Ba r isa n da n D e r e t Bila n ga n

B. Ba r isa n da n D e r e t Bila n ga n

1 . Ba r isa n Bila n ga n

Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya, I n foM a t ik a

barisan bilangan

a . 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116

Terdapat dua m acam

b . 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan

deret bilangan berdasarkan at as

c . 2, 4, 6, 8, 10, ...,98.

banyaknya suku pada

Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari

deret t ersebut , yait u deret berhingga dan

bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) deret t ak berhingga. tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan

Deret berhingga adalah

bilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang. suat u deret yang banyak

sukunya t erbat as.

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan

Cont oh, 1 + 2 + 3 + ...

bilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada + 100. Deret ini dit ulis

dengan not asi U 1 + U 2 +

barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan

... + U n . Adapun deret

tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, t ak berhingga adalah

deret yang banyak

dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, sukunya t ak t erbat as. suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61. Cont oh, 1 + 2 + 3 + ....

Deret ini biasanya dit ulis

Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai

dengan not asi

suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan. U 1 + U 2 + U 3 + ....

Dapat kah kam u m em bedakan kedua

2 . D e r e t Bila n ga n

m acam deret t ersebut ?

Amati kembali barisan-barisan bilangan berikut. Coba beri cont oh lain

deret berhingga dan

a . 40, 44, 48, 52, 56,

deret t ak berhingga.

b . 1, 3, 5, 7, 9,

c . 2, 4, 6, 8, 10. Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh penjumlahan berikut.

a . 40 + 44 + 48 + 52 + 56,

b . 1 + 3 + 5 + 7 + 9,

c . 2 + 4 + 6 + 8 + 10. Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut

dinamakan deret. Oleh karena itu, jika U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n adalah suatu barisan bilangan maka U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n

dinamakan deret.

Barisan dan Deret Bilangan

Amati keempat barisan bilangan berikut.

Berikut adalah

a . 1, 3, 5, 7, 9, ..., U n ,

sekum pulan bilangan

. 99, 96, 93, 90, ..., U n ,

yang di ant aranya

t erdapat beberapa

c . 1, 2, 5, 7, 12, ..., U n ,

bilangan yang m em enuhi

. 2, 4, 8, 16, 32, ..., U n .

rum us

Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu

n( n )

2 tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan

Jika U 1 = 1,

pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang

hubungkanlah bilangan- bilangan yang m em enuhi

demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua

rum us t ersebut dengan

suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan

garis. Bent uk apakah yang kam u peroleh?

(c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d)

merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu.

Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan

dinama kan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum,

barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut.

Suatu barisan U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n ,U n +1 dinamakan barisan

6 17 aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi

44 82 3 Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n menjadi

a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b

Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.

U n = a + (n – 1) b Dapatkah kamu menemukan rumus U n +1 dengan

mengguna kan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?

Con t oh 6 .1

1 . Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan

barisan aritmetika atau bukan.

a . 1, –1, –3, –5, –7, –9, –11, –13, –15

b . 2, –2, 2, –2, –2 Penyelesaian :

a . Barisan aritmetika dengan b = –1 – 1 = –3 – (–1) = –5 – (–3) = –2

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

berurutan tidak sama atau tidak tetap.

Be r a n i?

2 . Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100.

1 . Di ant ara barisan-

barisan bil angan Penyelesaian :

berikut , selidiki

Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100

m anakah yang

adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99.

m erupakan barisan

arit m et ika? a = 3 dan b = 3 sehingga U

Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang

dari 100 adalah 60. 2 3 . Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui

2 2 2 . Tuliskan lim a suku

U 1 = a = 5 dan b = 5 pert am a barisan

2 2 arit m et ika j ika U 2 =a+b=5 + =5

5 diket ahui 5 u 6 = 9 dan u 10 2 = 24. 4 U 3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2

U 4 = a + (4 – 1)b = a + 3b =5+3

Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 2 , 4 5 Jika at uran suat u barisan 5 , 5 5 arit m at ika dit am bah b 6 1 , dan 6 3 .

m aka suku ke- n akan

m em uat b × n, yait u U n = b × n + ... at au

U 4 . D e r e t Ar it m e t ik a = b × n – ... n

Cont oh:

Berdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3, Tent ukan rum us suku ke- n dari 7, 10, 13, 16, dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut.

Oleh karena at urannya Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai

dit am bah t iga m aka suku

U n semakin besar.

ke- n m em uat 3n, yait u

U 1 b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + U = 7= 3× 1+ 4

U 2 = 10 = 3 × 2 + 4

Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai

U 3 = 13 = 3 × 3 + 4

U ( Nilai 4 dit ent ukan sendiri

n semakin kecil.

agar hasilnya sam a

Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret sepert i suku barisan aritmetika sebagai berikut. yang dim aksud) . Uraian

t ersebut m enggam bar-

Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut kan rum us suku ke- n dari dilambangkan dengan S barisan

n maka

7, 10, 13, 16, ..., yait u U n = 3 × n + 4 = 3n + 4.

Barisan dan Deret Bilangan

S n = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b) S n = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a

+ 2S n = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)

n faktor sama

2S n

n = n(2a + (n – 1)b) maka S n = (2a + (n – 1)b) 2

Tu ga s

Jadi, juml ah n s uku pertama deret aritmetika adalah

untukmu

S n = (2a + (n – 1)b)

Dapat kah kam u

m em bukt ikan bahwa

pada deret arit m et ika berlaku

Oleh karena U n = a + (n – 1)b, rumus S n dapat dituliskan

U n = S n –S n –1 ?

sebagai berikut.

Tuliskan hasil pem bukt ian t ersebut pada buku

S n n = (a + U n ) atau S = (U +U t ugasm u, kem udian ) 2 n 2 1 n

kum pulkan pada gurum u.

Dapatkah kamu menemukan rumus S n+1 dengan menggunakan rumus S n yang telah kamu ketahui?

Con t oh 6 .2

1 . Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang

habis dibagi 7. Penyelesaian : Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994. Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan

a = 252, b = 7, dan U n = 994 sehingga U n = a + (n – 1)b 994 = 252 + (n – 1)7 994 = 252 + 7n – 7 994 = 245 + 7n 7n = 994 – 245 7n = 749 n = 107

S n (a

H a l Pe n t in g

+ U n ) maka S 107 =

Jadi, jumlahnya adalah 66.661.

• pola bilangan

• barisan arit m et ika

2 . Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan

• barisan geom et ri

dengan S

= 5n 2 – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret

• deret

arit m et ika • deret geom et ri

• segit iga Pascal

Jumlah n suku pertama adalah S n = 5n – 4n Jumlah (n – 1) suku pertama adalah

• j um lah n suku pert am a

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

1 . Jum lah n suku

pert am a suat u deret Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah U

n = 10n – 9.

arit m et ika dit ent ukan oleh rum us

S n = 2n 2 + 3n.

Con t oh 6 .3

Tent ukan suku ke- n dan beda ( b) deret

Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah t ersebut .

2 . Sebuah perusahaan

mobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan

kom por m em produksi

konsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut

4.000 buah kom por

memutuskan untuk mening katkan jumlah produksinya dengan di t ahun pert am a

produksinya.

menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi

Set iap t ahun

awal tiap tahunnya. Tentukanlah: j um lah produksinya

bert am bah dengan

a . Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun ke-

j um lah yang sam a.

delapan;

Tot al produksi

b sam pai dengan t ahun . Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan

kedelapan adalah

tahun kedelapan.

37.600 buah.

Penyelesaian :

a . Berapa

Langkah 1 penam bahan

produksi set iap

Menentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.

t ahunnya?

Diketahui: Suku pertama (a) = 3.000 b. Berapa kom por

yang diproduksi

Beda (b) = 10% × 3.000 = 300

pada t ahun

n=8

kesepuluh?

Ditanyakan: 3 . Seorang pengusaha

kecil m em inj am m odal

a . Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan

m rupiah dari suat u

(U

bank dengan suku

bunga t unggal 1,2%

b . Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai tahun

per bulan. Set elah

8 ). Langkah 2

kedelapan (S

set ahun pengusaha

it u m engem balikan pinj am an dan

a . Menentukan U 8 dengan menggunakan rumus

bunga sebesar

U n = a + (n – 1)b, sebagai berikut.

57.200.000,00. Berapa

rupiah m odal yang U

8 = a + (8 – 1)b = a + 7b

dipinj am pengusaha

t ersebut ?

Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan adalah 5.100 buah.

Langkah 3 b

. Menentukan Tu ga s S 8 dengan menggunakan rumus

S n = n (a + U n ), sebagai berikut 2

untukmu

Coba kam u gunakan

8 kalkulat or unt uk m encari S

8 = (3.000 + U ) = 4 (3.000 + 5.100) = 32.400 2 8 S 107 dari Cont oh 6.2 nom or 1 t ersebut . Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai

Apakah hasil yang kam u

tahun kedelapan adalah 32.400 buah.

peroleh adalah 275?

Barisan dan Deret Bilangan

5 . Ba r isa n Ge om e t r i

I n foM a t ik a

Amatilah ketiga barisan berikut ini.

15 45 Pada barisan (a) tampak bahwa 135 = = = 3. 5 15 45

Jadi, perbandingan du a su ku yang berurutan pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki

perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan,

Joh a n Ga u ss

yaitu 1 . Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan

Banyak orang

m engat akan, Johan Gauss adalah seorang

geometri. Adap un perbandingan dua suku yang berurutan

j enius dalam arit m et ika.

pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan

Ket ika ia berusia 9 t ahun, seorang guru

barisan geometri.

m enyuruh m urid- m urid

Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan

di kelasnya unt uk m enj um lahkan deret

geometri dinamakan pembanding atau rasio, dilambangkan

bilangan

dengan p.

