Taylor. Sebagai contoh untuk fungsi satu peubah atau
� = 1, dan =
1
∈ ℝ, orde
pertama deret Taylor
1 1
sebagai berikut
1 1
≈
1.0
+
′ 1.0
1
−
1.0
= �
1
dengan
1.0
adalah hampiran awal Munir 2003.
Dengan menggunakan metode Newton, fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi
linear. Untuk mencari solusi persamaan
1 1
= 0, metode Newton melakukan pendekatan dengan cara mencari solusi
�
1
= 0, dengan � adalah fungsi linear. Selain itu, untuk fungsi dua peubah atau
� = 2, dan =
1
,
� T
∈ ℝ. Deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing-
masing persamaan sebagai berikut
1 1
,
2
≈
1 1.0
,
2.0
+
1
−
1.0
�
1 1.0
,
2.0
�
1
+
2
−
2.0
�
1 1.0
,
2.0
�
2 2
1
,
2
≈
2 1.0
,
2.0
+
1
−
1.0
�
2 1.0
,
2.0
�
1
+
2
−
2.0
�
2 1.0
,
2.0
�
2
dengan
1.0
dan
2.0
adalah hampiran awal Munir 2003.
Contoh 1
Diketahui fungsi taklinear f
1
=
1
− 5
1
dengan hampiran awal
1.0
= 0.
1 1
≈
1.0
+
′ 1.0
1
−
1.0 1
1
≈ �
1
= 0 �
1
= 0 +
′ 1
− 0 =
− 5 0 + − 5
1
− 0 = 1 +
−4
1
Pada saat �
1
= 0 maka 1 +
−4
1
= 0
1
= 1 4
Contoh 2
Diketahui fungsi taklinear dengan dua variabel sebagai berikut
1 1
,
2
=
1 2
−
1 2
+ 1 1
2 1
,
2
=
2 2
−
1 2
− 2 2 dengan hampiran awal
1.0
= 0,
2.0
= 1 Pelinearan untuk persamaan 1
1 1
,
2
≈ �
1
,
2
= 0
1 2
−
1 2
+ 1 = 0
1
0,1 + −1 0
1
− 0
2
− 1 = 0
1 + −1
1
= 0
1
= 1 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan
adalah −
1
+ 1 = 0 Pelinearan untuk persamaan 2
2 1
,
2
≈ �
1
,
2
= 0
2 2
−
1 2
− 2 = 0
2
0,1 + −1 2
1
− 0
2
− 1 = 0
−1 + −1
1
+ 2
2
− 1 = 0 −
1
+ 2
2
− 3 = 0 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan
adalah −
1
+ 2
2
= 3 Solusi dari
1
dan
2
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 1 ke persamaan
2 sebagai berikut − 1 + 2
2
= 3 2
2
= 4
2
= 2 Jadi, solusi dari
1
dan
2
setelah dilakukan pelinearan adalah
1
= 1dan
2
= 2.
2.5 Kompleksitas Definisi 12 Kompleksitas
Fungsi kompleksitas waktu adalah
fungsi yang mengukur banyak operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel
input n. Grimaldi 2004
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Kondisi Optimal
Berdasarkan teorema dualitas, mencari solusi optimal dari masalah primal P dan
masalah dual D sama halnya dengan menyelesaikan sistem
� = , �
� + � = , � � � = �.
�
dengan xs adalah Hadamard product.
Sistem 1 merupakan kondisi optimal untuk masalah optimasi linear. Baris pertama
merupakan kendala fisibel masalah primal P dan baris kedua merupakan kendala
fisibel masalah dual D. Sedangkan baris ketiga disebut dengan kondisi pelengkap.
3.2
Central Path
Central path merupakan aspek penting dari metode interior, yang akan membantu
dalam membangun suatu algoritme umum untuk metode primal-dual. Secara geometrik,
central path merupakan kurva analitik yang konvergen menuju solusi optimal.
Untuk menyelesaikan sistem 1 kondisi
pelengkap diubah menjadi xs = µe. Dengan, µ adalah bilangan positif dan e adalah vektor
semua satu. Kendala baru ini disebut kondisi pemusatan. Sistem yang dihasilkan adalah
� = , �
�
T
+ � = , � �
� = � . �
Solusi dari sistem 2 dinotasikan dengan x
µ, yµ, dan sµ. xµ disebut µ-center dari P dan yµ, sµ disebut µ-center dari
D.
