Permasalahan Kombinatorial Dalam Menyelesaikan Sistem Linier
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam aljabar linier, untuk sistem yang besar berpotensi menghasilkan matriksmatriks yang buruk. Persyaratan penyimpanan untuk matriks besar dapat direduksi jika merupakan matriks sparse, yaitu jika memiliki banyak entri matriks
yang nol. Selanjutnya, waktu dan memori yang diperlukan untuk menyelesaikan
sistem besar dapat direduksi dengan preconditioning sistem sebelum menyelesaikannya (Chen, 2001).
Secara informal, untuk prasyarat sistem sebelum mengkomputasi solusi adalah dengan menghitung solusi untuk sistem peubah kemudian diubah menjadi
solusi dari masalah asli. Keuntungan dari penyelesaian modifikasi sistem adalah
dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat, penurunan waktu (running time),
persyaratan memori berkurang, atau beberapa kombinasi dari semuanya. Preconditioner yang diinginkan dapat bergantung pada masalah dan metode solusinya.
Berikut ini akan disajikan beberapa tinjauan tentang konsep dan literatur yang
melandasi penelitian ini, yaitu bentuk umum sistem linier (dalam tulisan ini sistem linier sama dengan sistem persamaan linier), teori graf dan matriks.
2.1 Sistem Sparse
Penelitian Chen (2001), matriks sparse yang dimisalkan dengan matriks yang
berukuran nxm yang memiliki cukup banyak entri nol dan untuk membuat penyimpanan hanya entri taknol, dan tidak semua entri nm. Algoritma sparse
yang mengabaikan elemen nol bisa lebih cepat dari bagian lain yang padat yang
beroperasi pada semua entri. Sebagai contoh, perhatikan diagonal matriks nxn.
Telihat jelas penyimpanan hanya terjadi pada entri diagonal n taknol yang lebih
mudah daripada menyimpan semua elemen matriks n2 .
Jelas algoritma yang mengabaikan unsur-unsur nol diluar diagonal dapat
jauh lebih efisien daripada yang tidak mengabaikannya. Sebagai contoh, jika
menghitung matriks diagonal waktu sebuah vektor, algoritma matriks padat stan5
Universitas Sumatera Utara
6
dar menghitung n perkalian dot dengan panjang n, sedangkan algoritma sparse
hanya beroperasi pada elemen taknol membutuhkan n perkalian skalar.
Chen (2001) juga menjelaskan matriks sparse muncul di banyak aplikasi. Sebagai contoh, ketika mensimulasi dampak penerapan panas ke piring atau aliran
udara di sekitar sayap pesawat udara, langkah pertama sering dilakukan adalah
memodelkan piring atau sayap dengan meletakkan mesh di atasnya. Mesh ini dapat dilihat sebagai sebuah graf tak berarah dengan v simpul dan e sisi. Jika graf
diterjemahkan menjadi matriks, matriks tersebut adalah matriks vxv dengan 2e
taknol. Dua simpul yang terhubung dengan sebuah sisi terjadi hanya jika simpul
tersebut dekat satu sama lain pada objek fisik, jumlah sisi jauh lebih kecil dari
v 2/2. Jika memodelkan piring persegi 2 dimensi dengan menempatkan mesh nxn
di atasnya, matriks akan memiliki v = n2 baris dan kolom, dan hanya 5n2 − 4n,
dan entri nol sebanyak n4 .
2.2 Preconditioner
Preconditioning merupakan tindakan untuk melakukan suatu tindakan lebih lanjut. Preconditioning berfungsi mengubah sistem sehingga sistem berubah menjadi
”lebih baik”. Sistem preconditioning sangat tergantung pada bagaimana algoritma
yang digunakan untuk memecahkan sistem preconditioning. Cara kerja preconditioning untuk metode iteratif dan metode langsung berbeda.
Pada metode langsung, solusi dihasilkan setelah melakukan beberapa langkah yang tetap. Metode langsung menghitung faktorisasi LU dari A untuk menemukan vektor x pada sistem linier Ax = b. Jika baris dan kolom dari A tidak
permutasi atau A = LU, vektor x dapat ditemukan dengan mencari y sehingga
Ly = b dan Ux = y. Preconditioner untuk metode langsung dilakukan untuk menemukan permutasi yang baik, misalnya ordering sparsity menemukan permutasi
yang mengurangi jumlah tak nol dalam L dan faktor U (Chen, 2001).
Pada metode iteratif, pemilihan preconditioning yang baik sangat penting
karena konvergen setiap iterasi tidak sama. Preconditioner pada metode iteratif
juga mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi, pengurangan
Universitas Sumatera Utara
7
satu iterasi dapat dihitung lebih efisien. Preconditioner tidak hanya dinilai dari
seberapa baik dapat meningkatkan kinerja penyelesaian, tetapi juga seberapa besar biaya komputasi dan menerapkan preconditioner itu.
Karena preconditioner harus dihitung terlebih dahulu sebelum menyelesaikan
sistem modifikasi, maka preconditioner harus mudah untuk dihitung. Perhatikan
bahwa jika banyak sistem yang serupa harus diselesaikan dan preconditioner yang
sama digunakan untuk sistem tersebut, biaya komputasi preconditioner dapat berpotensi diamortisasi. Setelah menyelesaikan sistem yang dipreconditioning, efek
preconditioner harus dibatalkan untuk memulihkan solusi masalah asli. Selanjutnya jika preconditioner akan diterapkan di setiap iterasi pada algoritma, seperti
preconditioner LU tidak lengkap, penerapan preconditioner semestinya tidak sulit.
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam Menyelesaikan Sistem Linier
Berikut beberapa penelitian tentang permasalahan kombinatorik dalam menyelesaikan sistem linier.
1. Parallel algorithms for sparse linier systems (Heath et al., 1991) tentang
algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse dengan membahas isu
yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah utama dari penyelesaian langsung.
2. Combinatorial aspects in sparse elimination methods (Bollhofer dan Schenk,
2004) memberikan gambaran aspek kombinatorial dari faktorisasi LU.
3. Combinatorial scientific computing: The enabling power of discrete algorithms in computational science (Hendrickson dan Pothen, 2007) fokus pada
peran algoritma kombinatorial dalam komputasi ilmiah, menjelaskan berbagai aplikasi: komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse,
diferensiasi otomatis untuk optimasi, fisika statistik, kimia komputasi, bioinformatika, dan pengolahan informasi.
4. Combinatorial problems in solving linier systems (Duff dan Ucar, 2009)
meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse dan kombinatorika. Se-
Universitas Sumatera Utara
8
bagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi matriks sparse dengan graf sehingga sebagian algoritma berhubungan dengan matriks sparse
memiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma pada
graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi langsung persamaan linier sparse dan solusi dengan metode iteratif, terutama
berfokus pada preconditioning.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam aljabar linier, untuk sistem yang besar berpotensi menghasilkan matriksmatriks yang buruk. Persyaratan penyimpanan untuk matriks besar dapat direduksi jika merupakan matriks sparse, yaitu jika memiliki banyak entri matriks
yang nol. Selanjutnya, waktu dan memori yang diperlukan untuk menyelesaikan
sistem besar dapat direduksi dengan preconditioning sistem sebelum menyelesaikannya (Chen, 2001).
Secara informal, untuk prasyarat sistem sebelum mengkomputasi solusi adalah dengan menghitung solusi untuk sistem peubah kemudian diubah menjadi
solusi dari masalah asli. Keuntungan dari penyelesaian modifikasi sistem adalah
dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat, penurunan waktu (running time),
persyaratan memori berkurang, atau beberapa kombinasi dari semuanya. Preconditioner yang diinginkan dapat bergantung pada masalah dan metode solusinya.
Berikut ini akan disajikan beberapa tinjauan tentang konsep dan literatur yang
melandasi penelitian ini, yaitu bentuk umum sistem linier (dalam tulisan ini sistem linier sama dengan sistem persamaan linier), teori graf dan matriks.
2.1 Sistem Sparse
Penelitian Chen (2001), matriks sparse yang dimisalkan dengan matriks yang
berukuran nxm yang memiliki cukup banyak entri nol dan untuk membuat penyimpanan hanya entri taknol, dan tidak semua entri nm. Algoritma sparse
yang mengabaikan elemen nol bisa lebih cepat dari bagian lain yang padat yang
beroperasi pada semua entri. Sebagai contoh, perhatikan diagonal matriks nxn.
Telihat jelas penyimpanan hanya terjadi pada entri diagonal n taknol yang lebih
mudah daripada menyimpan semua elemen matriks n2 .
Jelas algoritma yang mengabaikan unsur-unsur nol diluar diagonal dapat
jauh lebih efisien daripada yang tidak mengabaikannya. Sebagai contoh, jika
menghitung matriks diagonal waktu sebuah vektor, algoritma matriks padat stan5
Universitas Sumatera Utara
6
dar menghitung n perkalian dot dengan panjang n, sedangkan algoritma sparse
hanya beroperasi pada elemen taknol membutuhkan n perkalian skalar.
