Ukuran Kedekatan Kompleksitas Algoritme

� 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 + ∆ 1 ∆� 1 − � + 1 � 1 = 0 � 2 ∆ 2 + 2 ∆� 2 + ∆ 2 ∆� 2 − � + 2 � 2 = 0 � ∆ + ∆� + ∆ ∆� − � + � = 0 Misalnya, dilakukan pelinearan pada persamaan pertama sebagai berikut 1 ∆ 1 , ∆� 1 ≈ 1 ∆ 1.0 , ∆� 1.0 + � 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆ 1 ∆ 1 − ∆ 1.0 + � 1 ∆ 1.0,∆�1.0 �∆�1 ∆� 1 − ∆� 1.0 = 0, dengan hampiran awal ∆ 1.0 = ∆� 1.0 = 0, sehingga diperoleh 1 0,0 + � 1 0, 0 �∆ 1 ∆ 1 − 0 + � 1 0,0 �∆� 1 ∆� 1 − 0 = 0 −� + 1 � 1 + � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 = 0 � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 = � − 1 � 1 Untuk persamaan kedua sampai dengan ke-n dilakukan pelinearan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh � 1 ∆ 1 + 1 ∆� 1 − � + 1 � 1 = 0 � 2 ∆ 2 + 2 ∆� 2 − � + 2 � 2 = 0 � ∆ + ∆� − � + � = 0 Dapat juga ditulis � 1 � 2 � ∆ 1 ∆ 2 ∆ + 1 2 ∆� 1 ∆� 2 ∆� - � 1 1 1 + 1 2 � 1 � 2 � = s ∆ + ∆� − � + � = � Sehingga diperoleh persamaan baru yang merupakan persamaan linear, sebagai berikut �∆ = � � T ∆ + ∆� = � �∆ + ∆� = � – � � Sistem 6 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks SPL sebagai berikut � 0 0 � 1 � ∆ ∆ ∆� = � − � Dengan X = diag x dan S = diag s. Solusi ∆ , ∆ , dan ∆� dinamakan primal-dual langkah Newton. Dengan langkah full- Newton diperoleh + = + ∆ , + = + ∆ , � + = � + ∆�.

3.4 Ukuran Kedekatan

Pada proses mengikuti central path menuju solusi optimal dengan menggunakan langkah full-Newton, dihasilkan barisan titik- titik yang berada di sekitar central path. Diperlukan suatu ukuran untuk mengukur kedekatan , , � ke �-center dan central path. Sebelum mendefinisikan ukuran kedekatan, terlebih dahulu merumuskan sistem linear 6 yang mendefinisikan arah Newton dalam kasus primal-dual. Untuk tujuan ini, kita definisikan vektor sebagai berikut x = � ∆ , s = � ∆� � , y = ∆ � dengan � := � � 6 jika didefinisikan � = diag � maka sistem 6 setara dengan �� x = � �� T y + s = � x + s = � −1 − � Bukti : i Persamaan pertama A D x = 0 A D � ∆ = 0 A D � � ∆ = 0 A D � ∆ � = 0 A 1 s 1 … 0 2 �2 … ⋱ … … � �1 1 ∆ 1 �2 2 ∆ 2 � ∆ � = 0 � ∆ 1 ∆ 2 ∆ � = � � ∆ = � Jadi, persamaan pertama terbukti. ∎ ii Persamaan kedua � T ∆ + ∆� = � � T y � + s � � = � � T y � + s � � � = � � T y � + s �� = � � � T y + s � = � � T � T y + s � = � T � � T � T y + s = � �� T y + s = � Jadi, persamaan kedua terbukti. ∎ iii Persamaan ketiga Ruas kiri �∆ + ∆� = s � x d + x � s −1 = � � x + x −1 s = � � � −1 x + � � −1 s = �� x + s Ruas kanan � − � = � − � � � � −1 = � − � 2 � −1 = � − � 2 � = ��� −1 − �� 2 = �� � −1 − � �∆ + ∆� = � − � �� x + s = �� � −1 − � x + s = � −1 − � Jadi, persamaan ketiga terbukti. ∎ Persamaan dari sistem 6 menunjukkan bahwa vektor x dan s adalah ruang nol dan ruang baris dari matriks AD, ini berarti x dan s ortogonal. Ortogonalitas dari x dan s mengimplikasikan bahwa x 2 + s 2 = x + s 2 = � −1 − � 2 Perhatikan bahwa x , s dan y adalah nol jika dan hanya jika � −1 − � = �. Untuk mengukur jarak x, y, s ke �-center, di- gunakan ukuran , �; � yang didefinisi- kan sebagai berikut , �; � := 1 2 � −1 − � := 1 2 � � − � � Roos et al. 2006

3.5 Kompleksitas Algoritme

Selanjutnya akan dibahas mengenai kompleksitas algoritme dari metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton. Berikut ini adalah algoritmenya Langkah 1. Pilih nilai awal parameter akurasi 0; parameter pendekatan �, � 1; strictly fisibel , , � dengan T � = � dan , � ; � �; parameter barrier �, 0 � 1. Didefinisikan ≔ ; � ≔ � ; ≔ ; � ≔ � ; Dengan penghitung iterasi awal � = 0. Langkah 2. Selama � lanjut ke langkah 4 Langkah 3. Selainnya, STOP. Langkah 4. Lakukan pencarian solusi baru � �+1 = 1 − � �+1 � �+1 = � + ∆ �+1 = � + ∆ � �+1 = � � + ∆� Langkah 5. � = � + 1, kembali ke langkah 2 Lema 1 Jika langkah Newton primal-dual adalah fisibel maka + T � + = �. Roos et al. 2006 Bukti : lihat Roos Vektor + dan � + merupakan langkah full- Newton primal-dual dan n adalah banyaknya pertidaksamaan dari masalah primal-dual. Lema 2 Metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton memiliki jumlah iterasi tidak lebih dari 1 � ln � dan iterasi akan berhenti pada saat � . Silalahi 2011 Bukti : Awalnya duality gap adalah n � , sehingga dengan menggunakan Lema 1 diperoleh T � = n � Pada saat iterasi bertambah maka nilai � dikalikan dengan faktor 1 − � sebagai berikut � + = 1 − �� Untuk iterasi pertama diperoleh 1 T � 1 = 1 − � n� Untuk iterasi ke-k diperoleh � T � � = 1 − � � n � Oleh karena itu, setelah iterasi ke-k duality gap lebih kecil dari jika : 1 − � � n � ≤ Dengan menggunakan logaritma maka di- peroleh � ln 1 − � + ln � ln −� ln 1 − � − ln � − ln � −ln 1 − � − ln � − ln Karena – ln 1 − � �, maka pertidaksamaan diatas tetap terpenuhi jika �� − ln � − ln �� ln � − ln � 1 � ln � − ln = 1 � ln � Jadi, Lema 2 terbukti. ∎ Lema berikut ini memperlihatkan efek dari langkah Newton primal-dual. Lema 3 Misal , � adalah pasangan primal-dual positif dan � 0 sedemikian rupa sehingga T � = �. Selanjutnya, jika ∶= , �; � dan � + = 1 − �� maka , �; � + 2 = 1 − � 2 + � 2 41 −� Silalahi 2011 Bukti : Didefinisikan + ≔ , �; � + dan � = � � , maka dapat dituliskan + 2 = 1 2 � + −1 − � + 2 = 1 4 � + −1 − � + 2 Karena � + = � � + , diperoleh � + = � � + = � 1 −�� = � � 1 1−� = � 1−� � + −1 = 1 − � � Sehingga diperoleh + 2 = 1 4 1 − � � − � 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − � 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − � 1 − � − �� 1 − � + �� 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − � − �� 1 − � + �� 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − 1 − �� 1 − � + �� 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − 1 − �� 1 − � + �� 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − � 1 − � + �� 1 − � 2 = 1 4 1 − � � −1 − � + �� 1 − � 2 Dari T � = � diperoleh � 2 = , seperti berikut � 2 = � T � 2 = � T � = 1 � 1 � 2 � 2 � … � � 1 � 1 � 2 � 2 � � � = 1 � 1 � + 2 � 2 � + + � � = T � � = kemudian, � T � −1 = 1 � 1 � 2 � 2 � � � � 1 � 1 � 2 � 2 � � = 1 + 1 + + 1 = . 1 = selanjutnya, � T � −1 − � = � T � −1 − � T � = − � 2 = − = 0 Jadi u ortogonal terhadap � −1 − �. Akibatnya, + 2 = 1 − � 4 � −1 − � 2 + � 2 � 2 41 − � Karena � −1 − � = 2 dan � 2 = , diperoleh + 2 = 1 − � 2 + � 2 41 − � Jadi, Lema 3 terbukti. ∎ Untuk menjamin nilai pada Lema 3 maka diperlukan Lema 4 dan akibat 1 sebagai berikut Lema 4 Jika ≔ , �; � 1, maka langkah Newton primal-dual fisibel yaitu + dan � + taknegatif. Selain itu, jika 1 maka + dan � + positif dan + , � + ; � 2 21 − 2 Roos et al. 2006 Bukti : lihat Roos Akibat 1 Jika ∶= , �; � 1 2 , maka + , � + ; � 2 . Silalahi 2011 Teorema berikut ini adalah batas atas iterasi untuk metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton. Teorema 2 Jika � = 1 2 dan � = 1 +1 , maka jumlah iterasi tidak lebih dari + 1 ln � Output dari primal-dual pasangan x, s yaitu T � . Silalahi 2011 Bukti : Misalkan dipilih � = 1 2 . Dengan meng- gunakan akibat 1 yaitu , �; � 1 2 , maka setelah langkah Newton primal-dual diperoleh + , � + ; � 1 2 . Setelah iterasinya ber- tambah, nilai � menjadi � + = 1 − ��. Dengan mengambil nilai � = 1 +1 , diperoleh + , � + ; � + 2 sebagai berikut + , � + ; � + 2 1 − � 4 + � 2 4 1 − � = 1 − � 2 + � 2 4 1 − � = � 2 − 2� + 1 + � 2 4 1 − � = 1 + 1 − 2 + 1 + 1 + + 1 4 1 − 1 + 1 = + 1 + 1 − 2 + 1 + 1 4 1 − 1 + 1 = 1 − 2 + 1 + 1 4 1 − 1 + 1 = 2 − 2 + 1 4 1 − 1 + 1 = 2 1 − 1 + 1 4 1 − 1 + 1 = 2 4 = 1 2 Dari penyelesaian di atas diperoleh + , � + ; � + 2 1 2 = �. Ini berarti bahwa , �; � � tetap dipertahankan pada setiap iterasi. Dengan menggabungkan penjelasan di atas dengan Lema 2 maka diperoleh Teorema 2. Jadi, Teorema 2 terbukti. ∎ IV STUDI KASUS Untuk studi kasus pada metode interior digunakan masalah Klee-Minty dengan � = 1 3 dan = 0 yang diberikan oleh : Minimumkan , Kendala 1 3 �−1 � 1 − 1 3 �−1 � = 1, … , Dengan menyatakan banyaknya pertidaksamaan dan menyatakan banyaknya variabel. 1 Pada saat = 4 dan = 2 Maksimumkan − 2 Dengan kendala 1 1 − 1 1 3 1 − 2 1 3 1 + 2 1 Dengan menggunakan software MATLAB R2008b diperoleh gambar sebagai berikut Gambar 1 Masalah Klee-Minty pada saat = 4, � = 10, dan = 10 −5 . Tabel 1 Hasil iterasi pada saat � = 10, = 10 −5 Iterasi � 1 1 � 1 40 31.5518 0.3169 0.3169 1 22.1115 17.4458 0.3169 0.3169 2 12.2229 9.6518 0.3167 0.3167 3 6.7567 5.3499 0.3162 0.3162 4 3.7350 2.9833 0.3144 0.3144 5 2.0647 1.6947 0.3088 0.3088 6 1.1413 1.0117 0.2928 0.2928 7 0.6309 0.6669 0.2557 0.2557 8 0.3488 0.4994 0.1949 0.1949 9 0.1928 0.4189 0.1279 0.1279 10 0.1066 0.3791 0.0758 0.0758 11 0.0589 0.3583 0.0430 0.0430 12 0.0326 0.3470 0.0241 0.0241 13 0.0180 0.3409 0.0134 0.0134 14 0.0100 0.3375 0.0074 0.0074 15 0.0055 0.3356 0.0041 0.0041 16 0.0030 0.3346 0.0023 0.0023 17 0.0017 0.3340 0.0013 0.0013 18 9.2916e-004 0.3337 0.6966e-003 0.0007 19 5.1363e-004 0.3335 0.3851e-003 0.0004 20 2.8393e-004 0.3335 0.2129e-003 0.0002 21 1.5695e-004 0.3334 0.1177e-003 0.0001 22 8.6760e-005 0.3334 0.6507e-004 0.0001 23 4.7960e-005 0.3334 0.3597e-004 0.0000 Pada saat � = 10, = 10 −5 , = 4, dan = 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 25 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 1 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 34 iterasi. Tabel 2 Hasil iterasi pada saat � = 100, = 10 −5 Iterasi � 1 1 � 1 400 315.4705 0.3170 0.3170 1 221.1146 174.3883 0.3170 0.3170 2 122.2291 96.4003 0.3170 0.3170 3 67.5666 53.2902 0.3170 0.3170 4 37.3499 29.4607 0.3170 0.3170 5 20.6465 16.2903 0.3169 0.3169 6 11.4131 9.0137 0.3167 0.3167 7 6.3090 4.9982 0.3161 0.3161 8 3.4875 2.7907 0.3140 0.3140 9 1.9279 1.5911 0.3077 0.3077 10 1.0657 0.9583 0.2898 0.2898 11 0.5891 0.6407 0.2497 0.2497 12 0.3256 0.4869 0.1870 0.1870 13 0.1800 0.4128 0.1209 0.1209 14 0.0995 0.3760 0.0711 0.0711 15 0.0550 0.3566 0.0402 0.0402 16 0.0304 0.3461 0.0225 0.0225 17 0.0168 0.3404 0.0125 0.0125 18 0.0093 0.3372 0.0069 0.0069 19 0.0051 0.3355 0.0038 0.0038 20 0.0028 0.3345 0.0021 0.0021 21 0.0016 0.3340 0.0012 0.0012 22 8.6760e-004 0.3337 0.6505e-003 0.0007 23 4.7960e-004 0.3335 0.3596e-003 0.0002 24 2.6512e-004 0.3334 0.1988e-003 0.0001 25 1.4655e-004 0.3334 0.1099e-003 0.0001 26 8.1012e-005 0.3334 0.6076e-004 0.0000 27 4.4783e-005 0.3334 0.3359e-004 0.0000 28 2.4755e-005 0.3333 0.1857e-004 0.0000 29 1.3684e-005 0.3333 0.1026e-004 0.0002 Pada saat � = 100, = 10 −5 , = 4, dan = 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 29 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 2 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 39 iterasi. Tabel 3 Hasil iterasi pada saat � = 10, = 10 −3 Iterasi � 1 1 � 1 40 31.5518 0.3169 0.3169 1 22.1115 17.4458 0.3169 0.3169 2 12.2229 9.6518 0.3167 0.3167 3 6.7567 5.3499 0.3162 0.3162 4 3.7350 2.9833 0.3144 0.3144 5 2.0647 1.6947 0.3088 0.3088 6 1.1413 1.0117 0.2928 0.2928 7 0.6309 0.6669 0.2557 0.2557 8 0.3488 0.4994 0.1949 0.1949 9 0.1928 0.4189 0.1279 0.1279 24 2.6512e-005 0.3333 0.1988e-004 0.0000 25 1.4655e-005 0.3333 0.1099e-004 0.0000 10 0.1066 0.3791 0.0758 0.0758 11 0.0589 0.3583 0.0430 0.0430 12 0.0326 0.3470 0.0241 0.0241 13 0.0180 0.3409 0.0134 0.0134 14 0.0100 0.3375 0.0074 0.0074 15 0.0055 0.3356 0.0041 0.0041 16 0.0030 0.3346 0.0023 0.0023 17 0.0017 0.3340 0.0013 0.0013 Pada saat � = 10, = 10 −3 , = 4, dan = 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 17 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 3 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 24 iterasi. 2 Pada saat = 6 dan = 3 Maksimumkan − 3 Dengan kendala 1 1 − 1 1 3 1 − 2 1 3 1 + 2 1 1 3 2 − 3 1 3 2 + 3 1 Tabel 4 Hasil iterasi pada saat � = 10, = 10 −5 Iterasi � 1 1 � 1 60 32.9543 0.3035 0.3035 1 37.3221 20.4994 0.3034 0.3034 2 23.2157 12.7524 0.3034 0.3034 3 14.4410 7.9342 0.3034 0.3034 4 8.9828 4.9381 0.3033 0.3033 5 5.5876 3.0761 0.3029 0.3029 6 3.4757 1.9205 0.3021 0.3021 7 2.1620 1.2053 0.3001 0.3001 8 1.3448 0.7652 0.2956 0.2956 9 0.8365 0.4969 0.2859 0.2859 10 0.5204 0.3357 0.2673 0.2673 11 0.3237 0.2408 0.2362 0.2362 12 0.2013 0.1862 0.1929 0.1929 13 0.1252 0.1551 0.1443 0.1443 14 0.0779 0.1374 0.1002 0.1002 15 0.0485 0.1270 0.0663 0.0663 16 0.0301 0.1209 0.0428 0.0428 17 0.0188 0.1171 0.0272 0.0272 18 0.0117 0.1148 0.0171 0.0171 19 0.0073 0.1134 0.0107 0.0107 20 0.0045 0.1125 0.0067 0.0067 21 0.0028 0.1120 0.0042 0.0042 22 0.0017 0.1117 0.0026 0.0026 23 0.0011 0.1115 0.0016 0.0016 24 6.7564e-004 0.1113 0.0010 0.0010 25 4.2027e-004 0.1112 0.6299e-003 0.0006 26 2.6142e-004 0.1112 0.3920e-003 0.0004 27 1.6262e-004 0.1112 0.2439e-003 0.0002 28 1.0115e-004 0.1111 0.1517e-003 0.0002 29 6.2920e-005 0.1111 0.9437e-004 0.0001 30 3.9139e-005 0.1111 0.5870e-004 0.0001 31 2.4346e-005 0.1111 0.3652e-004 0.0000 32 1.5144e-005 0.1111 0.2272e-004 0.0000 Pada saat � = 10, = 10 −5 , = 6, dan = 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 32 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 4 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 41 iterasi. Tabel 5 Hasil iterasi pada saat � = 100, = 10 −5 Iterasi � 1 1 � 1 600 329.5349 0.3035 0.3035 1 373.2213 204.9825 0.3035 0.3035 2 232.1569 127.5065 0.3035 0.3035 3 144.4099 79.3137 0.3035 0.3035 4 89.8281 49.3362 0.3035 0.3035 5 55.8762 30.6893 0.3035 0.3035 6 34.7570 19.0906 0.3034 0.3034 7 21.6201 11.8762 0.3034 0.3034 8 13.4485 7.3893 0.3034 0.3034 9 8.3654 4.5994 0.3032 0.3032 10 5.2036 2.8657 0.3029 0.3029 11 3.2368 1.7901 0.3019 0.3019 12 2.0134 1.1248 0.2997 0.2997 13 1.2524 0.7159 0.2945 0.2945 14 0.7790 0.4671 0.2837 0.2837 15 0.4846 0.3180 0.2635 0.2635 16 0.3014 0.2306 0.2304 0.2304 17 0.1875 0.1804 0.1857 0.1857 18 0.1166 0.1518 0.1372 0.1372 19 0.0726 0.1355 0.0944 0.0944 20 0.0451 0.1259 0.0622 0.0622 21 0.0281 0.1202 0.0400 0.0400 22 0.0175 0.1167 0.0254 0.0160 23 0.0109 0.1146 0.0160 0.0100 24 0.0068 0.1133 0.0100 0.0063 25 0.0042 0.1124 0.0063 0.0160 26 0.0026 0.1119 0.0039 0.0039 27 0.0016 0.1116 0.0024 0.0024 28 0.0010 0.1114 0.0015 0.0015 29 6.2920e-004 0.1113 0.9427e-003 0.0009 30 3.9139e-004 0.1112 0.5867e-003 0.0006 31 2.4346e-004 0.1112 0.3650e-003 0.0004 32 1.5144e-004 0.1112 0.2271e-003 0.0002 33 9.4200e-005 0.1111 0.1413e-003 0.0001 34 5.8596e-005 0.1111 0.8788e-004 0.0001 35 3.6449e-005 0.1111 0.5467e-004 0.0001 36 2.2672e-005 0.1111 0.3401e-004 0.0000 37 1.4103e-005 0.1111 0.2115e-004 0.0000 Pada saat � = 100, = 10 −5 , = 6, dan = 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 37 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 5 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 47 iterasi. Tabel 6 Hasil iterasi pada saat � = 10, = 10 −3 Iterasi � 1 1 � 1 60 32.9543 0.3035 0.3035 1 37.3221 20.4994 0.3034 0.3034 2 23.2157 12.7524 0.3034 0.3034 3 14.4410 7.9342 0.3034 0.3034 4 8.9828 4.9381 0.3033 0.3033 5 5.5876 3.0761 0.3029 0.3029 6 3.4757 1.9205 0.3021 0.3021 7 2.1620 1.2053 0.3001 0.3001 8 1.3448 0.7652 0.2956 0.2956 9 0.8365 0.4969 0.2859 0.2859 10 0.5204 0.3357 0.2673 0.2673 11 0.3237 0.2408 0.2362 0.2362 12 0.2013 0.1862 0.1929 0.1929 13 0.1252 0.1551 0.1443 0.1443 14 0.0779 0.1374 0.1002 0.1002 15 0.0485 0.1270 0.0663 0.0663 16 0.0301 0.1209 0.0428 0.0428 17 0.0188 0.1171 0.0272 0.0272 18 0.0117 0.1148 0.0171 0.0171 19 0.0073 0.1134 0.0107 0.0107 20 0.0045 0.1125 0.0067 0.0067 21 0.0028 0.1120 0.0042 0.0042 22 0.0017 0.1117 0.0026 0.0026 23 0.0011 0.1115 0.0016 0.0016 Pada saat � = 10, = 10 −3 , = 6, dan = 3 maka jumlah iterasinya sebanyak 23 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 6 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak 29 iterasi. 2 V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan