20 de thi hoc ki 2 toan 11 co dap an 20de thi hkii lop 11
1
Đ 1 I. Ph n chung cho cả hai banBài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
x
x x
x
2 1
2
lim
1
2) xx
x
4
lim
2
3
12
3)xx
x
37
1
lim
3
4) xx
x
2 31 2
lim
9
Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x
x
khi x
f x
x
x
khi x
2
5
6
3
( )
3
2
1
3
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
2
x
3
5
x
2
x
1 0
.Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
x x
2
1
b)y
x
23
(2
5)
2) Cho hàm số
y
x
x
1
1
.a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số bi t ti p tuy n song song với d:
y
x
2
2
.Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
a
2
.1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. 2) Chứng minh rằng: (SAC)
(SBD) .3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữahai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II . Ph n t ch n.
1 . Theo chương trình chuẩn. Bài 5a. Tính
x
x
x
x
3 2 2
8
lim
11
18
.Bài 6a. Cho
y
1
x
32
x
26
x
8
3
. Giải bất phương trìnhy
/
0
. 2. Theo chương trình nâng cao.Bài 5b. Tính
x
x
x
x
2x
12
1
lim
12
11
.Bài 6b. Cho
y
x
x
x
23
3
1
. Giải bất phương trìnhy
/
0
.
Đ 2 I . Ph n chung cho cả hai ban.
Bài 1.Tìm các giới hạn sau:
1)
x
x
x
x
x
2
1 3
lim
2
7
2) xx
x
3
lim ( 2
5
1)
3) xx
x
52
11
lim
5
4) xx
x
x
3 2 0
1 1
lim
.Bài 2 .
1) Cho hàm số f(x) =
f x
x
x
khi x
m
khi x
3
1
1
( )
1
2
1
1
. Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2) Chứng minh rằng phương trình:
(1
m x
2)
5
3
x
1 0
luôn có nghiệm với mọi m.Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)
y
x x
x
2 22 2
1
(2)
2) Cho hàm số
y
x
4
x
2
3
(C). Vi t phương trình ti p tuy n của (C): a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .b) Vuông góc với d:
x
2
y
3 0
.Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)
(ABC).2) Chứng minh rằng: BC
(AOI).3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB . II . Ph n t ch n.
1 . Theo chương trình chuẩn .
Bài 5a. Tính
n
n
2n
2n
21
2
1
lim(
....
)
1
1
1
.Bài 6a. Cho
y
sin2
x
2cos
x
. Giải phương trìnhy
/= 0 . 2 . Theo chương trình nâng cao .Bài 5b. Cho
y
2
x x
2 . Chứng minh rằng:y y
3.
//
1 0
.Bài 6b . Cho f( x ) =
f x
x
x
x
364 60
( )
3
16
. Giải phương trìnhf
( ) 0
x
.Đ 3 Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)
x
x
x
x
3 2
lim (
1)
2) xx
x
13
2
lim
1
3) xx
x
22 2
lim
7 3
4)
x
x
x
x
x
x
x
3 2
3 2
3
2
5
2
3
lim
4
13
4
3
5) limn n
n n
4
5
2
3.5
Bài 2.Cho hàm số:
x
khi x >2
x
f x
ax
khi x
2
33
2 2
2
( )
1
4
. Xác định a để hàmsố liên tục tại điểm x = 2.
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình
x
5
3
x
4
5
x
2 0
có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5).Bài 4.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
y
x
x
2x
5
3
1
2)y
x
x
x
2
(
1)
1
3)y
1 2tan
x
4)y
sin(sin )
x
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, góc
B
= 600, AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a.Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC).
1) Chứng minh: SB (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) SC.
3) Chứng minh: BHK vuông .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 6. Cho hàm số
f x
x
x
x
23
2
( )
1
(1). Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số (1), bi t ti p tuy n đó song song vớiđường thẳng d:
y
5
x
2
.Bài 7. Cho hàm số
y
cos 2
2x
. 1) Tínhy
,
y
.2) Tính giá trị của biểu thức:
A
y
16
y
16
y
8
.Đ 4 Bài 1.Tính các giới hạn sau:
1)
x
x
x
3
2
lim ( 5
2
3)
2) xx
x
13
2
lim
1
3) xx
x
22
lim
7 3
4)
x
x
x
3 0(
3)
27
lim
5)
n n n n
3
4
1
lim
2.4
2
(3)
3
Bài 2.Cho hàm số:x
khi x
f x
x
ax khi x
1
1
( )
1
3
1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
x
3
1000
x
0,1 0
Bài 4.Tìm đạo hàm các hàm số sau:1)
y
x
x
x
22
6
5
2
4
2)x
x
y
x
22
3
2
1
3)x
x
y
x
x
sin
cos
sin
cos
4)y
sin(cos )
x
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh
(
SAC
) (
SBD
)
;(
SCD
) (
SAD
)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số
y
x
3
3
x
2
2
:1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vuông góc với đường thẳng d:
y
1
x
2
9
.Bài 7.Cho hàm số:
y
x
x
22
2
2
. Chứng minh rằng:2 .
y y
1
y
2.Đ 5 A. PH N CHUNG:
Bài 1: Tìmcác giới hạn sau:
a)
n
n
n
33
2
2
3
lim
1 4
b) xx
x
2 13 2
lim
1
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x
x
khi x
f x
x
khi x
23
2
2
( )
2
3
2
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
2sin
x
cos
x
tan
x
b)y
sin(3
x
1)
c)y
cos(2
x
1)
d)y
1 2tan 4
x
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
BAD
60
0 và SA = SB = SD = a.a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đ n (ABCD). B. PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số
y
f x
( ) 2
x
3
6
x
1
(1) a) Tínhf
'( 5)
.b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số(1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình
f x
( ) 0
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1). 2. Theo chương trình Nâng caoBài 5b: Cho
f x
( )
sin3
x
cos
x
3 sin
x
cos3
x
3
3
.Giải phương trình
f x
'( ) 0
.Bài 6b: Cho hàm số
f x
( ) 2
x
3
2
x
3
(C).a) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) bi t ti p tuy n song song với đường thẳng d:
y
22
x
2011
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) bi t ti p tuy n vuông góc đường thẳng :y
1
x
2011
4
Đ 6 A. PH N CHUNG
(4)
a)
x
x
x
x
2
3
4
1
lim
1
1
b)x
x
x
2 9
lim
3
3
c)x
x
x
2
lim
2
7 3
d)x
x
x
x
2 2 3
lim
2
1
Câu 2: Cho hàm số
x
x
khi x
f x
x
m
khi x
2
2
2
( )
2
2
.
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phươngtrình
x
5
3
x
4
5
x
2 0
có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5)Câu 4: Tính đạo hàm của các hàmsố sau:
b)
y
(
x
2
1)(
x
3
2)
c)y
x
2 21
(
1)
d)y
x
x
2
2
e)y
x
x
4 2 2
2
1
3
B.PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=
a
2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của SAB. Trên đườngthẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC SB, SB (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC). c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đ u S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) (SBD), (SBD) (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đ n mp(ABCD) và từ điểm O đ n mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC Đ 7
I. PH N B T BU C: Câu 1:Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
2
lim
5
b)xx
x
2 33
lim
9
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số
x
khi x
x
x
f x
A
khi x
2
2
1
1
2
2
3
1
( )
1
2
Xét tính liên tục của hàm số tại
x
1
2
Câu 3 (1 điểm):Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
x
3
5
x
3 0
.Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
(
x
1)(2
x
3)
b)y
1 cos
2x
2
Câu 5 (2,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
BAD
60
0, đường cao SO = a.a) Gọi K là hình chi u của O lên BC. Chứng minh rằng: BC
(SOK)b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD). c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PH N T CH N
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm):Cho hàm số:
y
2
x
3
7
x
1
(C).a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u, SA
(ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB,ACM
, hạ SH
CM.a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB. b) Hạ AK SH. Tính SK và AH theo a và
. 2. Theo chương trình nâng cao(5)
5
Câu 6b (1,5 điểm):Cho các đồ thị (P):y
x
x
2
1
2
và (C):y
x
x
x
2 3
1
2
6
.a) Chứng minh rằng(P) ti p xúc với (C).
b) Vi t phương trình ti p tuy n chung của (P) và (C) tại ti p điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD =
5
2
a
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh rằng: SO
(ABCD).b) Chứng minh rằng: (SIJ)
(ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC). c) Tính khoảng cách từ O đ n (SBC).Đ 8 I. Ph n chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x
x
x
5 3
5 4
1
7
11
3
lim
3
2
4
b)
x
x
x
51 2
lim
5
c) xx
x
x
2 2 2
4
lim
2(
5
6)
2) Cho hàm số :
f x
x
x
x
4 3
5
( )
2
1
2
3
. Tínhf
(1)
.Bài 2:
1) Cho hàm số
f x
x
x khi x
ax
khi x
2
1
( )
1
1
. Hãy tìm a đểf x
( )
liên tục tại x = 1 2) Cho hàm sốf x
x
x
.
