4
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi Fx yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b]
sedemikian hingga
�
= , maka antiturunan dari fx adalah Fx + c. Secara
matematis, ditulis =
� + di mana:
= Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan. fx
= Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya. c
= Konstanta Sebagai contoh, dapat kita tuliskan
Jika f ’x = x
n
, maka =
1 +1
+1
+ , ≠ −1 dengan c
suatu konstanta
Contoh soal 1.
Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut a.
fx = 5x
2
+ 10 c. fx =
1 2
3
+ 2
b.
fx = 2x
3
+ 5x
2
– 4x + 5 d. fx =
1 4
4
+
1 3
3
+
1 2
2
+ 1
Jawab:
a. f ‘x = 2.5x
2 – 1
+ 0 = 10x b.
f ‘x = 3.2x
3 – 1
+ 2.3x
2 – 1
- 1.4x
1 – 1
+ 0 c.
f ‘x = 3 .
1 2
3 −1
+ 1 . 2
1 −1
=
3 2
2
+ 2 d.
f ‘x = 4 .
1 4
4 −1
+ 3 .
1 3
3 −1
+ 2 .
1 2
2 −1
+ 0 = x
3
+ x
2
+ x 2.
Tentukanlah anti turunan x jika diketahui: a.
g
1
’x = x
3
b. g
2
’x = 2x
6
+3
Jawab:
a. g
1
x =
1 3+1
3+1
=
1 4
4
+ b.
g
2
x =
2 6+1
6+1
+
3 0+1
0+1
=
2 7
7
+ 3 +
B. Integral Tak Tentu
5
2
=
3
3 +
Karena
3
3
+ =
2
Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c. Pengertian tersebut dapat digunakan
untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
+ =
+
− =
− Jika n bilangan rasional dan n
≠-1, maka =
1 +1
+1
+ di mana c adalah konstanta.
Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka �
= �
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
Aturan integral substitusi
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka
′
=
1 + 1
+ , dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
Teorema 5
6
B.1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus
dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Hitunglah integral dari
3
2
− 3 + 7 Jawab:
3
2
− 3 + 7 = 3
2
− 3 + 7 Teorema 2,3, 4
=
3 2 + 1
2+1
−
3 1 + 1
1 + 1
+ 7 + Teorema 1
=
3
−
3 2
2
+ 7 + Jadi,
3
2
− 3 + 7 =
3
−
3 2
2
+ 7 + .
Contoh
� = − �
Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Aturan integral trigonometri cos x dx = sin x + c
sin x dx = −cos x + c
1 cos
2
x
dx = tan x + c di mana c adalah konstanta
Teorema 6
Teorema 7
7
B. 2. Integral dengan Bentuk
2
−
2
,
2
+
2
, dan
2
−
2
Pengintegralan bentuk-bentuk
2
−
2
,
2
+
2
, dan
2
−
2
dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t.
Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini. = −2
9 −
2
= 9 −
2
1 2
=
1 2
−2 =
− 1
2
1 2
= −
1 2
× 2
3 2
3 +
= −
1 2
×
3
2
× 2
3 +
= −
1 2
+ =
− 1
3 9 −
2
9 −
2
+
= 1
2
−
1 2
= 1
2 �
= sin
∙ 2 = 2
sin =
−2 cos + =
−2 +
Hitunglah integral dari:
a.
9 −
2
b.
�
Jawab:
a. Misalkan u = 9 – x
2
, maka du = -2x dx
Jadi, 9 −
2
= −
1 3
9 −
2
9 −
2
+ . b.
Misalkan = =
1 2
= 2 , sehingga
Contoh
8
=
2 2
= cos
=
2 2
= sec
=
2 2
= tan
2
−
2
= a
2
− a
2
sin
2
t = a
2
1 − sin
2
t
2
+
2
= a
2
+ a
2
tan
2
t = a
2
1 + tan
2
t
2
−
2
= a
2
sec
2
t − a
2
= a
2
sec
2
t − 1
Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:
i
2
−
2
= cos , ii
2
+
2
= sec , iii
2
−
2
= a tan t
� ∝ ∝=
1 2
sin 2 ∝.
sin 3 + 1 cos 3 + 1 =
1 2
sin 6 + 2
= 1
2 sin 6 + 2
1. Hitunglah setiap integral berikut
a. sin 3 + 1 cos 3 + 1 b.
2
9−
2
Jawab:
a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin 3x + 1
cos 3x + 1 ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu
Dengan rumus in kalian mendapatkan:
Contoh
9
= 1
2 1
−6 cos
6 + 2 + =
− 1
12 cos
6 + 2 +
= 9 �
2
= 9 1
2 1
− cos 2 =
9 2
1 − 2
= 9
2 −
1 2
sin 2 + =
9 2
− 9
4 sin 2 +
= 9
2 −
9 4
sin +
= 9
2 �
−1
3 −
9 2
3 ∙
9 −
2
3 + =
9 2
�
−1
3 −
2 9 −
2
+
=
2
− 3 +
Jadi, sin 3 + 1 cos 3 + 1
= −
1 12
cos 6 + 2 +
b. Misalkan, x = 3 sin t, maka sin t =
3
dan dx = 3 cos t dt. Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini
Dari segitiga di samping, cos t =
9−
2
3
9 −
2
= 3 cos
2
9−
2
=
3 sin
2
3 cos
∙ 3 cos
2.
Jika ’ = 2 − 3 dan 2 = 1 , tentukanlah gx.
Jawab:
= ′
= 2 − 3
karena 2 = 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut.
=
2
− 3 + 2 = 2
2
− 3 ∙ 2 + 1 = 4
− 6 + 1 =
−2 + Jadi,
=
2
− 3 + 3
10
= 6 − 15
= 6 − 15
= 3
2
− 15 + = 3
2
− 15 +
−2 = 3−2
2
− 15−2 + 12 = 3
∙ 4 + 30 + 12 = 42 +
= 12 − 42
= −30
3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik
−2, 12 dan memiliki persamaan gradien garis singgung
= 6 − 15.
Jawab:
Karena kurva melalui titik −2, 12, maka:
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah = 3
2
− 15 − 30.
1. Hitunglah setiap integral berikut
a. 2
3
c.
1 4
4
+ 2
3
+ 3 b.
4
3
+ 3x + 5 d.
5
3
+ 10
2
+ 3 +
1 4
2. Jika , = 4 − 5 dan 3 = 6, tentukanlah .
3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik 1, −2 dan memiliki gradien garis
singgung =
− 3.
Asah Kompetensi 1
11
C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis
lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya. Setelah
membagi interval 0, 3 menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing ∆ =
3
, kalian memperoleh:
= 0
1
= ∆ =
3
2
= 2 ∆ =
6
3
= 3 ∆ =
9
�
= �∆ =
3 �
C. Integral Tertentu
