Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear: +
+ = ,
2.11
+ + = ,
2.12
+ +
= . 2.13
Persamaan 2.11 tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada orde kedua dalam bentuk
. Persamaan 2.12 juga tak linear karena terdapat bentuk yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan 2.13 tak
linear karena pada bentuk melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan
turunan pertamanya.
Definisi 2.9
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal =
dan =
. Jika dan adalah fungsi yang terdiferensial, maka secara tidak langsung adalah fungsi terdiferensial dari dan
= .
Aturan rantai kasus 2
Andaikan =
, adalah fungsi dari dan yang terdiferensial, dengan =
dan = ℎ keduanya fungsi dari yang terdiferensial. Maka adalah
fungsi dari yang terdiferensial dan =
� �
+ �
� .
E. Integral
Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh dari integral tertentu dan tak tentu.
Definisi 2.10
Jika diberikan suatu fungsi pada suatu interval
� dan berlaku �
′
= , untuk suatu �
, maka �
adalah suatu anti turunan dari . Dengan
kata lain �
′
= .
Contoh 2.8
Carilah suatu anti turunan dari =
pada −∞, ∞ .
Penyelesaian: Fungsi
� =
bukan anti turunannya karena turunan adalah
. Tetapi hal ini menyarankan
� =
, yang memenuhi �
′
= =
. Dengan demikian, suatu anti turunan dari adalah
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … . Notasi tersebut menunjukkan anti
turunan terhadap . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
Teorema 2.1
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫
�
=
�+
+ + . Bukti:
Untuk membuktikan ∫
= � + ,
cukup dengan membuktikan [�
+ ] = .
Dalam hal ini, [
�+
+ + ] = + +
�
=
�
. Teorema terbukti.
Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. untuk mengaproksimasi luas dibawah kurva
= pada selang
[ , ], dilakukan dengan cara aproksimasi yaitu dengan membagi interval
[ , ] menjadi � subinterval. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel.
Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu
− �
untuk � . Setelah
membagi interval menjadi � subinterval kemudian menghitung total jumlah luasan
dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-masing subinterval tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih
, , … ,
�
dengan = , =
�
, dan
�
−
�−
= −
� , untuk
� = , , … , �. Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu
− �
dinotasikan dengan ∆ ,
maka ∆ =
�
−
�−
. =
Gambar 2.2: Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
� + � + + �
�
. Artinya total luas tersebut dapat ditulis
∆ + ∆ + +
�
∆ = ∑
�
∆
� �=
yang disebut jumlahan Riemann fungsi pada interval [a,b], sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva
= dan diatas sumbu . Disini,
�
∈ [
�−
,
�
].
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆ → maka semakin
baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim
∆ →
∑
�
∆ .
�
=
= ∆
� �
= � �
�
�
Definisi 2.11
Andaikan fungsi yang terdefinisi pada [ , ]. Integral tentu dari sampai
dinotasikan ∫
, adalah ∫
= lim
∆ →
∑
�
∆ .
�
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini dibahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin beserta contohnya.
Definisi 2.12
Misalkan adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval tertentu dengan adalah suatu titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh di sekitar = adalah:
∑
�
�
∞ �=
−
�
= +
′
− +
′′
− + +
�
� −
�
+ .
Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah: ∑
�
�
∞ �=
�
= +
′
+ ′′
+ +
�
�
�
+ ,
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar = .
Contoh 2.9
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh =
di sekitar = .
Penyelesaian: Diperoleh hasil:
= ,
′
= ,
′′
= ,
′′′
= ,
…. Akan dicari nilai
,
′
,
′′
,
′′′
, …. sehingga diperoleh:
= ,
′
= ,
′′
= ,
′′′
= , …
Maka deret Taylor yang diberikan oleh =
saat = adalah:
+
′
+ ′′
+
′′′
+ +
�
�
�
+
= + +
+ +
G. Konvergensi Deret Taylor
Deret Taylor dapat digunakan untuk mengetahui kekonvergenan suatu fungsi. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
