Integral Kelas 12 SMA

PRAKATA

Alhamdulillahirabbil’aalamin, segala puja dan puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT. Tanpa karunia-Nya, kita tak dapat menyelesaikan naskah buku ini tepat pada waktunya mengingat tugas dan kewajiban lain yang bersamaan hadir.

Buku ini kami susun dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Program Komputer 1 yaitu membuat buku ajar. Buku ini berisi tentang materi Integral kelas XII SMA, dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

Terselesaikannya penulisan buku ini juga tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Karena itu, kami menyampaikan terima kasih kepada Dosen Pembimbing karena telah memberikan waktu dan ilmunya untuk mengajari kami, dan semua rekan yang telah ikut membimbing kami dalam penyusunan buku ini.

Dalam penyusunan buku ini tentu jauh dari sempurna meskipun kami telah berusaha untuk menghindarkan kesalahan, kami menyadari bahwa buku ini masih mempunyai kelemahan sebagai kekurangannya. Karena itu, kami berharap agar pembaca berkenan menyampaikan kritikan. Dengan segala pengharapan dan keterbukaan, kami menyampaikan rasa terima kasih dengan setulus-tulusnya. Kritik merupakan perhatian agar dapat menuju kesempurnaan. Akhir kata, kami berharap agar buku ini dapat membawa manfaat kepada pembaca.

Cirebon, Oktober 2014

DAFTAR ISI

PRAKATA ... i

DAFTAR ISI ...ii

SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN ... iii

INTEGRAL ... 1

A. Pengertian Integral... 2

B. Integral Tak Temtu ... 4

C. Integral Tertentu ... 11

D. Menentukan Luas Daerah ... 17

E. Menentukan Voleme Benda Putar ... 21

APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN ... 29

DAFTAR PUSTAKA ... 30

BIODATA PENYUSUN ... 31

SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN

Kawan seberapa pentingkah belajar itu? Bagi orang yang suka belajar mereka pasti menjawab bahwa betapa pentingnya belajar itu, belajar membuat kita dari yang tidak tahu menjadi tahu dan dari yang tidak bisa menjadi bisa. Tujuan belajar adalah untuk tumbuh dan akal kita berbeda dari tubuh kita, bisa terus bertumbuh selama kita hidup. Seperti pepatah bahwa tuntutlah ilmu dari buaian sampai masuk keliang lahat atau tuntutlah ilmu sampai ke Negeri China.

Belajar layaknya mendayung ke hulu, jika tidak maju sama dengan hanyut ke bawah. Sama halnya dalam dunia pendidikan jika kita tidak mau belajar maka kita akan tertinggal jauh dengan dunia pendidikan dan menahan perihnya kebodohan.

Kawan hidup itu hanya sekali, sekali seumur hidup maka gunakanlah waktumu dengan baik untuk melakukan hal-hal yang baik, apapun yang bisa kamu lakukan, atau kamu mimpi bisa lakukan, mulailah itu, jangan takut akan yang namanya kegagalan karena kegagalan terbesar adalah apabila kita tidak pernah mencoba. Kesuksesan bisa diraih karena usaha, usaha ada karena kemauan, kemauan tercipta karena ada cita-cita dan cita-cita berasal dari mimpi, maka bermimpilah dan raihlah apa yang ingin kita dapatkan.

Salam Hangat,

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. Indikator : 1. Menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan

trigonometri.

2. Menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.

3. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.

Tujuan Pembelajaran

Setelah pembelajaran berlangsung diharapkan siswa dapat: 1. Menghitung integral tak tentu dengan teknik integral parsial 2. Menghitung integral tentu dengan teknik integral parsial

Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

 f1(x) = 3x3 + 3

 f2(x) = 3x3 + 7  f3(x) = 3x3– 1  f4(x) = 3x3– 10  f5(x) = 3x3 - 99

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum f(x) = 3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f’’(x) = 9x2. Jadi, turunan fungsi f(x) = 3x3 + c adalah f’’(x) = 9x2.