x
22
3
( )
1
Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm sốf x
( )
tại điểm có hoành độ bằng 1.Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đ u cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đ n
đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Ph n t ch n
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
x
x
x
x
29
1 4
lim
3 2
2) xx
x
2x
2lim
5
6
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
6
x
3
3
x
2
6
x
2 0
.2) Cho hình chóp tam giác đ ucó cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chi u cao hình chóp. B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
xlim
x
1
x
Bài 5b:1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
(
m
2
2
m
2)
x
3
3
x
3 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA =
a
3
. Gọi (P) là mặt phẳngchứa AB và vuông góc (SCD). Thi t diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thi t diện đó. Đ 9
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a)
4 2
2
2
lim
1
n
n
n
b)
3 2
8
lim
2
x
x
x
c)
1
3
2
lim
1
x
x
x
.(6)
3) Cho
x
x
khi x
f x
x
a
x
khi x
2
2
2
( )
2
5
3
2
. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 2: Cho
y
x
2
1
. Giải bất phương trình:y y
.
2
x
2
1
.Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a,
AOB
AOC
60 ,
0BOC
90
0.a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Bài 4: Cho
y
f x
( )
x
3
3
x
2
2
. Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số f(x) bi t ti p tuy n song song với d: y = 9x + 2011.Bài 5: Cho
f x
x
x
2
1
( )
. Tínhf
( )n( )
x
, với n 2.Đ 10 A. PH N B T BU C:
Câu 1:Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
2x
33
lim
2
3
b) xx
x
3 0
(
1) 1
lim
c)
x
x
x
2 25 3
lim
2
Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
2
x
3
10
x
7 0
b) Xét tính liên tục của hàm sốx
x
f x
x
x
3
,
1
( )
1
2
,
1
trên tập xác định .
Câu 3:
a) Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thi hàm số
y
x
3 tại điểm có hoành độx
0
1
.b) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y
x
1
x
2
y
(2
x
2)cos
x
2 sin
x
x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC = a,
ADC
45 ,
0SA a
2
.a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC. B. PH N T CH N:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: a) Tính
x 2
x
2x
1
1
lim
2
4
b) Cho hàm số
f x
x
8
( )
. Chứng minh:f
( 2)
f
(2)
Câu 6a: Cho
y
x
3
3
x
2
2
. Giải bất phương trình:y
3
.Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có
AB a AD
,
b AE
,
c
. Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơAI
quaba vectơ
a b c
, ,
.2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b:a) Tính gần đúng giá trị của
4,04
b) Tính vi phân của hàm sốy
x
.cot
2x
Câu 6b: Tínhx
x
x
x
2 33
1
lim
3
Câu 7b 3: Cho tứ diện đ u cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
Đ 11
II. Ph n b t bu c
(7)
7
Câu 1:
1) Tính
các giới hạn sau:
a)
x
x
x
2x
1 2
lim
2
3
b)
xx
x
x
x
x
3 2
3 2
3
9
2
lim
6
c)
x
x
x
x
2
lim
3
2)
Chứng minh phương trình
x
3
3
x
1 0
có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1
) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
x
x
x
2
3
1
b)
y
x
sin
x
c)
x
x
y
x
2
2
1
2
) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
y
tan
x
3) Tín
h vi phân của ham số
y
= sin
x
.cos
x
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
SA
(
ABCD
)
và
SA a
6
.
1)
Chứng minh :
BD
SC
, (
SBD
) (
SAC
)
.
2) Tính
khoảng cách từ A đ n mặt phẳng (SBD).
3)
Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Ph n t ch n
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a:
Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số
y
x
1
x
tại giao điểm của nó với trục hoành .
Câu 5a:
Cho hàm số
f x
( ) 3
x
60 64
3
5
x
x
. G
iải phương trình
f x
( ) 0
.
Câu 6a:
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng
a
. Tính
AB EG
.
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b:
Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số
y
sin2 .cos2
x
x
.
Câu 5b:
Cho
3 2
2
3
2
x
x
y
x
. Với giá trị nào của
x
thì
y x
( )
2
.
Câu 6b:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Xác định đường vuông góc chung và tính
khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD
và B
C.
Đ 12
Bài 1
: Tính các
giới hạn
sau:
a)
n n
n 1
1
3
4
lim
4
3
b)
xx
x
2 31 2
lim
9
Bài 2
: Chứng minh phương trình
x
3
3
x
1 0
có 3 nghiệm thuộc
2;2
.
Bài 3
: Chứng minh hàm số sau không có đạo
hàm tại
x
3
x
khi x
f x
x
khi x =
29
3
( )
3
1
3
Bài 4
: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
y
(2
x
1) 2
x x
2b)
y
x
2.cos
x
Bài 5
: Cho hàm số
y
x
x
1
1
có đồ thị (H).
a)
Vi t phương trình ti p
tuy n của (H) tại A(2;
3).
b)
Vi t phương trình ti p tuy n của (H) bi t ti p tuy n
song song
với đường thẳng
y
1
x
5
8
.
Bài 6
: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh
a
, SA =
a
, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I,
K là hình chi u vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh
c
ác mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b)
Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
(8)
c)
Tính góc giữa SC và (SAB).
d)
Tính khoảng cách từ A đ n (SBD).
Đ 13
Bài 1
: Tính các
giới hạn
sau:
a)
x
x
x
x
22 1
2
3
5
lim
1
b)
xx
x
x
3 11
lim
1
Bài 2
: Chứng minh rằng phương trình
x
3
2
mx
2
x m
0
luôn
có nghiệm với mọi
m
.
Bài 3
: Tìm
a
để hàm số liên tục tại
x
= 1.
x
x
x
khi x
1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2
2
( )
3
3
Bài 4
: Tính đạo hàm của các hàm số:
a)
y
x
x
x
2x
42
3
1
3
1
b)
y
x
x
x
x
cos
sin
Bài 5
: Cho đường cong (C)
:
y
x
3
3
x
2
2
. Vi t phương trình ti p tuy n của (C):
a)
Tại điểm có hoành độ bằng 2.
b)
Bi t ti p tuy n vuông góc đường thẳng
y
1
x
1
3
.
Bài 6
: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi tâm O cạnh
a
,
OB
a
3
3
,
SO
(
ABCD
)
,
SB a
.
a)
Chứng minh:
SAC
vuông và SC vuông góc
với
BD.
b)
Chứng minh:
(
SAD
) (
SAB SCB
), (
) (
SCD
).
c)
Tính khoảng cách giữa SA và BD.
Đ 14
Bài 1
: Tính các
giới hạn
sau:
a)
x
x
x
x
2
lim
3 2
b)
x
x
x
x
2
lim
4
1 2
Bài 2
: Chứng minh rằng phương trình
2
x
3
10
x
7 0
có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3
: Tìm
m
để hàm
số sau liên tục tại
x
=
–
1
x
khi x
f x
x
mx
khi x
21
1
( )
1
2
1
Bài 4
: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
x
x
3
2
2
5
b)
y
x
x
x
2
(
3
1).sin
Bài 5
: Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số
y
x
1
:
a)
Tại
điểm có tung độ bằng
1
2
.
b)
Bi t ti p tuy n song song với đường thẳng
y
4
x
3
.
Bài 6
: Cho tứ diện S.ABC có
ABC
đ u cạnh
a
,
SA
(
ABC SA
),
3
a
2
. Gọi I là trung điểm BC.
a)
Chứng minh: (SBC) vuông gó
c (SAI).
b)
Tính khoảng cách từ A đ n (SBC).
c)
Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Đ 15
(9)
9
a)
x
x
x
2
3
lim
2 3
b)
xx
x
x
2
5
3
lim
2
Bài 2
: Chứng minh rằng phương trình
x
4
x
3
3
x
2
x
1 0
có nghiệm thuộc
( 1;1)
.
Bài 3
: Xét tính liên tục của hàm số
sau trên tập xác định của nó
:
x
x
khi x
f x
x
khi x
23
2
2
( )
2
3
2
Bài 4
: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
x
x
x
x
sin
cos
sin
cos
b)
y
(2
x
3).cos(2
x
3)
Bài 5
: Vi t phương
trình ti p tuy n của đồ thị hàm số:
y
x
x
x
22
2
1
1
a)
Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b)
Bi t ti p tuy n song song với đường thẳng
y
x
2011
.
Bài 6
: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy
ABCD là hình thoi tâm O cạnh
a
,
BAD
60
0, SO
(ABCD),
SB
SD
a
13
4
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
a)
Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
b)
Tính khoảng cách từ O và A đ n (SBC).
c)
Gọi (
) là mặt phẳng qua AD và v
uông góc (SBC).
Xác định thi t diện của
hình chóp
bị cắt bởi
(
).
Tính góc giữa (
) và (ABCD).