1 + 2 + 3 + ... + 40. Gauss hanya

Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai

m em erlukan wakt u

berikut.

beberapa saat saj a unt uk m em peroleh

Suatu barisan U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n ,U n+1 dinamakan barisan

j awaban ( 820) , bahkan

geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlaku

t anpa m enulis sesuat u. I a m endapat j awaban

=p

dalam ot aknya dengan

U n1

m enyadari j um lah it u

dapat dipikirkan sebagai berikut :

Jika suku pertama barisan geometri adalah a dengan

pembandingnya p maka barisan geometri U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n

dinyatakan dengan

a, ap, ap 2 , ..., ap Raj a sangat kagum akan n–1 , ... ฀ ฀ ฀ ฀

kem am puan Gauss m uda

sehingga raj a bersedia m em bayar biaya

U 1 , U 2 , U 3 , ..., U n

pendidikannya. Akhirnya,

sehingga rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai

Gauss m enj adi salah sat u ahli m at em at ika

berikut.

t erkem uka di dunia.

n = ap

n–1

I a j uga m eninggalkan

hasil karyanya dalam bidang ast ronom i,

Dapatkah kamu menemukan rumus U n+1 dengan meng-

pengu kuran t anah, dan

guna kan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?

elekt rom agnet ism e. Su m be r : Khazanah Penget ahuan

Con t oh 6 .4

Bagi Anak- Anak Mat em at ika,

1 . Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan

geometri atau bukan.

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

I n foM a t ik a

b . 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 Penyelesaian : a . Barisan geometri karena perbandingan dua suku ber-

urutan sama, yaitu 4 = 16 = 64 = 256 = 4. 1 4 16 64

b . Bukan barisan geometri karena per bandingan dua suku

berurutan tidak sama, yaitu 3 5 . 1 3

2 . Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan

Fibon a cci

Fibonacci m em punyai

a = 2 dan p = 6

= nam a lengkap Leonardo 18 =3

of Pisa. Dalam

p sehingga U 8 =2×3 8–1 =2×3 7 U perj alanannya ke =a = 4.374. Eropa dan Afrika Ut ara, Jadi, pembanding (rasio) = 3 dan suku ke-8 = 4.374.

n–1

ia m engem bangkan kegem arannya akan bilangan. Dalam karya t erbesarnya, Liber

6 . D e r e t Ge om e t r i

Abaci, ia m enj elaskan suat u t eka- t eki yang

Seperti yang telah kamu ketahui, jika U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n adalah

m em bawanya kepada

2 barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ap, ap apa yang sekarang ,

dikenal sebagai Barisan

ap 3 , ..., ap n–1 . Dari barisan geometri tersebut, kamu dapat Bilangan Fibonacci. memperoleh barisan penjumlahan berikut. Barisannya adalah

a + ap + ap 2 + ap 3 + ... + ap n–1

Set iap bilangan dalam

Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri. Misalkan, barisan ini m erupakan

j um lah dari dua bilangan

jumlah n suku pertama deret geometri dilambang kan dengan

sebelum nya ( 1 + 1 = 2,

S 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, n maka berlaku hubungan berikut.

...) . Barisan Fibonacci

bisa dit elit i dalam

pS susunan daun bunga n = ap + ap 2 + ap 3 + ... + ap n–1 + ap n at au segm en- segm en

(1 – p)S dalam buah nanas at au

n = a – ap n

bij i cem ara.

= n a(1 – p )

Su m be r : Ensiklopedi Mat em at ika & Peradaban Manusia, 2002

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri adalah sebagai berikut.

Tu ga s

untukmu

S n = ; p < 1 atau S =

;p>1

Apakah m ungkin suat u

p 1 barisan arit m et ika j uga m erupakan barisan

Con t oh 6 .5

geom et ri? Coba selidiki olehm u. Berikan beberapa

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan

cont oh lalu am at i.

2, 6, 18, 54, .... Kem udian, t ulislah hasil

penyelidikanm u pada buku t ugasm u dan kum pulkan pada gurum u.

Barisan dan Deret Bilangan

Pe nyelesaian :

Apabila at uran suat u

barisan geom et ri dikali

sehi ngga

dengan p, m aka suku

ke- n akan m em uat pem angkat an dari p.

Cont oh:

Tent ukan rum us suku

ke- n dari 9, 27, 81, ....

Ja di, jumlah delapan suku pertamanya adalah 6.560.

Pe n ye le sa ia n : Oleh karena at urannya

2 . Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan

dikali t iga m aka suku

dengan S =2 3n – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.

ke- n m em uat 3 n

, yait u n

Penyelesaian

U dit ent ukan

S =2 sendiri agar hasilnya 3n n – 1 maka

barisan yang dim aksud. 3(n–1) S n–1 =2 –1=2 3n–3 –1= –1

sam a sepert i suku

Uraian t ersebut

m enggam bar kan rum us

3n

suku ke- n dari barisan

2 2 2 7 = 82 = 72 = ×2 3n

yait u U n = 3 n+ 1 .

Con t oh 6 .6

Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008

Tu ga s

adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di

untukmu

kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di kabupaten itu pada 1 Januari 2018.

Dapat kah kam u m em bukt ikan bahwa

Penyelesaian :

pada deret geom et ri

Langkah 1

berlaku

Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.

U n = S n –S n–1 ? Tuliskan hasil pem bukt ian t ersebut

Diketahui:

pada buku t ugasm u, kem udian kum pulkan pada gurum u.

Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018. Langkah 2 Membuat model matematika dari masalah tersebut. Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah

U 1 = 50.000 maka diperoleh model berikut.

