generalized cross validation GCV. Untuk model koefisien bervariasi, titik knot optimal dengan metode GCV ini, dipilih secara terpisah untuk masing – masing obyek dan kemudian selanjutnya
dimasukkan ke dalam model secara keseluruhan untuk mendapatkan estimasi spline secara simultan. Untuk masalah kemulusan kekasaran kurva regresi spline nonparametrik bergantung
pada pemilihan parameter penghalus λ. Pada nilai λ yang kecil maka kurvanya kasar atau sebaliknya, untuk nilai λ yang besar maka kurvanya akan menjadi mulus smooth, dimana
fungsi yang mulus akan terlihat jelas secara geometrik, ketika gradien dari kurva pada titik – titik knot tertentu tidak berubah dengan cepat Eubank, 1988 dan Wahba, 1990.
Parameter λ merupakan pengontrol dalam melihat kurva dan keseimbangan antara kesesuaian kurva terhadap data, sehingga pemilihan parameter λ yang optimal menjadi penting,
karena berkaitan dengan perolehan estimator yang optimal.
2.3 Basis B – Spline
Model regresi y
i
= gt
i
+
i
: i = 1,2,..,n, merupakan residual dan gt
i
adalah kurva regresi. Apabila digunakan pendekatan kurva spline truncated dikatakan regresi nonparametrik, maka
kurva regresi g dapat ditulis sebagai berikut : Eubank, 1988
∑ ∑
= −
+ =
−
− +
=
K j
m j
j m
i i
i
u t
t t
g
1 1
1 1
β α
2 dengan u
j
, j = 1,2,..,K, dengan u
1
u
2
… u
K
adalah titik knot dan m ε N integer non
negatif. Nilai m menunjukkan derajat spline truncated, yang juga merupakan potongan polynomial berderajat m–1 dengan m–2 turunan kontinyu di titik knot. Jika kurva regresi g
didekati dengan fungsi B – Spline maka g dapat ditulis menjadi :
Universitas Sumatera Utara
1 ,
t t
g
K m
j m
m j
j
∑
+ =
−
= β
γ 3
dengan B
j-m,m
merupakan basis B – Spline. Cara membangun fungsi B – Spline orde m dengan titik – titik knot
b u
u a
K j
...
adalah dengan terlebih dahulu mendefinisikan knot tambahan sebanyak 2m, yaitu
m K
m
u u
u u
+ −
− −
,.., ,
,...,
1 1
dimana
a u
u
m
= =
=
− −
1
...
dan b
u u
m K
K
= =
=
+ +
...
1
. Biasanya a diambil dari nilai minimum t dan b diambil dari nilai maksimum t. Fungsi B – Spline
didefinisikan secara rekursif sebagai berikut : Botella dan Shariff, 2003
1 ,
1 1
1 ,
1 ,
t B
u u
t u
t B
u u
u t
t B
m i
i m
i m
i m
i i
m i
i m
i −
+ +
+ +
− −
+
− −
+ −
− =
4
≥ ≤
=
+ j
j j
j j
u t
u t
u t
u t
B ,
, ,
1
1 1
,
5
dengan m adalah derajat dari B – Spline. Untuk m = 2 memberikan fungsi B – Spline linear, m = 3 memberikan fungsi B – Spline kuadratik dan m = 4 memberikan fungsi B – Spline kubik.
Untuk mengestimasi koefisien γ dapat didefinisikan matrik sebagai berikut :
K m
j n
i i
m j
t B
B
,.., 1
,.., 1
, −
− =
=
= λ
6 atau dapat ditulis sebagai berikut :
=
− −
− −
− −
− −
,..., ,...,
, ,
2 ,
1 1
, 1
, 2
1 ,
1 n
m K
n m
m n
m m
m K
m m
m m
t B
t B
t B
t B
t B
t B
B
λ 7
Jadi B λ adalah sebuah matrik berukuran n x m+K.
Sebagai gambaran untuk menjelaskan fungsi B – Spline, misalnya B – Spline linear m=2, dengan satu 1 titik knot, pada t = 5, dengan nilai t minimum 1 dan nilai t maksimum 10. Maka
langkahnya adalah menentukkan knot tambahan sebanyak 2m, yaitu diambil dari nilai minimum
Universitas Sumatera Utara
1 dan maksimum 10, sehingga knots menjadi 10
, 5
, 1
3 2
1 1
= =
= =
=
−
u u
u u
u , maka matrik yang
akan dibentuk adalah B λ =B
-1,2
t
i
,B
0,2
t
i
,B
1,2
t
i
, i = 1,2,..,n yaitu sebuah matrik dengan ukuran n x 3. Dengan persamaan 4, B
-1,2
t
i
dapat ditulis sebagai berikut :
1 5
5 1
1 1
1 ,
1 ,
1 2
, 1
t B
t t
B t
t B
− −
+ −
− =
− −
B
-1,1
t didefinisikan bernilai 0 karena u
-1
= u . Eubank, 1988. Dan B
0,1
t akan bernilai 1 pada t bernilai u
= 0 sampai dengan u
1
= 1, dan bernilai 0 untuk yang lain, sehingga dapat ditulis seperti persamaan 5 sebagai berikut :
−
=
−
4 5
2 ,
1
t t
B
10 5
5 1
, ≤
≤ t
t
Sedangkan untuk basis B
0,2
t dengan menggunakan persamaan 4 dapat ditulis sebagai berikut :
5 10
10 1
5 1
1 ,
1 1
, 2
,
t B
t t
B t
t B
− −
+ −
− =
dan dapat juga ditulis seperti persamaan 5 sebagai berikut :
≤ −
≤ −
= 10
5 ,
5 10
5 1
, 4
1
2 ,
t t
t t
t B
Untuk basis B
1,2
t
i
dapat menggunakan persamaan 4 dan dapat ditulis sebagai berikut :
10 10
10 5
10 5
1 ,
2 1
, 1
2 ,
1
t B
t t
B t
t B
− −
+ −
− =
5 5
1 ,
1 2
, 1
t B
t t
B −
=
dan dapat di tulis juga seperti persamaan 5 sebagai berikut :
− =
5 5
2 ,
1
t t
B 10
5 ,
5 1
, ≤
≤ t
t
Universitas Sumatera Utara
Untuk kurva B – Spline kuadratik dengan 2 titik knot, misalnya pada t = 3 dan t = 7 dapat dicari dengan cara yang serupa, dengan hasil sebagai berikut :
≤ ≤
−
≤ −
−
=
−
10 7
, 7
3 ,
24 7
3 1
, 12
3 13
1
2 3
, 1
t t
t t
t t
t B
Dengan cara yang serupa, dapat dibuat kurva B – Spline dengan berbagai m dan beberapa titik knots.
2.4 Multivarate Adaptive Regression Splines MARS
