�
1
∆
1
+
1
∆�
1
+ ∆
1
∆�
1
− � +
1
�
1
= 0 �
2
∆
2
+
2
∆�
2
+ ∆
2
∆�
2
− � +
2
�
2
= 0 � ∆ + ∆� + ∆ ∆� − � + � = 0
Misalnya, dilakukan pelinearan pada persamaan pertama sebagai berikut
1
∆
1
, ∆�
1
≈
1
∆
1.0
, ∆�
1.0
+
� 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆ 1
∆
1
− ∆
1.0
+
� 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆�1
∆�
1
− ∆�
1.0
= 0, dengan hampiran awal
∆
1.0
= ∆�
1.0
= 0, sehingga diperoleh
1
0,0 + �
1
0, 0 �∆
1
∆
1
− 0 + �
1
0,0 �∆�
1
∆�
1
− 0 = 0 −� +
1
�
1
+ �
1
∆
1
+
1
∆�
1
= 0 �
1
∆
1
+
1
∆�
1
= � −
1
�
1
Untuk persamaan kedua sampai dengan ke-n dilakukan pelinearan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh
�
1
∆
1
+
1
∆�
1
− � +
1
�
1
= 0 �
2
∆
2
+
2
∆�
2
− � +
2
�
2
= 0 � ∆ + ∆� − � + � = 0
Dapat juga ditulis �
1
�
2
� ∆
1
∆
2
∆ +
1 2
∆�
1
∆�
2
∆� - �
1 1
1 +
1 2
�
1
�
2
� =
s ∆ + ∆� − � + � = �
Sehingga diperoleh persamaan baru yang merupakan persamaan linear, sebagai berikut
�∆ = � �
T
∆ + ∆� = � �∆ + ∆� = � – �
� Sistem 6 dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks SPL sebagai berikut
� 0 0 �
1 �
∆ ∆
∆� =
� − �
Dengan X = diag x dan S = diag s. Solusi ∆ , ∆ , dan ∆�
dinamakan primal-dual
langkah Newton. Dengan langkah full- Newton diperoleh
+
= + ∆ ,
+
= + ∆ ,
�
+
= � + ∆�.
3.4 Ukuran Kedekatan
Pada proses mengikuti central path menuju solusi optimal dengan menggunakan
langkah full-Newton, dihasilkan barisan titik- titik yang berada di sekitar central path.
Diperlukan suatu ukuran untuk mengukur kedekatan
, , � ke �-center dan central
path. Sebelum
mendefinisikan ukuran
kedekatan, terlebih dahulu merumuskan sistem linear 6 yang mendefinisikan arah
Newton dalam kasus primal-dual. Untuk tujuan ini, kita definisikan vektor sebagai
berikut
x
= � ∆
,
s
= � ∆�
�
,
y
= ∆
� dengan
�
:=
� �
6
jika didefinisikan
� = diag
�
maka sistem 6 setara dengan
��
x
= �
��
T y
+
s
= �
x
+
s
= �
−1
− �
Bukti :
i
Persamaan pertama
A D
x
= 0 A
D � ∆
= 0 A
D
� �
∆ = 0
A D
�
∆ �
= 0
A
1 s 1
… 0
2 �2
… ⋱
… …
� �1
1
∆
1 �2
2
∆
2 �
∆ �
= 0
� ∆
1
∆
2
∆ �
= �
� ∆ = � Jadi, persamaan pertama terbukti.
∎ ii
Persamaan kedua �
T
∆ + ∆� = � �
T y
� +
s
� �
= �
�
T y
� +
s
� �
� =
� �
T y
� +
s
�� =
� � �
T y
+
s
� = �
�
T
�
T y
+
s
� = �
T
� �
T
�
T y
+
s
= �
��
T y
+
s
= �
Jadi, persamaan kedua terbukti. ∎
iii Persamaan ketiga
Ruas kiri �∆ + ∆� = s �
x
d + x
�
s −1
=
� �
x
+ x
−1 s
= � � �
−1 x
+ � �
−1 s
= ��
x
+
s
Ruas kanan � − �
= � − � � � �
−1
= � − �
2
�
−1
= � − �
2
� =
���
−1
− ��
2
= �� �
−1
− � �∆ + ∆� = � − �
��
x
+
s
= �� �
−1
− �
x
+
s
= �
−1
− � Jadi, persamaan ketiga terbukti.
