Tujuan Sistematika Penulisan Sistem Persamaan Linear Definisi 1 Sistem Persamaan Linear Matriks dan Vektor Definisi 2 Ortogonal
I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Pengoptimuman merupakan salah satu cabang matematika terapan yang mempelajari
masalah meminimumkan atau memaksimum- kan. Dalam kehidupan sehari-hari banyak
permasalahan yang memerlukan optimasi. Optimasi digunakan secara luas hampir di
setiap aspek kehidupan, seperti di bidang teknik, ekonomi, manajemen dan industri.
Banyak penelitian yang telah menghasilkan teknologi baru, dan metode baru dalam
optimasi.
Pada tahun 1947, Dantzig mengajukan penggunaan metode simpleks untuk me-
mecahkan masalah optimasi linear OL. Daerah fisibel dari masalah optimasi linear
adalah suatu polihedron. Metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks dari
polihedron untuk memperoleh solusi optimal. Metode ini dirancang sehingga nilai dari
fungsi tujuan berubah secara monoton ke arah nilai optimal. Penemuan Dantzig telah
menginspirasi begitu banyak penelitian dalam matematika. Terdapat banyak varian dari
metode simpleks, yang dibedakan oleh aturan untuk memilih verteks yang akan dikunjungi
dikenal dengan aturan pivot Silalahi 2011.
Pada tahun 1972, Klee dan Minty mem- berikan suatu masalah dengan metode
simpleks memerlukan 2
− 1 iterasi untuk menyelesaikan suatu masalah optimasi linear
dengan 2n pertidaksamaan. Klee-Minty juga menunjukkan bahwa metode simpleks me-
merlukan waktu eksponensial untuk me- nyelesaikan masalah optimasi linear. Contoh
yang diberikan oleh Klee dan Minty kemudian dikenal dengan problem Klee-Minty KM,
yaitu
min kendala
�
�−1 �
1 − �
�−1
, k = 1,...,m
dengan = 0,
0,
1 2
Silalahi 2011. Pada tahun 1979, Khachiyan meng-
usulkan metode elipsoid untuk memecahkan permasalahan
optimasi linear
secara polinomial. Walaupun metode elipsoid ini
memiliki kompleksitas polinomial, namun dalam
penerapan secara
komputasional metode ini tidak efisien Silalahi 2011.
Pada tahun 1984, Karmarkar me- ngembangkan metode interior dan mem-
presentasikan suatu algoritme algoritme Karmarkar yang memiliki kompleksitas
polinomial yang lebih baik dari metode elipsoid. Sesuai dengan namanya, metode ini
akan melalui daerah dalam interior dari daerah solusi yang mungkin feasible dalam
mencari solusi optimal. Hal ini berlawanan dengan metode simpleks yang bergerak dari
verteks ke verteks Silalahi 2011.
Dalam perkembangannya, metode ini telah
dikembangkan dengan
beberapa pendekatan. Secara umum metode ini dapat
dikelompokkan menjadi tiga kategori, yaitu metode affine scaling, metode potential
reduction barrier dan metode central trajectory
path-following. Selain
itu, persoalan yang bisa diselesaikan dengan
metode ini juga mengalami perkembangan. Awalnya metode ini dikembangkan untuk
pemrograman linear dan sekarang sudah dikembangkan untuk masalah-masalah yang
lain,
seperti pemrograman
integer, pemrograman
jaringan, pemrograman
semidefinit Mitchell 1998
.
Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode interior primal-dual dengan langkah
full-Newton dalam memecahkan masalah Klee-Minty
tersebut. Selanjutnya
akan dilakukan analisis kompleksitas algoritme dari
masalah Klee-Minty dan menyelesaikan beberapa masalah optimasi linear untuk
melihat kesesuaiannya dengan kompleksitas algoritme dengan bantuan software MATLAB
R2008b.