Materi Pelajaran Matematika SMA Semester 1/2 Kelas 12 BAB 1 Integral
PUSAT PERBUKUAN
Departemen Pendidikan Nasional
Integral
Bab
1
I
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan kalian dapat
1. merancang aturan integral tak tentu dari aturan
turunan;
2. menghitung integral
tak tentu dari fungsi
aljabar;
3. menjelaskan integral
tentu sebagai luas
daerah pada bidang
datar;
4. menghitung integral
tentu dengan menggunakan integral tak tentu;
5. menghitung integral
dengan rumus integral
substitusi;
6. menggambarkan suatu
daerah yang dibatasi
oleh beberapa kurva;
7. merumuskan integral
tentu untuk luas suatu
daerah;
8. menghitung integral
yang menyatakan luas
suatu daerah.
Sumber: www.cycling.co.cr
Integral
Motivasi
Pernahkah kalian memerhatikan bentuk kawat-kawat baja
yang menggantung pada jembatan gantung? Perhatikan gambar
jembatan Ampera yang melintasi Sungai Musi di atas. Jika kalian
perhatikan, lengkungan yang terbentuk menyerupai lengkungan
(kurva) parabola. Jika kita mengetahui persamaan lengkungan
tersebut, kita akan dapat dengan mudah menentukan luas daerah
yang dibatasi oleh kurva itu dan badan jalan bahkan kita juga
dapat menentukan panjang lengkungan itu. Ilmu hitung integral
dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus semacam itu.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
2
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Peta Konsep
Integral
mempelajari
Integral Tak Tentu
Integral Tentu
untuk
menentukan
Fungsi Aljabar
Volume Benda
Putar
Luas
diselesaikan
dengan
Rumus Dasar
Integral
Substitusi
Parsial
Kata Kunci
•
•
•
•
•
•
batas atas
batas bawah
diferensial
gradien
integrable
integral
•
•
•
•
•
•
integral Riemann
integral tak tentu
integral tentu
interval
interval tertutup
konstanta
•
•
•
•
•
kurva
luas bidang
mengelilingi
sumbu putar
volume benda putar
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
3
Hitung integral sangat erat kaitannya dengan kalkulus
diferensial atau turunan suatu fungsi. Sebenarnya hitung integral
ditemukan terlebih dahulu baru kemudian ditemukan diferensial
atau turunan. Namun demikian, hitung integral akan dapat
dimengerti dan dipahami dengan mudah melalui turunan suatu
fungsi. Materi tentang turunan telah kalian pelajari di kelas XI.
Tentu kalian masih ingat, bukan? Namun, ada baiknya sebelum
membahas integral, coba kalian ingat kembali konsep turunan
dengan cara mengerjakan soal-soal berikut.
Prasyarat
1.
Kerjakan di buku
tugas
2.
3.
Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 3x4 – 5x2 + 1
dan y = 3 x .
Tentukan gradien garis singgung pada kurva
y = (4x + 5)(2x + 4) di x = –1. Tentukan pula gradiennya
di x = –2.
Suatu home industry memproduksi kotak tanpa tutup yang
terbuat dari tripleks dengan volume 36.000 cm3. Jika
ukuran panjang kotak dua kali lebarnya, tentukan ukuran
kotak itu agar bahan yang digunakan seminimum mungkin.
Setelah kalian mampu mengerjakan soal-soal di atas, mari
kita lanjutkan ke materi berikut.
A. Pengertian Integral
Setiap hari, tentulah kita melakukan aktivitas, seperti
menghirup udara dan melepaskan udara. Melepas udara
merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara.
Dalam matematika, kita juga mengenal operasi kebalikan
(invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkalian
dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, dan
sebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers dari
diferensial, yaitu integral.
Kita telah mempelajari arti diferensial atau turunan di kelas
XI. Jika kita mempunyai f(x) = x2 + 4, turunannya adalah f'(x) = 2x.
Dari contoh fungsi tersebut, kita dapat menentukan suatu fungsi
yang turunannya f'(x) = 2x, yang disebut sebagai antiturunan
atau antidiferensial atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan
merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan.
Misalnya diketahui f'(x) = 2x, fungsi ini merupakan
turunan dari f(x) = x2 + 10, f(x) = x2 – log 3, atau f(x) = x 2 + 2 5 .
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
4
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Terlihat fungsi-fungsi ini hanya berbeda konstantanya saja.
Secara umum, dapat dituliskan bahwa f(x) = x2 + c merupakan
antiturunan dari f'(x) = 2x, dengan c adalah bilangan real
sembarang.
Dari uraian di atas dapat didefinisikan sembagai berikut.
Fungsi F(x) disebut antiturunan dari f(x) pada suatu domain
d
jika
[ F( x )] = f(x).
dx
B. Integral Tak Tentu
Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.
y = x2 + 2x + 5
y = x2 + 2x – 2
Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu
dy
= 2x + 2.
dx
dy
= 2x + 2. Jika
dx
dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi
y = x2 + 2x + 5,
y = x2 + 2x – 2,
bahkan
y = x2 + 2x + 10,
y = x2 + 2x – log 3,
dan sebagainya.
dy
= 2x + 2
Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan
dx
bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun
demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan
tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilanganbilangan ini dapat disimbolkan dengan c. Karena nilai c itulah
hasil integral ini disebut integral tak tentu.
Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan
1. Notasi Integral Tak Tentu
Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara
umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan
f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk
0
f ( x ) dx = F( x ) + c
dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
5
Keterangan:
0 f ( x) dx
= notasi integral tak tentu
F(x) + c
f(x)
c
dx
= fungsi antiturunan
= fungsi yang diintegralkan (integran)
= konstanta
= diferensial (turunan) dari x
2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Pada subbab ini, akan dibahas integral fungsi aljabar saja.
Oleh karena itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabar
yang telah kalian pelajari di kelas XI.
Pada pembahasan kalkulus diferensial atau turunan,
diketahui bahwa turunan dari xn+1 + c ke x adalah
d n+1
[x + c] = (n + 1) x(n + 1) – 1 = (n + 1)xn.
dx
1
, untuk n & –1 pada kedua ruas,
n +1
Dengan mengalikan
diperoleh
1 d n+1
1
[x + c] =
(n + 1) xn = xn.
n + 1 dx
n +1
d
1
Jadi,
[
xn + 1 + c] = xn ............................................... (1)
dx n + 1
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan
memperoleh
0x
1
0 ( x 3 < 3) dx = ....
a.
b.
c.
d.
e.
1 –3+c
2x2
1 – 3x + c
2x2
– 1 2 – 3x + c
2x
–3x + c
1 +c
2x2
UMPTN 1989
n
dx =
1
x n +1 + c ; n & –1
n +1
Bagaimana jika n = 0? Apa yang kalian peroleh? Tentu saja untuk
n = 0, persamaan di atas menjadi 0 dx = x + c.
Pada materi diferensial, kalian telah mengetahui jika y =
F(x) + G(x) maka turunannya adalah dy = f(x) + g(x), dengan
dx
f(x) turunan dari F(x) dan g(x) turunan dari G(x).
Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa
0 [ f ( x ) + g( x )]
dx =
0
f ( x ) dx + 0 g( x ) dx.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
6
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Hal ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.
Dari uraian di atas, kita dapat menuliskan rumus-rumus dasar
integral tak tentu sebagai berikut.
Contoh 1:
1)
0 a dx = ax + c
2)
0 a f ( x) dx = a 0 f ( x) dx
3)
0x
4)
0 ax
n
dx =
n
1
x n +1 + c ; n & –1
n +1
a
x n +1 + c ; n & –1
n +1
dx =
5)
0 [ f ( x) + g ( x)] dx = 0 f ( x ) dx + 0 g( x) dx
6)
0 [ f ( x) < g ( x)] dx = 0 f ( x) dx < 0 g ( x) dx
Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.
a.
0
5 dx
b.
0
4 x 5 dx
c.
02
3
x dx
Jawab:
a.
0
5 dx = 5 0 dx = 5x + c
b.
0
4 x 5 dx = 4
=
=
c.
02
3
x 5 dx
4
x5 + 1 + c
5 +1
4
6
x dx = 2
=
0
1
3
x6 + c =
0x
1
3
2 6
x +c
3
dx
1 +1
2
x3 + c
+1
6 x 43 + c
4
3
= x3 x + c
2
=
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
Contoh 2:
7
Selesaikan setiap pengintegralan berikut.
a.
b.
4
0 x x dx
2
0 ( x + 3) dx
Jawab:
a.
b.
0x
0
4
4
1
u x 2 dx
x dx =
0x
=
0x
=
2 112
x + c
11
( x + 3)2 dx =
=
4 12
0
dx =
1
4 12
x
4 12 + 1
+1
+c
( x 2 + 6 x + 9) dx
1 3
x + 3x 2 + 9 x + c
3
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 1
Tentukan hasil pengintegralan berikut.
11.
0
x2 x
dx
2 x
12.