∎ Persamaan dari sistem 6 menunjukkan
bahwa vektor
x
dan
s
adalah ruang nol dan
ruang baris dari matriks AD, ini berarti
x
dan
s
ortogonal. Ortogonalitas dari
x
dan
s
mengimplikasikan bahwa
x 2
+
s 2
=
x
+
s 2
= �
−1
− �
2
Perhatikan bahwa
x
,
s
dan
y
adalah nol jika dan hanya jika
�
−1
− � = �. Untuk
mengukur jarak x, y, s ke
�-center, di- gunakan ukuran
, �; � yang didefinisi- kan sebagai berikut
, �; � :=
1 2
�
−1
− � :=
1 2
� �
−
� �
Roos et al. 2006
3.5 Kompleksitas Algoritme
Selanjutnya akan dibahas mengenai kompleksitas algoritme dari metode interior
primal-dual dengan langkah full-Newton. Berikut ini adalah algoritmenya
Langkah 1. Pilih nilai awal parameter akurasi
0; parameter pendekatan
�, � 1;
strictly fisibel ,
, �
dengan
T
� =
� dan
, �
; �
�; parameter barrier
�, 0 � 1. Didefinisikan
≔ ;
� ≔ � ;
≔ ;
� ≔ � ;
Dengan penghitung iterasi awal � = 0.
Langkah 2. Selama �
lanjut ke langkah 4
Langkah 3. Selainnya, STOP. Langkah 4. Lakukan pencarian solusi baru
�
�+1
= 1
− �
�+1
�
�+1
=
�
+ ∆
�+1
=
�
+ ∆
�
�+1
= �
�
+ ∆�
Langkah 5. � = � + 1, kembali ke langkah 2
Lema 1 Jika langkah Newton primal-dual adalah
fisibel maka
+ T
�
+
= �.
Roos et al. 2006
Bukti : lihat Roos
Vektor
+
dan �
+
merupakan langkah full- Newton primal-dual dan n adalah banyaknya
pertidaksamaan dari masalah primal-dual.
Lema 2 Metode interior primal-dual dengan langkah
full-Newton memiliki jumlah iterasi tidak lebih dari
1 �
ln �
dan iterasi akan berhenti pada saat �
. Silalahi 2011
Bukti :
Awalnya duality gap adalah n �
, sehingga dengan menggunakan Lema 1 diperoleh
T
� = n
� Pada saat iterasi bertambah maka nilai
� dikalikan dengan faktor
1 − � sebagai berikut
�
+
= 1 − ��
Untuk iterasi pertama diperoleh
1 T
�
1
= 1 − � n�
Untuk iterasi ke-k diperoleh
� T
�
�
= 1 − �
�
n �
Oleh karena itu, setelah iterasi ke-k duality gap lebih kecil dari jika :
1 − �
�
n �
≤ Dengan menggunakan logaritma maka di-
peroleh � ln 1 − � + ln �
ln −� ln 1 − � − ln �
− ln � −ln 1 − � − ln �
− ln Karena
– ln 1 − � �, maka
pertidaksamaan diatas tetap terpenuhi jika �� − ln �
− ln �� ln �
− ln �
1 �
ln �
− ln = 1
� ln
� Jadi, Lema 2 terbukti.
∎ Lema berikut ini memperlihatkan efek dari
langkah Newton primal-dual.
Lema 3
Misal ,
� adalah pasangan primal-dual positif dan � 0 sedemikian rupa sehingga
T
� = �. Selanjutnya, jika
∶= , �; �
dan
�
+
= 1 − ��
maka
, �; �
+ 2
=
1 − �
2
+
�
2
41 −�
Silalahi 2011
Bukti :
Didefinisikan
+
≔ , �; �
+
dan
� =
� �
, maka dapat dituliskan
+ 2
=
1 2
�
+ −1
− �
+ 2
=
1 4
�
+ −1
− �
+ 2
Karena
�
+
=
� �
+
, diperoleh
�
+
=
� �
+
=
� 1
−��
=
� �
1 1−�
=
� 1−�
�
+ −1
= 1 − �
� Sehingga diperoleh
+ 2
= 1
4 1 − �
� −
� 1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− �
1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− �
1 − � −
�� 1 − �
+ ��
1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− � − ��
1 − � +
�� 1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− 1
− �� 1 − �
+ ��
1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− 1 − �� 1 − �
+ ��
1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− � 1 − �
+ ��
1 − �
2
= 1
4 1 − � �
−1
− � + ��
1 − �
2
Dari
T
� = � diperoleh �
2
= , seperti berikut
�
2
= �
T
�
2
= �
T
� =
1
�
1
�
2
�
2
� … �
�
1
�
1
�
2
�
2
� �
� =
1
�
1
� +
2
�
2
� +
+ �
� =
T
� �
= kemudian,
�
T
�
−1
=
1
�
1
�
2
�
2
� �
� �
1
�
1
�
2
�
2
� �
= 1 + 1 + + 1 = . 1 =
selanjutnya, �
T
�
−1
− � = �
T
�
−1
− �
T
� = − �
2
= − = 0
Jadi u ortogonal terhadap
�
−1
− �. Akibatnya,
+ 2
= 1
− � 4
�
−1
− �
2
+ �
2
�
2
41 − �
Karena �
−1
− � = 2 dan �
2
= , diperoleh
+ 2
= 1 − �
2
+ �
2
41 − �
Jadi, Lema 3 terbukti. ∎
Untuk menjamin nilai pada Lema 3 maka diperlukan Lema 4 dan akibat 1 sebagai
berikut
Lema 4 Jika
≔ , �; � 1, maka langkah Newton primal-dual fisibel yaitu
+
dan �
+
taknegatif. Selain itu, jika 1 maka
+
dan �
+
positif dan
+
, �
+
; �
2
21 −
2
Roos et al. 2006
Bukti : lihat Roos
Akibat 1
Jika ∶= , �; �
1 2
, maka
+
, �
+
; �
2
. Silalahi 2011
Teorema berikut ini adalah batas atas iterasi untuk metode interior primal-dual dengan
langkah full-Newton.
Teorema 2
Jika � =
1 2
dan � =
1 +1
, maka jumlah
iterasi tidak lebih dari
+ 1 ln �
Output dari primal-dual pasangan x, s yaitu
T
� .
Silalahi 2011
Bukti :
Misalkan dipilih � =
1 2
. Dengan meng- gunakan akibat 1 yaitu
, �; �
1 2
, maka setelah langkah Newton primal-dual diperoleh
+
, �
+
; �
1 2
. Setelah iterasinya ber- tambah, nilai
� menjadi �
+
= 1 − ��.
Dengan mengambil nilai � =
1 +1
, diperoleh
+
, �
+
; �
+ 2
sebagai berikut
+
, �
+
; �
+ 2
1 − �
4 +
�
2
4 1 − �
= 1 − �
2
+ �
2
4 1 − �
= �
2
− 2� + 1 + �
2
4 1 − �
= 1
+ 1 − 2
+ 1 + 1 +
+ 1 4
1 − 1
+ 1 =
+ 1 + 1 −
2 + 1
+ 1 4
1 − 1
+ 1 =
1 −
2 + 1
+ 1 4
1 − 1
+ 1 =
2 −
2 + 1
4 1 −
1 + 1
= 2
1 − 1
+ 1 4
1 − 1
+ 1 =
2 4
= 1
2 Dari
penyelesaian di
atas diperoleh
+
, �
+
; �
+ 2
1 2
= �. Ini berarti bahwa
, �; � � tetap dipertahankan pada setiap
iterasi. Dengan menggabungkan penjelasan di atas dengan Lema 2 maka diperoleh Teorema
2. Jadi, Teorema 2 terbukti.
∎
IV STUDI KASUS
Untuk studi kasus pada metode interior digunakan masalah Klee-Minty dengan
� =
1 3
dan = 0 yang diberikan oleh :
Minimumkan ,
Kendala
1 3
�−1 �
1 −
1 3
�−1
� = 1, … , Dengan
menyatakan banyaknya
pertidaksamaan dan
menyatakan banyaknya variabel.
1 Pada saat = 4 dan
= 2 Maksimumkan
−
2
Dengan kendala
1
1 −
1
1 3
1
−
2 1
3 1
+
2
1 Dengan
menggunakan software
MATLAB R2008b
diperoleh gambar
sebagai berikut
Gambar 1 Masalah Klee-Minty pada saat
= 4, � = 10, dan = 10
−5
.
Tabel 1 Hasil iterasi pada saat
� = 10, = 10
−5
Iterasi �
1 1
�
1
40 31.5518
0.3169 0.3169
1 22.1115
17.4458 0.3169
0.3169 2
12.2229 9.6518
0.3167 0.3167
3 6.7567
5.3499 0.3162
0.3162 4
3.7350 2.9833
0.3144 0.3144
5 2.0647
1.6947 0.3088
0.3088 6
1.1413 1.0117
0.2928 0.2928
7 0.6309
0.6669 0.2557
0.2557 8
0.3488 0.4994
0.1949 0.1949
9 0.1928
0.4189 0.1279
0.1279 10
0.1066 0.3791
0.0758 0.0758
11 0.0589
0.3583 0.0430
0.0430 12
0.0326 0.3470
0.0241 0.0241
13 0.0180
0.3409 0.0134
0.0134 14
0.0100 0.3375
0.0074 0.0074
15 0.0055
0.3356 0.0041
0.0041 16
0.0030 0.3346
0.0023 0.0023
17 0.0017
0.3340 0.0013
0.0013 18
9.2916e-004 0.3337
0.6966e-003 0.0007
19 5.1363e-004
0.3335 0.3851e-003
0.0004 20
2.8393e-004 0.3335
0.2129e-003 0.0002
21 1.5695e-004
0.3334 0.1177e-003
0.0001 22
8.6760e-005 0.3334
0.6507e-004 0.0001
23 4.7960e-005
0.3334 0.3597e-004
0.0000
Pada saat � = 10, = 10
−5
, = 4, dan
= 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 25 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 1 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
34 iterasi.
Tabel 2 Hasil iterasi pada saat
� = 100, = 10
−5
Iterasi �
1 1
�
1
400 315.4705
0.3170 0.3170
1 221.1146
174.3883 0.3170
0.3170 2
122.2291 96.4003
0.3170 0.3170
3 67.5666
53.2902 0.3170
0.3170 4
37.3499 29.4607
0.3170 0.3170
5 20.6465
16.2903 0.3169
0.3169 6
11.4131 9.0137
0.3167 0.3167
7 6.3090
4.9982 0.3161
0.3161 8
3.4875 2.7907
0.3140 0.3140
9 1.9279
1.5911 0.3077
0.3077 10
1.0657 0.9583
0.2898 0.2898
11 0.5891
0.6407 0.2497
0.2497 12
0.3256 0.4869
0.1870 0.1870
13 0.1800
0.4128 0.1209
0.1209 14
0.0995 0.3760
0.0711 0.0711
15 0.0550
0.3566 0.0402
0.0402 16
0.0304 0.3461
0.0225 0.0225
17 0.0168
0.3404 0.0125
0.0125 18
0.0093 0.3372
0.0069 0.0069
19 0.0051
0.3355 0.0038
0.0038 20
0.0028 0.3345
0.0021 0.0021
21 0.0016
0.3340 0.0012
0.0012 22
8.6760e-004 0.3337
0.6505e-003 0.0007
23 4.7960e-004
0.3335 0.3596e-003
0.0002 24
2.6512e-004 0.3334
0.1988e-003 0.0001
25 1.4655e-004
0.3334 0.1099e-003
0.0001 26
8.1012e-005 0.3334
0.6076e-004 0.0000
27 4.4783e-005
0.3334 0.3359e-004
0.0000 28
2.4755e-005 0.3333
0.1857e-004 0.0000
29 1.3684e-005
0.3333 0.1026e-004
0.0002 Pada saat
� = 100, = 10
−5
, = 4, dan
= 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 29 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 2 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
39 iterasi. Tabel 3 Hasil iterasi pada saat
� = 10, = 10
−3
Iterasi �
1 1
�
1
40 31.5518
0.3169 0.3169
1 22.1115
17.4458 0.3169
0.3169 2
12.2229 9.6518
0.3167 0.3167
3 6.7567
5.3499 0.3162
0.3162 4
3.7350 2.9833
0.3144 0.3144
5 2.0647
1.6947 0.3088
0.3088 6
1.1413 1.0117
0.2928 0.2928
7 0.6309
0.6669 0.2557
0.2557 8
0.3488 0.4994
0.1949 0.1949
9 0.1928
0.4189 0.1279
0.1279 24
2.6512e-005 0.3333
0.1988e-004 0.0000
25 1.4655e-005
0.3333 0.1099e-004
0.0000
10 0.1066
0.3791 0.0758
0.0758 11
0.0589 0.3583
0.0430 0.0430
12 0.0326
0.3470 0.0241
0.0241 13
0.0180 0.3409
0.0134 0.0134
14 0.0100
0.3375 0.0074
0.0074 15
0.0055 0.3356
0.0041 0.0041
16 0.0030
0.3346 0.0023
0.0023 17
0.0017 0.3340
0.0013 0.0013
Pada saat � = 10, = 10
−3
, = 4, dan
= 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 17 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 3 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
24 iterasi. 2
Pada saat = 6 dan = 3
Maksimumkan −
3
Dengan kendala
1
1 −
1 1
3 1
−
2 1
3 1
+
2
1
1 3
2
−
3 1
3 2
+
3
1
Tabel 4 Hasil iterasi pada saat
� = 10, = 10
−5
Iterasi �
1 1
�
1
60 32.9543
0.3035 0.3035
1 37.3221
20.4994 0.3034
0.3034 2
23.2157 12.7524
0.3034 0.3034
3 14.4410
7.9342 0.3034
0.3034 4
8.9828 4.9381
0.3033 0.3033
5 5.5876
3.0761 0.3029
0.3029 6
3.4757 1.9205
0.3021 0.3021
7 2.1620
1.2053 0.3001
0.3001 8
1.3448 0.7652
0.2956 0.2956
9 0.8365
0.4969 0.2859
0.2859 10
0.5204 0.3357
0.2673 0.2673
11 0.3237
0.2408 0.2362
0.2362 12
0.2013 0.1862
0.1929 0.1929
13 0.1252
0.1551 0.1443
0.1443 14
0.0779 0.1374
0.1002 0.1002
15 0.0485
0.1270 0.0663
0.0663 16
0.0301 0.1209
0.0428 0.0428
17 0.0188
0.1171 0.0272
0.0272 18
0.0117 0.1148
0.0171 0.0171
19 0.0073
0.1134 0.0107
0.0107 20
0.0045 0.1125
0.0067 0.0067
21 0.0028
0.1120 0.0042
0.0042 22
0.0017 0.1117
0.0026 0.0026
23 0.0011
0.1115 0.0016
0.0016 24
6.7564e-004 0.1113
0.0010 0.0010
25 4.2027e-004
0.1112 0.6299e-003
0.0006 26
2.6142e-004 0.1112
0.3920e-003 0.0004
27 1.6262e-004
0.1112 0.2439e-003
0.0002 28
1.0115e-004 0.1111
0.1517e-003 0.0002
29 6.2920e-005
0.1111 0.9437e-004
0.0001
30 3.9139e-005
0.1111 0.5870e-004
0.0001 31
2.4346e-005 0.1111
0.3652e-004 0.0000
32 1.5144e-005
0.1111 0.2272e-004
0.0000 Pada saat
� = 10, = 10
−5
, = 6, dan
= 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 32 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 4 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
41 iterasi.