A. Pengertian Integral

Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari f’’(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f’’(x), berarti menentukan antiturunan dari f ‘(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

= � + dengan:

= notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) f(x) = fungsi integran

F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F’(x) = f(x) c = konstanta pengintegralan

Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.  g1(x) = x, didapat g1’(x) = 1.

Jadi, jika g1’(x) = 1 maka g1(x) = 1’(x) dx = x + c1.

 g2(x) =

1 2

2_{, didapat g}

2’(x) = x.

Jadi, jika g2’(x) = x maka g2(x) = 2 ′

= 1

2 2₊

2.  g3(x) =

1 3

3_{, didapat g}

3’(x) = x2.

Jadi, jika g3’(x) = x2 maka g3(x) = 3 ′

= 1

3 3₊

3.  g4(x) =

1 6

6_{, didapat g}

4’(x) = x5.

Jadi, jika g4’(x) = x5 maka g4(x) = 4 ′

= 1

6 6₊

4.

Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x) = xn, maka = 1

+ 1

+1_{+ atau dapat}

dituliskan = 1

+ 1

+1 _{+ , ≠ −1.}

Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) = 3x3 + c adalah f ‘(x) = 9x2.

Ini berarti, antiturunan dari f ’(x) = 9x2 adalah f(x) = 3x3 + c atau dituliskan ′ = 3 2 + c.

Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b] sedemikian hingga (� )= , maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c. Secara matematis, ditulis

= � + di mana:

= Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan. f(x) = Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya. c = Konstanta

Sebagai contoh, dapat kita tuliskan

Jika f ’(x) = xn, maka = 1 +1

+1 _{+ , ≠ −1 dengan c}

suatu konstanta

Contoh soal

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut! a. f(x) = 5x2 + 10 c. f(x) = 1

2 3_{+ 2}

b.

f(x) = 2x3 + 5x2– 4x + 5 d. f(x) = 1

4 4₊1

3 3₊1

2 2_{+ 1}

Jawab:

a. f‘(x) = (2.5)x2 – 1 + 0 = 10x

b. f‘(x) = (3.2)x3 – 1 + (2.3)x2 – 1 - (1.4)x1 – 1 + 0 c. f‘(x) = 3 . 1

2

3−1_{+ 1 . 2} 1−1 ₌ 3 2

2_{+ 2}

d. f‘(x) = 4 . 1 4

4−1_{+ 3 .} 1 3

3−1_{+ 2 .}1 2

2−1_{+ 0}

= x3 + x2 + x

2. Tentukanlah anti turunan x jika diketahui: a. g1’(x) = x3

b. g2’(x) = 2x6 +3 Jawab:

a. g1(x) =

1 3+1

3+1₌1 4

4₊

b. g2(x) =

2 6+1

6+1₊ 3 0+1

0+1 ₌ 2 7

7_{+ 3 +}

2 ₌

3 +

Karena 3

3 + =

2

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

+ = +

− = − Jika n bilangan rasional dan n ≠-1, maka = 1

+1

+1_{+ di mana c adalah}

konstanta.

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka � =

�

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

Aturan integral substitusi

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka ′ = 1

+ 1( ) + , dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

Teorema 4

B.1. Aturan Integral Substitusi

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Hitunglah integral dari (3 2−3 + 7) ! Jawab:

(3 2−3 + 7) = 3 2 −3 + 7 (Teorema 2,3, 4) = 3

2 + 1

2+1₋ 3 1 + 1

1 + 1_{+ 7 + (Teorema 1)}

= 3−3

2

2_{+ 7 +}

Jadi, (3 2_{−3 + 7) =} 3₋3 2

2_{+ 7 + .}

Contoh

� = − �

Aturan integral parsial

Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Aturan integral trigonometri

 cos x dx = sin x + c

 sin x dx =−cos x + c

 1

cos2 _x dx = tan x + c di mana c adalah konstanta

Teorema 6

B. 2. Integral dengan Bentuk 2− 2_, 2₊ 2_{, dan} 2− 2

Pengintegralan bentuk-bentuk 2₋ 2_, 2 ₊ 2_{, dan} 2₋ 2 _dapat

dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.

=

−2

9− 2 _{= 9}− 2 1_{2 =} 1₂

−2 =−1

2 1

2 = −1

2× 2

3 2 3 + =−1

2×

3 2

×2

3+ =− 1

2 +

=−1 3 9−

2 ₉₋ 2₊

=1 2

−1

2 = 1

2

�

= sin ∙2 = 2 sin =−2 cos +

=−2 +

Hitunglah integral dari:

a. 9− 2 _b. �

Jawab:

a. Misalkan u = 9 – x2, maka du = -2x dx

Jadi, 9− 2 ₌ −1 3 9−

2 ₉₋ 2_{+ .}

b. Misalkan = = 1 2

= 2 , sehingga

Contoh

= 2 2 _{= cos}

= 2 2 _{= sec}

= 2 2 _{= tan}

 2− 2 _{= a}2 −_a2_sin2_{t = a}2₍₁−_sin2_t)  2₊ 2 _{= a}2 _{+ a}2 _tan2 _{t = a}2_{(1 + tan}2 _t)

 2− 2 _{= a}2 _sec2 _t−_a2 _{= a}2_(sec2 _t−₁₎

Gambar 1.1

Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:

(i) 2₋ 2_{= cos , (ii)} 2₊ 2 _{= sec , (iii)} 2₋ 2_{= a tan t}

� ∝ ∝=1

2sin 2∝.

sin 3 + 1 cos 3 + 1 = 1

2sin 6 + 2 = 1

2 sin 6 + 2 1. Hitunglah setiap integral berikut!

a. sin 3 + 1 cos 3 + 1 b. 2

9− 2 Jawab:

a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x + 1) cos (3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu

Dengan rumus in kalian mendapatkan:

= 1 2

1

−6 cos 6 + 2 + = − 1

12cos 6 + 2 +

= 9 � 2 = 9 1

2(1−cos 2 ) =9

2 (1− 2 ) =

9 2( −

1

2sin 2 ) + =9

2 −

9

4sin 2 + = 9

2 −

9

4sin +

=9 2 �

−1

3− 9 2 3∙

9− 2

3 + =

9 2 �

−1

3−2 9−

2₊

= 2−3 +

Jadi, sin 3 + 1 cos 3 + 1 =− 1

12cos 6 + 2 +

b. Misalkan, x = 3 sin t, maka sin t =

3 dan dx = 3 cos t dt.

Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping,

cos t = 9− 2

3

9− 2 _{= 3 cos} 2

9− 2 =

(3 sin )2

3 cos ∙3 cos

2. Jika ’( ) = 2 −3 dan (2) = 1 , tentukanlah g(x).

Jawab:

( ) = ′( ) = 2 −3

karena (2) = 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. ( ) = 2−3 +

(2) = 22−3∙2 + 1 = 4−6 + 1 =−2 +

= 6 −15

= (6 −15) = 3 2_{−15 +}

= 3 2−15 +

−2 = 3(−2)2−15(−2) + 12 = 3∙4 + 30 +

12 = 42 +

= 12−42 = −30

3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (−2, 12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung = 6 −15.

Jawab:

Karena kurva melalui titik (−2, 12), maka:

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah = 3 2_{−15 −30.}

1. Hitunglah setiap integral berikut!

a. 2 3 _c. 1

4

4_{+ 2} 3_{+ 3}

b. (4 3_{+ 3x + 5) d. 5} 3_{+ 10} 2_{+ 3 +}1 4

2. Jika , = 4 −5 dan (3) = 6, tentukanlah .

3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, −2) dan memiliki gradien garis singgung = −3.

C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah

Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.

Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya. Setelah membagi interval 0, 3 menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing ∆ = 3, kalian memperoleh:

0 = 0

1 = ∆ =

3

2 = 2∆ =

6

3 = 3∆ =

9

� = �∆ =

3�

C. Integral Tertentu

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya = 9− 2 pada interval [0,3].