Đ 16
I. Ph n chung
Bài 1:
1) Tìm
các giới hạn sau:
a)
x
x
x
x
x
5 3
5 4
1
7
11
3
lim
3
2
4
b)
xx
x
51 2
lim
5
c)
xx
x
x
2 2 2
4
lim
2(
5
6)
2) Cho
hàm số :
f x
x
x
x
43
5
( )
2
1
2
3
. Tính
f
(1)
.
Bài 2:
1)
Cho hàm số
f x
x
x khi x
ax
khi x
2
1
( )
1
1
. Hãy tìm
a
để
f x
( )
liên t
ục tại
x
= 1
2) Cho
hàm số
f x
x
x
.
x
2
2
3
( )
1
Vi t phương trình ti p tuy n của đồ thị hàm số
f x
( )
tại điểm có
hoành độ bằng 1.
Bài 3:
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đ u cạnh
a
, AD vuông g
óc với BC
, AD =
a
và
khoảng cách từ điểm D đ n đường thẳng BC là
a
. Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1)
Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH
=
a
.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (AB
C).
3)
Tính khoảng cách giữa AD và BC.
I
I. Ph n t ch n
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a
:
Tính các giới hạn sau:
1)
xx
x
x
29
1 4
lim
3 2
2)
xx
x
2x
2lim
5
6
Bài 5a:
(10)
2)
Cho hình chóp tam giác đ u có cạnh đáy và cạnh bên bằng
a
. Tính c
hi u cao hình chóp.
B. Theo
chương trình nâng cao
Bài 4b:
T
ính giới hạn:
x
lim
x
1
x
Bài 5b:
1) C
hứng minh
phương trình sau luôn luôn có nghiệm
:
(
m
2
2
m
2)
x
3
3
x
3 0
2)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, SA vuông góc (ABCD) và SA =
a
3
.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thi t diên cắt bởi (P) và hìn
h chóp là hình gì? Tính
diện tích thi t diện đó.
Đ 17
I. Ph n chung
Bài 1:
1) T
ính các giới hạn sau:
a)
xx
x
x
2 12
lim
2
2
b)
n n
n n
2 1
1
3
3.5
lim
4.5
5.3
2)
Tính đạo hàm của hàm số:
y
x x
x x
cos
sin
Bài 2:
1)
Cho hàm số:
y
x
3
x
2
x
5
(C). Vi t phương
trình ti p tuy n với (C) bi t
ti p tuy n song song với
đường thẳng
6x y
2011 0
.
2) Tìm
a
để hàm số:
f x
x
x
khi x
ax
a khi x
2 2
5
6
7
2
( )
3
2
liên tục tại
x
= 2.
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABC có
các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông
cân tại C. AC =
a,
SA =
x
.
a)
Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b)
Chứng minh
(
SAC
)
(
SBC
)
. Tính khoảng cách từ A đ n (SBC).
c) Tinh kh
oảng cách từ O đ n (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
II. Ph n t ch n
A.
Theo chương trình Chuẩn
Bài 4a:
1)
Cho
f x
( )
x
2sin(
x
2)
. Tìm
f
(2)
.
2)
Vi t thêm 3 số vào giữa hai số
1
2
và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
T
ính tổng các số hạng của cấp
số cộng đó
.
Bài 5a:
1)
CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
2
x
3
10
x
7
.
2) Cho hình chóp tứ giác đ u có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên
hợp với đáy một
góc 30
0. Tính chi u cao hình
chóp.
B.
Theo chương trình N
âng cao
Bài 4b:
1) Cho
f x
( ) sin2
x
2sin
x
5
. G
iải phương trình
f x
( ) 0
.
2)
Cho 3 số
a, b, c
là 3 số hạng liên ti p của cấp số nhân.
Ch
ứng minh rằng
:
(
a
2
b
2)(
b
2
c
2) (
ab bc
)
2Bài 5b:
1) C
hứng minh rằng với mọi
m
phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm
:
(
m
2
1)
x
4
x
3
1
.
2)
Cho hình lăng trụ tam giác đ u ABC.A
B
C
, có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
a
2
.
Tính góc giữa 2
mặt phẳng (A
BC) và (ABC) và k
hoảng cách từ A đ n mặt phẳng
(A
BC).
Đ 18
(11)
11
I. PH N CHUNG
(7 điểm)
Câu 1:
(1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
xx
x
x
2 25
6
lim
2
b)
xx
x
33
lim
1 2
c)
xx
x
x
22
1
lim
Câu 2:
(1 điểm) Cho hàm số
x
khi x
f x
x
A
khi x
225
5
( )
5
5
. Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại
x
= 5.
