KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER
DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F)
DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT
(Skripsi)
Oleh
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2015
ABSTRACT
THE CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATORS
GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DISTRIBUTION
WITH THE GENERALIZED METHOD OF MOMENT ESTIMATION
By
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
Generalized F-3 parameters (G3F) distribution have three parameters:
The parameter is scale parameter which is a numerical parameter
that indicates the amount of data distribution, whereas
and
parameter is a
shape parameter which is a numerical parameter that show the shape of the curve.
The parameter estimators of G3F distribution is obtained by using Generalized
Method of Moment in form
, where r is taken equal to 0 and taken
which not necessarily integers and positive. After obtained
the parameter estimators of
, then examined the characteristics of
these estimators which include unbiased, minimum variance, and consistent. By
using the form
can also be obtained asymptotic variances and covariance
matrix of the parameter estimators of
, that is seek variance and
̂ .
covariance of the sample moments ̂ ̂
Keywords : generalized F-3 parameters (G3F) distribution, generalized
method of moment, unbiased, minimum variance, consistent.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER
DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F)
DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT
Oleh
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
Distribusi Generalized F-3 parameter
mempunyai tiga parameter yaitu
. Parameter merupakan parameter skala, yakni parameter numerik
yang menunjukan besarnya distribusi data, sedangkan parameter
merupakan parameter bentuk, yakni parameter numerik yang menunjukan bentuk
dari kurva. Penduga dari parameter distribusi G3F diperoleh dengan
menggunakan metode pendugaaan Generalized Moment dari bentuk
dimana r
yang tidak harus
diambil sama dengan 0 dan diambil
bilangan bulat maupun positif. Setelah diperoleh penduga parameter
, kemudian diperiksa karakteristik dari masing-masing penduga
tersebut yakni meliputi sifat tak bias, varians minimum, dan konsisten. Dengan
menggunakan bentuk
tersebut juga dapat diperoleh matriks varians dan
kovarians asimtotik dari penduga
yakni dengan mencari varians
̂ .
dan kovarians dari momen sample ̂ ̂
Kata Kunci
: distribusi generalized F 3- parameter (G3F), metode
generalized moment, tak bias, varians minimum, konsisten.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Metro pada tanggal 27 Agustus 1993 dari bapak
bernama Birnadus Parsidi dan ibu Theresia Sarmini. Penulis terlahir dengan nama
Annastasia Nika Susanti yang merupakan anak pertama dan terakhir dari
pasangan tersebut. Penulis menganut agama Katolik sesuai dengan agama dan
kepercayaan yang dimiliki oleh orangtua penulis.
Penulis memulai pendidikannya dari
Taman Kanak-Kanak di TK Dharma
Wanita, Metro Utara pada tahun 1998 dan lulus pada tahun 1999. Kemudian
penulis melanjutkan pendidikan ke tingkat Sekolah Dasar, yakni di SD Negeri 5
Metro Utara dan lulus pada tahun 2005. Selanjutnya penulis melanjutkan
pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro dan tamat
pada tahun 2008. Setelah lulus dari bangku SMP, penulis kemudian melanjutkan
pendidikannya di SMA Negeri 1 Kota Metro dan lulus pada tahun 2011.
Kemudian penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Lampung pada tahun 2011 melalui
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi (SNMPTN) jalur Undangan.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi asisten pada mata kuliah
Statistika Dasar dan Statistika Matematika. Penulis juga pernah mengikuti
Olimpiade Nasional (ON) MIPA pada tahun 2013 di Palembang. Selain itu,
penulis juga aktif di organisasi jurusan (HMJ), yakni pernah menjadi anggota
muda HIMATIKA pada tahun 2011-2012, anggota bidang Keilmuan HIMATIKA
periode 2012-2013 dan periode 2013-2014. Penulis telah mengikuti Kuliah Kerja
Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib untuk Strata Satu di Desa
Labuhan Ratu Tujuh, Kecamatan Labuhan Ratu, Kabupaten Lampung Timur yang
dilaksanakan pada tanggal 20 Januari 2014 hingga 02 Maret 2014, sebagai bentuk
pengabdian kepada masyarakat. Selanjutnya pada tanggal 11 Agustus 2014
sampai 29 Agustus 2014, penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan
Pusat Statistik (BPS) Kota Metro, sebagai bentuk penerapan pada bidang ilmu
yang telah dipelajari.
ix
MOTO
“Setiap masalah yang datang dalam hidup adalah jalan
Tuhan menyiapkan dirimu untuk masa depan. Tuhan
tahu apa yang terbaik untukmu”
~Choi Siwon~
“All things are possible to them who believes”
“Never give up no matter what you
encounter”
~Choi Minho~
PERSEMBAHAN
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
dengan rahmat dan kuasa-Nya skripsi ini dapat
terselesaikan, dan dengan setulus hati, ku persembahkan
skripsi ini teruntuk:
Orangtuaku tercinta,Bapak (Birnadus Parsidi)
dan Ibu (Theresia Sarmini) yang selalu memberikan
kasih sayang, dukungan, dan doa yang tiada henti.
Keluarga besar serta sanak saudara-ku yang telah
banyak memberi semangat dan do’a kepadaku.
Seluruh teman-teman seperjuangan angkatan
2011, atas kebersamaan, keceriaan, semangat, serta
do’a kalian kepadaku.
Dosen serta staff Jurusan Matematika Fakultas
Metematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Almamater Tercinta.
xii
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai salah
satu syarat penulis
untuk meraih gelar Sarjana Sains (S.Si) pada jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantu
dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan
terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, utamanya kepada:
1.
Bapak Warsono, Ph.D selaku dosen pembimbing pertama yang telah
memberikan bimbingan, memberikan ide, kritik dan saran kepada penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Ibu Dian Kurniasari, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing kedua
terimakasih atas segala masukan, motivasi dan kesabaran dalam
membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi ini.
3.
Bapak Amanto, M.Si selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah
banyak memberikan saran dan kritik kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
4.
Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Mustofa Usman,M.A., Ph.D selaku Pembimbing Akademik.
7.
Ibu Widiarti,S.Si., M.Si. atas motivasi, semangat, dukungan, dan
bantuannya kepada penulis dalam meyelesaikan skripsi ini.
8.
Bapak dan Ibu tercinta serta sanak saudaraku yang selalu memberikan
motivasi, dukungan, semangat serta do’a kepada penulis.
9.
Sahabat-sahabatku “Uno &Volunteer“ (Umi, Okta, Dewa, Inggit, Eko dan
Bram)
yang banyak
memberikan keceriaan, semangat, motivasi,
dukungan, saran, dan kritik kepada penulis.
10.
Teman-teman satu kostan yakni Citra, Tari, Dhanti, dan Dila yang telah
membantu, menghibur, serta menyemangati penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
11.
Teman-teman satu bimbinganku, Andzirnie, Dian, Rizka, Dewi, dan Ofi
terimakasih atas semangat dan kebersamaanya selama ini.
12.
Teman-teman seperjuangan angkatan 2011, Eka, Helmi, dan lain-lain
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas motivasi
kalian selama ini kepada penulis.
13.
Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
persatu, atas motivasi dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, Februari 2015
Penulis
Annastasia Nika Susanti
xiv
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
I.
xvii
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................
1
1.2 Batasan Masalah..............................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ..........................................................................
3
4
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Generalized F-3 Parameter (G3F) ................................
2.1.1. Nilai Harapan dari Distribusi G3F......................................
2.1.2. Ragam dari Distribusi G3F .................................................
2.2 Metode Generalized Moment .........................................................
2.3 Karakteristik Penduga ....................................................................
2.3.1. Tak Bias ...............................................................................
2.3.2. Varians Minimum ................................................................
2.3.2.1. Informasi Fisher......................................................
2.3.2.2. Matriks Informasi Fisher ........................................
2.3.2.3. Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) .......................
2.3.3. Konsisten ..............................................................................
2.4 Matriks Varians dan Kovarians Asimtotik dari Distribusi G3F dengan
Metode Generalized Moment .........................................................
5
6
8
9
10
10
10
11
11
12
12
13
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .........................................................
3.3 Metode Penelitian............................................................................
15
15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
………....
4.1 Grafik Distribusi Generalied F-3 Parameter
4.1.1. Grafik dengan meningkat,
tetap, dan
tetap ...........
4.1.2. Grafik dengan tetap,
meningkat, dan
tetap ............
4.1.3. Grafik dengan tetap,
tetap dan
meningkat .............
17
17
18
19
4.1.4. Grafik dengan meningkat,
menurun dan
tetap.......
4.1.5. Grafik dengan tetap,
menurun dan
meningkat.......
4.1.6. Grafik dengan meningkat,
tetap dan
menurun.......
4.2 Fungsi Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari Distribusi
G3F..................................................................................................
4.3 Momen Peluang Terboboti (
) untuk Distribusi G3F ................
4.4. Menduga Parameter
dari Distribusi G3F .................
4.4.1. Penduga Parameter ...........................................................
4.4.2. Penduga Parameter
..........................................................
4.4.3. Penduga Parameter
..........................................................
4.5. Karakteristik Penduga Distribusi G3F ............................................
4.5.1.Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi
G3F ........................................................................................
4.5.1.1. Penduga Parameter ................................................
4.5.1.2. Penduga Parameter
............................................
4.5.1.3. Penduga Parameter
............................................
4.5.2. Memeriksa Sifat Varians Minimum Penduga Distribusi
G3F .......................................................................................
4.5.3. Memeriksa Sifat Kekonsistenan Penduga .............................
4.5.3.1. Penduga Parameter ...............................................
4.5.3.2. Penduga Parameter
............................................
4.5.3.3. Penduga Parameter
............................................
4.6. Matriks Varians-Kovarians Asimtotik Distribusi G3F dengan
GMM ...............................................................................................
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xvi
20
21
22
23
25
28
28
28
30
32
32
32
33
35
40
51
51
53
57
62
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.................................................................
17
Gambar 2. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
..............................................................
18
Gambar 3. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.........................................................
19
Gambar 4. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.............................
20
...........................
21
.............................
22
Gambar 5. Grafik distribusi G3F dengan nilai
Gambar 6. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
I.
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Statistika inferensia merupakan salah satu metode statistik yang digunakan dalam
penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Statistika
inferensia dikelompokkan ke dalam dua bidang utama, yakni pendugaan dan
pengujian hipotesis. Dalam metode pendugaan yang akan dicari adalah penduga
dari parameter populasi yang diteliti, melalui sebuah statistik yang diambil dari
suatu sampel berukuran tertentu. Biasanya ukuran statistik yang digunakan adalah
mean (rata-rata) dan varians (ragam) yang harus memiliki sifat-sifat penduga
yang baik yakni sifat tak bias, ragam minimum, konsisten, dan lain-lain.
Dalam menentukan penduga parameter dari suatu populasi tersebut, terdapat
beberapa metode pendugaan yang dapat digunakan diantaranya metode kuadrat
terkecil (Ordinary Least Square), Metode Momen (MM), metode ML (Maximum
Likelihood), metode PWM (Probability Weighted Moment), dan lain-lain. Dari
beberapa metode tersebut, metode yang paling sering digunakan adalah Metode
Moment (MM) karena metode ini mudah digunakan dalam aplikasinya dan
metode PWM (Greenwood et al.,1979; Hosking et al.,1985; Hosking,1986) yang
telah secara luas digunakan sebagai salah satu alternatif untuk metode ML dan
MM.
2
Metode PWM memiliki bentuk perumuman (generalized) yang dikenal dengan
Metode GPWM (Generalized Probability Weighted Moment) yang diusulkan oleh
Rasmussen (2001). Sedangkan bentuk perumuman (generalized) dari Metode
Momen (MM) dikenal dengan Metode Generalized Moment (GM) yang
dikembangkan oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982. Dalam menduga
parameter dari suatu distribusi, kedua bentuk perumuman tersebut yakni GPWM
dan GM, keduanya menggunakan bentuk PWM, berdasarkan studi yang dilakukan
oleh Rasmussen (2001) dan Ashkar dan Mahdi (2003) yakni dalam bentuk
.
Dimana dalam metode Generalized Moment, r diambil sama dengan 0 dan l
diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif. Berdasarkan
Ashkar dan Mahdi (2006), metode Generalized Moment memberikan hasil yang
lebih baik untuk menduga parameter bentuk dengan ukuran sampel yang cukup
besar (n > 50) dibandingkan dengan metode GPWM dan MLE. Di sisi lain, dalam
penggunaannya metode PWM dan GPWM membatasi perhatian hanya pada kasus
dimana l = 1 atau dengan kata lain, penggunaan momen dari X dengan order yang
lebih besar daripada 1 harus dihindari. Sedangkan dalam metode Generaliuzed
Moment, penggunaan momen dari X dengan order yang berbeda dari 1 dilibatkan
(Ashkar dan Mahdi,2006).
Sebagai salah satu bentuk aplikasi dari metode Generalized Moment, maka
penulis tertarik untuk menggunakan metode pendugaan tersebut untuk menduga
parameter dari suatu distribusi. Dalam hal ini, penulis akan mengaplikasikan
metode tersebut pada distribusi Generalized F
dimana distribusi tersebut
memiliki sifat yang sangat fleksibel dan di dalamnya termuat beberapa distribusi
yang sering digunakan dalam kasus tertentu, diantaranya adalah distribusi
3
Generalized Gamma (GG), distribusi Log Logistic, dan lain sebagainya. Karena
itu, penulis akan mengaplikasikan metode pendugaan Generalized Moment
tersebut pada salah satu family atau keluarga dari distribusi Generalized F, yakni
distribusi Generalized F-3 parameter dengan parameter
dimana
adalah parameter skala, yakni suatu parameter numerik yang menunjukan
besarnya distribusi data dan parameter
menunjukan parameter bentuk,
yakni suatu parameter numerik yang menunjukan bentuk dari kurva. Hal yang
menarik dari distribusi G3F ini adalah bahwa momen order positif dan negatifnya
ada, atau dengan kata lain jika momen orde +l ada maka momen orde –l juga ada,
sehingga dapat menggunakan dasar pendugaan metode Generalized Moment
(Ashkar dan Mahdi,2006). Meskipun distribusi G3F jarang digunakan karena
tingkat kesulitannya yang tinggi, namun distribusi tersebut memiliki peranan yang
penting dalam bidang kesehatan yakni sebagai suatu “umbrella” atau wadah
untuk analisis survival parametrik (Cox,2008).
1.2. Batasan Masalah
Dalam penelitian ini yang menjadi batasan masalah adalah karakteristik penduga
dari distribusi G3F yang telah diperoleh melalui metode Generalized Moment,
yakni meliputi sifat ketakbiasan, varians minimum, dan sifat kekonsistenan dari
penduga tersebut.
4
1.3. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini antara lain :
1.
Untuk melihat perbedaan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi G3F
dengan nilai parameter α,m1,m2 yang dibuat berubah.
2.
Untuk menentukan penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan
menggunakan metode pendugaan Generalized Moment.
3.
Untuk memeriksa karakteristik penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F yang
meliputi sifat ketakbiasan,varians minimum, dan kekonsistenan.
4.
Untuk menentukan matriks varians dan kovarians asimtotik penduga
(α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan menggunakan metode pendugaan
Generalized Moment.
1.4. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain :
1.
Memberikan sumbangan pemikiran bagi peneliti lain mengenai cara mencari
penduga distribusi G3F bagi parameter α,m1,m2 dengan menggunakan
metode pendugaan Generalized Moment.
2.
Memberikan pengetahuan tentang karakteristik penduga distribusi G3F yang
meliputi sifat ketakbiasan, varians minimum, dan kekonsistenan.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari
penduga tersebut, maka dalam hal ini penulis menggunakan beberapa definisi dan
teorema yang berkaitan dengan proses tersebut, yakni sebagai berikut :
2.1. Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F)
Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F) merupakan salah satu distribusi
kontinu yang memiliki tiga parameter, yaitu α yang merupakan parameter skala
serta m1 dan m2 yang merupakan parameter bentuk.
Definisi 2. 1
Misalkan X adalah random variabel dari distribusi G3F (α,m1,m2) maka fungsi
kepekatan peluangnya adalah
(2.1)
dengan
adalah fungsi Beta, (Warsono dkk.,2014).
6
2.1.1. Nilai Harapan dari Distribusi G3F
Nilai harapan dari distribusi G3F (α,m1,m2) dapat dinyatakan sebagai berikut :
∫
∫
Misalkan :
(
)
∫
Sehingga
∫
∫
Karena
∫
(Abramowitz and Stegun,1970) maka :
Dan dengan menggunakan persamaan (6.2.2) dalam Abramowitz dan Stegun
(1970), yakni
maka diperoleh
7
Jadi, nilai harapan dari distribusi G3F adalah
(2.2)
Selanjutnya, untuk
dapat dinyatakan oleh
∫
∫
)
(
Misalkan :
∫
Sehingga
∫
∫
Jadi diperoleh nilai
(2.3)
8
2.1.2. Ragam dari Distribusi G3F
Ragam dari distribusi G3F dapat diperoleh dengan dengan menggunakan
persamaan (2.2) dan (2.3) yaitu :
(
)
(
) (
)
(
) (
)
Dengan menggunakan persamaan (6.1.15) dalam Abramowitz and Stegun (1970),
yakni
, maka diperoleh
(
(
(
[
)
]
Jadi, diperoleh ragam dari distribusi G3F adalah
[
(
)
]
)
)
9
2.2. Metode Generalized Moment
Metode Generalized Moment merupakan bentuk pengembangan dan perumuman
dari metode momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Lars Petrus
Hansen pada tahun 1982, dimana metode Generalized Moment ini digunakan
untuk memperoleh penduga parameter dari model statistik. Metode tersebut telah
banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan seringkali diaplikasikan pada
masalah keuangan. Metode Generalized Moment didasarkan pada kondisi momen
populasi, yakni
Dengan
merupakan vektor dari parameter yang akan diduga,
vektor dari peubah acak, dan
merupakan
merupakan suatu vektor fungsi, (Hall,2009).
Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan
oleh Ashkar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk Probability Weighted
Moment (PWM) yakni :
∫
(2.4)
∫
Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), l merupakan momen ke-l
dan r adalah statistik tataan ke-r+l.
ini bertindak sebagai suatu dasar untuk
menerapkan metode Generalized Moment. Dalam metode Generalized Moment, r
diambil sama dengan 0, dan l diambil sembarang yang tidak harus bilangan
bulat,maupun positif ,(Ashkar & Mahdi,2006).
10
2.3. Karakteristik Penduga
Untuk mengkaji karakteristik penduga dari distribusi G3F dengan menggunakan
metode pendugaan Generalized Moment, maka harus memenuhi sifat-sifat
penduga yang baik, yakni seperti yang akan dijelaskan berikut ini :
2.3.1. Tak Bias
Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu
distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.
Definisi 2.2
dikatakan penduga tak bias bagi
Penduga
(
)
bila
,
(Hogg and Craig, 1995).
2.3.2. Varians Minimum
Suatu penduga dikatakan sebagai penduga yang baik jika selain memiliki sifat tak
bias, juga memiliki sifat varians minimum (ragam minimum).
Definisi 2.3
Misalkan
adalah
penduga tak bias bagi
bagi
penduga tak bias
(
)
disebut penduga varians minimum jika
untuk setiap
(
, maka untuk sebarang
)
, dimana
[
]
(Bain and Engelhardt, 1992).
11
Dalam menentukan penduga varians minimum, maka berikut ini diberikan
beberapa definisi yang berkaitan dengan varians minimum yakni :
2.3.2.1.
Informasi Fisher
Definisi 2.4
Misalkan X variabel acak dengan fungsi kepekatan (pdf)
Information Fisher dinotasikan dengan
, dimana :
{
atau
,
}
,
(Hogg and Craig, 1995).
2.3.2.2. Matriks Informasi Fisher
Definisi 2.5
Misalkan sampel acak X1, X2,…, Xn dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan
dalam kondisi yang ada.Tanpa memperhatikan kondisi
yang tidak
yang rinci, misalkan bahwa ruang dari X dimana
meliputi
dan
dapat diturunkan di bawah integralnya. Sehingga matriks
Informasi Fisher sebagai berikut:
[
],
(Hogg and Craig, 1995).
12
2.3.2.3.
Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Definisi 2.6
Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound didefinisikan sebagai berikut:
(
[
]
)
adalah penduga takbias dari θ,
Jika
maka k(θ)= θ,
mengakibatkan pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound dengan
adalah
sebagai berikut:
(Hogg and Craig,1995).
2.3.3. Konsisten
Sifat lain yang harus dimiliki oleh suatu penduga selain tak bias dan varians
minimum adalah sifat kekonsistenan dari penduga tersebut, dimana saat ukuran
sampel semakin besar maka penduga tersebut akan semakin mendekati parameter
populasi yang sesungguhnya.
Definisi 2.7
dikatakan sebagai penduga konsisten bagi
jika
untuk
yaitu bila :
atau
|
|
|
|
,
(Hogg and Craig, 1995).
13
Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)
Misalkan X variabel acak dengan rata-rata
|
atau
dan ragam
. Untuk
,
|
|
|
( Larsen dan Marx, 2012).
Teorema 2.2
merupakan rangkaian dari penduga suatu
Jika
parameter , maka berlaku:
Untuk
parameter
,
merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu
(Casella and Berger, 2002).
2.4. Matriks Varians dan Kovarians Asimtotik dari Distribusi G3F dengan
Metode Generalized Moment
Varians dan kovarians asimtotik dari ̂ dan ̂ diperoleh dari varians dan kovarians
momen sample ̂
[
(2.5)
̂
( ̂) ]
( ̂ ̂)
[
dan ̂
yakni sebagai berikut :
]
[
( ̂
( ̂
( ̂
̂
)
)
]
)
14
Dimana :
diperoleh dengan cara mencari turunan pertama
dan
parameter
diperoleh dengan cara mencari turunan pertama
. Sedangkan
dengan cara mengganti
(̂
(̂
(̂
terhadap parameter
dan
dengan
diperoleh dari
̂
(̂
[
yakni
], sedangkan untuk
) yakni dengan mengganti
) diperoleh dengan rumus [
(Ashkar & Mahdi,2006).
dan
.
) diperoleh dengan rumus
) diperoleh dari
terhadap
dengan
]
.
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka
dengan
menggunakan
buku-buku
penunjang,
skripsi,
dan
jurnal
yang
berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut :
1.
Membuat grafik distribusi G3F dengan nilai parameter yang berubah
menggunakan software R versi 3.1.2.
2.
Mencari fungsi kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari distribusi
G3F.
3.
Mencari bentuk peluang momen terboboti
4.
Mencari
dari distribusi G3F.
penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan
menggunakan
metode
pendugaan
Generalized
Moment.
16
5.
Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi
G3F.
6.
Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,m1,m2) dari
distribusi G3F.
Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada distribusi
G3F
Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada
distribusi G3F
Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga
(α,m1,m2) pada distribusi G3F.
7.
Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi
G3F.
8.
Mencari matriks varians dan kovarians asimtotik dari distribusi G3F dengan
menggunakan metode Generalized Moment.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1.
Perubahan nilai parameter
mempengaruhi bentuk dari grafik
distribusi Generalized F -3 parameter yang meliputi perubahan kelandaian
ataupun kecuraman grafik dan perubahan serta pergeseran titik ekstrim (titik
puncak) grafik.
2.
Penduga parameter distribusi Generalized F-3 parameter
menggunakan metode Generalized Moment adalah
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
[ ̂
(
̂
̂
̂
̂̂
̂
̂
;
; dan
̂
)
̂
]
dengan
78
̂
̂
[ ̂
3.
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ]
̂
[̂
{
Penduga parameter
̂
[
̂
̂
(
̂
̂
(
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
)
)
]
]}
dari distribusi Generalized F tiga parameter
yang telah diperoleh dengan menggunakan metode Generalized Moment,
merupakan penduga yang baik karena memenuhi sifat tak bias, varians
minimum, dan sifat kekonsistenan.
4.
Matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga
[
̂
̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ]
[
dan
]
adalah :
[
]
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz,M. dan Stegun, I.A.1970. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications,New
York.
Ashkar, F. dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized
moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.
Bain, L. J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and
Mathematical Statistics. Brooks/Cole,Duxbury.
Casella,G. And Berger.R.L.2002.Statistical Inference.Second Edition.Thomson
Learning Inc.,USA
Cox,C.2008.The generalized F distribution : An umbrella for parametric survival
analysis. Statistic in Medicine.27,4301-4312.
Hall,A.R.2009.Generalized Method of Moments. The University of Manchester.
Manchester, UK2.
Hogg, R. V. and Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi
kelima. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Larsen,R.J. and Marx,M.L.2012.An Introduction to Mathematical Statistics and
Its Applications.Fifth Edition.Pearson Education Inc.,United States of
America
Warsono, Kurniasari,D. dan Widiarti.2014. Reparameterization and Limiting
Behaviors of the Moment Generating Function of The Generalized F
Distribution.(manuscript jurnal).
DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F)
DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT
(Skripsi)
Oleh
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2015
ABSTRACT
THE CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATORS
GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DISTRIBUTION
WITH THE GENERALIZED METHOD OF MOMENT ESTIMATION
By
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
Generalized F-3 parameters (G3F) distribution have three parameters:
The parameter is scale parameter which is a numerical parameter
that indicates the amount of data distribution, whereas
and
parameter is a
shape parameter which is a numerical parameter that show the shape of the curve.
The parameter estimators of G3F distribution is obtained by using Generalized
Method of Moment in form
, where r is taken equal to 0 and taken
which not necessarily integers and positive. After obtained
the parameter estimators of
, then examined the characteristics of
these estimators which include unbiased, minimum variance, and consistent. By
using the form
can also be obtained asymptotic variances and covariance
matrix of the parameter estimators of
, that is seek variance and
̂ .
covariance of the sample moments ̂ ̂
Keywords : generalized F-3 parameters (G3F) distribution, generalized
method of moment, unbiased, minimum variance, consistent.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER
DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F)
DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT
Oleh
ANNASTASIA NIKA SUSANTI
Distribusi Generalized F-3 parameter
mempunyai tiga parameter yaitu
. Parameter merupakan parameter skala, yakni parameter numerik
yang menunjukan besarnya distribusi data, sedangkan parameter
merupakan parameter bentuk, yakni parameter numerik yang menunjukan bentuk
dari kurva. Penduga dari parameter distribusi G3F diperoleh dengan
menggunakan metode pendugaaan Generalized Moment dari bentuk
dimana r
yang tidak harus
diambil sama dengan 0 dan diambil
bilangan bulat maupun positif. Setelah diperoleh penduga parameter
, kemudian diperiksa karakteristik dari masing-masing penduga
tersebut yakni meliputi sifat tak bias, varians minimum, dan konsisten. Dengan
menggunakan bentuk
tersebut juga dapat diperoleh matriks varians dan
kovarians asimtotik dari penduga
yakni dengan mencari varians
̂ .
dan kovarians dari momen sample ̂ ̂
Kata Kunci
: distribusi generalized F 3- parameter (G3F), metode
generalized moment, tak bias, varians minimum, konsisten.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Metro pada tanggal 27 Agustus 1993 dari bapak
bernama Birnadus Parsidi dan ibu Theresia Sarmini. Penulis terlahir dengan nama
Annastasia Nika Susanti yang merupakan anak pertama dan terakhir dari
pasangan tersebut. Penulis menganut agama Katolik sesuai dengan agama dan
kepercayaan yang dimiliki oleh orangtua penulis.
Penulis memulai pendidikannya dari
Taman Kanak-Kanak di TK Dharma
Wanita, Metro Utara pada tahun 1998 dan lulus pada tahun 1999. Kemudian
penulis melanjutkan pendidikan ke tingkat Sekolah Dasar, yakni di SD Negeri 5
Metro Utara dan lulus pada tahun 2005. Selanjutnya penulis melanjutkan
pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro dan tamat
pada tahun 2008. Setelah lulus dari bangku SMP, penulis kemudian melanjutkan
pendidikannya di SMA Negeri 1 Kota Metro dan lulus pada tahun 2011.
Kemudian penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Lampung pada tahun 2011 melalui
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi (SNMPTN) jalur Undangan.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi asisten pada mata kuliah
Statistika Dasar dan Statistika Matematika. Penulis juga pernah mengikuti
Olimpiade Nasional (ON) MIPA pada tahun 2013 di Palembang. Selain itu,
penulis juga aktif di organisasi jurusan (HMJ), yakni pernah menjadi anggota
muda HIMATIKA pada tahun 2011-2012, anggota bidang Keilmuan HIMATIKA
periode 2012-2013 dan periode 2013-2014. Penulis telah mengikuti Kuliah Kerja
Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib untuk Strata Satu di Desa
Labuhan Ratu Tujuh, Kecamatan Labuhan Ratu, Kabupaten Lampung Timur yang
dilaksanakan pada tanggal 20 Januari 2014 hingga 02 Maret 2014, sebagai bentuk
pengabdian kepada masyarakat. Selanjutnya pada tanggal 11 Agustus 2014
sampai 29 Agustus 2014, penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan
Pusat Statistik (BPS) Kota Metro, sebagai bentuk penerapan pada bidang ilmu
yang telah dipelajari.
ix
MOTO
“Setiap masalah yang datang dalam hidup adalah jalan
Tuhan menyiapkan dirimu untuk masa depan. Tuhan
tahu apa yang terbaik untukmu”
~Choi Siwon~
“All things are possible to them who believes”
“Never give up no matter what you
encounter”
~Choi Minho~
PERSEMBAHAN
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
dengan rahmat dan kuasa-Nya skripsi ini dapat
terselesaikan, dan dengan setulus hati, ku persembahkan
skripsi ini teruntuk:
Orangtuaku tercinta,Bapak (Birnadus Parsidi)
dan Ibu (Theresia Sarmini) yang selalu memberikan
kasih sayang, dukungan, dan doa yang tiada henti.
Keluarga besar serta sanak saudara-ku yang telah
banyak memberi semangat dan do’a kepadaku.
Seluruh teman-teman seperjuangan angkatan
2011, atas kebersamaan, keceriaan, semangat, serta
do’a kalian kepadaku.
Dosen serta staff Jurusan Matematika Fakultas
Metematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Almamater Tercinta.
xii
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai salah
satu syarat penulis
untuk meraih gelar Sarjana Sains (S.Si) pada jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantu
dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan
terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, utamanya kepada:
1.
Bapak Warsono, Ph.D selaku dosen pembimbing pertama yang telah
memberikan bimbingan, memberikan ide, kritik dan saran kepada penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Ibu Dian Kurniasari, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing kedua
terimakasih atas segala masukan, motivasi dan kesabaran dalam
membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi ini.
3.
Bapak Amanto, M.Si selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah
banyak memberikan saran dan kritik kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
4.
Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Mustofa Usman,M.A., Ph.D selaku Pembimbing Akademik.
7.
Ibu Widiarti,S.Si., M.Si. atas motivasi, semangat, dukungan, dan
bantuannya kepada penulis dalam meyelesaikan skripsi ini.
8.
Bapak dan Ibu tercinta serta sanak saudaraku yang selalu memberikan
motivasi, dukungan, semangat serta do’a kepada penulis.
9.