2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing ∆ = 3, memakai titik-titik ₀ = 0 < ₁ < ₂ <… < ₋₁ < = 3

3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya ∆ dan tingginya f(xi). Tentukan pulaluas setiap persegi panjang tersebut!

4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!

5. Dengan memilih ∆x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah darihasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasikurva = 9− 2 _{, sumbu-x, garis x = 0, dan x = 3.}

6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!

Aktivitas di Kelas

Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:

� ∆ =

3�

×3 = 9− 3�

2

×3 = 27−27₃�2

Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.

�= 1 ∆ + 2 ∆ + + ∆ (∗)

= 27−27₃12 ₊ 27₋27 32

2 _{+ +} 27₋27 3

2

= ∙27−27₃(12+ 22+ + 2) = 27−27₃ +1 (2 +1)

6 = 27−

9 2 2 +

3

+ 1₂ = 18−9

2 3

− 1 2

Dengan memilih ∆ →0 maka →∞, sehingga akan di peroleh luas luas daerah yang dibatasi kurva = 9− 2, sumbu-x, garis x = 0, dan x = 3 sebagai berikut.

L(R) ฀ ฀lim _→∞ 18−9

2 3

+ 1₂ = 18

Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut. L(� )= ₁ ∆ + 2 ∆ + + ∆

Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut.

L(� )= _�=1 ( _�)∆

Jika ∆ →0, maka akan diperoleh L(� ) = lim_{∆ →0 �=1} ( _�)∆

Dengan mengambil batas daerah x1 = a dan x2 = b, maka bentuk di atas merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai

L=

Sehingga diperoleh 9− 2 = 9 −1

3 3

0

3_] 0

3 _{= 27−9 = 18.}

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka adalah integral tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut.

= [ ] = � − �( ) dengan:

f(x) = fungsi integran a = batas bawah b = batas atas

Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya

C. 2. Teorema Dasar Kalkulus

Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.

Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.

1. ₀15 4. sin

� 2 0

2. −₋1₂ 1 5. ₋3

3 dx

3. 3 2

0 6.

2 � 0

Asah Kompetensi 2

Jika f kontinu pada interval , dan andaikan F sembarang antiturunan dari f pada interval tersebut, maka =� − � .

Kelinearan

Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka a. � =�

b. + = + c. + = −

Perubahan Batas

Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:

a. = 0 b. =−

Teorema 1

(sin 3 + cos )

�

6

0

= sin 3 + cos (teorema 1b)

� 6 0 � 6 0

= [−1

3cos 3 ]0

�

6 _{+ [sin ]}

0

�

6

=−1

3

�

2−cos 0 + �

�

6−sin 0

=−1

3∙ −1 +

1 2

=5

6

2 _{= 2} 2

1

0 1

−1

= 2[1 3

3_] 0 1 ₌2

3 1

3₋₀3 ₌2

3

Contoh:

1. Hitunglah (sin 3 + cos )

�

6 0 Jawab:

2. Tentukan ₋1₁ 2

Jawab:

Oleh karena untuk f(x) = 2, berlaku − = ( ),maka = 2merupakan fungsi

genap. Dengan menggunakan Teorema 4 diperoleh.

= +

Teorema penambahan interval

Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka

Kesimetrian

c. Jika f fungsi genap, maka ₋ = 2 ₀

d. Jika f fungsi ganjil, maka _– = 0

Teorema 3

D. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Pada subbab c kita telah mengetahui bahwa luas merupakan limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ), sumbu-x, garis = dan garis = , dengan = 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut.

1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini!

a. ₁52

b. 4 + 3 + cos

�

2 0

c. ₋100₁₀₀ 5 d. ₀2 2 −1 3

e. ₀5 3 2−5

2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah ₀5

a. = + 2, jika 0 < 2

6− , jika 2 5

b. = 4− 2, jika−3 < 4

2, jika 4 10

c. = − 9− 2

−5 , jika x 3, jika 0 3

Asah Kompetensi 3

L(R) =

D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) = 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah

D. 3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) = 0 pada [a, b] dan f(x) = 0 pada [b, c],maka luas daerah T adalah

Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masing masing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x.

