[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
1
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
BAB INTEGRAL
A. Pengertian Integral
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep
integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum
= 2
3
. Setiap fungsi ini memiliki turunan
′
= 6
2
. Jadi, turunan fungsi = 2
3
adalah
′
= 6
2
. Menentukan fungsi
dari ′ , berarti menentukan antiturunan
dari
′
. Sehingga, integral merupakan antiturunan antidiferensial atau operasi invers terhadap diferensial.
Jika adalah fungsi umum yang bersifat
′
= , maka merupakan antiturunan atau integral dari
�
′
= .
B. Integral Tak Tentu
1. Pengertian Integral Tak Tentu
Pengintegralan fungsi yang ditulis sebagai
∫ disebut integral tak tentu dari
. Jika � anti turunan dari , maka
= +
Keterangan: ∫
= notasi integral yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman
= fungsi integran = fungsi integral umum yang bersifat
′
= � =konstanta pengintegralan
Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
2
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut.
a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar
Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
1
= , didapat
1
′ = 1 Jadi, jika
1 ′
= 1 maka
1
= ∫
1 ′
= +
1
2
=
1 2
, didapat
2
′ = Jadi, jika
2 ′
= maka
2
= ∫
2 ′
=
1 2
+
2
Dari uraian ini, tampak bahwa jika
′
= , maka =
1 +1
+1
+ atau dapat dituliskan ∫
=
1 +1
+1
+ , ≠ 1
. Sebagai contoh, turunan fungsi
= 2
2
+ adalah
′
= 4 . Ini berarti, antiturunan dari
′
= 4 adalah
= 2
2
+ atau dituliskan ∫
′
= 2
2
+ . Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.
Jika ′ = , maka =
1 +1
+1
+ , ≠ −1
dengan suatu konstanta. Misalnya
� konstanta real sembarang, dan merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku:
a ∫
= +
b ∫ �
= � ∫
c ∫ ± = ∫ ±
d ∫
=
+1 +1
+
Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut.
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
3
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Contoh: 1.
Selesaikan integral berikut a
∫
3
b ∫
3 2
c ∫ 2
3
4
d ∫ 6
2
+ 2 − 3
Jawab: a
∫
3
=
1 3+1
3+1
+ =
1 4
4
+ b
∫
3 2
=
1
3 2
+1
3 2
+1
+ =
2 5
5 2
+ c
∫ 2
3
4
= 2 ∫
3 4
= 2 ∙
3 4
+1 3
4
+1
+ =
8 7
2 4
+ d
∫ 6
2
+ 2 − 3
= ∫ 6
2
+ ∫ 2
− ∫ 3 = 2
3
+
3
− 3 +
b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih
memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut : Tabel Turunan Fungsi Trigonometri
�� �
′
� � �
cos
� � − sin
� �
2
�� �
tan . sec
� � −
2
� � � − cot . csc
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
4
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut.
∫ cos = sin
+ � ∫ sin = − cos + �
∫
2
= tan +
�
2
= − cot + �
tan . sec = sec + �
cot . csc =
− csc + �
Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi :
a. ∫ cos +
=
1
sin + + �
b. ∫ sin +
= −
1
cos + + �
c. ∫
2
+ =
1
tan + + �
d. ∫ tan + . sec +
=
1
sec + + �
e. ∫
2
+ =
−
1
cot + + �
f. ∫ cot + . csc +
= −
1
csc + + �
Contoh 1.2 Selesaikan integral berikut
1. ∫2 sin + 3
2. ∫
2
2 − 1
3. ∫ �
2
4. ∫sin + cos
2
5. ∫ sin 4 . cos 2
�
2
= 1
2 −
1 2
cos 2
2
= 1
2 +
1 2
cos 2
Ingat kembali
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
5
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
6. ∫ sec . tan
7. ∫ 2 sin 3
Penyelesaian : 1.
∫2 sin + 3 = 2 ∫ sin + ∫ 3 = −2 cos + 3 + � 2.
∫
2
2 − 1 = ∫
2
2 − ∫ =
1 2
tan 2 − + �
3. ∫ �
2
= ∫
1 2
−
1 2
cos 2 =
1 2
−
1 4
2 + �
4. ∫sin + cos
2
= ∫ �
2
+ 2 sin . cos +
2
= ∫1 + 2 sin . cos
= ∫1 + sin 2
= −
1 2
cos 2x + C
5. ∫ sin 4 . cos 2
= 1
2 sin 6 + sin 2
= 1
2 sin 6 + sin 2
= 1
2 −
1 6
cos 6 −
1 2
cos 2 + �
= −
1 12
cos 6 −
1 4
cos 2 + �
6. ∫ sec . tan
= sec +
� 7.