Sahabat-sahabatku “Uno &Volunteer“ (Umi, Okta, Dewa, Inggit, Eko dan
Bram)
yang banyak
memberikan keceriaan, semangat, motivasi,
dukungan, saran, dan kritik kepada penulis.
10.
Teman-teman satu kostan yakni Citra, Tari, Dhanti, dan Dila yang telah
membantu, menghibur, serta menyemangati penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
11.
Teman-teman satu bimbinganku, Andzirnie, Dian, Rizka, Dewi, dan Ofi
terimakasih atas semangat dan kebersamaanya selama ini.
12.
Teman-teman seperjuangan angkatan 2011, Eka, Helmi, dan lain-lain
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas motivasi
kalian selama ini kepada penulis.
13.
Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
persatu, atas motivasi dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, Februari 2015
Penulis
Annastasia Nika Susanti
xiv
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
I.
xvii
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................
1
1.2 Batasan Masalah..............................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................
1.4 Manfaat Penelitian ..........................................................................
3
4
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Generalized F-3 Parameter (G3F) ................................
2.1.1. Nilai Harapan dari Distribusi G3F......................................
2.1.2. Ragam dari Distribusi G3F .................................................
2.2 Metode Generalized Moment .........................................................
2.3 Karakteristik Penduga ....................................................................
2.3.1. Tak Bias ...............................................................................
2.3.2. Varians Minimum ................................................................
2.3.2.1. Informasi Fisher......................................................
2.3.2.2. Matriks Informasi Fisher ........................................
2.3.2.3. Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) .......................
2.3.3. Konsisten ..............................................................................
2.4 Matriks Varians dan Kovarians Asimtotik dari Distribusi G3F dengan
Metode Generalized Moment .........................................................
5
6
8
9
10
10
10
11
11
12
12
13
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .........................................................
3.3 Metode Penelitian............................................................................
15
15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
………....
4.1 Grafik Distribusi Generalied F-3 Parameter
4.1.1. Grafik dengan meningkat,
tetap, dan
tetap ...........
4.1.2. Grafik dengan tetap,
meningkat, dan
tetap ............
4.1.3. Grafik dengan tetap,
tetap dan
meningkat .............
17
17
18
19
4.1.4. Grafik dengan meningkat,
menurun dan
tetap.......
4.1.5. Grafik dengan tetap,
menurun dan
meningkat.......
4.1.6. Grafik dengan meningkat,
tetap dan
menurun.......
4.2 Fungsi Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari Distribusi
G3F..................................................................................................
4.3 Momen Peluang Terboboti (
) untuk Distribusi G3F ................
4.4. Menduga Parameter
dari Distribusi G3F .................
4.4.1. Penduga Parameter ...........................................................
4.4.2. Penduga Parameter
..........................................................
4.4.3. Penduga Parameter
..........................................................
4.5. Karakteristik Penduga Distribusi G3F ............................................
4.5.1.Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi
G3F ........................................................................................
4.5.1.1. Penduga Parameter ................................................
4.5.1.2. Penduga Parameter
............................................
4.5.1.3. Penduga Parameter
............................................
4.5.2. Memeriksa Sifat Varians Minimum Penduga Distribusi
G3F .......................................................................................
4.5.3. Memeriksa Sifat Kekonsistenan Penduga .............................
4.5.3.1. Penduga Parameter ...............................................
4.5.3.2. Penduga Parameter
............................................
4.5.3.3. Penduga Parameter
............................................
4.6. Matriks Varians-Kovarians Asimtotik Distribusi G3F dengan
GMM ...............................................................................................
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xvi
20
21
22
23
25
28
28
28
30
32
32
32
33
35
40
51
51
53
57
62
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.................................................................
17
Gambar 2. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
..............................................................
18
Gambar 3. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.........................................................
19
Gambar 4. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
.............................
20
...........................
21
.............................
22
Gambar 5. Grafik distribusi G3F dengan nilai
Gambar 6. Grafik distribusi G3F dengan nilai
dan
I.
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Statistika inferensia merupakan salah satu metode statistik yang digunakan dalam
penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Statistika
inferensia dikelompokkan ke dalam dua bidang utama, yakni pendugaan dan
pengujian hipotesis. Dalam metode pendugaan yang akan dicari adalah penduga
dari parameter populasi yang diteliti, melalui sebuah statistik yang diambil dari
suatu sampel berukuran tertentu. Biasanya ukuran statistik yang digunakan adalah
mean (rata-rata) dan varians (ragam) yang harus memiliki sifat-sifat penduga
yang baik yakni sifat tak bias, ragam minimum, konsisten, dan lain-lain.
Dalam menentukan penduga parameter dari suatu populasi tersebut, terdapat
beberapa metode pendugaan yang dapat digunakan diantaranya metode kuadrat
terkecil (Ordinary Least Square), Metode Momen (MM), metode ML (Maximum
Likelihood), metode PWM (Probability Weighted Moment), dan lain-lain. Dari
beberapa metode tersebut, metode yang paling sering digunakan adalah Metode
Moment (MM) karena metode ini mudah digunakan dalam aplikasinya dan
metode PWM (Greenwood et al.,1979; Hosking et al.,1985; Hosking,1986) yang
telah secara luas digunakan sebagai salah satu alternatif untuk metode ML dan
MM.
2
Metode PWM memiliki bentuk perumuman (generalized) yang dikenal dengan
Metode GPWM (Generalized Probability Weighted Moment) yang diusulkan oleh
Rasmussen (2001). Sedangkan bentuk perumuman (generalized) dari Metode
Momen (MM) dikenal dengan Metode Generalized Moment (GM) yang
dikembangkan oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982. Dalam menduga
parameter dari suatu distribusi, kedua bentuk perumuman tersebut yakni GPWM
dan GM, keduanya menggunakan bentuk PWM, berdasarkan studi yang dilakukan
oleh Rasmussen (2001) dan Ashkar dan Mahdi (2003) yakni dalam bentuk
.
Dimana dalam metode Generalized Moment, r diambil sama dengan 0 dan l
diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif. Berdasarkan
Ashkar dan Mahdi (2006), metode Generalized Moment memberikan hasil yang
lebih baik untuk menduga parameter bentuk dengan ukuran sampel yang cukup
besar (n > 50) dibandingkan dengan metode GPWM dan MLE. Di sisi lain, dalam
penggunaannya metode PWM dan GPWM membatasi perhatian hanya pada kasus
dimana l = 1 atau dengan kata lain, penggunaan momen dari X dengan order yang
lebih besar daripada 1 harus dihindari. Sedangkan dalam metode Generaliuzed
Moment, penggunaan momen dari X dengan order yang berbeda dari 1 dilibatkan
(Ashkar dan Mahdi,2006).