D. 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva Luas daerah U pada gambar di bawah adalah

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga Luas ABEF =

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x =b, dan y = 0

sehingga

Luas ABEF =

Dengan demikian, luas daerah U adalah

� = − = ( − ) Contoh:

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 - x2, garis x = 0, dan di atas garis y = 1.

Jawab:

Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah U.

Tentukanlah batas-batas pengintegralan, yaitu absis titik potong antara kurva y = f(x) 4 - x2 dan garis y = 1 di kuadran I.

Substitusi y = 1 ke persamaan y = 4 - x2 sehingga didapat:

E. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis

Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang – penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.

Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah

A(x) dengan a . Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi a x0 x1 x2 ...

xn b.

V = A . h 4− 2 = 1

2 _{= 3}

1 =− 3 2 = 3

� = 4− 2−1

3

0

= 3− 2

3

0

= 3 −1 3

3 0

3

= 3∙ 3−1 3∙( 3)

3 _{= 3 3−}1

3∙ 3 = 3 3− 3 = 2 3

Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas pengintegralannya adalah x = 0 sampai x = 3 .

Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut.

Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas.

Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu ∆ � ≈ �( )∆ i dengan

i-1 i i .

Dengan jumlah yang kalian dapatkan ≈

= 1�

( i)∆ i , kemudian akan mejadi

= 2 .

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka A(x) = � 2 _{jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam}

xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai

=� 2 .

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi df(x), sumbu-x, garis x a, garis x b, dengan a b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah

E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x b, dengan a <b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

=� 2

E. 3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

=� (4− 2)2

2 0

=� 16 −8 2+ 4

2 0

=� 16 −8 3

3₊1

5

5 0 2

=� 16∙2−8 3∙2

3₊1

5∙2

5 ₋₀

=� 32−64 3 +

32

5 =

256 15 �

= 4− 2 ⇒ 2 = 4−

= � 4−

4 0

= 4 −1 2

2 0 4

= � 4∙4−1 2∙4

2 ₋₀

=� 16−8 = 8�

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik = 4− 2 sumbu-x, dan sumbu-y diputar 360° terhadap:

a. sumbu-x b. sumbu-y

Jawab:

a. Volumenya adalah:

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x adalah 256

15 � satuan volume.

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan kurva y = = 4− 2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y.

Volume benda putar tersebut adalah

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 � satuan volume.

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan ( ) ( )pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telahdijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalahsebagai berikut.

 

=� 2− 2

=−� ( −1 2_{−( −2)}2₎ 2

0

= −� 1−( 2

2 0

−4 + 4)

=−� −1 3

3_{+ 2} 2₋₃ 0 2

=−� 8

3+ 8−6 −0 = 2 3�

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik = −2, sumbu-y, garis x =2, dan y = 1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x

Jawab:

Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume nya adalah

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar mengelilingi sumbu-x adalah

2

3� satuan volume.

Contoh

E.4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan ( ) ( ) pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

=� 2− 2

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik = 1

4 −2,

sumbu-x, garis x = 0, dan garis x = 4 diputar 360° mengelilingi sumbu-y. Jawab:

Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurva y = = 1

4 −2 dan garis x = 4.

Substitusi x = 4 ke persamaan y = =1

4 −2 sehingga diperoleh,

y = = 1

4∙4−2 =−1

Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y = -1 sampai y = 0 Oleh karena daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka kalian harus menyatakan persamaan kurva

=1

4 −2 menjadi persamaan x dalam variabel y.

Contoh

1

4 = + 2 = 4 + 8

=� ( 4 + 8 2−42)

0 −1

+� (4 + 8)2

−1 −1

= � 16 2_{+ 64 + 48 +� 16} 2_{+ 64 + 64} −1

−2 0

−1

= � 16 3

3 _{+ 32} 2_{+ 48} −1 0

+� 16 3

3_{+ 32} 2_{+ 64} −2 −1

= � 0− 16 3 ∙ −1

3_{+ 32} −₁ 2_{+ 48} −_{1 +}

� 16₃ ∙ −1 3 _{+ 32} −₁ 2_{+ 64} −₁ − 16

3 ∙ −2

3_{+ 32} −₂ 2_{+ 64} −₂

= −� −16

3 −16 +� − 16

3 + 32−64 − 16

3 ∙8 + 128−128 = 211

3�+ 16

3 �= 80

3 � Dari = 1

4 −2

Jadi, volume benda putar tersebut adalah

Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U diputar mengelilingi sumbu-y adalah 80

Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini. Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar 360° mengelilingi sumbu-y.

1. =− , sumbu x, garis = 0, dan garis = 6

2. = sin pada interval �

2, 3�

2 dan sumbu x

3. 2₊ 2 _{= 64, sumbu , sumbu}

4. 2 _{= 10 ,} 2_{= 4 , dan = 4}

5. = 1

4

3_{+ 2, = 2− , dan = 2}

Asah Kemampuan

=� +

: lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan

= � − �( ) 1. Bentuk umum integral tak tentu

Dengan

f(x): Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c: Konstanta

2. _{Rumus integral tak tentu}

 = 1

+1

+1_{+ di mana c adalah konstanta, n ≠-1}  _� =�

 + = +  ₋ = −  ′ ₌ 1

+ 1( ) + , dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

 _� = − �

 cos x dx = sin x + c , dimana c adalah konstanta

 sin x dx =−cos x + c , dimana c adalah konstanta

 1

cos2 _x dx = tan x + c , dimana c adalah konstanta 3. Bentuk umum integral tertentu

di mana f kontinu pada interval a, b

� = − = ( − )

= � 2

=� 2

=� 2− 2

=� 2− 2 4. Rumus-rumus integral tertentu

d. � = �

e. + = + f. + = − g. = 0

h. =−

i. = +

j. ₋ = 2 ₀ di mana f fungsi genap

k. _– = 0 di mana f fungsi ganjil

5. Rumus luas daerah (L) yang terletak a. di atas sumbu-x

L(R) = b. di bawah sumbu-x

L(S) = c. di atas dan di bawah sumbu–x

L(T) = − d. di antara dua kurva

6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingi a. sumbu-x

b. sumbu-y

c. _{sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)}

Definisi integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensialkan kita mulai deangan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari pernyataan asal integral ini.

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cakupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik, dan bidang lainnya.

Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunkan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan voleme panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsomen.

Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dan fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.

Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan, seperti dalam matematika digunaka untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan,dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah padda kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral dan lihat gedung petronas di Kuala Lumpur atau gdung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yng menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang bebrbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, maka dipakailah rumus integral.

DAFTAR PUSTAKA

Chairunisamath, 2013. Penerapan Integral dalam Kehidupan Sehari-hari.[Online]. Tersedia: chairunisamath.webnode.com.[14 Oktober 2014]

Pesta. Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan

BIODATA PENYUSUN

Nama : WIDIAWATI

Ttl : Indramayu, 04 Februari 1995

Alamat: Desa Tambi Blok adan-adan Rt/Rw 11/03 No. 35 Gg. Dargol Kec. Sliyeg Kab. Indramayu.

Motto : Lakukan apapun yang bisa kita lakukan

Nama : Nur Baiyiti Septiasih

Ttl : Cirebon, 25 September 1995

Alamat: Jl. Taman sari VII blok J No. 107 Rt/Rw 04/13

Kalijaga kec. Harjamukti Taman kalijaga permai, Cirebon

Motto : Hidup itu pilihan, pilihan untuk tetap diam atau

bergerak.

