[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
10
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
=
2
2 sin
4 1
2 .
2 1
=
4 4
1 2
2 1
D. Teknik-Teknik Pengintegralan
Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut
diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan
fungsi seperti itu, yaitu integral subtitusi dan integral parsial.
1. Integral Substitusi
a Bentuk Subtitusi-1
Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus
∫ =
+1 +1
+ .Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan
rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang
disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih
sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.
Contoh soal. 1.
∫5 − 2
3
2. ∫
2
− 1 + 3
5
3.
dx
x x
4 2
3 2
Jawab : 1.
∫5 − 2
3
Misal: = 5
− 2
=
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
11
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI = 5
→ =
1 5
Sehingga 5 − 2
3
=
3
1 5
= 1
5
3
= 1
5 1
4
4
+ =
1 20
5 − 2
4
+ Jadi,
∫ 5 − 2
3
=
1 20
5 − 2
4
+ �
2. ∫
2
− 1 + 3
5
Misal =
+ 3 →
= =
− 3 Sehingga
∫
2
− 1 + 3
5
= ∫ − 3
2
− 1
5
=
2
− 6 + 8
5
=
7
− 6
6
+ 8
5
= 1
8
8
− 6
7
7
+ 4
3
6
+ �
= 1
8 + 3
8
− 6
7 + 3
7
+ 4
3 + 3
6
+ �
Jadi, ∫
2
− 1 + 3
5
=
1 8
+ 3
8
−
6 7
+ 3
7
+
4 3
+ 3
6
+ �
3.
dx
x x
4 2
3 2
Misalkan u = 3
2
x
, maka
x dx
du 2
atau
x du
dx 2
Sehingga diperoleh,
dx
x x
4 2
3 2
=
x du
u x
2 2
4
=
du u
4
=
C u
5
5 1
=
C x
5 2
3 5
1
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
12
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI b
Integral yang Memuat Bentuk �
�
− �
�
, �
�
+ �
�
, �
�
− �
�
Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk- bentuk
2
−
2
,
2
+
2
dan
2
−
2
, kita menggunakan teknik integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya,
perhatikan dengan baik tabel berikut.
Bentuk Subsitusi
Hasil
2
−
2
= sin
�
2
−
2
= cos
�
2
+
2
= tan
�
2
+
2
= sec
�
2
−
2
= sec
�
2
−
2
= �
Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri, perhatikan contoh berikut.
1 4 −
2 2
Misal = 2 sin
� , maka sin � =
2
= 2 cos � �
Batas Integral 2
� �
2
Sehingga 1
4 −
2 2
= 2
� � 4 − 4 �
2
�
� 2
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
13
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI =
2 cos �
2 cos �
�
� 2
= � = �
� 2
� 2
= �
2
2. Integral Parsial
Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut
dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.
Perhatikan uraian berikut. Misalnya,
= ∙ dengan , , dan fungsi dari , maka
=
′
∙ + . ′ =
∙ + ∙ =
1 +
= +
= +
= +
= +
= −
Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah sebagai berikut.
= −
[ MATERI INTEGRAL
]
oleh Kelompok 3
14
1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Contoh soal: 1.
∫
2
cos Jawab:
1. ∫
2
cos Misal
=
2
→ = 2
= cos → = sin
Sehingga
2
cos =
2
sin − sin 2
=
2
sin − sin
=
2
sin − 2−
+ sin + =
2
sin + 2 cos
− sin +
E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu
