab II Tinjauan Pustaka 2.1 Definisi Gelombang & Klasifikasinya ...4

2.1.1 Gelombang Mekanik ... 4

2.1.2 Besaran-besaran Fisis Gelombang ... 5

2.1.3 Gelombang Transversal ... 8

2.1.4 Gelombang Longitudinal ...8

2.2 Gelombang yang merambat ...9

2.2.1 Prinsip Superposisi ...9

2.2.2 Gelombang Sinus ...10

2.2 3 Diagram fasor ...12

2.3 Rumusan Matematik Gelombang yang bergerak ...13

2.4 Persamaan Diferensial Bessel ...15 Bab III Hasil dan Pembahasan

bidang berbentuk lingkaran ...17 3.2 Metode Pemisahan Variabel ...18 3.3 Perpindahan gelombang air dipermukaan

bidang berbentuk lingkaran ...18 Bab IV Kesimpulan & Saran ...23 Daftar Pustaka ...24 Lampiran

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1. Amplitudo adalah simpangan maksimum dari

posisi setimbangnya ...5

Gambar 2.2. Membuat gelombang pada tali ...7

Gambar 2.3. Gerak gelombang tali jika ada gelombang gelombang menjalar dari kiri ke kanan. ...8

Gambar 2.4. Dua gelombang tali A dan B ...10

Gambar 2.5 Superposisi dua gelombang dengan beda fase φ₀₁ ...11

Gambar 2.6. Fungsi gelombang dengan y (x,t) = A₁ 1(kx−ωt+φ01) ...12

Gambar 2.7 Gelombang sinusoida bergantung waktu (t) ...13

Gambar 3.1 Koordinat kartesian

( )

x,y dan koordinat polar

( )

r,θ …..17

Gambar3.2 Contoh bidang lingkaran pada permukaan air ...19

Gambar 3.3 Bidang lingkaran digambarkan pada bidang xy …..19

Gambar3.4 Mode normal dari bidang berbentuk lingkaran dengan gelombang tak bergantung sudut ...22

DAFTAR TABEL

Halaman

KINEMATIKA GERAK PERPINDAHAN GELOMBANG AIR DIPERMUKAAN BIDANG BERBENTUK LINGKARAN

ABSTRAK

Kinematika gerak perpindahan gelombang air dipermukaan bidang berbentuk lingkaran membahas tentang persamaan gelombang dua dimensi dalam sistem koordinat kartesian dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Dalam pembahasan ini persamaan gelombang dua dimensi tersebut diubah menjadi sistem koordinat polar. Dengan menentukan syarat – syarat batasnya yaitu bidang batasnya tetap dimana r = R, nilai t lebih besar daripada nol dan harga-harga nol fungsi Bessel yang dipergunakan. Maka didapatkan persamaan untuk gerak perpindahan, yaitu persamaan Fourier-Bessel. Dari persamaan tersebut didapatkan nilai perpindahan gelombang yang bergantung waktu.

KINEMATICS OF MOTION DISPLACEMENT OF WATER WAVES IN CIRCLE SURFACE

ABSTRACT

Kinematics of motion displacement of water waves in circle surface consider about two-dimensional wave equation in a Cartesian coordinate system by using variable separation method. In entire discussion, the two-dimensional wave equation is transformed into polar coordinate system. By determine the conditions that limit the field of fixed limit where r = R, t value greater than zero and the Bessel functions values are used. Thus, the motion displacement equation obtained, namely Fourier - Bessel equation. From equation, the motion displacement values of wave are found time-dependent.

BAB I PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Gelombang adalah suatu gangguan yang menjalar dalam suatu medium dimana medium tersebut merupakan sekumpulan benda yang saling berinteraksi. Fenomena gelombang dapat dilihat seperti ombak lautan dipantai, riak-riak air di kolam, bunyi musik yang dapat didengar, dll. Bentuk gelombang yang biasa dilihat dalam kehidupan sehari-hari adalah gelombang mekanik. Dimana gelombang mekanik merupakan suatu gangguan yang berjalan melalui beberapa materi atau zat yang dinamakan medium. Gelombang transversal pada tali dan gelombang longitudinal pada pegas ayunan merupakan contoh dari gelombang mekanik. Gelombang pada permukaan air merupakan gelombang dua dimensi, karena medium gelombang ini yaitu permukaaan air mempunyai dua dimensi, panjang dan lebar. Alat khusus untuk menyelidiki gerak gelombang dipermukaan air disebut tangki riak( ripple tank). Gerak gelombang pada permukaan air dapat dibagi kedalam dua jenis, yaitu :

1. Gelombang air pasang ( Gelombang panjang di air dangkal)

Gelombang ini timbul ketika panjang gelombang osilasi lebih besar dibandingkan kedalaman air.

2. Gelombang air permukaan

Gelombang ini timbul tetapi tidak diperluas dibawah permukaan air dan panjang gelombang lebih kecil dari pada kedalaman air.

Pada penulisan tugas akhir ini dapat dilihat persamaan gerak gelombang yang dituliskan dalam persamaan gerak gelombang dua dimensi dalam sistem koordinat kartesian. Fungsi gelombang tersebut diubah kedalam sistem koordinat polar. Dari fungsi gelombang tersebut akan didapatkan persamaan untuk perpindahan gelombang. Perhitungan gerak gelombang dilakukan dengan menggunakan persamaan Fourier-Bessel. Dalam hal ini, pada permukaan air digambarkan ada suatu bidang

2 2 2 2 2 2 2

1

t v y

x ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ψ ψ ψ

2 2 2

2 1

t

v ∂

∂ =

∇ψ ψ

2

∇

berbentuk lingkaran dengan jari jari (R). Adapun bentuk persamaan gerak gelombang dua dimensi adalah

Dengan menggunakan operator Laplace maka persamaan gerak tersebut menjadi bentuk umum persamaan gelombang.

= Operator laplace dalam hal ini dua dimensi

1.2.Batasan Masalah

Beberapa batasan masalah yang diperlukan dalam penulisan tugas akhir ini antara lain 1.Air adalah cairan yang kekentalannya dapat dianggap nol (zat cair ideal) maka pada air tidak terjadi tegangan geser. Dalam hal ini, viskositas (kekentalan) air diabaikan. 2.Dalam hasil pembahasan tugas akhir ini, persamaan gerak perpindahan gelombang

hanya di tinjau dari permukaan air. Jadi dalam penulisan tugas akhir ini, kedalaman air tidak diperhitungkan.

1.3.Tujuan Penelitian

Untuk menentukan nilai perpindahan gelombang dari persamaan fungsi gelombang dua dimensi dalam sistem koordinat polar. Dimana, dari persamaan gelombang tersebut didapatkan persamaan , yaitu persamaan Fourier-Bessel.

1.4.Metode Penelitian

Penelitian ini dikerjakan secara teoritis dan sebagai acuannya digunakan metode pemisahan variabel yang menghasilkan persamaan gelombang dua dimensi dalam sistem koordinat kartesian. Sistem koordinat kartesian tersebut diubah ke sistem koordinat polar. Dari sistem koordinat polar didapatkan persamaan Fourier-Bessel untuk menentukan nilai perpindahan gelombang. Karena penelitian ini bersifat teoritis, maka diperlukan sumber-sumber informasi. Sumber-sumber informasi ini akan diperoleh dari buku, jurnal, internet dll.

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis terdiri dari 4 bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah sebagai berikut :

• Bab 1 dikemukakan latar belakang penelitian, batasan masalah, tujuan penelitian,dan metode penelitian yang digunakan.

• Bab 2 dikemukakan tinjauan pustaka yang membahas definisi gelombang, klasifikasi jenis-jenis gelombang, dan rumusan matematik untuk gelombang yang bergerak (merambat).