Sebagai salah satu bentuk aplikasi dari metode Generalized Moment, maka
penulis tertarik untuk menggunakan metode pendugaan tersebut untuk menduga
parameter dari suatu distribusi. Dalam hal ini, penulis akan mengaplikasikan
metode tersebut pada distribusi Generalized F
dimana distribusi tersebut
memiliki sifat yang sangat fleksibel dan di dalamnya termuat beberapa distribusi
yang sering digunakan dalam kasus tertentu, diantaranya adalah distribusi
3
Generalized Gamma (GG), distribusi Log Logistic, dan lain sebagainya. Karena
itu, penulis akan mengaplikasikan metode pendugaan Generalized Moment
tersebut pada salah satu family atau keluarga dari distribusi Generalized F, yakni
distribusi Generalized F-3 parameter dengan parameter
dimana
adalah parameter skala, yakni suatu parameter numerik yang menunjukan
besarnya distribusi data dan parameter
menunjukan parameter bentuk,
yakni suatu parameter numerik yang menunjukan bentuk dari kurva. Hal yang
menarik dari distribusi G3F ini adalah bahwa momen order positif dan negatifnya
ada, atau dengan kata lain jika momen orde +l ada maka momen orde –l juga ada,
sehingga dapat menggunakan dasar pendugaan metode Generalized Moment
(Ashkar dan Mahdi,2006). Meskipun distribusi G3F jarang digunakan karena
tingkat kesulitannya yang tinggi, namun distribusi tersebut memiliki peranan yang
penting dalam bidang kesehatan yakni sebagai suatu “umbrella” atau wadah
untuk analisis survival parametrik (Cox,2008).
1.2. Batasan Masalah
Dalam penelitian ini yang menjadi batasan masalah adalah karakteristik penduga
dari distribusi G3F yang telah diperoleh melalui metode Generalized Moment,
yakni meliputi sifat ketakbiasan, varians minimum, dan sifat kekonsistenan dari
penduga tersebut.
4
1.3. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini antara lain :
1.
Untuk melihat perbedaan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi G3F
dengan nilai parameter α,m1,m2 yang dibuat berubah.
2.
Untuk menentukan penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan
menggunakan metode pendugaan Generalized Moment.
3.
Untuk memeriksa karakteristik penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F yang
meliputi sifat ketakbiasan,varians minimum, dan kekonsistenan.
4.
Untuk menentukan matriks varians dan kovarians asimtotik penduga
(α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan menggunakan metode pendugaan
Generalized Moment.
1.4. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain :
1.
Memberikan sumbangan pemikiran bagi peneliti lain mengenai cara mencari
penduga distribusi G3F bagi parameter α,m1,m2 dengan menggunakan
metode pendugaan Generalized Moment.
2.
Memberikan pengetahuan tentang karakteristik penduga distribusi G3F yang
meliputi sifat ketakbiasan, varians minimum, dan kekonsistenan.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari
penduga tersebut, maka dalam hal ini penulis menggunakan beberapa definisi dan
teorema yang berkaitan dengan proses tersebut, yakni sebagai berikut :
2.1. Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F)
Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F) merupakan salah satu distribusi
kontinu yang memiliki tiga parameter, yaitu α yang merupakan parameter skala
serta m1 dan m2 yang merupakan parameter bentuk.
Definisi 2. 1
Misalkan X adalah random variabel dari distribusi G3F (α,m1,m2) maka fungsi
kepekatan peluangnya adalah
(2.1)
dengan
adalah fungsi Beta, (Warsono dkk.,2014).
6
2.1.1. Nilai Harapan dari Distribusi G3F
Nilai harapan dari distribusi G3F (α,m1,m2) dapat dinyatakan sebagai berikut :
∫
∫
Misalkan :
(
)
∫
Sehingga
∫
∫
Karena
∫
(Abramowitz and Stegun,1970) maka :
Dan dengan menggunakan persamaan (6.2.2) dalam Abramowitz dan Stegun
(1970), yakni
maka diperoleh
7
Jadi, nilai harapan dari distribusi G3F adalah
(2.2)
Selanjutnya, untuk
dapat dinyatakan oleh
∫
∫
)
(
Misalkan :
∫
Sehingga
∫
∫
Jadi diperoleh nilai
(2.3)
8
2.1.2. Ragam dari Distribusi G3F
Ragam dari distribusi G3F dapat diperoleh dengan dengan menggunakan
persamaan (2.2) dan (2.3) yaitu :
(
)
(
) (
)
(
) (
)
Dengan menggunakan persamaan (6.1.15) dalam Abramowitz and Stegun (1970),
yakni
, maka diperoleh
(
(
(
[
)
]
Jadi, diperoleh ragam dari distribusi G3F adalah
[
(
)
]
)
)
9
2.2. Metode Generalized Moment
Metode Generalized Moment merupakan bentuk pengembangan dan perumuman
dari metode momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Lars Petrus
Hansen pada tahun 1982, dimana metode Generalized Moment ini digunakan
untuk memperoleh penduga parameter dari model statistik. Metode tersebut telah
banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan seringkali diaplikasikan pada
masalah keuangan. Metode Generalized Moment didasarkan pada kondisi momen
populasi, yakni
Dengan
merupakan vektor dari parameter yang akan diduga,
vektor dari peubah acak, dan
merupakan
merupakan suatu vektor fungsi, (Hall,2009).
Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan
oleh Ashkar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk Probability Weighted
Moment (PWM) yakni :
∫
(2.4)
∫
Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), l merupakan momen ke-l
dan r adalah statistik tataan ke-r+l.
ini bertindak sebagai suatu dasar untuk
menerapkan metode Generalized Moment. Dalam metode Generalized Moment, r
diambil sama dengan 0, dan l diambil sembarang yang tidak harus bilangan
bulat,maupun positif ,(Ashkar & Mahdi,2006).
10
2.3. Karakteristik Penduga
Untuk mengkaji karakteristik penduga dari distribusi G3F dengan menggunakan
metode pendugaan Generalized Moment, maka harus memenuhi sifat-sifat
penduga yang baik, yakni seperti yang akan dijelaskan berikut ini :
2.3.1. Tak Bias
Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu
distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.