Uj i Ke ce r dik a n

(gunakan sifat distributif) Dari suat u deret geom et ri

U 2 = 50.000 + 0,1(50.000)

diket ahui S n = 150, S

= 157,5. Tent ukan suku pert am a deret

U 3 = 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000) (gunakan sifat

t ersebut .

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

(gunakan sifat

1 . Awal bulan, Pak

× 50.000 (1 + 0,1) Tobing m enabung di

distributif)

suat u bank se besar

Rp100.000,00 dengan

suku bunga m aj em uk

Dengan demikian, diperoleh barisan berikut. 1% per bulan.

Berapa rupiah j um lah

U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 , ...

t abungan Pak Tobing

set elah disim pan selam a 1 t ahun?

Langkah 3

2 . Seekor ikan

Menentukan jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.

berenang lurus

Amati bahwa barisan yang diperoleh pada Langkah 2 adalah dengan kecepat an

t et ap 32 km / j am

barisan geometri dengan suku pertama U 1 = a = 50.000 dan

selam a j am pert am a.

pembanding p = 1,1. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018

Pada j am kedua kecepat annya m enj adi

adalah suku ke-11 atau U 11 . Mengapa? Coba kamu jelaskan

2 - nya, dem ikian

alasannya.

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah U = ap n–1 n maka

set erusnya set iap j am

U kecepat annya m enj adi

2 kecepat an j am

Jadi, jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 adalah 129.687 jiwa.

3 sebelum nya. Berapa kilom et er j arak yang dit em puh ikan

Con t oh 6 .7

t ersebut pada 8 j am pert am a?

Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00. Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual) sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual mobil tersebut pada akhir tahun keenam? Penyelesaian : Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Harga mobil baru Rp200.000.000,00

Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahun Ditanyakan: harga jual mobil pada akhir tahun keenam.

Ca t a t a n

Langkah 2 Membuat model matematika dari masalah pada soal, sebagai

Perhit ungan suku

berikut. Misalnya harga mobil baru adalah a = 200.000.000,00

bunga m aj em uk adalah

dengan demikian diperoleh model berikut. perhit ungan bunga

yang akan diperoleh pada bulan at au t ahun

berikut nya, dihit ung U 2 = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000)

(gunakan sifat

dari saldo pada bulan

= 200.000.000 (1 – 0,2) distributif)

at au t ahun sebelum nya.

Penj elasan lebih dalam t ent ang m at eri ini akan kam u t em ui di t ingkat

U 3 = 0,8 × ฀฀200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000)

SMA/ SMK

Barisan dan Deret Bilangan

(gunakan sifat distributif)

Kam u dapat m enam bah wawasanm u t ent ang m at eri dalam bab ini dari int ernet

U 4 = (0,8) 2 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 2 × 200.000.000)

dengan m engunj ungi

= (0,8) 2 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif)

alam at : w w w .sm u- net .com / m ain.

php?act = um &gpt p= m at eri&

um t r= 2

Dengan demikian, diperoleh barisan berikut.

a, U 2 ,U 3 ,U 4 , ....

(0,8) 3 × 200.000.000, .... Langkah 3

Menentukan harga jual mobil pada akhir tahun keenam (U 7 ), sebagai berikut. Amatilah bahwa barisan yang diperoleh pada

Sia pa

langkah ke-2 adalah barisan geometri dengan suku pertama (U 1 )

Be r a n i?

= 200.000.000 dan pembanding p = 0,8. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah U

n = ap maka

n–1

Dari deret geom et ri

diket ahui U

Nyat akan suku pert am a

Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun keenam adalah

deret t ersebut dalam k.

Rp52.428.800,00.

Te s Kom pe t e n si 6 .2

Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1 . Tentukan beda dan suku ke-10 dari 3 . Tentukan masing-masing 5 contoh

barisan berikut. barisan arit metika dan bukan barisan a . –17, –11, –5, ...

aritmetika selain contoh yang sudah ada. b 1 2 3 4 . . Carilah suku ke-n deret aritmetika jika ,, , ...

2 5 5 10 diketahui suku pertama (a) dan beda (b) c 1 . –10 1 , –8, –5

berikut.

2 2 a . a = 9, b = –3, dan n = 24 d . 1 2 2 k 3 , k k , , k, ...

b . a = 12, b = –7, dan n = 8 5 5 5 5 c . a = –4, b = 4, dan n = 100 2 . Tentukan rumus suku ke-n dari setiap baris-

d . a = 2, b = 9, dan n = 15 an bilangan berikut.

5 . Tulislah lima suku pertama dari barisan a . 2, 5, 8, 11, ...

yang suku ke-n-nya dinyatakan dengan b . 16, 32, 64, 128, ...

rumus berikut.

c . 35, 31, 27, 23, ...

c . n 2 +n d . 108, 36, 12, 4, ...

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

6 . Tentukan rasio (pembanding) dan suku 12 . Tentukan nilai t agar barisan berikut ke-n (U n ) dari setiap barisan geometri

menjadi barisan geometri. berikut.

a . t, t + 2, t + 6

a . 1, –1, 1, ... b . t – 2, t + 1, 3t + 3 b . 2, 8, 32, ...

13 . Carilah nilai dari

c . 5, 2 1 1

2 4 14 . Hitunglah deret bilangan berikut. d .

