Definisi 6 Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika A adalah matriks
× , maka ruang bagian dari
ℝ
1×
yang direntang oleh vektor-
vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari
ℝ yang direntang oleh
vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.
Leon 2001
Definisi 7 Ruang Nol Misalkan A adalah matriks
× . Misalkan
NA menyatakan
himpunan semua
penyelesaian dari sistem homogen � = �.
Jadi � � = { ∈ ℝ |� = �}
Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen
� = � membentuk ruang bagian
dari
ℝ . Ruang bagian NA disebut kernel ruang nol atau nullspace dari A.
Leon 2001
2.3 Optimasi Linear dan Dualitas
Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut
min{
T
x : Ax = b, x
≥ 0} P dengan, c, x
ℝ
, b
ℝ
dan A
ℝ
. Masalah P disebut masalah primal.
Masalah dual dari masalah primal P diberikan sebagai berikut
max {
T
y :
�
T
y + s = c, s
≥ 0 } D dengan, s
ℝ dan y ℝ . Masalah D
disebut masalah dual. Daerah fisibel dari P dan D masing-
masing adalah :
:= {x : Ax = b, x ≥ 0} := {y,s : �
T
y + s = c, s
≥ 0}
Daerah interior masalah P dan D didefinisikan sebagai berikut
:= {x : Ax = b, x 0},
:= {y,s :
�
T
y + s = c, s
�} Silalahi 2011
Definisi 8 Daerah Fisibel Himpunan titik-titik yang memenuhi semua
kendala dan pembatasan tanda pada optimasi linear.
Winston 2004
Definisi 9 Solusi Optimal Solusi optimal pada masalah maksimisasi
adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling besar. Sedangkan
solusi optimal untuk masalah minimisasi adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan
nilai fungsi objektif paling kecil.
Winston 2004
Proposisi 1 Dualitas Lemah Misalkan x dan s masing-masing fisibel untuk
P dan D. Kemudian
T
x -
T
y =
T
s
≥ 0. Akibatnya,
T
x terbatas di atas untuk nilai
optimal dari D, dan
T
y terbatas di bawah
untuk nilai optimal dari P. Selain itu, jika kesenjangan dualitas duality gap
T
s bernilai nol maka x adalah solusi optimal
untuk P dan y,s adalah solusi optimal untuk D.
Roos et al. 2006 Bukti
:lihat Roos
Teorema 1 Dualitas Jika P dan D fisibel maka kedua masalah
tersebut mempunyai
solusi optimal.
Kemudian, x
dan y,s adalah solusi
optimal jika dan hanya jika
T
s = 0.
Roos et al. 2006
Bukti :
lihat Roos
Definisi 10 Kendala Redundant
Kendala redundant adalah kendala yang tidak mengubah daerah fisibel dari masalah
optimasi linear. Silalahi 2011
Definisi 11 Central Path
Suatu kurva yang bergerak dari bagian dalam pada daerah fisibel menuju solusi optimal.
Silalahi 2011
2.4 Metode Newton
Metode Newton disebut juga metode Newton-Raphson. Metode Newton adalah
suatu metode
yang digunakan
untuk menyelesaikan persamaan taklinear, yang
dituliskan dalam bentuk :
�
= �, � = 1,2, … , =
1
,
2
, … ,
T
. Metode Newton Raphson dapat diturunkan
dengan menggunakan orde pertama dari deret
Taylor. Sebagai contoh untuk fungsi satu peubah atau
� = 1, dan =
1
∈ ℝ, orde
pertama deret Taylor
1 1
sebagai berikut
1 1
≈
1.0
+
′ 1.0
1
−
1.0
= �
1
dengan
1.0
adalah hampiran awal Munir 2003.
Dengan menggunakan metode Newton, fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi
linear. Untuk mencari solusi persamaan
1 1
= 0, metode Newton melakukan pendekatan dengan cara mencari solusi
�
1
= 0, dengan � adalah fungsi linear. Selain itu, untuk fungsi dua peubah atau
� = 2, dan =
1
,
� T
∈ ℝ. Deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing-
masing persamaan sebagai berikut
1 1
,
2
≈
1 1.0
,
2.0
+
1
−
1.0
�
1 1.0
,
2.0
�
1
+
2
−
2.0
�
1 1.0
,
2.0
�
2 2
1
,
2
≈
2 1.0
,
2.0
+
1
−
1.0
�
2 1.0
,
2.0
�
1
+
2
−
2.0
�
2 1.0
,
2.0
�
2
dengan
1.0
dan
2.0
adalah hampiran awal Munir 2003.
Contoh 1
Diketahui fungsi taklinear f
1
=
1
− 5
1
dengan hampiran awal
1.0
= 0.
1 1
≈
1.0
+
′ 1.0
1
−
1.0 1
1
≈ �
1
= 0 �
1
= 0 +
′ 1
− 0 =
− 5 0 + − 5
1
− 0 = 1 +
−4
1
Pada saat �
1
= 0 maka 1 +
−4
1
= 0
1
= 1 4
Contoh 2
Diketahui fungsi taklinear dengan dua variabel sebagai berikut
1 1
,
2
=
1 2
−
1 2
+ 1 1
2 1
,
2
=
2 2
−
1 2
− 2 2 dengan hampiran awal
1.0
= 0,
2.0
= 1 Pelinearan untuk persamaan 1
1 1
,
2
≈ �
1
,
2
= 0
1 2
−
1 2
+ 1 = 0
1
0,1 + −1 0
1
− 0
2
− 1 = 0
1 + −1
1
= 0
1
= 1 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan
adalah −
1
+ 1 = 0 Pelinearan untuk persamaan 2
2 1
,
2
≈ �
1
,
2
= 0
2 2
−
1 2
− 2 = 0
2
0,1 + −1 2
1
− 0
2
− 1 = 0
−1 + −1
1
+ 2
2
− 1 = 0 −
1
+ 2
2
− 3 = 0 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan
adalah −
1
+ 2
2
= 3 Solusi dari
1
dan
2
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 1 ke persamaan
2 sebagai berikut − 1 + 2
2
= 3 2
2
= 4
2
= 2 Jadi, solusi dari
1
dan
2
setelah dilakukan pelinearan adalah
1
= 1dan
2
= 2.
2.5 Kompleksitas Definisi 12 Kompleksitas
