Maka sistem yang terdiri dari n persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam persamaan matriks :
Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier adalah untuk mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan
yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Sistem baru ini umumnya didapatkan dalam satu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut
untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis.
1.Kalikankanlah persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. 2.Pertukarkanlah dua persamaan tersebut
3.Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer.
1.2 Perumusan
Masalah
Permasalahan adalah dari ketiga metode yang digunakan ingin dilihat metode mana dalam penyelesaiannya lebih efisien.
1.3 Tujuan
Penelitian
Di dalam penelitian ini lebih difokuskan melalui 3 metode yang akan digunakan dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linier yaitu eliminasi gauss, invers matrik,
10
Universitas Sumatera Utara
dan LU-decomposition. Melalui 3 metode ini akan dilihat metode mana yang paling simple dan efisien.
1.4 Manfaat
Penelitian
Adapun yang menjadi manfaat penelitian ini adalah dapat memberikan gambaran kepada pembaca dalam menyelesaikan sistem persamaan linier secara sederhana
dan efesien.
1.5 Tinjauan
Pustaka
Metode Eleminasi Gauss
[1] Pada bagian ini diberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem- sistem persamaan linier, prosedur tersebut didasarkan pada gagasan untuk
mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat di pecahkan dengan memeriksa sistem
tersebut.
Invers Matriks
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :
[4] Disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = I
n
. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A
-1
, merupakan matriks bujur sangkar berordo n.
LU Decomposition
11
Universitas Sumatera Utara
[3] Asumsikan bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam operasi matrik
SAx = b 1
Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi
matrik A. Atau dengan kata lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A,
A = LU 2
sehingga persamaan 1 menjadi
LUx = b
Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition,
diawali dengan menghadirkan vektor y dimana, Ux = y 3
Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung vektor x. Artinya, sebelum persamaan 3 dieksekusi, nilai-nilai yang
menempati elemen-elemen vektor y harus sudah diketahui. Ly = b 4
Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut:
¾ Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U
→ A = LU.
¾
Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses
forwardsubstitution atau substitusi-maju. ¾
Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses
backwardsubstitution atau substitusi-mundur.
Metode LU-decomposition bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, karena beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru
harus dipakai oleh LU-decomposition.
12
Universitas Sumatera Utara
1.6 Metodologi Penelitian