∫ 2 sin 3 = 2
∫ sin 3
= −
2 3
3 + �
�
2
+
2
= 1
2
+ 1 =
2 2
+ 1 =
2
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
6
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
2. Penerapan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan di bawah ini :
1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan.
2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda
pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan
a. Hubungan anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.
= sehingga
= ∫
dan =
sehingga =
∫
Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini
1. Diketahui
′
= 6
2
− 10 + 3 dan −1 = 2. Tentukan . Jawab :
′
= 6
2
− 10 + 3 = 6
2
− 10 + 3 = 2
3
− 5
2
+ 3 + �
−1 = 2 2 = 2
−1
3
− 5 −1
2
+ 3 −1 + �
2 = −2 − 5 − 3 + �
� = 12 Jadi,
= 2
3
− 5
2
+ 3 + 12 2.
Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan
= 2 − 1, dalam
2
dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda
= 5 dan posisi benda saat = 6 adalah = 92 , maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik
Jawab : = 2
− 1 =
= 2 − 1
=
2
− + �
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
7
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Kecepatan awal benda 5
−1
, artinya saat t = 0 nilai v = 5
=0
= 5
2
− 0 + � = 5 � = 5
Sehingga, =
2
− + 5
= =
2
− + 5
= 1
3
3
− 1
2
2
+ 5 + �
=6
= 92 1
3 6
3
− 1
2 6
2
+ 5 6 + = 92
72 − 18 + 30 + = 92
84 + = 92
= 8 Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan
= 1
3
3
− 1
2
2
+ 5 + 8
C. Integral Tertentu
Jika fungsi =
kontinu pada interval , maka:
= � = � − �
dengan � adalah anti turunan dari dalam
. Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dengan sebagai batas bawah dan
sebagai batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
8
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Misalnya dan merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval
tertutup , , maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai
berikut. 1.
∫ = 0
2. ∫ �.
= � ∫ , � = konstanta
3. ∫ ±
= ∫
± ∫
4. ∫
= − ∫
5. ∫
+ ∫
= ∫
Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contoh-contoh berikut.
Contoh : 1.
Hitunglah hasil integral berikut a.
∫ 6
2 3
Jawab : 6
2 3
= 6
2
= 6. 1
3
3 3
3
= 6 1
3 . 3
3
− 1
3 . 0
3
= 6 9 − 0 = 54
b. ∫
2
+ 2 − 3
3 1
Jawab :
2
+ 2 − 3
=
2
+ 2
3 1
3 1
3 1
− 3 =
1 3
3 1
3 3
1
+
2 1
3
− 3
1 3
= 1
3 . 3
3
− 1
3 . 1
3
+ 3
2
− 1
2
− 3.3 − 3.1 =
9 − 1
3 + 9 − 1 − 9 − 3 =
26 3
+ 8 − 6
= 32
3 = 10
2 3
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
9
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut
2 sin + 6 cos
� 4
−
� 2
Jawab :
2 � + 6
� 4
−
� 2
= −2
+ 6 �
−
� 2
� 4
= −2 cos
� 4
+ 6 sin �
4 — 2 cos −
� 2
+ 6 sin − �
2
= − 2 + 3 2 − 0 − 6 = 6 + 2 2
3. Jika ∫ 2 − 5
= 18
� 1
untuk � 0 maka tentukan nilai � + 1
Jawab: 2 − 5
= 18
� 1
2
− 5
1 �
= 18 �
2
− 5� − 1 − 5 = 18 �
2
− 5� + 4 − 18 = 0 �
2
− 5� − 14 = 0 � − 7 � + 2 = 0
� = 7 atau � = −2 tidak memenuhi maka nilai
� + 1 = 7 + 1 = 8.
4.
x
2 2
cos
dx jawab:
x
2 2
cos
dx =
2 cos
1 2
1
2
x
dx =
2
2 sin
4 1
2 1
x
x
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
10
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
=
2
2 sin
4 1
2 .
2 1
=
4 4
1 2
2 1
D. Teknik-Teknik Pengintegralan