0
6 x ( x < 4)( x 2 + 4)
dx
x
Departemen Pendidikan Nasional
Integral
Bab
1
I
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan kalian dapat
1. merancang aturan integral tak tentu dari aturan
turunan;
2. menghitung integral
tak tentu dari fungsi
aljabar;
3. menjelaskan integral
tentu sebagai luas
daerah pada bidang
datar;
4. menghitung integral
tentu dengan menggunakan integral tak tentu;
5. menghitung integral
dengan rumus integral
substitusi;
6. menggambarkan suatu
daerah yang dibatasi
oleh beberapa kurva;
7. merumuskan integral
tentu untuk luas suatu
daerah;
8. menghitung integral
yang menyatakan luas
suatu daerah.
Sumber: www.cycling.co.cr
Integral
Motivasi
Pernahkah kalian memerhatikan bentuk kawat-kawat baja
yang menggantung pada jembatan gantung? Perhatikan gambar
jembatan Ampera yang melintasi Sungai Musi di atas. Jika kalian
perhatikan, lengkungan yang terbentuk menyerupai lengkungan
(kurva) parabola. Jika kita mengetahui persamaan lengkungan
tersebut, kita akan dapat dengan mudah menentukan luas daerah
yang dibatasi oleh kurva itu dan badan jalan bahkan kita juga
dapat menentukan panjang lengkungan itu. Ilmu hitung integral
dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus semacam itu.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
2
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Peta Konsep
Integral
mempelajari
Integral Tak Tentu
Integral Tentu
untuk
menentukan
Fungsi Aljabar
Volume Benda
Putar
Luas
diselesaikan
dengan
Rumus Dasar
Integral
Substitusi
Parsial
Kata Kunci
•
•
•
•
•
•
batas atas
batas bawah
diferensial
gradien
integrable
integral
•
•
•
•
•
•
integral Riemann
integral tak tentu
integral tentu
interval
interval tertutup
konstanta
•
•
•
•
•
kurva
luas bidang
mengelilingi
sumbu putar
volume benda putar
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
3
Hitung integral sangat erat kaitannya dengan kalkulus
diferensial atau turunan suatu fungsi. Sebenarnya hitung integral
ditemukan terlebih dahulu baru kemudian ditemukan diferensial
atau turunan. Namun demikian, hitung integral akan dapat
dimengerti dan dipahami dengan mudah melalui turunan suatu
fungsi. Materi tentang turunan telah kalian pelajari di kelas XI.
Tentu kalian masih ingat, bukan? Namun, ada baiknya sebelum
membahas integral, coba kalian ingat kembali konsep turunan
dengan cara mengerjakan soal-soal berikut.
Prasyarat
1.
Kerjakan di buku
tugas
2.
3.
Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 3x4 – 5x2 + 1
dan y = 3 x .
Tentukan gradien garis singgung pada kurva
y = (4x + 5)(2x + 4) di x = –1. Tentukan pula gradiennya
di x = –2.
Suatu home industry memproduksi kotak tanpa tutup yang
terbuat dari tripleks dengan volume 36.000 cm3. Jika
ukuran panjang kotak dua kali lebarnya, tentukan ukuran
kotak itu agar bahan yang digunakan seminimum mungkin.
Setelah kalian mampu mengerjakan soal-soal di atas, mari
kita lanjutkan ke materi berikut.
A. Pengertian Integral
Setiap hari, tentulah kita melakukan aktivitas, seperti
menghirup udara dan melepaskan udara. Melepas udara
merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara.
Dalam matematika, kita juga mengenal operasi kebalikan
(invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkalian
dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, dan
sebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers dari
diferensial, yaitu integral.
Kita telah mempelajari arti diferensial atau turunan di kelas
XI. Jika kita mempunyai f(x) = x2 + 4, turunannya adalah f'(x) = 2x.
Dari contoh fungsi tersebut, kita dapat menentukan suatu fungsi
yang turunannya f'(x) = 2x, yang disebut sebagai antiturunan
atau antidiferensial atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan
merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan.
Misalnya diketahui f'(x) = 2x, fungsi ini merupakan
turunan dari f(x) = x2 + 10, f(x) = x2 – log 3, atau f(x) = x 2 + 2 5 .
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
4
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Terlihat fungsi-fungsi ini hanya berbeda konstantanya saja.
Secara umum, dapat dituliskan bahwa f(x) = x2 + c merupakan
antiturunan dari f'(x) = 2x, dengan c adalah bilangan real
sembarang.
Dari uraian di atas dapat didefinisikan sembagai berikut.
Fungsi F(x) disebut antiturunan dari f(x) pada suatu domain
d
jika
[ F( x )] = f(x).
dx
B. Integral Tak Tentu
Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.
y = x2 + 2x + 5
y = x2 + 2x – 2
Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu
dy
= 2x + 2.
dx
dy
= 2x + 2. Jika
dx
dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi
y = x2 + 2x + 5,
y = x2 + 2x – 2,
bahkan
y = x2 + 2x + 10,
y = x2 + 2x – log 3,
dan sebagainya.
dy
= 2x + 2
Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan
dx
bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun
demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan
tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilanganbilangan ini dapat disimbolkan dengan c. Karena nilai c itulah
hasil integral ini disebut integral tak tentu.
Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan
1. Notasi Integral Tak Tentu
Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara
umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan
f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk
0
f ( x ) dx = F( x ) + c
dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
5
Keterangan:
0 f ( x) dx
= notasi integral tak tentu
F(x) + c
f(x)
c
dx
= fungsi antiturunan
= fungsi yang diintegralkan (integran)
= konstanta
= diferensial (turunan) dari x
2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Pada subbab ini, akan dibahas integral fungsi aljabar saja.
Oleh karena itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabar
yang telah kalian pelajari di kelas XI.
Pada pembahasan kalkulus diferensial atau turunan,
diketahui bahwa turunan dari xn+1 + c ke x adalah
d n+1
[x + c] = (n + 1) x(n + 1) – 1 = (n + 1)xn.
dx
1
, untuk n & –1 pada kedua ruas,
n +1
Dengan mengalikan
diperoleh
1 d n+1
1
[x + c] =
(n + 1) xn = xn.
n + 1 dx
n +1
d
1
Jadi,
[
xn + 1 + c] = xn ............................................... (1)
dx n + 1
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan
memperoleh
0x
1
0 ( x 3 < 3) dx = ....
a.
b.
c.
d.
e.
1 –3+c
2x2
1 – 3x + c
2x2
– 1 2 – 3x + c
2x
–3x + c
1 +c
2x2
UMPTN 1989
n
dx =
1
x n +1 + c ; n & –1
n +1
Bagaimana jika n = 0? Apa yang kalian peroleh? Tentu saja untuk
n = 0, persamaan di atas menjadi 0 dx = x + c.
Pada materi diferensial, kalian telah mengetahui jika y =
F(x) + G(x) maka turunannya adalah dy = f(x) + g(x), dengan
dx
f(x) turunan dari F(x) dan g(x) turunan dari G(x).
Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa
0 [ f ( x ) + g( x )]
dx =
0
f ( x ) dx + 0 g( x ) dx.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
6
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Hal ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.
Dari uraian di atas, kita dapat menuliskan rumus-rumus dasar
integral tak tentu sebagai berikut.
Contoh 1:
1)
0 a dx = ax + c
2)
0 a f ( x) dx = a 0 f ( x) dx
3)
0x
4)
0 ax
n
dx =
n
1
x n +1 + c ; n & –1
n +1
a
x n +1 + c ; n & –1
n +1
dx =
5)
0 [ f ( x) + g ( x)] dx = 0 f ( x ) dx + 0 g( x) dx
6)
0 [ f ( x) < g ( x)] dx = 0 f ( x) dx < 0 g ( x) dx
Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.
a.
0
5 dx
b.
0
4 x 5 dx
c.
02
3
x dx
Jawab:
a.
0
5 dx = 5 0 dx = 5x + c
b.
0
4 x 5 dx = 4
=
=
c.
02
3
x 5 dx
4
x5 + 1 + c
5 +1
4
6
x dx = 2
=
0
1
3
x6 + c =
0x
1
3
2 6
x +c
3
dx
1 +1
2
x3 + c
+1
6 x 43 + c
4
3
= x3 x + c
2
=
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Integral
Contoh 2:
7
Selesaikan setiap pengintegralan berikut.
a.
b.
4
0 x x dx
2
0 ( x + 3) dx
Jawab:
a.
b.
0x
0
4
4
1
u x 2 dx
x dx =
0x
=
0x
=
2 112
x + c
11
( x + 3)2 dx =
=
4 12
0
dx =
1
4 12
x
4 12 + 1
+1
+c
( x 2 + 6 x + 9) dx
1 3
x + 3x 2 + 9 x + c
3
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 1
Tentukan hasil pengintegralan berikut.
11.
0
x2 x
dx
2 x
12.
0
6 x ( x < 4)( x 2 + 4)
dx
x