• Bab 3 dikemukakan hasil dan pembahasan penelitian

• Bab 4 dikemukakan mengenai penelitian yang telah di lakukan serta saran untuk penelitian mendatang dengan topik yang berkaitan dalam skripsi ini.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Gelombang dan klasifikasinya.

Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi 2 yaitu :

1. Gelombang mekanik

Suatu gangguan yang berjalan melalui beberapa materi atau zat yang dinamakan medium gelombang itu.

Contoh : gelombang transversal dan gelombang longitudinal. 2. Gelombang elektromagnetik

Suatu gelombang yang tidak memerlukan medium dalam perambatannya karena dapat bergerak dalam ruang vakum.

Contoh : cahaya tampak, gelombang radio, radiasi inframerah, sinar-x dan sinar gamma.

Dan dalam penulisan tugas akhir ini yang di bahas hanyalah gelombang mekanik.

2.1.1 Gelombang mekanik

Gelombang mekanik adalah gelombang yang memerlukan medium dalam pergerakannya. Jenis-jenis gelombang mekanik dapat dibedakan dengan meninjau bagaimana gerak partikel materi yang dihubungkan kepada arah penjalaran gelombang itu sendiri, yaitu :

1. Gelombang transversal

Gelombang (gangguan) yang arah gerak partikel yang mengangkut gelombang tersebut tegak lurus terhadap arah penjalaran gelombang itu sendiri.

Misalnya : Gelombang tali, gelombang dalam seismik (gempa bumi) yang dikenal sebagai gelombang geser (shear wave), gelombang cahaya dan gelombang permukaan air.

2. Gelombang Longitudinal

Gelombang (gangguan) yang arah gerak partikel yang mengangkut gelombang tersebut bolak-balik (sejajar) sepanjang arah penjalarannya.

Misalnya : Gelombang pada pegas dan gelombang bunyi di udara.

2.1.2 Besaran-besaran fisis gelombang

Gelombang selalu digambarkan melalui fungsi sinus, hal ini dikarenakan sesuai dengan prinsip fourier bahwa seluruh bentuk gelombang pada dasarnya terdiri dari gelombang-gelombang yang sederhana yaitu gelombang dengan bentuk sinusoidal yang bergerak merambat. Jika pergerakan suatu gelombang di gambarkan maka akan di peroleh grafik sinus seperti di bawah ini

Gambar 2.1. Amplitudo adalah simpangan maksimum dari posisi setimbangnya

Garis putus-putus seperti pada gambar 2.1 disebut posisi setimbang (equilibrium), posisi setimbang ini adalah posisi awal ketika gangguan belum ada dan energi belum menjalar. Dari gambar dapat disimpulkan :

Amplitodo (A) : simpangan terjauh sebuah titik dari posisi setimbangnya, yaitu bb1 atau dd1.

Dasar gelombang : titik – titik terendah pada gelombang, yaitu d atau h Puncak gelombang : titik – titik tertinggi pada gelombang, yaitu b atau f Lembah gelombang : lengkungan cde atau ghi

Bukit gelombang : lengkungan abc atau efg

Satu panjang gelombang (λ) adalah panjang satu gelombang yang terbentuk dari satu

f

1

T f = 1

T λ

ν = ν =λ⋅ f

λ

1. Perioda (T)

Perioda adalah waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk menempuh satu panjang gelombang.. Seperti halnya dalam gerak harmonik, perioda menunjukkan lambatnya sebuah gelombang berosilasi. Dalam sistem satuan internasional, satuan untuk perioda adalah detik. Perioda dapat dihitung dengan persamaan :

T = ....(2.1)

f = frekuensi

2.Frekuensi (f)

Frekuensi adalah banyaknya getaran tiap satuan waktu. Dalam satuan internasional untuk frekuensi adalah herts (Hz). Frekuensi bisa di hitung melalui perioda hubungan: ....(2.2)

T = perioda

3.Kecepatan rambat gelombang (v)

Ada dua jenis kecepatan gelombang : pertama, kecepatan osilasi, yaitu kecepatan gelombang bolak-balik di sekitar titik setimbangnya, dan kedua kecepatan gelombang untuk menjalar, yang di sebut dengan kecepatan rambat gelombang. Cepat rambat gelombang adalah jarak yang di tempuh satu panjang gelombang tiap waktu yang di perlukannya (perioda) :

atau ....(2.3)

Dimana : v = cepat rambat gelombang dan = panjang gelombang

Untuk gelombang tali, kecepatan rambat sangat bergantung pada jenis tali. Pada gelombang elastik, seperti gelombang seismik, kecepatan rambat gelombang dipengaruhi oleh sifat medium dalam hal ini modulus elastiknya. Namun khusus untuk gelombang elektromagnetik, misalnya seperti cahaya, perambatannya tidak memerlukan medium. Dalam vakum dan udara kecepatan rambatnya sama dengan c yang mendekati nilai 3 x 108 m/s, namun melambat dalam medium dengan indeks bias lebih besar dari udara. Secara umum, pengaruh sifat medium pada kecepatan rambat dari beberapa jenis gelombang dapat di lihat pada tabel berikut :

Tabel 1 Data fisis beberapa jenis gelombang JENIS GELOMBANG/

MEDIUMNYA

KECEPATAN RAMBATNYA

KETERANGAN

Tali/tali

µ F v=

F = tegangan tali;

µ= massa jenis tali Suhu/udara(fluida)

ρ K v=

K = modulus Bulk;

ρ= massa jenis udara Elastik/padat

ρ E v=

E = modulus elastik

Elektromagnetik/- _v=_c=_3x108_{m/s Tidak memerlukan}

medium untuk merambat.

2.1.2Gelombang Transversal (Gelombang pada tali)

Gelombang pada tali adalah gelombang mekanis transversal.Untuk membuat sebuah gelombang transversal pada tali dapat dibuat dengan cara mengikatkan tali pada panel pintu seperti pada gambar berikut :

Gambar 2.2. Membuat gelombang pada tali

Ketika tali digerakkan, tampak bahwa tali bergerak naik turun dalam arah gerak tegak lurus dengan arah perambatannya. Jika tali cukup berat akan didapatkan gelombang yang bergerak perlahan, sehingga mudah diamati. Untuk melihat bagian tali yang bergerak dan ke mana arah geraknya dapat di lihat pada gambar 2.3. Dari gambar tersebut terlihat gelombang dengan garis penuh yang menunjukkan kedudukan mula-mula gelombang sebelum gelombang dengan garis putus – putus terjadi. Seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, gelombang bergerak dari kiri ke kanan. Gelombang menempuh jarak yang sama untuk selang waktu yang sama dan gelombang menjalar dengan kecepatan kosntan.. Maka dapat disimpulkan :

1.Setiap gelombang bergerak tanpa berubah bentuk dengan kecepatan konstan di sepanjang tali.

2. Setiap bagian tali hanya bergerak tegak lurus pada arah menjalarnya gelombang.

2.1.3 Gelombang Longitudinal (Gelombang bunyi di udara)

Gelombang bunyi adalah gelombang mekanis longitudinal. Gelombang bunyi tersebut di jalarkan di dalam benda padat, benda cair, dan gas. Partikel – partikel bahan yang ditransmisisikan gelombang seperti berosilasi di penjalaran gelombang itu sendiri. Ada suatu jangkauan frekuensi yang besar di dalam mana dapat dihasilkan gelombang mekanis longitudinal, dan gelombang bunyi dibatasi pada jangkauan frekuensi yang dapat merangsang telinga dan otak manusia kepada sensasi pendengaran. Jangkauan ini adalah kira – kira 20 siklus/detik (atau 20 Hz)sampai kira – kira 20.000 Hz, dan dinamakan jangkauan yang kedengaran (audible range). Gelombang mekanis longitudinal yang frekuensinya berada di bawah jangkauan yang pendengaran tersebut dinamakan sebuah gelombang infrasonik (infrasonic wave), dan gelombang yang frekuensinya berada di atas jangkauan pendengaran dinamakan sebuah gelombang ultrasonik (ultrasonik wave).