1, 7, 49, ... a . 1 1 1 1 ... 1 1 7 . Berapakah jumlah dua belas suku per-

2 4 8 16 52 104 tama deret berikut.

b . 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + a . –5 + (–2) + 1 + ...

b . 6 + 1 + (–4) + ... c . 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 94 + 96 + 98 + 100 c . 32 + 16 + 8 + ...

15 . Carilah x sehingga x + 3, 2x + 1, dan d . 1 1 1 ...

5x + 2 adalah bi langan berurutan yang 3 9 27 memenuhi ba risan aritmetika.

Untuk soal nomor 8 sampai dengan nomor 16 . Sebuah bank swasta memberikan bunga 10, ten tukan jumlah barisan untuk soal-soal

majemuk 6% per tahun. Jika bunganya berikut.

ditutup se tiap akhir tahun, berapakah 8. Tiga puluh bilangan cacah yang pertama.

uang nasabah se besar Rp1.000.000,00 9. Dua puluh lima bilangan asli genap yang

setelah disimpan selama 4 tahun? pertama.

17 . Dalam suatu rapat, setiap peserta diminta 10 . Dua puluh delapan bilangan ganjil yang

berjabatan tangan satu kali dengan pe- pertama.

serta lain. Berapa kalikah jabatan tangan 11 . Jumlah n suku pertama suatu deret

yang terjadi jika peserta yang datang aritmetika adalah S

c . 15 orang a . suku ke-10;

a .5 orang;

d . 20 orang b . beda;

b .8 orang

c . sepuluh suku pertama deret ter sebut.

Rin gk a sa n

Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1 . Beberapa pola barisan bilangan, di antara-

d . barisan bilangan persegi adalah nya adalah sebagai berikut.

1, 4, 9, 16, ..., dan a . barisan bilangan ganjil adalah

2 . Barisan bilangan berpola diperoleh dengan 1, 3, 5, 7, ...,

mengurutkan bilangan-bilangan dengan b . barisan bilangan genap adalah

aturan tertentu, dan tiap-tiap bilangan 2, 4, 6, 8, ...,

yang terdapat pada barisan bilangan di- c . barisan bilangan segitiga adalah

sebut suku dari barisan itu. 1, 3, 6, 10, ...,

Barisan dan Deret Bilangan

3 . Rumus suku ke-n barisan aritmetika 6 . Jumlah n suku pertama deret geometri U

n = a + (n – 1)b

4 . Jumlah n suku pertama deret aritmetika

;p<1

(a + U n ) atau S n = (U 1 +U

atau

5 n . Rumus suku ke-n barisan geometri ap 1

;p>1 U n = ap

n –1

Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.

Re fl e k si

1 . Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2 . Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor yang menghambatmu dalam memahami materi Barisan dan Deret Bilangan. 3 . Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.

Te s Kom pe t e n si Ba b 6

Ke r j a k a n la h pa da bu k u t u ga sm u . Pilih la h sa la h sa t u j a w a ba n ya n g pa lin g t e pa t .

1 . Suku berikutnya dari barisan 1, 3, 6, 3 . Hasil dari 347 2 – 346 2 sama dengan

2 . Jumlah 17 bilangan ganjil yang 4 . Suku berikutnya dari barisan 3, 6, 11,

pertama sama dengan .... a 18 adalah ....

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

5 . Suku ke-n dari suatu barisan di- 10 . Jika suku k e-n dari su atu barisan adalah tentukan dengan rumus 2 n – 1. Suku

5n 2 – 3, suku ke-7 adalah .... ke-5 dari barisan tersebut adalah ....

11 . Suku pertama dan kedua suatu deret

6 . Rumus suku ke-n dari barisan 0, 2, 6, geometri berturut-turut adalah 2 –4

12, 20 adalah .... dan 2 x . Jika suku kedelapan adalah 2 52

a . n(n + 1) maka x sama dengan ....

7 . Amoeba yang terdiri atas satu sel berkem-

d .4 bang biak dengan cara membelah 12 . Suku kelima dan kesepuluh dari

diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu suatu barisan aritmatika berturut- membelah menjadi 2 ekor, setelah

turut adalah 30 dan 50. Suku ketujuh

40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60 barisan tersebut adalah .... menit men jadi 8 ekor, dan demikian

a . 25

seterusnya. Banyaknya Amoeba setelah

b . 35

3 jam adalah ....

c . 38

a . 512 ekor

d . 48

b . 256 ekor 11 21

c 13 . Suku ke-31 barisan 3, , 8, . 128 , ..., ekor 2 2

d . 64 ekor

98 adalah ....

a . 65

8 . Ibu Ina pergi ke Jakarta selama 50

b . 78

hari. Jika ia berangkat hari Sabtu, ia

c . 80

kembali hari ....

d . 82

a . Sabtu

b . Minggu . Pada suatu barisan aritmetika, U 1 = 10

c dan U = 91. Beda antara dua suku

. Senin

d yang berurutan adalah ....