Chen (2001) juga menjelaskan matriks sparse muncul di banyak aplikasi. Sebagai contoh, ketika mensimulasi dampak penerapan panas ke piring atau aliran
udara di sekitar sayap pesawat udara, langkah pertama sering dilakukan adalah
memodelkan piring atau sayap dengan meletakkan mesh di atasnya. Mesh ini dapat dilihat sebagai sebuah graf tak berarah dengan v simpul dan e sisi. Jika graf
diterjemahkan menjadi matriks, matriks tersebut adalah matriks vxv dengan 2e
taknol. Dua simpul yang terhubung dengan sebuah sisi terjadi hanya jika simpul
tersebut dekat satu sama lain pada objek fisik, jumlah sisi jauh lebih kecil dari
v 2/2. Jika memodelkan piring persegi 2 dimensi dengan menempatkan mesh nxn
di atasnya, matriks akan memiliki v = n2 baris dan kolom, dan hanya 5n2 − 4n,
dan entri nol sebanyak n4 .
2.2 Preconditioner
Preconditioning merupakan tindakan untuk melakukan suatu tindakan lebih lanjut. Preconditioning berfungsi mengubah sistem sehingga sistem berubah menjadi
”lebih baik”. Sistem preconditioning sangat tergantung pada bagaimana algoritma
yang digunakan untuk memecahkan sistem preconditioning. Cara kerja preconditioning untuk metode iteratif dan metode langsung berbeda.
Pada metode langsung, solusi dihasilkan setelah melakukan beberapa langkah yang tetap. Metode langsung menghitung faktorisasi LU dari A untuk menemukan vektor x pada sistem linier Ax = b. Jika baris dan kolom dari A tidak
permutasi atau A = LU, vektor x dapat ditemukan dengan mencari y sehingga
Ly = b dan Ux = y. Preconditioner untuk metode langsung dilakukan untuk menemukan permutasi yang baik, misalnya ordering sparsity menemukan permutasi
yang mengurangi jumlah tak nol dalam L dan faktor U (Chen, 2001).
Pada metode iteratif, pemilihan preconditioning yang baik sangat penting
karena konvergen setiap iterasi tidak sama. Preconditioner pada metode iteratif
juga mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi, pengurangan
Universitas Sumatera Utara
7
satu iterasi dapat dihitung lebih efisien. Preconditioner tidak hanya dinilai dari
seberapa baik dapat meningkatkan kinerja penyelesaian, tetapi juga seberapa besar biaya komputasi dan menerapkan preconditioner itu.
Karena preconditioner harus dihitung terlebih dahulu sebelum menyelesaikan
sistem modifikasi, maka preconditioner harus mudah untuk dihitung. Perhatikan
bahwa jika banyak sistem yang serupa harus diselesaikan dan preconditioner yang
sama digunakan untuk sistem tersebut, biaya komputasi preconditioner dapat berpotensi diamortisasi. Setelah menyelesaikan sistem yang dipreconditioning, efek
preconditioner harus dibatalkan untuk memulihkan solusi masalah asli. Selanjutnya jika preconditioner akan diterapkan di setiap iterasi pada algoritma, seperti
preconditioner LU tidak lengkap, penerapan preconditioner semestinya tidak sulit.
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam Menyelesaikan Sistem Linier
Berikut beberapa penelitian tentang permasalahan kombinatorik dalam menyelesaikan sistem linier.
1. Parallel algorithms for sparse linier systems (Heath et al., 1991) tentang
algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse dengan membahas isu
yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah utama dari penyelesaian langsung.
2. Combinatorial aspects in sparse elimination methods (Bollhofer dan Schenk,
2004) memberikan gambaran aspek kombinatorial dari faktorisasi LU.
3. Combinatorial scientific computing: The enabling power of discrete algorithms in computational science (Hendrickson dan Pothen, 2007) fokus pada
peran algoritma kombinatorial dalam komputasi ilmiah, menjelaskan berbagai aplikasi: komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse,
diferensiasi otomatis untuk optimasi, fisika statistik, kimia komputasi, bioinformatika, dan pengolahan informasi.
4. Combinatorial problems in solving linier systems (Duff dan Ucar, 2009)
meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse dan kombinatorika. Se-
Universitas Sumatera Utara
8
bagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi matriks sparse dengan graf sehingga sebagian algoritma berhubungan dengan matriks sparse
memiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma pada
graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi langsung persamaan linier sparse dan solusi dengan metode iteratif, terutama
berfokus pada preconditioning.
Universitas Sumatera Utara