2.2 Gelombang Yang Merambat

Gelombang di permukaan air laut, yang terjadi karena adanya angin atau kerena gangguan lain, sudah sangat dikenal. Suatu sumber bunyi dapat di dengar karena adanya rambatan gelombang dalam atmosfir yang “memisahkan” si pendengar dari sumber tersebut. Dan gerak getar (vibrasi) sumber bunyi itu sendiri adalah apa yang dinamakan gelombang stasioner. Sifat cahaya yang dapat di amati paling baik di jelaskan berdasarkan teori gelombang, dan menurut pengetahuan sifat cahaya yang ada pada dasarnya sama dengan sifat gelombang radio, gelombang infra – merah, ultra ungu, gelombang sinar –X, dan gelombang sinar gamma. Perkembangan ilmu fisika yang menakjubkan dalam abad – 20 ialah penemuan bahwa materi memiliki sifat gelombang. Dan bahwa seberkas elektron yang dipantulkan oleh kristal, sama seperti seberkas sinar – X. Bidang ilmu tentang gerak gelombang erat hubungannya dengan bidang ilmu tentang gerak selaras (harmonic motion). Bila gelombang bergerak dalam

suatu zat materi, tiap partikel zat itu akan bergetar terhadap posisi kesetimbangannya.

2.2.1 Prinsip Superposisi

Untuk membahas apa yang terjadi jika ada dua atau lebih gelombang yang sejenis menjalar dalam medium yang sama dapat dimisalkan dengan dua gelombang bunyi yang sama – sama berada di udara. Untuk mudahnya di pandang lebih dahulu dua

A

y₁=

(

kx−ωt−φ01

)

2

y

(

kx−ωt

)

   



 _−

  

  −

= t

k x k A

y

φ

01

ω

1 sin

gelombang pada tali. Satu gelombang datang dari sebelah kiri, dan satu gelombang lain datang dari sebelah kanan, seperti terlihat pada gambar 2.4 berikut ini

Gambar 2.4. Dua gelombang pada tali A dan B bertemu dan melanjutkan perjalanan masing-masing tanpa ada perubahan bentuk.

Pada gambar 2.4 digambarkan apa yang terjadi setelah kedua gelombang ini bertemu. Kedua gelombang meneruskan penjalaran mereka tanpa ada perubahan bentuk. Jadi kedua gelombang itu tidak saling mempengaruhi. Juga ditunjukkan pada waktu kedua gelombang bertemu, simpangan total setiap titik pada tali merupakan jumlah simpangan yang disebabkan oleh kedua gelombang tersebut. Gambar tersebut juga menujukkan posisi gelombang dan simpangan tali pada beberapa saat. Jadi, jika ada dua gelombang menjalar dalam suatu medium, maka gangguan total pada medium adalah jumlah gangguan oleh masing – masing gelombang. Sifat ini dikenal sebagai prinsip superposisi. Prinsip ini berlaku untuk semua jenis gelombang, selama gangguan yang disebabkan oleh gelombang tidak terlalu besar.

2.2.2 Gelombang Sinus

Untuk melihat yang terjadi pada interferensi dua gelombang sinus, maka dibahas dua gelombang sinus dengan amplitudo yang sama, menjalar pada arah dan dengan kecepatan yang sama pula, akan tetapi mempunyai fasa yang berlainan. Fungsi gelombang untuk kedua gelombang dinyatakan dengan :

sin ....(2.4) = A sin ....(2.5) Persamaan (2.6) dapat di tulis sebagai :

01

φ

1

y y2 y₁ y2

1

y φ₀₁ k y2

(

) (

)

{

kx t kx t

}

y y y

y= ₁+ ₂ = _m sin −ω −φ₀₁ + −ω

2 1

2 1

   



 _{− −}

   

 

2 sin

2

cos

φ

01 _kx

ω

_t

φ

01

A

Dimana :

A = amplitudo, = sudut fasa gelombang dan k = bilangan gelombang

Sehingga jika dilihat dan bersama – sama, maka dan sebagai fungsi x pada suatu t tertentu, maka puncak akan tergeser sejarak dari puncak seperti pada gambar 2.5 . Hasil superposisi kedua gelombang y dan ₁ y adalah : ₂

Dari rumus ilmu ukur sudut :

sin B + sin C = 2 sin (B+C) cos (B-C) ....(2.7) Maka diperoleh :

y = ....(2.8)

Gambar 2.5 Superposisi dua gelombang dengan beda fase φ01

1

1 A

y =

(

kx−ωt−φ₀₁

)

y₂ = A₂

(

kx−ωt−φ₀₁

)

R

y y₁ y₂

R

A

(

kx−ωt−φ_R

)

01

φ

1

y y2 φ

2.2.3 Diagram Fasor

Sekarang bagaimana halnya dengan superposisi tiga gelombang, atau dua gelombang dengan frekuensi sama yang menjalar dalam medium yang sama (dengan kecepatan yang sama ) akan tetapi dengan amplitudo yang berbeda. Untuk Mengatasi ini digunakan diagram fasor. Misalkan ada dua fungsi gelombang :

cos dan cos

Hasil superposisi kedua gelombang ini dapat dinyatakan dengan fungsi gelombang : (x,t) = (x,t) + (x,t) = cos ....(2.9)

Dimana :

= sudut fasa gelombang R = indeks , A dan

k = bilangan gelombang dan ω = frekuensi sudut

Jika ingin menentukan A dan _R φ0R haruslah diketahui A1,A2, φ1 dan φ2. Dalam

melakukan penjumlahan di atas sekaligus juga menjumlahkan dua besaran, yaitu amplitudo A dan sudut fasa φ =kx−wt+φ₀₁ . Untuk ini tiap suku pada persamaan (2.9) dipandang sebagai vektor.

y1(x,t) = A1 cosφ = A1

(

kx−ω +t φ01

)

y₁ = A₁< φ =kx−ω +t φ₀₁

yaitu suatu vektor dengan panjang A1 dan membuat sudut φ =kx−ωt+φ1 dengan

sumbu x. Jadi arah vektor ini dinyatakan oleh sudut fasa. Vektor semacam ini di sebut fasor. Fungsi gelombang y (x,t) tak lain adalah proyeksi ₁ y pada sumbu x. Dengan ₁

menggunakan fasor, superposisi kedua gelombang pada persamaan (2.9) menjadi jumlah fasor.

Ini digambarkan dengan diagram seperti pada gambar 2.6, diagram ini di sebut diagram fasor.

Gambar 2.6. Fungsi gelombang dengan y (x,t) = A₁ 1(kx−ωt+φ01)

2.3. Rumusan matematik gelombang yang merambat

Banyak karakteristik gelombang dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep laju gelombang, frekuensi, dan panjang gelombang. Namun, sering diperlukan deskripsi yang lebih rinci dari posisi dan gerak gelombang pada waktu-waktu tertentu selama perambatan gelombang. Untuk itu diperlukan rumusan matematik gelombang yang merambat.

Gambar 2.7 Gelombang sinusoida bergantung waktu (t)

Dimisalkan perambatan gelombang sinusoida pada gambar 2.7 ditentukan dengan fungsi : ψ

( )

x,t =Ysin ωt. Perpindahan gelombang dari posisi semula ditandai dengan sudut fasa (φ), yang artinya :

ψ

( )

x,t = Y sin

(

ωt−φ

)

; φ =kx ....(2.10) Dimana : k = bilangan gelombang

maka diperoleh :

ψ

( )

x,t = Y sin

(

ωt−kx

)

....(2.11) Persamaan (2.11) menunjukkan gelombang sinus yang merambat ke kanan. Jika gelombang bergerak ke kiri, maka persamaannya menjadi :

ψ

( )

x,t = Y sin

(

ωt+kx

)

....(2.12) Dengan memisalkan x = λ dan φ =2π dari persamaan (2.10) diperoleh : 2π =kλ ,

λπ

2

=

k

Dari persaman (2.3) didapat :

k k

f

v ω

π ω π

λ⋅ = ⋅ =

=

2 2

dimana, ω = 2πf

Untuk gelombang sinus yang merambat transversal maka ditentukan berdasarkan persamaan (2.12). Perpindahan y merupakan fungsi dua variabel, t dan x . Kecepatan gelombang

( )

v mempunyai harga konstan dengan mengambil turunan terhadap waktu

(t).