. Selasa

a .2

9 . Jika suku ke-n dari suatu barisan

b .3

bilangan adalah n , tiga suku

c .4

2 n 1 d .5

pertamanya adalah .... 2 3

2 5 15 . Jumlah 50 suku pertama deret –98,

Barisan dan Deret Bilangan

Te s Kom pe t e n si Se m e st e r 2

Ke r j a k a n la h pa da bu k u t u ga sm u . Pilih la h sa la h sa t u j a w a ba n ya n g pa lin g t e pa t .

1 . Nilai 3 n jika 125 = n + 2 adalah ....

6 . Jika 2 = 1,414; maka nilai dari

2 . Bilangan nol dipangkatkan dengan

b . 7,14

bilang an bulat positif akan meng-

a . bilangan bulat positif

7 . Diketahui a – b = 4 maka nilai dari

b . bilangan bulat negatif

ab 4

c . bilangan nol (0)

3 adalah ....

ba

d . bilangan real

3 . Bentuk pangkat x y 2 dapat di-

1 2 a .4

b .4 2

tuliskan tanpa pangkat b ilangan bulat

c . –4

d . –4 negatif menjadi .... 2

8 . Bentuk yang paling sederhana dari

a . xy

2 ; x ≠ 0 adalah ....

xx

4 . Sebuah bilangan bulat positif yang

dipangkat kan dengan bilangan nol

hasilnya sama dengan ....

a .0

b .1 9 . Bentuk sederhana dan rasional dari

c . bilangan bulat positif

15 adalah ....

d . bilangan bulat negatif

5 . Bentuk akar dari y r adalah ....

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

10 . Diketahui barisan bilangan berikut.

16 . Diketahui barisan bilangan 2, 4, 7,

11, ..., 56. Rumus suku ke-n barisan Suku berikutnya adalah ....

tersebut adalah ....

11 . Diketahui barisan bilangan berikut.

b . U n = (n + n + 2)

c . U 1 n = (n + 2) Suku ke-n barisan tersebut adalah ....

c . (n – 1) × n . Wawan pergi ke Bali selama 40 hari. Jika ia berangkat pada hari Senin, ia

d . n × (n – 2) akan kembali hari ....

12 . Diketahui barisan bilangan berikut.

c . Jumat 600, 580, 560, 540, ..., 320.

a . Senin

d . Sabtu Suku kedua belas dari barisan tersebut

b . Selasa

18 . 2, 4, 6, 10, 16, .... adalah .... Barisan bilangan tersebut adalah

a . 380

c . 210 barisan bilangan ....

b . 300

d . 200

a . segitiga

13 . Jumlah 15 bilangan genap pertama

b . Fibonacci

adalah ....

c . persegi

a . 240

c . 220

d . genap

b . 230

d . 210

19 . Satu pasukan parade drum band yang

14 . Suku ketiga dan suku kelima suatu berjumlah 49 orang membentuk for-

barisan geometri berturut-turut 27 dan masi barisan. Paling depan 1 orang, 243. Suku pertama barisan tersebut

kemudian di belakangnya bertambah adalah ....

2, dan berikut nya bertambah 2 lagi

a .2

c . 5 dan seterusnya. Maka banyaknya

b .3

d .6

orang pada barisan terakhir adalah ....

15 . Suatu jenis motor mengalami penu-

c . 15 runan harga sebesar 2% pada setiap

a . 11

d . 17 akhir tahun. Pada Januari harga 20

b . 13

. Sebuah deret aritmetika terdiri dari motor baru Rp16.000.000,00. Harga

10 suku, jumlah suku pertama dan jual motor ter sebut pada akhir tahun

ke-2 adalah 9. Adapun jumlah suku ke-4 adalah ....

ke-5 dan ke-6 adalah 33. Jumlah deret

a . Rp14.720.000,00 tersebut adalah ....

b . Rp14.740.000,00

a . 30

c . 156

c . Rp14.400.000,00

b . 67

d . 165

d . Rp14.080.000,00

Tes Kom pet ensi Sem est er 2

Te s Kom pe t e n si Ak h ir Ta h u n

Ke r j a k a n la h pa da bu k u t u ga sm u . Pilih la h sa la h sa t u j a w a ba n ya n g pa lin g t e pa t .

1. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 7,

b 3 . 3n + 2 d . 3n – 2 7. Jika 216

y, 2 nilai y adalah ....

c . 12 Panjang sebuah jalan pada peta yang

d . 16 mempunyai skala 1 : 500.000 adalah

b .6

10 cm. Panjang jalan sesungguhnya 8. Frekuensi harapan munculnya mata adalah ....

dadu kelipatan dua yang dilempar

a . 0,05 km c. 5 km 480 kali adalah ....

3. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260

9. Pada gambar berikut dike-

tahui panjang BC = 20 cm. A kali dan setiap kali pengambilan kartu B dikembalikan. Frekuensi harapan yang

Jika BD = 6 cm, panjang AD adalah .... terambil kartu As adalah sebanyak ....

a . 18 cm

c .8 cm

a .5 kali

c . 40 kali

b . 12 cm

d .6 cm

b . 20 kali

d . 60

10. Jika luas permukaan tabung 858 cm kali 2

4. Diketahui data sebagai berikut. dan diameter tabung 21 cm maka

28, 25, 26, 22, 24, 27, 22, 21, 29, 28, volume kerucut dalam tabung tersebut

adalah ....