Câu 3
: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y
x
x
x
22
3
2
1
1
b)
y
x
.cos3
x
Câu 4:
(3 điểm) Cho
hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
a) Chứng minh:
BC
(SAB).
b) Giả sử SA =
a
3
và AB =
a
, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
c) Gọi AM là đường cao của
SAB
, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN)
(SBC).
II. PH N RIÊNG
(3 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
Phần A:
(theo chương trình chuẩn)
Câu 5a:
(1 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x
5
3
x
4
5
x
2 0
có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng
(
–
2; 5).
Câu 6a:
(2 điểm) Cho hàm số
y
x
x
x
2 3
4
5
3
2
có đồ thị (C).
a) Tìm
x
sao cho
y
0
.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C) tại điểm có hoành độ
x
= 0.
Phần B:
(theo chương trình nâng cao)
Câu 5b:
(1
điểm) Chứng minh rằng phương trình
2
x
3
6
x
1 0
có ít nhát hai nghiệm.
Câu 6b:
(2 điểm) Cho hàm số
y
4
x
3
6
x
2
1
có đồ thị (C).
a) Tìm
x
sao cho
y
24
.
b) Vi t phương trình ti p tuy n của (C), bi t ti p
tuy n đi qua điểm A(–
1;
–
9).
Đ 19
A. Ph n chung
: (8 điểm)
Câu 1
: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1)
xx
x
x x
22 1
2
3
1
lim
4 3
2)
x
x
x
x
x
2 2
lim
2
2
2
3
Câu II
: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
x
khi x
f x
x
x
khi x
2
4
2
( )
2 2
2
20
2
tại
điểm
x
= 2.
Câu III
: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
f x
x
x
2x
3 5
( )
1
2)
f x
x
2 4
( )
sin(tan(
1))
Câu IV
: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng
a
,
SA
(
ABCD
)
,
a
SA
6
2
.
1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đ n đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
B. Ph n riêng
: (2 điểm)
Câu Va
:
Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn
Cho hàm số:
y
x
3
3
x
2
2
x
2
.
(1)
2) Giả sử công sai của cấp số cộng cần tìm là d thì ta có cấp số cộng là: 1 1, d,1 2 ,d 1 3 ,d 1 4d 8 4d 15 d 15
2 2 2 2 2 2 8 Vậy cấp số cộng đó là 1 19 34 49, , , ,8
2 8 8 8
Bài 5a:
1) Xét hàm số f x( ) 2 x310x7 f x( ) liên tục trên R.
f( 1) 1, (0) f 7 f( 1). (0) 0f nên PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c1(–1; 0) f(3) 10, (4) 17f f(3). (4) 0f nên PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c2
3;4 mà c1c2 nên phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thực2)
Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đ u nên chân đường cao SO của hình chóp là O = ACBD
Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC = a 2 OC a 2 2
SOC vuông tại O, có OC a 2,SCO 300 2
SO OC.tanSCO a 2. 3 a 6
2 3 6
Bài 4b:
1) f x( ) sin2 x2sinx5 f x( ) 2cos2 x2cosx PT f x( ) 0 2cos2xcosx 1 0
x x cos 1
1 cos
2
x k
x k
2
2 2
3
2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên ti p của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có b aq c , aq2
(a2b2)(b2c2) ( a2a q2 2)(a q2 2a q2 4)a q4 2(1q2 2) (1) (ab bc )2 ( .a aq aq aq . 2 2) a q4 2(1q2 2) (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (a2b2)(b2c2) ( ab bc )2.
Bài 5b:
1) Xét hàm số f x( ) ( m21)x4x31 f x( ) liên tục trên R với mọi m.
f( 1) m21, (0)f 1 f( 1). (0) 0f nên PT f x( ) 0 có it nhất một nghiệm c1 ( 1;0)
f(0) 1, (2) 16f m2 7 f(0). (2) 0f nên PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c2(0;2)
mà c1c2 phương trình đã cho cóít nhất hai nghiệm thực. 2)
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABC) và khoảng cách từ A đ n (ABC)
AA B' AA C c g c'
. .
A B' A C' .Gọi K là trung điểm BC AK BC và A’K BC (AA’K ) (A’BC) (AA’K),
O D
C
A B
S
K
C'
A C
B
A'
(2)
A BC AA K A K AH A K AH A BC ( ' ) ( ' ) ' , ' ( ' ) d A A BC( ,( ))AH
AH a
AH2 A A2 AB2 a2 a2 a2
1 1 1 4 1 5
5 '
d A A BC( ,( ' )) AH a 5 5
.
AK BC và A’K BC
(A BC ),(ABC)
A KA Trong AKA ta cóa AA A KA
AK a
1 2 tan
3 3
2
A KA 300
Đ 18
Câu N i dung Điểm
1.a (0.5đ)
x
x x
x 2
( 2)( 3) lim
2
0.25
= –1 0.25
1.b
(0.5đ)
x
x x
x 3
( 3) 1 2
lim
3
0.25
= 4 0.25
1.c
(0.5đ) x
x
x x x
2 2 1 1
lim
0.25
= –1 0.25
2
(1đ)
f(5) = A 0.25
x x x
x
f x x
x 2
5 5 5
25
lim ( ) lim lim( 5) 10 5
l 0.25
Hàm số liên tục tại x = 5
xlim ( )5f x f(5) 0.25
A = 10 0.25
3.a
(0.75đ)
y x x x x x x
x
2 2 2 2
2 2
(3 2 1) ( 1) (3 2 1)( 1) ( 1)
0.25
y x x x x x
x
2 2
2 2
(6 2)( 1) (3 2 1)2 ( 1)
0.25
y x x
x 2
2 2
2 4 2
( 1)
0.25
3.b
(0.75đ)
y
x .cos3x x(cos3 )x 0.25 y x x x x
x
1 cos3 sin3 (3 ) 2
0.25
y x x x
x
1 cos3 3 sin3 2
0.25
4.a
(1đ)
BC AB (ABC vuông tại B) 0.25
BC SA (SA (ABC)) 0.25
BC (SAB) 0.50
(3)
(1đ)
SB ABC,( )
SB AB,
SBA 0.25 SBA SA a SBA
AB a
0 3
tan 3 60 0.25
K t luận:
SB ABC,( )
600 0.254.c
(1đ)
AM SB (AM là đường cao tam giác SAB) 0.25
AM BC (BC (SAB)) 0.25
AM (SBC) 0.25
(AMN) (SBC) 0.25
5a
(1đ)
Đặt f x( )x53x45x2 f(x) liên tục trên đoạn [–2; 5] 0.25 f(–2) = –92, f(1) = 1, f(2) = –8, f(5) = 1273 0.25 f(–2).f(1) =–92 < 0, f(1).f(2) = –8 < 0, f(2).f(5) = –10184 < 0 0.25
K t luận 0.25
6a.a
(1đ)
y 4x2 x 5 0.25
y 0 4x2 x 5 0 0.25
Lậpbảng xét dấu 0.25
x ; 5
1;
4
0.25
5b
(1đ)
Đặt f x( ) 2 x36x1 f(x) liên tục trên đoạn [–2; 1] 0.25
f(–2) = –3, f(–1) = 5, f(1) = –3 0.25
f(–2).f(–1) = –15 < 0, f(–1).f(1) = –15 < 0 0.25
K t luận 0.25
6b.b
(1đ)
PTTT d: y y 0 f x( ).(0 x x 0) y
4x03620 1
12x0212x0
(x x 0) 0.25 A(–1; –9) d 9 4
x03620 1
12x2012x0
( 1 x0) 0.25 x x x x
x
3 2 0
0 0 0
0 5
8 6 12 10 0 4
1
0.25
K t luận: d1:y 15x 21
4 4
, d2:y24x15 0.25
Đ 19 Câu 1:
1)
x x x
x x x x x
x x x
x x 2
2
1 1 1
2 3 1 ( 1)(2 1) 2 1 1
lim lim lim
( 1)(4 ) 4 3
4 3
x x
x
x
x x x x
x
x x x x
x
x x x x
2 2
2 2
2 2
4 1
2) lim 2 2 2 3 lim
2 2 2 3
1 1
1 4
lim 2
2 2 2 3
1 1
Câu II:
x
khi x
f x x
x khi x
2
4 2
( ) 2 2
2 20 2
f(2) = –16
(4)
x x x
x x x
f x f x
x
2 2 2
(2 )(2 ) 2 2
lim ( ) 16, lim ( ) lim
2
x
x x
2
lim ( 2) 2 2 16
Vậy hàm số liên tục tại x = 2
Câu III:
1) f x x f x x x
x x x x
2
2 2 2
3 5 5 6 2
( ) ( )
1 ( 1)
2) f x( )
sin(tan(x41))
2
x
x
f x x x x
x x
3 4
3 4 4
2 4 2 4
4 sin2 tan( 1) 1
( ) 8 .sin tan( 1) . cos tan( 1)
cos ( 1) cos ( 1)
Câu IV:
1) CMR: (SAB) (SBC).
SA (ABCD) SA BC, BC AB
BC (SAB), BC (SBC) (SAB) (SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đ n đường thẳng SC.
Trong tam giác SAC có AH SC d A SC
AHAH2 SA2 OA2 a2 a2 a2
1 1 1 2 2 8
,
3 3
a
AH 6
4
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Vì ABCD là hình vuông nên AO BD, SO BD (SBD) ( ABCD)BD((SBD),(ABCD))SOA
Tam giác SOA vuông tại A
a SA
SOA SBD ABCD
OA a
0
6 2
tan 3 ( ),( ) 60
2 2
Câu Va: yx33x22x2 y3x26x2 1) BPT y' 2 3x26x 0 x ( ;0] [2; )
2) Vì ti p tuy n song song với đường thẳng d: x y 50 0 nên ti p tuy n có hệ số góc k = –1. Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của ti p điểm. Ta có: 3x026x0 2 1 x022x0 1 0 x0 1 Khi đó y0 2 phương trình ti p tuy n là y (x 1) 2 y x 3.
Câu Vb:
1) u33 và u5 27.
Gọi công bội của cấp số nhân là q cấp số nhân đó gồm 5 số hạng là u u q u q u q u q1, 1 , 1 2, 1 3, 1 4 Theo giả thi t ta có hệ u u q q q
q u q
2
1 2
1 4
1
3 3
9
3 27
Với q = 3 ta suy ra u1 1
3
cấp số nhân là: 1; 1; 3; 9; 27 3
Với q = –3 ta suy ra u1 1 3
cấp số nhân đó là: 1; 1; 3; 9; 27
3
2) f x( )a.cosx2sinx3x1 f x( ) 2cos x a .sinx3. PT f x( ) 0 2cosx a .sinx3 (*)
Phương trình (*) có nghiệm 22 ( )a 232a2 5 a
; 5
5;
.O A
B
D C
S
(5)
Câu I:
a)
n
n n
n n n
3 2
4 3 2.4
lim lim 2
4 3 3
1 4
b)
n n n
nn n n
n 2
2
2 2
lim 2 lim lim 1
2
2 1 1
c)
x x x
x x x x x
x x x
x x
2 2
3 3 3
3 10 3 ( 3)(3 1) 3 1
lim lim lim 8
( 2)( 3) 2
5 6
d)
x x x
x x
x x x x
1 1 1
3 1 2 3( 1) 3 3
lim lim lim
1 ( 1) 3 1 2 3 1 2 4
Câu II: a)
x x
khi x
f x x
a x khi x
2 3 18
3 3
3
.
f(3) = a+3
x x x x
x x x x
f x x
x x
2
3 3 3 3
3 18 ( 3)( 6)
lim ( ) lim lim lim( 6) 9
3 3
f(x) liên tục tại x = 3 a + 3 = 9 a = 6
b) Xét hàm số f x( )x33x24x7 f x( ) liên tục trên R.
f(–3) = 5, f(0) = –7 f( 3). (0) 0f PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( –3 ; 0 ). ( 3;0) ( 4;0) PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).
Câu III:
a) CMR: SO (ABCD), SA (PBD).
SO AC, SO BD SO (ABCD).
BD AC, BD SO BD (SAC) BD SA (1) OP SA, OP (PBD) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra SA (PBD). b) CMR: MN AD.
Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà OB và OC lần lượt là hình chi u của NB và NC trên (ABCD) NB = NC NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)
MN BC MN AD (vì AD // BC) c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
SO (ABCD) nên AO là hình chi u của SA trên (ABCD) Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là SAO.
a AO SAO
SA a
2 2 2
cos
2 4
d) CMR: 3 vec tơ BD SC MN, , đồng phẳng.
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng phẳng.
MN (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) BD SC MN, , đồng phẳng.
Câu IVa:
a) f x( )x33x4 f x( ) 3 x23 f (1) 0 PTTT: y2. E
F P
N
M O
D
C
A B
(6)
b) ysin2x y2sin .cosx xsin2x
Câu IVb:
a) f x( )x33x4 f x( ) 3 x23
Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của ti p điểm y0x303x04, f x( ) 30 x023 PTTT d là: y y 0 f x( )(0 x x 0) y(x033x0 4) (3x023)(x x 0) d đi qua M(1; 0) nên (x033x0 4) (3x203)(1x0) 2x033x20 1 0
x x 0 0
1 1 2 Với x0 1 y0 0, f x( ) 60 PTTT y6(x1)
Với x0 1 y0 45, f x( )0 15
2 8 4
PTTT: y 15x 15
4 4
b) ysin(cos(5x34x6)2011)