Nam : Khanifah Nurul Bahiyah

 Ttl : Cirebon, 26 September 1995

Alamat: Jln. Nyimas ending geulis blok. Sladoduku 10/05

Desa bangodua. Kec. Klangenan Kab. Cirebon

DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Desain Cover : Khanifah Nurul Bahiyah & Nur Baiyiti Septiasih

Pencarian Materi : Semua Anggota

Pengetikan : Semua Anggota

Penyuntingan : Widiawati

Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini. Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar 360° mengelilingi sumbu-y.

1. =− , sumbu x, garis = 0, dan garis = 6 2. = sin pada interval �

2, 3�

2 dan sumbu x 3. 2₊ 2 _{= 64, sumbu , sumbu}

4. 2 _{= 10 ,} 2_{= 4 , dan = 4} 5. = 1

4

3_{+ 2, = 2− , dan = 2}

Asah Kemampuan

=� +

: lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan

= � − �( )

1. Bentuk umum integral tak tentu

Dengan

f(x): Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c: Konstanta

2. _{Rumus integral tak tentu}

 = 1

+1

+1_{+ di mana c adalah konstanta, n ≠-1}

 _� =�

 + = +

 ₋ = −

 ′ ₌ 1

+ 1( ) + ,dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

 _� = − �

 cos x dx = sin x + c , dimana c adalah konstanta  sin x dx =−cos x + c , dimana c adalah konstanta

 1

cos2 _x dx = tan x + c , dimana c adalah konstanta

3. Bentuk umum integral tertentu

� = − = ( − )

= � 2

=� 2

=� 2− 2

=� 2− 2

4. Rumus-rumus integral tertentu

d. � = �

e. + = + f. + = − g. = 0

h. =−

i. = +

j. ₋ = 2 ₀ di mana f fungsi genap k. _– = 0 di mana f fungsi ganjil

5. Rumus luas daerah (L) yang terletak

a. di atas sumbu-x

L(R) = b. di bawah sumbu-x

L(S) = c. di atas dan di bawah sumbu–x

L(T) = − d. di antara dua kurva

6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingi

a. sumbu-x

b. sumbu-y

c. _{sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)}

Definisi integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensialkan kita mulai deangan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari pernyataan asal integral ini.

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cakupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik, dan bidang lainnya.

Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunkan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan voleme panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsomen.

Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dan fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.

Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan, seperti dalam matematika digunaka untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan,dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah padda kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral dan lihat gedung petronas di Kuala Lumpur atau gdung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yng menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang bebrbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, maka dipakailah rumus integral.

DAFTAR PUSTAKA

Chairunisamath, 2013. Penerapan Integral dalam Kehidupan Sehari-hari.[Online]. Tersedia: chairunisamath.webnode.com.[14 Oktober 2014]

Pesta. Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan

BIODATA PENYUSUN

Nama : WIDIAWATI

Ttl : Indramayu, 04 Februari 1995

Alamat: Desa Tambi Blok adan-adan Rt/Rw 11/03 No. 35 Gg. Dargol Kec. Sliyeg Kab. Indramayu.

Motto : Lakukan apapun yang bisa kita lakukan

Nama : Nur Baiyiti Septiasih

Ttl : Cirebon, 25 September 1995

Alamat: Jl. Taman sari VII blok J No. 107 Rt/Rw 04/13 Kalijaga kec. Harjamukti Taman kalijaga permai, Cirebon

Motto : Hidup itu pilihan, pilihan untuk tetap diam atau bergerak.

Nam : Khanifah Nurul Bahiyah

 Ttl : Cirebon, 26 September 1995

Alamat: Jln. Nyimas ending geulis blok. Sladoduku 10/05 Desa bangodua. Kec. Klangenan Kab. Cirebon Motto: Apapun yang kita lakukan hari ini, itulah takdir kita

DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Desain Cover : Khanifah Nurul Bahiyah & Nur Baiyiti Septiasih Pencarian Materi : Semua Anggota

Pengetikan : Semua Anggota Penyuntingan : Widiawati