Median dari data tersebut adalah ....

a . 288,75 cm 3

a 3 . 23 c . 25 b . 866,25 cm

b . 24

d . 26

c . 1.501,5 cm 3

. 1.732,5 cm

Jika diketahui luas permukaan sebuah tangki BBM yang berbentuk bola 11. Seorang pemain sepakbola telah men-

22 cetak 68 gol dari 85 kali penam pilan -

7 nya. Jika ia ingin mencapai rata-rata jari-jari tangki tersebut adalah ....

adalah 2.464 m 2 dan π =

maka

gol 0,84 dalam 15 pertandingan se-

a .7 m

c . 21 m

lanjutnya, banyak gol yang harus ia

b . 14 m

d . 28 m

cetak adalah ....

a . 13

c . 15

6. Suku ke-15 dari barisan bilangan 1,

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

2 5 3 4 2 5 3 7 xy

12. Jika

2 2 = x maka nilai x 19. Bentuk

3 dapat dituliskan

7 5 tanpa pangkat bilangan bulat negatif adalah ....

13. Segitiga KLM dengan besar K = 38°

20. Suku ke-8 dari barisan bilangan 2, 7, dan L = 62° sebangun dengan segitiga

12, 17, ... adalah .... ABC dengan besar ....

c . A = 80° dan C = 38° 21. Dalam suatu kelas terdapat 25 siswa

d . B = 38° dan C = 62° putri dan 15 siswa putra. Jika salah seorang dipanggil oleh wali kelas

14. Peluang munculnya muka dadu ber- secara acak, peluang terpanggilnya jumlah 5 pada pelemparan 2 buah siswa putri adalah .... dadu adalah ....

15. Volume kerucut yang garis pelukisnya

Jumlah 7 suku pertama dalam barisan 2, 6, 18, ... adalah ....

20 cm dan jari-jarinya 12 cm dengan

a . 752,6 cm 3 c . 2.411,5 cm b 3

d . 4.372

b 3 . 5.024 3 cm d . 3.014,4 cm

16. Simpangan kuartil dari data: 6, 4, 6,

4, 2, 6, 5, 3, 6 adalah .... 23. Dua bola jari-jarinya masing-masing

c . 1,25 adalah r 1 dan R, sedangkan luas

kulitnya masing-masing L 1 dan L 2 .

Jika R = 4r maka L :L

1 2 adalah ....

17. Amati gambar berikut. PQ//

Panjang TR adalah ....

24. Jika a = 3 4 dan b = 5 2

18. Sebuah tabung dengan diameter 30

b . ab 2 d . a 4 b cm diisi minyak sampai 3 bagian. Jika

25. Mean dari data 25, 21, 28, 24, 25,

3 volume minyak 8.478 cm 27, x, 22, 23, 21 adalah 24. Nilai x maka tinggi

yang memenuhi adalah .... tabung tersebut adalah .... (π = 3,14)

Tes Kom pet ensi Akhir Tahun

Ku n ci Ja w a ba n

Tes Kompetensi Bab 1 Tes Kompetensi Bab 5

Tes Kompetensi Bab 2 Tes Kompetensi Bab 6

Tes Kompetensi Semester 2 Tes Kompetensi Bab 3

Tes Kompetensi Akhir Tahun Tes Kompetensi Bab 4

Tes Kompetensi Semester 1

1 . c 11. a 3 . a 13. a 5 . c 15. b 7 . a 17. b 9 . b 19. b

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

Glosa r iu m

Bimodal : data yang memiliki dua Kongruen : bangun-bangun yang memiliki modus. ............................................ (66)

bentuk dan ukuran yang sama. .......... (7) Dalil Pythagoras : keterangan Pythagoras

Kuartil : ukuran yang membagi data yang dijadikan bukti atau alasan

menjadi empat kelompok yang suatu kebenaran. ............................... (7)

anggotanya sama banyak. ................ (69) Data : kumpulan datum ......................... (66) Mean : rerata; nilai antara. ..................... (60) Data diskrit : data yang diperoleh dengan cara Median : nilai tengah dari data yang

menghitung .................................... (59) diurutkan dari datum terkecil ke Data kontinu : data yang diperoleh dengan

datum terbesar................................. (64) cara mengukur ................................ (59) Modus : datum yang paling sering Data kualitatif : data yang tidak berbentuk

muncul. .......................................... (66) bilangan. ......................................... (59) Peluang : kemungkinan terjadinya suatu Data kuantitatif : data yang berbentuk

peristiwa. ......................................... (76) bilangan. ......................................... (59) Populasi : semua objek yang menjadi Datum : fakta tunggal ............................ (59)

sasaran pengamatan. ........................ (51) Diagonal : garis yang menghubungkan dua Ruang sampel : himpunan semua kejadian titik sudut yang tidak bersebelahan dalam

yang mungkin diperoleh dari suatu suatu segiempat. ................................ (7)

percobaan. ...................................... (82) Diameter : garis lurus yang melalui titik

