Pengertian Integral Tak Tentu

[ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 1 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

BAB INTEGRAL

A. Pengertian Integral

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum = 2 3 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ′ = 6 2 . Jadi, turunan fungsi = 2 3 adalah ′ = 6 2 . Menentukan fungsi dari ′ , berarti menentukan antiturunan dari ′ . Sehingga, integral merupakan antiturunan antidiferensial atau operasi invers terhadap diferensial. Jika adalah fungsi umum yang bersifat ′ = , maka merupakan antiturunan atau integral dari � ′ = .

B. Integral Tak Tentu

1. Pengertian Integral Tak Tentu

Pengintegralan fungsi yang ditulis sebagai ∫ disebut integral tak tentu dari . Jika � anti turunan dari , maka = + Keterangan: ∫ = notasi integral yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman = fungsi integran = fungsi integral umum yang bersifat ′ = � =konstanta pengintegralan Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu [ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 2 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut. a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.  1 = , didapat 1 ′ = 1 Jadi, jika 1 ′ = 1 maka 1 = ∫ 1 ′ = + 1  2 = 1 2 , didapat 2 ′ = Jadi, jika 2 ′ = maka 2 = ∫ 2 ′ = 1 2 + 2 Dari uraian ini, tampak bahwa jika ′ = , maka = 1 +1 +1 + atau dapat dituliskan ∫ = 1 +1 +1 + , ≠ 1 . Sebagai contoh, turunan fungsi = 2 2 + adalah ′ = 4 . Ini berarti, antiturunan dari ′ = 4 adalah = 2 2 + atau dituliskan ∫ ′ = 2 2 + . Uraian ini menggambarkan hubungan berikut. Jika ′ = , maka = 1 +1 +1 + , ≠ −1 dengan suatu konstanta. Misalnya � konstanta real sembarang, dan merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku: a ∫ = + b ∫ � = � ∫ c ∫ ± = ∫ ± d ∫ = +1 +1 + Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut. [ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 3 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Contoh: 1. Selesaikan integral berikut a ∫ 3 b ∫ 3 2 c ∫ 2 3 4 d ∫ 6 2 + 2 − 3 Jawab: a ∫ 3 = 1 3+1 3+1 + = 1 4 4 + b ∫ 3 2 = 1 3 2 +1 3 2 +1 + = 2 5 5 2 + c ∫ 2 3 4 = 2 ∫ 3 4 = 2 ∙ 3 4 +1 3 4 +1 + = 8 7 2 4 + d ∫ 6 2 + 2 − 3 = ∫ 6 2 + ∫ 2 − ∫ 3 = 2 3 + 3 − 3 + b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut : Tabel Turunan Fungsi Trigonometri �� � ′ � � � cos � � − sin � � 2 �� � tan . sec � � − 2 � � � − cot . csc [ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 4 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut. ∫ cos = sin + � ∫ sin = − cos + � ∫ 2 = tan + � 2 = − cot + � tan . sec = sec + � cot . csc = − csc + � Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi : a. ∫ cos + = 1 sin + + � b. ∫ sin + = − 1 cos + + � c. ∫ 2 + = 1 tan + + � d. ∫ tan + . sec + = 1 sec + + � e. ∫ 2 + = − 1 cot + + � f. ∫ cot + . csc + = − 1 csc + + � Contoh 1.2 Selesaikan integral berikut 1. ∫2 sin + 3 2. ∫ 2 2 − 1 3. ∫ � 2 4. ∫sin + cos 2 5. ∫ sin 4 . cos 2 � 2 = 1 2 − 1 2 cos 2 2 = 1 2 + 1 2 cos 2 Ingat kembali [ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 5 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 6. ∫ sec . tan 7. ∫ 2 sin 3 Penyelesaian : 1. ∫2 sin + 3 = 2 ∫ sin + ∫ 3 = −2 cos + 3 + � 2. ∫ 2 2 − 1 = ∫ 2 2 − ∫ = 1 2 tan 2 − + � 3. ∫ � 2 = ∫ 1 2 − 1 2 cos 2 = 1 2 − 1 4 2 + � 4. ∫sin + cos 2 = ∫ � 2 + 2 sin . cos + 2 = ∫1 + 2 sin . cos = ∫1 + sin 2 = − 1 2 cos 2x + C 5. ∫ sin 4 . cos 2 = 1 2 sin 6 + sin 2 = 1 2 sin 6 + sin 2 = 1 2 − 1 6 cos 6 − 1 2 cos 2 + � = − 1 12 cos 6 − 1 4 cos 2 + � 6. ∫ sec . tan = sec + � 7. ∫ 2 sin 3 = 2 ∫ sin 3 = − 2 3 3 + � � 2 + 2 = 1 2 + 1 = 2 2 + 1 = 2 [ MATERI INTEGRAL ] oleh Kelompok 3 6 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

2. Penerapan Integral Tak Tentu