Himpunan semua xµ disebut central
path dari P, demikian pula himpunan semua yµ, sµ disebut central path dari D.
Ketika µ berjalan menuju nol, maka xµ, yµ, dan sµ konvergen ke solusi optimal
dari P dan D. 3.3
Langkah Full-Newton
Langkah full-Newton merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi
pendekatan sistem 2. Diberikan pasangan fisibel primal-dual x,y,s, kita ingin
mencari ∆ , ∆ , dan ∆� sehingga
+
= + ∆ ,
+
= + ∆ ,
�
+
= � + ∆�.
memenuhi sistem 2, dengan kata lain � + ∆ = ,
�
T
+ ∆ + � + ∆� = , + ∆ � + ∆� = � .
� Dari sistem 3 diperoleh sistem baru sebagai
berikut
�∆ = – � , �
T
∆ + ∆� = – �
T
– �, �∆ + ∆� + ∆ ∆� = � − �.
�
karena � = dan �
T
+ � = , maka
sistem berikut setara dengan sistem 4 �∆ = �,
�
T
∆ + ∆� = �, �∆ + ∆� + ∆ ∆� = � – �.
�
Untuk mencari solusi sistem 5 digunakan metode Newton. Persamaan pertama dan
persamaan kedua pada sistem 5 merupakan persamaan linear. Sedangkan, persamaan
ketiga merupakan persamaan taklinear karena mengandung faktor kuadratik
∆ ∆�. Untuk menyelesaikan sistem 5, persamaan ketiga
dilinearkan dengan menggunakan metode Newton, sebagai berikut
s ∆x + x∆s + ∆ ∆� = µe – xs
�
1
�
2
� ∆
1
∆
2
∆ +
1 2
∆�
1
∆�
2
∆� +
∆
1
∆
2
∆ ∆�
1
∆�
2
∆� - �
1 1
1 +
1 2
�
1
�
2
� =
2 3
4 1
5
�
1
∆
1
+
1
∆�
1
+ ∆
1
∆�
1
− � +
1
�
1
= 0 �
2
∆
2
+
2
∆�
2
+ ∆
2
∆�
2
− � +
2
�
2
= 0 � ∆ + ∆� + ∆ ∆� − � + � = 0
Misalnya, dilakukan pelinearan pada persamaan pertama sebagai berikut
1
∆
1
, ∆�
1
≈
1
∆
1.0
, ∆�
1.0
+
� 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆ 1
∆
1
− ∆
1.0
+
� 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆�1
∆�
1
− ∆�
1.0
= 0, dengan hampiran awal
∆
1.0
= ∆�
1.0
= 0, sehingga diperoleh
1
0,0 + �
1
0, 0 �∆
1
∆
1
− 0 + �
1
0,0 �∆�
1
∆�
1
− 0 = 0 −� +
1
�
1
+ �
1
∆
1
+
1
∆�
1
= 0 �
1
∆
1
+
1
∆�
1
= � −
1
�
1
Untuk persamaan kedua sampai dengan ke-n dilakukan pelinearan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh
�
1
∆
1
+
1
∆�
1
− � +
1
�
1
= 0 �
2
∆
2
+
2
∆�
2
− � +
2
�
2
= 0 � ∆ + ∆� − � + � = 0
Dapat juga ditulis �
1
�
2
� ∆
1
∆
2
∆ +
1 2
∆�
1
∆�
2
∆� - �
1 1
1 +
1 2
�
1
�
2
� =
s ∆ + ∆� − � + � = �
Sehingga diperoleh persamaan baru yang merupakan persamaan linear, sebagai berikut
�∆ = � �
T
∆ + ∆� = � �∆ + ∆� = � – �
� Sistem 6 dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks SPL sebagai berikut
� 0 0 �
1 �
∆ ∆
∆� =
� − �
Dengan X = diag x dan S = diag s. Solusi ∆ , ∆ , dan ∆�
dinamakan primal-dual
langkah Newton. Dengan langkah full- Newton diperoleh
+
= + ∆ ,
+
= + ∆ ,
�
+
= � + ∆�.
3.4 Ukuran Kedekatan