Sampel : bagian dari populasi yang diambil tengah lingkaran dari satu sisi ke sisi

untuk dijadikan objek pengamatan lainnya. ........................................... (24)

langsung dan dijadikan dasar dalam Frekuensi : banyak kejadian yang lengkap

penarikan kesimpulan mengenai atau fungsi muncul dalam suatu

populasi. ............................................. (51) waktu. ............................................. (65) Sebangun : serupa; memiliki perkawanan Frekuensi relatif : banyaknya kejadian k;

antartitik sudutnya sehingga sudut- banyaknya percoban. ....................... (80)

sudut yang sekawan sama besar dan Garis pelukis : garis-garis pada sisi lengkung

semua rasio ukuran isi yang sekawan yang sejajar dengan sumbunya. ....... (29)

sama. ................................................. (3) Geometri : cabang matematika yang mene-

Sejajar : paralel; garis yang mempunyai rangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang,

gradien yang sama. ............................ (6) dan ruang. ......................................... (6) Selimut : sisi lengkung. .......................... (29) Hipotenusa : sisi sebuah segitiga yang ter-

Simpangan kuartil : setengah dari jangkauan letak di seberang sudut sikunya. ...... (20)

interkuartil. ..................................... (50) Jangkauan : selisih antara datum terbesar

Statistika : ilmu pengetahuan yang dan datum terkecil. ......................... (68)

berhubungan dengan cara-cara Jangkauan interkuartil : selisih antara

pengumpulan data, pengolahan data, kuartil atas dan kuartil bawah. ........ (73)

dan penarikan kesim pulan Jari-jari : garis lurus dari titik pusat ke garis

berdasarkan data tersebut. ............... (49) lingkaran. ........................................ (28) Substitusi : penggantian ........................ (13)

Barisan dan Deret Bilangan

I n de k s

akar 95, 96, 107, 108, 109, 110, 111, 113, diagram batang 49, 57 114, 115, 137, 143

diagram garis 56

aljabar 102, 108, 124 diagram lingkaran 57 aritmetika 126, 127, 128, 129, 130, 133, diagram pohon 82 134, 136, 138

distribusi frekuensi 55

bangun datar 4, 7, 8, 19, 20, 24, 39

eksponen 98, 113

bangun geometri 19

bangun ruang sisi lengkung 27, 28, 29, faktor 87, 90, 92, 97, 103, 104, 105,

barisan aritmetika 126, 127, 130, 133,

fibonacci 130

134, 136 frekuensi 54, 75, 76, 139, 144

barisan geometri 129, 130, 131, 132, 133, 134, 138

bidang alas 29, 31, 38 garis pelukis 29, 31, 32, 33, 34, 37, 44, bilangan bulat 34, 35, 61, 62, 88, 103, 140 104, 105, 107, 108, 109, 110, 111, geometri 19, 120, 129, 130, 141, 144 128, 137, 140

bilangan irasional 107, 108, 110 interval 65, 71, 72, 73 bilangan rasional 95, 96, 97, 98, 116

bilangan real 107, 113, 137

bola 29, 34, 139, 140 jangkauan 50, 68, 69, 71, 73, 75, 144 busur 31

jangkauan interkuartil 50, 68

dalil Pythagoras 7, 107, 142, 144 kelas 1, 51, 53, 54, 57, 60, 62, 63, 67, 68, data 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75,

76, 94, 139, 140, 144 kongruen 1, 2, 3, 15, 16, 17, 144 data diskrit 144

kuartil 69, 70, 71, 73, 75, 94, 140, 144 data kontinu 144

data kualitatif 53, 144 luas daerah 28, 35, 115 data kuantitatif 51, 52, 144

luas permukaan 28, 30, 32, 33, 34, 35, datum 51, 54, 55, 144

36, 37, 44, 46, 47, 93, 139 deret aritmetika 127, 128, 133, 134, 138

deret geometri 120, 130

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

segitiga Pascal 122, 123 median 50, 64, 66, 68, 73, 74, 75, 76, selimut 28, 144

139, 144 simpangan kuartil 69, 75, 140, 144 modus 50, 66, 73, 74, 76, 144

skala 3, 24, 55, 144

statistika 49, 51, 142, 144 suku 129, 135, 136, 138, 139, 140

pangkat 97, 98, 103, 104, 105, 107, 108, 113, 114, 115, 137, 140

pangkat tak sebenarnya 96 tabel 53, 55, 56, 58, 60, 61, 65, 67, 71, peluang 57, 73, 76, 79, 140, 142, 144

72, 73, 75, 81, 83, 88, 121 piktogram 52, 55, 57, 73

tabung 29, 30, 93, 94, 139, 140 pola bilangan 119, 120, 121, 122

tali busur 31

populasi 50, 51, 144

titik sampel 78, 82

73, 74, 75, 76, 94, 139 V volume 28, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44,

ruang sampel 82, 83, 85, 87, 90, 92,

I ndeks

D a ft a r Pu st a k a

Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc.

Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill.

Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New

York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah

Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm.

C. Brown.

Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education

Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi-

glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice-

Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison-

Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung:

Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaum's Outline

Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya-

kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher.

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X

D a ft a r Pu st a k a

Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc.

Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill.

Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New

York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah

Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm.

C. Brown.

Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education

Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi-

glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice-

Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison-

Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung:

Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaum's Outline

Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya-

kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher.

162

Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk Kelas I X