Kompleksitas Definisi 12 Kompleksitas Kondisi Optimal

Taylor. Sebagai contoh untuk fungsi satu peubah atau � = 1, dan = 1 ∈ ℝ, orde pertama deret Taylor 1 1 sebagai berikut 1 1 ≈ 1.0 + ′ 1.0 1 − 1.0 = � 1 dengan 1.0 adalah hampiran awal Munir 2003. Dengan menggunakan metode Newton, fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi linear. Untuk mencari solusi persamaan 1 1 = 0, metode Newton melakukan pendekatan dengan cara mencari solusi � 1 = 0, dengan � adalah fungsi linear. Selain itu, untuk fungsi dua peubah atau � = 2, dan = 1 , � T ∈ ℝ. Deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing- masing persamaan sebagai berikut 1 1 , 2 ≈ 1 1.0 , 2.0 + 1 − 1.0 � 1 1.0 , 2.0 � 1 + 2 − 2.0 � 1 1.0 , 2.0 � 2 2 1 , 2 ≈ 2 1.0 , 2.0 + 1 − 1.0 � 2 1.0 , 2.0 � 1 + 2 − 2.0 � 2 1.0 , 2.0 � 2 dengan 1.0 dan 2.0 adalah hampiran awal Munir 2003. Contoh 1 Diketahui fungsi taklinear f 1 = 1 − 5 1 dengan hampiran awal 1.0 = 0. 1 1 ≈ 1.0 + ′ 1.0 1 − 1.0 1 1 ≈ � 1 = 0 � 1 = 0 + ′ 1 − 0 = − 5 0 + − 5 1 − 0 = 1 + −4 1 Pada saat � 1 = 0 maka 1 + −4 1 = 0 1 = 1 4 Contoh 2 Diketahui fungsi taklinear dengan dua variabel sebagai berikut 1 1 , 2 = 1 2 − 1 2 + 1 1 2 1 , 2 = 2 2 − 1 2 − 2 2 dengan hampiran awal 1.0 = 0, 2.0 = 1  Pelinearan untuk persamaan 1 1 1 , 2 ≈ � 1 , 2 = 0 1 2 − 1 2 + 1 = 0 1 0,1 + −1 0 1 − 0 2 − 1 = 0 1 + −1 1 = 0 1 = 1 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan adalah − 1 + 1 = 0  Pelinearan untuk persamaan 2 2 1 , 2 ≈ � 1 , 2 = 0 2 2 − 1 2 − 2 = 0 2 0,1 + −1 2 1 − 0 2 − 1 = 0 −1 + −1 1 + 2 2 − 1 = 0 − 1 + 2 2 − 3 = 0 Jadi, persamaan baru setelah pelinearan adalah − 1 + 2 2 = 3 Solusi dari 1 dan 2 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 sebagai berikut − 1 + 2 2 = 3 2 2 = 4 2 = 2 Jadi, solusi dari 1 dan 2 setelah dilakukan pelinearan adalah 1 = 1dan 2 = 2.

2.5 Kompleksitas Definisi 12 Kompleksitas

Fungsi kompleksitas waktu adalah fungsi yang mengukur banyak operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel input n. Grimaldi 2004 III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Kondisi Optimal