Definisi 2.2
dikatakan penduga tak bias bagi
Penduga
(
)
bila
,
(Hogg and Craig, 1995).
2.3.2. Varians Minimum
Suatu penduga dikatakan sebagai penduga yang baik jika selain memiliki sifat tak
bias, juga memiliki sifat varians minimum (ragam minimum).
Definisi 2.3
Misalkan
adalah
penduga tak bias bagi
bagi
penduga tak bias
(
)
disebut penduga varians minimum jika
untuk setiap
(
, maka untuk sebarang
)
, dimana
[
]
(Bain and Engelhardt, 1992).
11
Dalam menentukan penduga varians minimum, maka berikut ini diberikan
beberapa definisi yang berkaitan dengan varians minimum yakni :
2.3.2.1.
Informasi Fisher
Definisi 2.4
Misalkan X variabel acak dengan fungsi kepekatan (pdf)
Information Fisher dinotasikan dengan
, dimana :
{
atau
,
}
,
(Hogg and Craig, 1995).
2.3.2.2. Matriks Informasi Fisher
Definisi 2.5
Misalkan sampel acak X1, X2,…, Xn dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan
dalam kondisi yang ada.Tanpa memperhatikan kondisi
yang tidak
yang rinci, misalkan bahwa ruang dari X dimana
meliputi
dan
dapat diturunkan di bawah integralnya. Sehingga matriks
Informasi Fisher sebagai berikut:
[
],
(Hogg and Craig, 1995).
12
2.3.2.3.
Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Definisi 2.6
Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound didefinisikan sebagai berikut:
(
[
]
)
adalah penduga takbias dari θ,
Jika
maka k(θ)= θ,
mengakibatkan pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound dengan
adalah
sebagai berikut:
(Hogg and Craig,1995).
2.3.3. Konsisten
Sifat lain yang harus dimiliki oleh suatu penduga selain tak bias dan varians
minimum adalah sifat kekonsistenan dari penduga tersebut, dimana saat ukuran
sampel semakin besar maka penduga tersebut akan semakin mendekati parameter
populasi yang sesungguhnya.
Definisi 2.7
dikatakan sebagai penduga konsisten bagi
jika
untuk
yaitu bila :
atau
|
|
|
|
,
(Hogg and Craig, 1995).
13
Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)
Misalkan X variabel acak dengan rata-rata
|
atau
dan ragam
. Untuk
,
|
|
|
( Larsen dan Marx, 2012).
Teorema 2.2
merupakan rangkaian dari penduga suatu
Jika
parameter , maka berlaku:
Untuk
parameter
,
merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu
(Casella and Berger, 2002).
2.4. Matriks Varians dan Kovarians Asimtotik dari Distribusi G3F dengan
Metode Generalized Moment
Varians dan kovarians asimtotik dari ̂ dan ̂ diperoleh dari varians dan kovarians
momen sample ̂
[
(2.5)
̂
( ̂) ]
( ̂ ̂)
[
dan ̂
yakni sebagai berikut :
]
[
( ̂
( ̂
( ̂
̂
)
)
]
)
14
Dimana :
diperoleh dengan cara mencari turunan pertama
dan
parameter
diperoleh dengan cara mencari turunan pertama
. Sedangkan
dengan cara mengganti
(̂
(̂
(̂
terhadap parameter
dan
dengan
diperoleh dari
̂
(̂
[
yakni
], sedangkan untuk
) yakni dengan mengganti
) diperoleh dengan rumus [
(Ashkar & Mahdi,2006).
dan
.
) diperoleh dengan rumus
) diperoleh dari
terhadap
dengan
]
.
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka
dengan
menggunakan
buku-buku
penunjang,
skripsi,
dan
jurnal
yang
berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut :
1.
Membuat grafik distribusi G3F dengan nilai parameter yang berubah
menggunakan software R versi 3.1.2.
2.
Mencari fungsi kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari distribusi
G3F.
3.
Mencari bentuk peluang momen terboboti
4.
Mencari
dari distribusi G3F.
penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan
menggunakan
metode
pendugaan
Generalized
Moment.
16
5.
Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi
G3F.
6.
Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,m1,m2) dari
distribusi G3F.
Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada distribusi
G3F
Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada
distribusi G3F
Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga
(α,m1,m2) pada distribusi G3F.
7.
Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi
G3F.
8.
Mencari matriks varians dan kovarians asimtotik dari distribusi G3F dengan
menggunakan metode Generalized Moment.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1.
Perubahan nilai parameter
mempengaruhi bentuk dari grafik
distribusi Generalized F -3 parameter yang meliputi perubahan kelandaian
ataupun kecuraman grafik dan perubahan serta pergeseran titik ekstrim (titik
puncak) grafik.
2.
Penduga parameter distribusi Generalized F-3 parameter
menggunakan metode Generalized Moment adalah
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
[ ̂
(
̂
̂
̂
̂̂
̂
̂
;
; dan
̂
)
̂
]
dengan
78
̂
̂
[ ̂
3.
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ]
̂
[̂
{
Penduga parameter
̂
[
̂
̂
(
̂
̂
(
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
)
)
]
]}
dari distribusi Generalized F tiga parameter
yang telah diperoleh dengan menggunakan metode Generalized Moment,
merupakan penduga yang baik karena memenuhi sifat tak bias, varians
minimum, dan sifat kekonsistenan.
4.
Matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga
[
̂
̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ]
[
dan
]
adalah :
[
]
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz,M. dan Stegun, I.A.1970. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications,New
York.
Ashkar, F. dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized
moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.
Bain, L. J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and
Mathematical Statistics. Brooks/Cole,Duxbury.
Casella,G. And Berger.R.L.2002.Statistical Inference.Second Edition.Thomson
Learning Inc.,USA
Cox,C.2008.The generalized F distribution : An umbrella for parametric survival
analysis. Statistic in Medicine.27,4301-4312.
Hall,A.R.2009.Generalized Method of Moments. The University of Manchester.
Manchester, UK2.
Hogg, R. V. and Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi
kelima. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Larsen,R.J. and Marx,M.L.2012.An Introduction to Mathematical Statistics and
Its Applications.Fifth Edition.Pearson Education Inc.,United States of
America
Warsono, Kurniasari,D. dan Widiarti.2014. Reparameterization and Limiting
Behaviors of the Moment Generating Function of The Generalized F
Distribution.(manuscript jurnal).