Y t v ψ =ω

∂ ∂

= cos

(

ωt+kx

)

Percepatan a dapat diperoleh dengan menurunkankan secara parsial kedua kalinya :

Y t

a ₂ 2

2

ω ψ ₌₋

∂ ∂

= sin

(

ωt+kx

)

k Y t y 2 2 2 − = ∂

∂ _sin

₍

₎

kx t+

ω

maka didapatkan :

2 2 2 2 2 2 2 v k x y t y = = ∂

∂∂ ∂ ω

Dengan demikian didapatkan persamaan diferensial gerak gelombang yang merambat:

2 2 2 2 2 x y v t y ∂ ∂ = ∂ ∂ _→ 2 2 2 2 2 1 t v x ∂ ∂ = ∂

∂ ψ ψ _{(persamaan gelombang 1 dimensi)}

2.4 Persamaan Differensial Bessel

a. Jenis pertama J_v

( )

x

Persamaan Umum fungsi Bessel

x2y" +xy' +(x2 −ν2)y=0 ....(2.13) dengan solusi dalam bentuk deret :

( )

( )

(

)

∑

∝₌ + −_{Γ + +}

= 0 2 2 1 ! 2 1 m m m m m m x x x J ν ν ν

ν ....(2.14)

( )

( )

(

)

2 2 0 1

2 ! 1

m _m m

m

x

J x x

m m v

ν ν ν ∝ − − + = − =

Γ − +

∑

....(2.15) Fungsi ini disebut fungsi Bessel jenis pertama orde ν

J_−ν

( ) ( ) ( )

x = −1ν J_ν x

Dari pers (2.14) pada ruas kanan dapat ditunjukkan sebagai xνJ_ν , kemudian diturunkan dan didapatkan :

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx

d

1

−

= ν ν ν

ν _....(2.16)

Dan jika dari pers (2.14) pada ruas kanan ditunjukkan sebagai x Jv

( )

x ν

− _{, kemudian}

diturunkan dan didapatkan :

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx d 1 + − − ₌₋ ν ν ν

ν _....(2.17)

Kemudian dari pers (2.15) dan (2.16) didapatkan hubungan rekursif :

( )

( )

J

( )

x x x J x

J_ν−1 + _ν+1 = 2ν _ν dan J_ν−1

( )

x −J_ν+1

( )

x =2J_ν'

( )

x

b.Jenis kedua Y_ν

( )

x

Y_ν

( )

x

[

J_ν

( )

x νπ J_ν

( )

x

]

νπ − = cos sin 1

( )

( )

n

n x Y x

Y → = ν ν lim

∑

− = − − − − + = 1 0 2 ! ) 2 / ( )! 1 ( 1 ) ( ) ) 2 / (ln( 2 n k n k n n k x k n x J x Y π γ π -

∑

{

}

∝ = + + + Φ + Φ − 0 2 )! ( ! ) 2 / ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 k n k k k n k x k n k

π ....(2.18)

Dengan γ =0.5772166... sebagai konstan Euler .

Pers (2.17) didefinisikan untuk n = 0

Y_−n

( ) ( ) ( )

x = −1 nY_n x

Solusi umum fungsi Bessel jenis pertama dan kedua: y

( )

x =c1Jν(x)+c2Yν(x)

    ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 θψ ψ ψ ψ r r r r v t 2 2 2 2 2 1 1 θψ ψ ψ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r 2 2 2 1 t v ∂ ∂ ψ BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Persamaan gerak gelombang air di permukaan bidang berbentuk lingkaran.

Untuk menjelaskan posisi gelombang dalam medium air diperlukan deskripsi yang jelas. Maka untuk menjelaskannya diperlukan fungsi gelombang yang dinyatakan dalam sistem koordianat kartesian. Gelombang air dipermukaan bidang mempunyai dua dimensi, yaitu panjang dan lebar. Adapun bentuk dari sistem koordinat kartesian adalah :

Gambar 3.1 Koordinat kartesian

( )

x,y dan koordinat polar

( )

r,θ Dimana : OA = x , AP = y , panjang OP = r

Bentuk persamaan gelombang 2 dimensi dalam sistem koordinat kartesius : ₂ 2 2 2 2 2 2 1 t v y x ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ

Dalam pembahasan ini diperlukan persamaan gelombang dalam sistem koordinat polar. Maka sistem koordinat kartesian diubah ke sistem koordinat polar. Hubungan koordinat kartesian dengan sistem koordinat polar :

x=rcos θ y=rsin θ r = x2 + y2

x y 1 tan− = θ

ψ

( )

x,y =θ(r cos

( )

θ ⋅rsin

( )

θ ) = ψ

( )

r,θ

Maka persamaan gerak gelombang dalam sistem koordinat polar : = atau

3.2. Metode Pemisahan Variabel.

Metode pemisahan variabel dapat di pakai untuk mencari suatu solusi persamaan differensial parsial. Sebagai contoh persamaan differensial parsial dapat diambil dari sebuah persamaan gelombang. Persamaan gelombang diferensial parsial dengan mematuhi ruang koordinat dan waktu. Dalam penerapan metode pemisahan variabel,

akan di definisikan ψ sebagai dua fungsi :

ψ(x,y,z,t) = F(x,y,z) T(t)

Dimana F adalah fungsi ruang koordinat dan T sebagai fungsi waktu. Secara umum, persamaan diferensial parsial berisi F(x,y,z) sebagai variabel tak bebas. Persamaan differensial parsial yang berisi F dapat di turunkan menjadi beberapa persamaan diferensial biasa dengan memisalkan F sebagai hasil dua atau lebih fungsi, yang mana setiapnya adalah fungsi tunggal dalam ruang koordinat. Sebagai contoh, dalam koordinat kartesius, menjadi :

F(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)

Dari metode pemisahan variabel dapat dibentuk persamaan gelombang 1,2 dan 3 dimensi.

3.3 Perpindahan Gelombang air dipermukan bidang berbentuk lingkaran.

Persamaan gerak gelombang air dipermukaan bidang adalah :

  



∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

θψ ψ

ψ ψ

r r r r v

t

....

( )

3.1

Perpindahan gerak pada waktu t dituliskan sebagai ψ

(

r,θ,t

)

seperti pada persamaan (3.1). Tetapi pergerakan gelombang di permukaan bidang adalah radial simetri pada solusinya, yang artinya gelombang bergerak tanpa bersinggungan dengan sudut θ. Maka titik pusat hanya bergantung pada r dan t. Maka perpindahan gerak gelombang

( )

r,t

ψ dapat dituliskan menjadi :

_ _

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

r r r v t

ψ ψ

ψ 1

2 2 2 2 2

Bidang berbentuk lingkaran digambarkan pada permukaan air, digambarkan sebagai berikut :

Gambar 3.2 Contoh bidang lingkaran pada permukaan air

Bidang lingkaran digambarkan pada bidang xy dengan titik pusat massa ditengah (O) dan memiliki jari-jari R seperti pada gambar 3.3 berikut ini :

Gambar 3.3 Bidang lingkaran digambarkan pada bidang xy Ketika bidang tetap di sepanjang batasnya di mana r = R maka syarat batasnya :

(1) ψ (r,t) = 0 Untuk semua

(2) ψ (r,0) = f(r) [untuk defleksi/perpindahan f(r)]

(3) ( )

0 r g t t

= ∂ ∂

=

ψ _{[untuk kecepatan g(r)]}

Pertama – tama ditentukan solusi dengan metode pemisahan variabel

ψ (r,t) = W(r)G(t) ....(3.3)

Memenuhi syarat batas (1), substitusi ke (3.1) hasilnya di bagi dengan v2WGmaka didapatkan :

      _{′′+ ′} = ′′ W r W W G v

G 1 1

2

Pernyataan kedua ruasnya harus sama, maka di beri konstanta –k2, dengan demikian:

      _{′′+ ′} = ′′ W r W W G v

G 1 1

2 =

2 k

−

Menghasilkan dua persamaan linier :

G′′+ λ2G = 0 , λ =vk ....(3.4) ′′+1W′+k2W =0

r

W ....(3.5)

Dengan menurunkan persamaan (3.5) ke persamaan Bessel dan mengatur s= kr,

s

r 1

1 = , dan menghilangkan faktor 2

k maka dihasilkan :

₂

2 ds

W d

+ 1 +W =0 ds

dW

s ....(3.6)

Persamaan (3.6) merupakan persamaan umum fungsi Bessel. Persamaan ini mempunyai Solusi Umum:

W_m

( )

r =dJ₀

( )

s +kY₀

( )

s

Wm

( )

r =dJ0

( )

kr +kY0

( )

kr ....(3.7)

Dimana :

m = indeks harga nol fungsi Bessel

( )

α_m

Solusi umum tersebut adalah fungsi Bessel jenis pertama (J ) dan jenis kedua (₀ Y ). ₀

Fungsi Bessel jenis kedua (Y ) tidak berhingga pada harga 0 sehingga tidak dapat ₀

dipergunakan karena perpindahan gerak pada bidang harus selalu berhingga dan dengan demikian k = 0. Pada batas r=R didapatkan W(R) = J (kR) = 0 memenuhi ₀

syarat batas (2). Syarat batas ini dapat terpenuhi jikaJ bernilai nol positif, ₀ α_m=

3 2 1,α ,α

α .... Sepertiαm = 2.405; 5.520; 8.654; 11.792...

Dari (3.7) dapat dituliskan :

kr=α_mdengan m m

k k R α

= = , m = 1,2,3.. Maka didapatkan :

      = = r R J r k J r

Wm m m

α

0

0( )

)

Pers (3.4) berhubungan ke pers (3.8) dengan λ =λ_m =vk_m =vα_m R maka didapatkan solusi umum :

t b t a t

G_m( )= _mcosλ_m + _msinλ_m Dengan demikian fungsinya menjadi :

) ( ) sin cos ( ) ( ) ( ) ,

(r t Wm r Gm t am mt bm mt J0 kmr

m λ λ

ψ = = +

Untuk mendapatkan solusi yang memenuhi syarat batas (1) dan (2) di dapatkan :

ψ (r,t) = ( ) ( )

1 t G r W _m m m

∑

∝₌ =

∑

(

)

∝ =      + 1 0 sin cos m m m m m m r R J t b t

a λ λ α , m=1,2,3,...

= _{0 0}

1

cos sin

m m m m

m m

m

v

a J r t b J t

R R R R

α α α να

∝ =

     ₊     

 _ _ _ _ _  _{ } _ 

 

∑

....(3.8)

Ini adalah persamaan Fourier-Bessel Untuk t = 0 maka:

ψ (r,0) =

∑

∝ = =     1

0 ( )

m

m

m r f r

R J

a α

Persamaan (3.8) memenuhi kondisi (2) dimana a adalah koefisien fourier- Beissel. m

a = _m

∫



     + R m m n dr r R J r rf J

R 2 0 0

1

2 ( )

) (

2 α

α

m

a adalah koefisien nilai perpindahan gelombang yang dapat dinyatakan dengan

memahami bentuk mode normal lingkaran. Dan bentuk persamaannya berasal dari ekspansi deret Bessel pada lampiran V.

Untuk m = 1,2,3,.... pada pers (3.9) adalah posisi gelombang pada bidang. Gelombang pada bidang disebut dengan mode normal seperti pada gambar 3.4 berikut :

Gambar3.4. Mode normal dari bidang berbentuk lingkaran dengan gelombang tak bergantung sudut

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Kinematika gerak perpindahan gelombang air di permukaan bidang berbentuk lingkaran menggunakan metode pemisahan variabel untuk menentukan fungsi gelombangnya. Fungsi gelombang yang digunakan adalah dua dimensi dalam sistem koordinat kartesian yang diubah ke sistem koordinat polar. Dari persamaan fungsi gelombang tersebut didapatkan persamaan yaitu persamaan Fourier-Bessel

( )

a_m . Koefisien a menyatakan nilai gerak perpindahan gelombang. Besarnya nilai _m

m

a ditentukan dari harga nol fungsi bessel

( )

αm dan harga J0

( )

x , J1

( )

x fungsi bessel.

4.2 Saran

Dalam kinematika gerak perpindahan gelombang air dipermukaan bidang berbentuk lingkaran, menggunakan metode pemisahan variabel untuk menentukan fungsi gelombangnya dalam dua dimensi. Tetapi metode pemisahan variabel dipakai juga untuk menentukan fungsi gelombang untuk satu hingga tiga dimensi. Dalam penelitian selanjutnya maka diharapkan dapat ditentukan fungsi gelombang dengan menggunakan metode yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bronwell.A. 1953. Advanced Mathematics in Physics and Engineering. USA. Mcgraw-Hill Book company,Inc – New York.

2. Coulson . C. A. 1995. Waves A Mathematical Account of the Common Types of Wave Motion.USA. Interscience publishers, Inc – New York.

3. Greenberg.D.M. 1998. Advanced Engineering Mathematicd. USA. Prentice Hall, Englewood Clifts – New Jersey.

4. Halliday & Resnick. 1993. Fisika Dasar. Edisi ketiga . Cetakan pertama. Diterjemahkan oleh : Pantur Silaban Ph.D dan Drs. Erwin Sucipto

5. Harvill & Pipes.1970. Applied Mathematics for Engineers and Physicst.USA. Mc.Graw Hill-Kogakusha.

6.Ishaq.Muhammad.2006. Fisika Dasar. Edisi pertama. Cetakan Pertama. Indonesia.Graha Ilmu – Yogyakarta.

7. Kreyzig.Erwin.1999. Advanced Engineering Mathematics. Edisi kedelapan.USA. Jhon Wiley & Sons.Inc-New York.

8. Nilsen.L.K.1958. Collage Mathematics.USA. Barnes & Noble Books – New York. 9. Sears & Zemansky. 1969. Fisika Untuk Universitas I. Indonesia. Bina Cipta –

Bandung.

10. Sutrisno. 1979. Fisika Dasar Gelombang dan Optik. Indonesia. ITB Press – Bandung.

11. Spiegel.R.M.1986. Analisis Fourier dengan penerapan pada soal-soal nilai batas.Schaum series.Erlangga-Jakarta.

12. Wospakrik.J.H. 1993. Dasar-dasar Matematika Untuk Fisika. Indonesia.ITB Press-Bandung.

LAMPIRAN I

GREEK ALPHABET

Α, α= Alpha Μ, µ= Mu Ψ, ψ = Psi

Β, β= Beta Ν, ν = Nu Ω, ω = Omega.

Γ, γ = Gamma Ξ, ξ= Xi

∆, δ = Delta Ο,ο = Omicron

Ε, ε= Epsilon Π, π= Pi

Ζ, ζ = Zeta Ρ, ρ= Rho

Η, η= Eta Σ, σ = Sigma

Θ, θ = Theta Τ, τ = Tau

Ι, ι = Iota ϒ, υ= Upsilon

Κ, κ= Kappa Φ, φ= Phi

Λ, λ= Lambda Χ, χ= Chi

LAMPIRAN II

Contoh penggunaan deret Fourier Bessel.

Misalkan f

( )

r =1 r− 2 untuk 0≤r ≤1 dengan menggunakan deret Fourier-Bessel :

( )

r =a J

( )

r =a₁J

( )

₁r +a₂J

( )

₂r +a₃J

( )

₃r +...

f _{m n} α_{m n} α _n α _n α

Dimana :

m

a =

∫



     + R m m n dr r R J r rf J

R 2 0 0

1

2 ( )

) (

2 α

α ,

(

r =x

)

dan m=1,2,3...

dengan α₁ = 2.405, α₂ =5.520, α₃ =8.645 Dari (3.14) dan (3.15) didapatkan :

( )

[

rJ₁ αr

]

′ =αrJ₀

( )

αr dan

[

r2J₂

( )

αr

]

′ =r2J₁

( )

αr

( )

[

]

_∫

( )

∫

rJ r dr= rJ r dr

dr

d _{α α α}

0

1

∫

[

r J

( )

r

]

dr =

∫

rJ

( )

r dr

dr

d _{α α α}

1 2 2 2

( )

[

]

( )

∫

d rJ₁ αr =

∫

αrJ₀ αr dr

∫

d

[

r2J₂

( )

αr

]

=

∫

α2rJ₁

( )

αr dr

( )

r =

_∫

rJ

( )

r dr

rJ1 α α 0 α r J

( )

αr =α

∫

rJ1

( )

αr dr 2

2 2

( )

( )

∫

rJ r dr= rJ αr α

α 1

0

1

∫

rJ

( )

r dr= rJ

( )

αr α

α 2 2

1

1

dan hubungan rekursif :

( )

α 2

( )

α _α 1

( )

α

0

2 J J

J + = →

( )

( ) ( )

α α

α

α 1 0

2

2

J J

J = −

Untuk n = 0, maka

m

a =

∫

( )

−

( )

+ 1 0 0 2 2 1 0 2 1 ) ( 2 dr r J r r J

R α_m αm

=

( )

∫

( )

−

( )

1 0 0 2 2 1 2 1 ) ( 1 2 dr r J r r

J m m

α α

=

( )



( )

− 1

( ) ( )

− − 2 2

( )

10

2 2 1 1 2 1 1 2 r rJ r r rJ r

J α_m α αm α αm

=

( )

0

( )

2 1

( )

[ ]

0 2 2 2 2 1 −     _{− −} m m J

=

( )



( )

m 

m

J

J12 α α2 2 α

2 2

=

( )

( )

m m

m

J J

α α α2

1 2 2 4 =

( ) ( )

( )

m m m m m J J J α α α α α 1 1 2 0 1 2 4     ₋ =

( ) ( )

( )

m m m m m J J J α α α α α 2 1 2 0 1 8 − =

( ) ( )

( )

m m m m J J J α

αα 2 α

1 3

0 1

8 −

Nilai J₁

( )

α_m dan J₀

( )

α_m diperoleh dari tabel fungsi Bessel pada lampiran III. Untuk α1 = 2.405

(

)

0025 . 0 ) 405 . 2 ( 5202 . 0 405 . 2 0 1 = = J J

(

) (

)

(

) (

3

)

2 1 5202 . 0 405 . 2 0025 . 0 5202 . 0 8 − = a =

(

13.91

)(

0.2706

)

1591 . 4 = 764 . 3 1591 . 4 = 1.1049 Untuk α₂ =5.520

(

)

(

5.520

)

0.0069 3414 . 0 520 , 5 0 1 − = − = J J

(

) (

)

(

) (

3

)

2

2 3414 . 0 520 . 5 0069 . 0 3414 . 0 8 − − − − = a =

(

168.196

)(

01165

)

7243 , 2 − = 594 . 19 7243 . 2 −

= - 0.1390 Untuk α₃ =8.645

(

)

(

8.645

)

0.0146 2728 . 0 645 . 8 0 1 = = J J

(

)

(

) (

3

)

2 3 2728 . 0 645 . 8 ) 0146 . 0 ( 2728 . 0 8 − = a =

(

640.092

)(

0.0744

)

1678 . 2 = 662 . 47 1678 . 2 = 0.0455 Maka didapatkan 1049 . 1 1 =

a , a2 =−0.1390 , a3 =0.0455

Bila di tulis dalam bentuk deret:

( )

r =1.1049J₀

(

2.405r

)

−0.1390J₀

(

5.520r

)

+0.0455J₀

(

8.654r

)

−...+...

LAMPIRAN III

LAMPIRAN IV

Transformasi koordinat kartesian ke koordinat polar.

Hubungan koordinat kartesian dengan sistem koordinat polar :

x=rcos θ y=rsin θ r = x2 + y2

x y 1 tan− = θ

Dimisalkan dengan vektor kedudukan

( )

s : yj

xi

s = +

r

s = cos θ i + r sin θ j

θ θ d s dr r s ds ∂∂ + ∂ ∂ =

ds = (cosθi + sinθj) dr + (- r sin θi + r cos θj) dθ ds = (cosθ dr - sinθ dθ) i + ( r sin dr + r cos θ dθ) j

ds2 = cos2θ −2rsinθcosθdr dθ + r2 sin2 θ dθ + sin2θdθdr2 + 2r sin θ cos θdr dθ+r2 cos2θdθ2

ds2 =

(

sin2θ +cos2θ

)

dr2 +r2

(

sin2θ +cos2θ

)

dθ2

ds2 = 2 2 θ2 d r

dr +

ds2 = 2 2

2 2 2

1 dr h dθ

h +

maka : 1

1 =

h , h2 =r

      ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∇ ψ ψ ψ_θ

2 1

2 1 1

h r h =           ∂ ∂ ∂∂ +     ∂ ∂

∂∂ ψ θ 2 ψθ

1 2 1 2 1 2 1 1 h h h r h h h r h h =     _      ∂ ∂ ∂∂ +       ∂ ∂

∂∂r r ψr θ r ψθ

r

1 1

= ₂

2 2 2 2 1 1 θψ ψ ψ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r

2 2 2 2

2

1 1

θψ ψ

ψ

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

r r r

r = 2

2 2

1

t

v ∂

∂ ψ _atau

  



∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

θψ ψ

ψ ψ

r r r r v t

LAMPIRAN V

Ekspansi deret Fungsi Bessel: Persamaan umum Fungsi Bessel :

0 ) ( 2 2

' "

2 + + − =

y n x xy y

x ...(1)

Jika y =

x u

di substitusikan ke pers (1) maka dihasilkan :

0 4 1 1 ₂ 2 2 2 =           ₋ − + u x n dx u d ………..(2)

Jika 1 diganti menjadi a maka pers (2) menjadi : 2

4 0 1 2 2 2 2 2 =           ₋ − + u x n a dx u d ………..(3)

Pers (3) mempunyai solusi :

u = xJn(ax) ……….…….(4)

Pada sifat yang sama untuk:

v = xJ_n(bx) ……….……….(5) Yang memenuhi persamaan :

0 4 1 2 2 2 2 2 =           ₋ − + u x n b dx u d ……….…(6)

Kemudian pers(2) dikalikan dengan v dan pers (6) dikalikan dengan u, dan hasilnya dikurangkan : v x u x u n u a dx u d ×     _{+ − − =} 0 4 1 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 4 1 x uv x uv n uv a dx uv d + − + v x v x v n v a dx v d ×     _{+ − − =} 0 4 1 2 2 2 2 2 2 =

2 2 2 2 2 2 4 1 x vu x vu n vu a dx vu d + − + 0 4 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =     _{+ + +} −     _{+ + +} x uv x vu n vu b dx vu d x uv x uv n uv a dx uv d

(

a2 −b2

)

uv=u"v−v"u ………..………(7) Pers (7) diintegtralkan dari 0 sampai x :

(

−

)

_∫

x =

_∫

x

(

−

)

o uv u v v u

b a 0 2 2 " " Dimana :

(

−

)

=

_∫

x

uvdx a b 0 2 2

= x

(

uv vu

)

dx

(

vu vu

)

x dx

d

0

0 '− ' = '− '

∫

………..……..(8)

Menjadi :

(

−

)

_∫

x

( ) ( )

n n ax J bx

xJ a b 0 2 2

= x

[

Jn

( )

bx Jn ax bJn ax Jn

( )

bx

]

' '

) ( )

( − …………(9)

Sekarang jika pers (8) didiferensialkan terhadap b dan mengatur b = a maka didapatkan :

( )

[

( )

( )

( )

( )

( )

]

2 '2 ' "

0 2 ax J ax axJ ax J ax J ax axJ x dx ax xJ

a

∫

x _n = _n − _{n n} − _{n n} ………(10)

Dari pers (9) di dapat :

(

b a

)

xxJ_n

( ) ( )

ax J_n bxdx aJ_n b J_n'

( )

a bJ_n

( ) ( )

a J_n' b

0 2 2 ) ( − = −

∫

Suku kedua dihilangkan, maka a dan b diakarkan :

( )

α =0

n

J ……….…...(11)

a dan b positif nol dari Jn

( )

x , maka didapatkan :

(

−

)

_∫

x

( ) ( )

n n ax J bx

xJ a b 0 2 2 dx= 0 Karena a ≠ b maka didapatkan :

( ) ( )

∫

x =

n n ax J bx dx

xJ

0 0 ………...(12)

Jika F(x) adalah fungsi berubah-ubah pada interval x = 0 sampai x =1 maka deretnya menjadi :

( )

_∑

=∝

( )

= =s s s n pJ x

A x

F

1

Dimana α_sadalah akar positif berturut-turut (11). Untuk mendapatkan koefisien umum A_pdari ekspansi ini, maka dikalikan kedua suku dari (13) dengan xJ_n

( )

α_kx dan diintegralkan dari x = 0 ke x = 1. Didapatkan dari sifat (12):

( )

x F x dx A xJ

( )

x dx xJ α_{k p}

∫

_n α_k

∫

= 1

0 2 1

0 ( ) ……… (14)

Pada pers (14) integral yang tidak bergantung pada x dapat dievalusi dengan mengartikan pers(9) yang bernilai :

( )

k n

( )

k

n x J

xJ α 2₁ α

1 0

2

2 1

+

=

∫

Maka :

( )

xJ

( )

x F x dx J

A _{n s}

s n

p ( )

2 1

0 2

1

α α

∫

+

=

LAMPIRAN V

Metode Pemisahan Variabel

Metode pemisahan variabel dapat dipakai untuk mencari solusi persamaan diferensial, sebagai contoh persamaan diferensial parsial yang dapat diambil dari sebuah

persamaan gelombang.

Untuk menetukan fungsi gelombang ψ diperlukan persamaan : ψ(x,t) = X(x) T(t)

₂ 2 2 2 2 1 t V x ∂ ∂ = ∂

∂ ψ ψ

1.Untuk 1 (satu) dimensi

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ(x,t) = X(x) T(t) maka di dapat :

₂ 2 2 2 x X T x ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ₂ 2 2 2 t T X t ∂ ∂ = ∂

∂ ψ _...(1)

Jadi, persamaan (1) tersebut dibagi dengan XT :

XT t T X V x X T ÷     ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1

→ ₂

2 2 2 2 1 1 t T V T V x X

X ∂ = ∂

∂

Catatan :

X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta pangkat dua dengan tanda (-) Jadi di peroleh :

₂ 2 2 1 x k x X

X ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2 = + ∂ ∂ x k x X X

₂ 2 0

2

= +

∂

∂ _{k X}

x X

x (persamaan karakterisitik)

Untuk mendapatkan hasil persamaan karakterisitik maka selalu pemisahan dinyatakan dengan bentuk eksponensial :

Misal : X = mx

e ; mx

me dx dX

= ; m emx dx X d 2 2 2 =

₂ 2 0

2

= +

∂

X k dx

X

x

Maka : m2emx +k_x2emx =0

mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

m2 +k_x2 =0 ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai X yaitu : X = A₁eikx +A₂e−ikx

Selanjutnya :

2 2

2 2

1

t

k t

T T

V ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

2 ∂ + =

∂

t

k t

T T V

0

2 2 2 2

= +

∂

∂ _{V k T}

t T

t (persamaan karaketristik) ...(2)

Dimisalkan Vk_t =ω, 2 2 =ω2

t

k V

₂ 2 0

2

= + ∂

∂ _T

t T

ω

Misal : T = mt

e ; memt dt

dT

= ; m emt dt

T

d 2

2 2

=

Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0

2

2 mt + mt =

e e

m ω ; m= −ω2 ; m1,2 =±iω

Maka :

T =B₁eiω⋅t +B₂e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 1 dimensi: ψ = X⋅T

2. Untuk 2 (dua) dimensi : ₂ 2 2 2 2 2 2 1 t V y x ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ _...(3)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,t

)

= X(x)Y(y)T(t)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t T XY t y Y XT y x X YT x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ ψ

Substitusi ke pers (3) :

XYT t T XY y Y XT x X YT ÷     ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2

→ ₂

2 2 2 2 2 2 1 1 1 t T T V y Y Y x X X ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X

₂ 2 2 1 x k x X

X ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2 2 = + ∂ ∂ x k x X X

₂ 2 0

2

= +

∂

∂ _{k X}

x X

x (persamaan karakteristik)

Misal :

X = emx

mx

me dx dX

= ; mx

e m dx X d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k X}

dx X

x

mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0

2

2 + =

x

k

m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx

b. Untuk mencari nilai Y

2 2 2 1 y k y Y

Y ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2 2 = + ∂ ∂ y k y Y Y Misal : Y = my

e ; my

me dy dY

= ; my

e m dy Y d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Y}

dy Y

y

Maka : 2 + y2 my =0

my e k e m my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0

2 2

= +ky

m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai Y yaitu : Y = B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y

c. Untuk mencari nilai T

2 2 2 2 1 t k t T T

V ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

2 + =

∂ ∂ t k t T T

V ; 0

2 2 2 2 = + ∂

∂ _{V k T}

t T

t

₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ T t T ω Misal :

T = e ; mt memt dt

dT

= ; m emt dt T d 2 2 2 =

Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0

2

2 mt + mt =

e e

m ω ; m= −ω2 ; m_1,2 =±iω Maka :

T =C₁eiω⋅t +C₂e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 2 dimensi : ψ = X⋅Y⋅T

ψ =(A₁eikx⋅x +A₂e−ikx⋅x)(B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y)(C₁eiwt +C₂e−iwt) 3. Untuk 3 Dimensi

₂ 2 2 2 1 t V ∂ ∂ =

∇ ψ ψ

    ∂∂ + ∂∂ + ∂∂     ∂∂ + ∂∂ + ∂∂ = ∇ z k y j x i z k y j x i 2 Maka ₂ 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ ₌

2 2 2 1 t V ∂

∂ ψ _...(4)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,z,t

)

= X(x)Y(y)Z(z)T(t)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t T XYZ t z Z XYT z y Y XZT y X X YZT x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ ψ ψ

Substitusi ke (4) ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t T XYZ V z Z XYT y Y XZT x X YZT ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 t T T V z Z Z y Y Y x X X ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X

2 2 2 1 x k x X

X ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2 2 = + ∂ ∂ x k x X X

₂ 2 0

2

= +

∂

∂ _{k X}

x X

x (persamaan karakteristik)

Misal :

X = emx

memx dx

dX

= ; m emx dx X d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k X}

dx X

x

Maka : 2 + x2 mx =0

mx e k e m mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0

2

2 + =

x

k

m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx

2 2 2 1 y k y Y

Y ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2 2 = + ∂ ∂ y k y Y Y Misal :

Y = emy ; memy dy

dY

= ; m emy dy Y d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Y}

dy Y

y

Maka : m2emy +k_y2emy =0

my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0

2

2 + =

y

k

m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky

Maka di dapat nilai Y yaitu : Y = ikyy ikyy

e B e

B1 ⋅ + 2 − ⋅

c. Untuk mencari nilai Z

2 2 2 1 z k z Z

Z ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2 2 = + ∂ ∂ z k z Z Z Misal :

Z = emx ; memz dz

dZ

= ; m emz dz Z d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Z}

dz Z

z

Maka : m2emz +k_z2emz =0

mz

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0

2

2 + =

z

k

m ; m= −k_z2 ; m1,2 =±ik_z

Maka di dapat nilai Z yaitu : Z = C₁eikz⋅z +C₂e−ikz⋅z

d. Untuk mencari nilai T

2 2

2 2

1

t

k t

T T

V ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

2 ∂ + =

∂

t

k t

T T

V ; 0

2 2 2 2

= +

∂

∂ _{V k T}

t T

t

Dimisalkan Vk_t =ω, V2k_t2 =ω2

₂ 2 0

2

= + ∂

∂ _T

t T

ω

Misal :

T = e ; mt memt dt

dT

= ; m emt dt

T

d 2

2 2

=

Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0

2

2 mt + mt =

e e

m ω ; = −ω2

m ; m_1,2 =±iω Maka :

T =D1eiω⋅t +D2e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 3 dimensi : ψ = X⋅Y⋅Z⋅T

( ₁ ikxx ₂ ikxx)( ₁ ikyy ₂ ikyy)( ₁ ikzz ₂ ikzz)( ₁ iwt ₂ iwt)

e D e D e

C e

C e

B e

B e

A e

A ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + −

= ψ

2. Untuk 2 (dua) dimensi :

₂

2 2 2 2 2 2

1 t V y

x ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ _...(3)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,t

)

= X(x)Y(y)T(t)

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

t T XY t

y Y XT y

x X YT x

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂ = ∂

∂ ∂

∂ = ∂ ∂

ψ ψ ψ

Substitusi ke pers (3) :

XYT t

T XY y

Y XT x

X

YT ÷

  

 ₌

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

2 2 2

2 2

2

→ ₂

2 2 2 2 2

2

1 1

1

t T T V y

Y Y x

X

X ∂

∂ =

∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X

₂ 2 2

1

x k x

X X ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

= + ∂ ∂

x k x

X

X

₂ 2 0 2

= +

∂

∂ _{k X}

x X

x (persamaan karakteristik) Misal :

X = emx mx

me dx dX

= ; mx

e m dx

X

d 2

2 2

=

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k X}

dx X

x

mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh : 0

2 2 + =

x k

m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx b. Untuk mencari nilai Y

2 2

2 1

y k y

Y Y ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

= + ∂ ∂

y k y

Y Y

Misal : Y = my

e ; my me dy dY

= ; my e m dy

Y

d 2

2 2

=

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Y}

dy Y

y

Maka : 2 + y2 my =0 my

e k e m

my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh : 0

2 2

= +ky

m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y Maka di dapat nilai Y yaitu :

Y = B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y c. Untuk mencari nilai T

2 2

2 2 1

t k t

T T

V ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

2 + =

∂ ∂

t k t

T T

V ; 0

2 2 2 2

= +

∂

∂ _{V k T}

t T

t Dimisalkan Vk_t =ω, V2k_t2 =ω2

₂ 2 0 2

= + ∂ ∂

T t

T

ω

Misal :

T = e ; mt memt dt

dT

= ; m emt dt

T

d 2

2 2

=

Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt 0

2 2 mt + mt =

e e

m ω ; m= −ω2 ; m_1,2 =±iω Maka :

T =C₁eiω⋅t +C₂e−iω⋅t Fungsi gelombang untuk 2 dimensi : ψ = X⋅Y⋅T

ψ =(A₁eikx⋅x +A₂e−ikx⋅x)(B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y)(C₁eiwt +C₂e−iwt)

3. Untuk 3 Dimensi

₂

2 2

2 1

t V ∂

∂ =

∇ ψ ψ

  



∂∂ + ∂∂ + ∂∂   



∂∂ + ∂∂ + ∂∂ = ∇

z k y j x i z k y j x i 2

Maka

₂

2 2 2 2 2

z y

x ∂

∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ ₌

2 2 2 1

t V ∂

∂ ψ _...(4)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,z,t

)

= X(x)Y(y)Z(z)T(t)

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

T z Z XYT z

y Y XZT y

X X YZT x

∂ =

∂ ∂

∂ =

∂ ∂

∂ ∂ =

∂

∂ ∂

∂ = ∂ ∂

ψ ψ ψ ψ

Substitusi ke (4)

₂

2 2

2 2 2

2 2

2

1

t T XYZ V z

Z XYT y

Y XZT x

X YZT

∂ ∂ =

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂

₂

2 2 1 2 2

2 2

2

1 1

1 1

t T T V z

Z Z y

Y Y x

X

X ∂

∂ =

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X 2

2 2 1

x k x

X X ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

= + ∂ ∂

x k x

X

X

₂ 2 0 2

= +

∂

∂ _{k X}

x X

x (persamaan karakteristik) Misal :

X = emx memx

dx dX

= ; m emx dx

X

d 2

2 2

=

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k X}

dx X

x

Maka : 2 + x2 mx =0 mx

e k e m

mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh : 0

2 2 + =

x k

m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx b. Untuk mencari nilai Y

2 2

2 1

y k y

Y Y ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

= + ∂ ∂

y k y

Y Y

Misal :

Y = emy ; memy dy

dY

= ; m emy dy

Y

d 2

2 2

=

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Y}

dy Y

y

Maka : m2emy +k_y2emy =0 my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh : 0

2 2 + =

y k

m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky Maka di dapat nilai Y yaitu :

Y = ikyy ikyy e B e

B1 ⋅ + 2 − ⋅ c. Untuk mencari nilai Z

2 2

2 1

z k z

Z Z ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀ 2

2

= + ∂ ∂

z k z

Z Z Misal :

Z = emx ; memz dz

dZ

= ; m emz

dz Z

d 2

2 2

=

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0

2

= +

∂ _{k Z}

dz Z

z

Maka : m2emz +k_z2emz =0 mz

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh : 0

2 2 + =

z k

m ; m= −k_z2 ; m1,2 =±ik_z Maka di dapat nilai Z yaitu :

d. Untuk mencari nilai T 2

2 2 2 1

t k t

T T

V ∂ =−

∂ _; 1 2 ₀

2 2

2 ∂ + =

∂

t k t

T T

V ; 0

2 2 2 2

= +

∂

∂ _{V k T}

t T

t Dimisalkan Vk_t =ω, V2k_t2 =ω2

₂ 2 0 2

= + ∂

∂ _T

t T

ω

Misal :

T = e ; mt memt dt

dT

= ; m emt dt

T

d 2

2 2

=

Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt 0

2 2 mt + mt =

e e

m ω ; = −ω2

m ; m_1,2 =±iω Maka :

T =D1eiω⋅t +D2e−iω⋅t Fungsi gelombang untuk 3 dimensi : ψ = X⋅Y⋅Z⋅T

( ₁ ikxx ₂ ikxx)( ₁ ikyy ₂ ikyy)( ₁ ikzz ₂ ikzz)( ₁ iwt ₂ iwt) e D e D e

C e

C e

B e

B e

A e

A ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + −

= ψ