Berdasarkan teorema dualitas, mencari solusi optimal dari masalah primal P dan masalah dual D sama halnya dengan menyelesaikan sistem � = , � � + � = , � � � = �. � dengan xs adalah Hadamard product. Sistem 1 merupakan kondisi optimal untuk masalah optimasi linear. Baris pertama merupakan kendala fisibel masalah primal P dan baris kedua merupakan kendala fisibel masalah dual D. Sedangkan baris ketiga disebut dengan kondisi pelengkap. 3.2 Central Path Central path merupakan aspek penting dari metode interior, yang akan membantu dalam membangun suatu algoritme umum untuk metode primal-dual. Secara geometrik, central path merupakan kurva analitik yang konvergen menuju solusi optimal. Untuk menyelesaikan sistem 1 kondisi pelengkap diubah menjadi xs = µe. Dengan, µ adalah bilangan positif dan e adalah vektor semua satu. Kendala baru ini disebut kondisi pemusatan. Sistem yang dihasilkan adalah � = , � � T + � = , � � � = � . � Solusi dari sistem 2 dinotasikan dengan x µ, yµ, dan sµ. xµ disebut µ-center dari P dan yµ, sµ disebut µ-center dari D. Himpunan semua xµ disebut central path dari P, demikian pula himpunan semua yµ, sµ disebut central path dari D. Ketika µ berjalan menuju nol, maka xµ, yµ, dan sµ konvergen ke solusi optimal dari P dan D. 3.3 Langkah Full-Newton Langkah full-Newton merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi pendekatan sistem 2. Diberikan pasangan fisibel primal-dual x,y,s, kita ingin mencari ∆ , ∆ , dan ∆� sehingga + = + ∆ , + = + ∆ , � + = � + ∆�. memenuhi sistem 2, dengan kata lain � + ∆ = , � T + ∆ + � + ∆� = , + ∆ � + ∆� = � . � Dari sistem 3 diperoleh sistem baru sebagai berikut �∆ = – � , � T ∆ + ∆� = – � T – �, �∆ + ∆� + ∆ ∆� = � − �. � karena � = dan � T + � = , maka sistem berikut setara dengan sistem 4 �∆ = �, � T ∆ + ∆� = �, �∆ + ∆� + ∆ ∆� = � – �. � Untuk mencari solusi sistem 5 digunakan metode Newton. Persamaan pertama dan persamaan kedua pada sistem 5 merupakan persamaan linear. Sedangkan, persamaan ketiga merupakan persamaan taklinear karena mengandung faktor kuadratik ∆ ∆�. Untuk menyelesaikan sistem 5, persamaan ketiga dilinearkan dengan menggunakan metode Newton, sebagai berikut s ∆x + x∆s + ∆ ∆� = µe – xs � 1 � 2 � ∆ 1 ∆ 2 ∆ + 1 2 ∆� 1 ∆� 2 ∆� + ∆ 1 ∆ 2 ∆ ∆� 1 ∆� 2 ∆� - � 1 1 1 + 1 2 � 1 � 2 � = 2 3 4 1 5 � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 + ∆ 1 ∆� 1 − � + 1 � 1 = 0 � 2 ∆ 2 + 2 ∆� 2 + ∆ 2 ∆� 2 − � + 2 � 2 = 0 � ∆ + ∆� + ∆ ∆� − � + � = 0 Misalnya, dilakukan pelinearan pada persamaan pertama sebagai berikut 1 ∆ 1 , ∆� 1 ≈ 1 ∆ 1.0 , ∆� 1.0 + � 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆ 1 ∆ 1 − ∆ 1.0 + � 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆�1 ∆� 1 − ∆� 1.0 = 0, dengan hampiran awal ∆ 1.0 = ∆� 1.0 = 0, sehingga diperoleh 1 0,0 + � 1 0, 0 �∆ 1 ∆ 1 − 0 + � 1 0,0 �∆� 1 ∆� 1 − 0 = 0 −� + 1 � 1 + � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 = 0 � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 = � − 1 � 1 Untuk persamaan kedua sampai dengan ke-n dilakukan pelinearan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 − � + 1 � 1 = 0 � 2 ∆ 2 + 2 ∆� 2 − � + 2 � 2 = 0 � ∆ + ∆� − � + � = 0 Dapat juga ditulis � 1 � 2 � ∆ 1 ∆ 2 ∆ + 1 2 ∆� 1 ∆� 2 ∆� - � 1 1 1 + 1 2 � 1 � 2 � = s ∆ + ∆� − � + � = � Sehingga diperoleh persamaan baru yang merupakan persamaan linear, sebagai berikut �∆ = � � T ∆ + ∆� = � �∆ + ∆� = � – � � Sistem 6 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks SPL sebagai berikut � 0 0 � 1 � ∆ ∆ ∆� = � − � Dengan X = diag x dan S = diag s. Solusi ∆ , ∆ , dan ∆� dinamakan primal-dual langkah Newton. Dengan langkah full- Newton diperoleh + = + ∆ , + = + ∆ , � + = � + ∆�.

3.4 Ukuran Kedekatan