Tabel 5 Hasil iterasi pada saat
� = 100, = 10
−5
Iterasi �
1 1
�
1
600 329.5349
0.3035 0.3035
1 373.2213
204.9825 0.3035
0.3035 2
232.1569 127.5065
0.3035 0.3035
3 144.4099
79.3137 0.3035
0.3035 4
89.8281 49.3362
0.3035 0.3035
5 55.8762
30.6893 0.3035
0.3035 6
34.7570 19.0906
0.3034 0.3034
7 21.6201
11.8762 0.3034
0.3034 8
13.4485 7.3893
0.3034 0.3034
9 8.3654
4.5994 0.3032
0.3032 10
5.2036 2.8657
0.3029 0.3029
11 3.2368
1.7901 0.3019
0.3019 12
2.0134 1.1248
0.2997 0.2997
13 1.2524
0.7159 0.2945
0.2945 14
0.7790 0.4671
0.2837 0.2837
15 0.4846
0.3180 0.2635
0.2635 16
0.3014 0.2306
0.2304 0.2304
17 0.1875
0.1804 0.1857
0.1857 18
0.1166 0.1518
0.1372 0.1372
19 0.0726
0.1355 0.0944
0.0944 20
0.0451 0.1259
0.0622 0.0622
21 0.0281
0.1202 0.0400
0.0400 22
0.0175 0.1167
0.0254 0.0160
23 0.0109
0.1146 0.0160
0.0100 24
0.0068 0.1133
0.0100 0.0063
25 0.0042
0.1124 0.0063
0.0160 26
0.0026 0.1119
0.0039 0.0039
27 0.0016
0.1116 0.0024
0.0024 28
0.0010 0.1114
0.0015 0.0015
29 6.2920e-004
0.1113 0.9427e-003
0.0009 30
3.9139e-004 0.1112
0.5867e-003 0.0006
31 2.4346e-004
0.1112 0.3650e-003
0.0004 32
1.5144e-004 0.1112
0.2271e-003 0.0002
33 9.4200e-005
0.1111 0.1413e-003
0.0001 34
5.8596e-005 0.1111
0.8788e-004 0.0001
35 3.6449e-005
0.1111 0.5467e-004
0.0001 36
2.2672e-005 0.1111
0.3401e-004 0.0000
37 1.4103e-005
0.1111 0.2115e-004
0.0000 Pada saat
� = 100, = 10
−5
, = 6, dan
= 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 37 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 5 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
47 iterasi.
Tabel 6 Hasil iterasi pada saat
� = 10, = 10
−3
Iterasi �
1 1
�
1
60 32.9543
0.3035 0.3035
1 37.3221
20.4994 0.3034
0.3034 2
23.2157 12.7524
0.3034 0.3034
3 14.4410
7.9342 0.3034
0.3034 4
8.9828 4.9381
0.3033 0.3033
5 5.5876
3.0761 0.3029
0.3029 6
3.4757 1.9205
0.3021 0.3021
7 2.1620
1.2053 0.3001
0.3001 8
1.3448 0.7652
0.2956 0.2956
9 0.8365
0.4969 0.2859
0.2859 10
0.5204 0.3357
0.2673 0.2673
11 0.3237
0.2408 0.2362
0.2362 12
0.2013 0.1862
0.1929 0.1929
13 0.1252
0.1551 0.1443
0.1443 14
0.0779 0.1374
0.1002 0.1002
15 0.0485
0.1270 0.0663
0.0663 16
0.0301 0.1209
0.0428 0.0428
17 0.0188
0.1171 0.0272
0.0272 18
0.0117 0.1148
0.0171 0.0171
19 0.0073
0.1134 0.0107
0.0107 20
0.0045 0.1125
0.0067 0.0067
21 0.0028
0.1120 0.0042
0.0042 22
0.0017 0.1117
0.0026 0.0026
23 0.0011
0.1115 0.0016
0.0016 Pada saat
� = 10, = 10
−3
, = 6, dan
= 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 23 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 6 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak
29 iterasi.
2
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan