Tujuan Sistematika Penulisan Sistem Persamaan Linear Definisi 1 Sistem Persamaan Linear Matriks dan Vektor Definisi 2 Ortogonal

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pengoptimuman merupakan salah satu cabang matematika terapan yang mempelajari masalah meminimumkan atau memaksimum- kan. Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang memerlukan optimasi. Optimasi digunakan secara luas hampir di setiap aspek kehidupan, seperti di bidang teknik, ekonomi, manajemen dan industri. Banyak penelitian yang telah menghasilkan teknologi baru, dan metode baru dalam optimasi. Pada tahun 1947, Dantzig mengajukan penggunaan metode simpleks untuk me- mecahkan masalah optimasi linear OL. Daerah fisibel dari masalah optimasi linear adalah suatu polihedron. Metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks dari polihedron untuk memperoleh solusi optimal. Metode ini dirancang sehingga nilai dari fungsi tujuan berubah secara monoton ke arah nilai optimal. Penemuan Dantzig telah menginspirasi begitu banyak penelitian dalam matematika. Terdapat banyak varian dari metode simpleks, yang dibedakan oleh aturan untuk memilih verteks yang akan dikunjungi dikenal dengan aturan pivot Silalahi 2011. Pada tahun 1972, Klee dan Minty mem- berikan suatu masalah dengan metode simpleks memerlukan 2 − 1 iterasi untuk menyelesaikan suatu masalah optimasi linear dengan 2n pertidaksamaan. Klee-Minty juga menunjukkan bahwa metode simpleks me- merlukan waktu eksponensial untuk me- nyelesaikan masalah optimasi linear. Contoh yang diberikan oleh Klee dan Minty kemudian dikenal dengan problem Klee-Minty KM, yaitu min kendala � �−1 � 1 − � �−1 , k = 1,...,m dengan = 0,   0, 1 2 Silalahi 2011. Pada tahun 1979, Khachiyan meng- usulkan metode elipsoid untuk memecahkan permasalahan optimasi linear secara polinomial. Walaupun metode elipsoid ini memiliki kompleksitas polinomial, namun dalam penerapan secara komputasional metode ini tidak efisien Silalahi 2011. Pada tahun 1984, Karmarkar me- ngembangkan metode interior dan mem- presentasikan suatu algoritme algoritme Karmarkar yang memiliki kompleksitas polinomial yang lebih baik dari metode elipsoid. Sesuai dengan namanya, metode ini akan melalui daerah dalam interior dari daerah solusi yang mungkin feasible dalam mencari solusi optimal. Hal ini berlawanan dengan metode simpleks yang bergerak dari verteks ke verteks Silalahi 2011. Dalam perkembangannya, metode ini telah dikembangkan dengan beberapa pendekatan. Secara umum metode ini dapat dikelompokkan menjadi tiga kategori, yaitu metode affine scaling, metode potential reduction barrier dan metode central trajectory path-following. Selain itu, persoalan yang bisa diselesaikan dengan metode ini juga mengalami perkembangan. Awalnya metode ini dikembangkan untuk pemrograman linear dan sekarang sudah dikembangkan untuk masalah-masalah yang lain, seperti pemrograman integer, pemrograman jaringan, pemrograman semidefinit Mitchell 1998 . Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton dalam memecahkan masalah Klee-Minty tersebut. Selanjutnya akan dilakukan analisis kompleksitas algoritme dari masalah Klee-Minty dan menyelesaikan beberapa masalah optimasi linear untuk melihat kesesuaiannya dengan kompleksitas algoritme dengan bantuan software MATLAB R2008b.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah i Membahas metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton. ii Menganalisis kompleksitas algoritme interior primal-dual dengan langkah full-Newton. iii Menyelesaikan beberapa masalah Klee- Minty dan melihat kesesuaiannya dengan kompleksitas algoritme.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari lima bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi konsep. Bab ketiga berisi penjelasan metode interior primal-dual dengan langkah full- Newton. Bab keempat merupakan studi kasus dan bab kelima berisi kesimpulan dan saran. 2 II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Linear Definisi 1 Sistem Persamaan Linear

Suatu persamaan linear dalam n peubah variable adalah persamaan dengan bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b di mana a 1, a 2 , . . . , a n dan b adalah bilangan- bilangan real dan x 1 , x 2 , . . . ,x n adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah adalah satu sistem berbentuk: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m dengan a ij dan b i semuanya adalah bilangan- bilangan real. Kita akan menyebut sistem- sistem di atas sebagai sistem linear × . Leon 2001

2.2 Matriks dan Vektor Definisi 2 Ortogonal

Vektor – vektor x dan y di dalam ℝ 2 atau ℝ 3 dikatakan ortogonal jika x T y = 0. Leon 2001 Definisi 3 Hasil Kali Skalar di ℝ � Misalkan x,y ∈ ℝ � dengan x= 1 2 . . . , y= 1 2 . . . maka hasil kali skalar dari x dan y adalah T = 1 1 + 2 2 + . . . + Leon 2001 Definisi 4 Hadamard product Misalkan vektor x, y ∈ ℝ , X, Y ∈ ℝ × dengan n menyatakan banyak baris dan banyak kolom pada matriks. Vektor x dan y didefinisikan sebagai berikut x = 1 2 , y= 1 2 dan notasi diagx adalah matriks diagonal dengan unsur diagonal utama ialah vektor x = �� = 1 2 ⋱ = �� = 1 2 ⋱ maka Hadamard product dari x dan y adalah xy = Xy = Yx = yx Dengan kata lain, Hadamard product adalah perkalian antara unsur dengan unsur yang seletak componentwise dari dua buah vektor yang berukuran sama. Componentwise juga berlaku pada operasi pembagian dan operasi akar untuk vektor x dan s sebagai berikut � = i � � = 1 2 � 1 � 2 � = i = 1 2 Roos et al. 2006 Definisi 5 Norm dari Suatu Vektor di ℝ � Misalkan x ∈ ℝ dengan x = 1 2 , maka norm dari vektor x di ℝ adalah = � = 1 2 + 2 2 + + 2 Leon 2001 Definisi 6 Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika A adalah matriks × , maka ruang bagian dari ℝ 1× yang direntang oleh vektor- vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari ℝ yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Leon 2001 Definisi 7 Ruang Nol Misalkan A adalah matriks × . Misalkan NA menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen � = �. Jadi � � = { ∈ ℝ |� = �} Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen � = � membentuk ruang bagian dari ℝ . Ruang bagian NA disebut kernel ruang nol atau nullspace dari A. Leon 2001

2.3 Optimasi Linear dan Dualitas