Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
BAB III ANALISA PELAT
III.1 Penyelesaian Eksak untuk Persamaan Differnsial Pelat
Ditinjau dari sudut matematis, persamaan differensial pelat termasuk persamaan diferensial berorde empat dengan koefisien konstan. Bentuk homogeni
dari persamaan ini adalah ∆w = 0 3.1
yang disebut persamaan biharmonis. Di mana
∆w = +
3.2 Dalam hal ini akan digunakan penyelesaian dengan Metode Pelat Dua Arah
atau Metode M. Levy.
III.2 Pelat Silindris One Way Slab
L 1 m
w Y
X Z
Gambar 3.1 Pelat Silindris Sumber : Teori Pelat dan Cangkang, S. Timoshenko
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Pelat silindris adalah pelat yang melengkung pada satu arah yang berbentuk silindris. Bentuknya dianggap bisa melengkung satu arah jika panjang pelat jauh
lebih panjang dari lebarnya lihat gambar 3.1. Jika perbandingan antara panjang dan lebar lebih besar dari 3 maka dapat di
definisikan pelat silindris atau one way slab.
III.2.1 Menentukan Kekakuan Pelat
Untuk memperoleh persamaan lendutan, pelat ditinjau sebagai suatu pelat yang seragam ketebalannya h dan lebar pelat dinyatakan dengan l, maka lajur
elemen dapat dianggap sebagai suatu batang berpenampang empat persegi panjang dengan panjkang l dan tinggi h
M z
dz σ
x
M
σ
x 1
2
h
1 2
h
σ
y
Gambar 3.2 Teganganregangan pada pelat
Sumber : Teori Pelat dan Cangkang, S. Timoshenko
Hukum Hooke :
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
3.3
Untuk menentukan kekakuan pelat dapat dilihat di gambar 3.2 diatas. Berdasarkan Hukum Hooke maka regangan ke arah y dianggap nol agar dapat
memelihara kontinuitas dalam pelat selama pelenturan, yang kemudian diikuti oleh persamaan 3.3 yang kedua yaitu
. Dengan memasukkan harga ini ke dalam persamaan 3.3, kita akan peroleh :
dan 3.4
Bilamana pelat mengalami pengaruh gaya-gaya tarik dan tekan yang bekerja dalam arah x dan terbagi rata sepanjang sisi memanjang pelat, maka tegangan
langsung yang bersangkutan harus ditambahkan pada tegangan 3.4 yang di akibatkan pelenturan.
Setelah diperoleh persamaan tegangan lentur , dengan integrasi kita
mendapatkan momen lentur pada jalur elemen: M =
dz = 3.5
3.6 Hubungan antara momen dengan kekakuan pelat adalah:
3.7
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
III.2.2 Pelat Silindris One Way Slab di Tumpuan Sederhana
w x
S S
q
1 2
qL
Gambar 3.3 pelat silindris Sumber : Teori Pelat dan Cangkang, S. Timoshenko
Tinjaulah suatu pelat empat persegi panjang yang dibebani merata dengan tepi-tepi memanjang yang bebas berputar tetapi tidak bisa bergerak saling mendekati
pada saat melentur. Suatu lajur elemen yang dipotong dari pelat ini, sebagaimana diperlihatkan gambar 1, merupakan keadaan batang yang dibebani merata serta
mengalami gaya aksial S gambar 3. Besar S adalah sedemikian rupa sehingga dapat menahan ujung-ujung batang agar tidak bergerak sepanjang sumbu x. apabila q
menunjukkan intensitas beban merata, maka momen lentur pada setiap penampang melintang dari lajur itu adalah:
3.8
Dengan mensubstitusikan menyulihkan persamaan di atas ke dalam persamaan 3.7, akan diperoleh:
- 3.9a
Dengan menggunakan notasi
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
3.9b Maka penyelesaian umum persamaan 3.9 dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini:
3.10 Konstanta integrasi
dan dapat ditetapkan dari kondisi di ujung-ujungnya. Oleh
karena lendutan lajur ini pada bagian ujungnya adalah nol, maka akan kita peroleh: untuk
dan Dengan mensubstitusikan w pada persamaan 3.10, dan dari keadaan itu, akan kita
peroleh:
dari persamaan 3.10 untuk lendutan w menjadi:
dengan mensubstitusikan ;
dapat kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk yang lebih sederhana :
atau 3.11
Lendutan pada jalur elemen tergantung pada besar u yang merupakan fungsi S. Gaya ini dapat ditentukan dari keadaan di mana ujung-ujung dari jalur ini tidak
bergerak sepanjang sumbu z. Sehingga perpanjangan jalur yang dihasilkan oleh gaya- gaya S ternyata sama dengan perbedaan antara panjang busur sepanjang kurva
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
lendutan dan panjang tali busur l. Perbedaan untuk lendutan kecil ini dapat dinyatakan dengan rumus:
3.12a Dalam menghitung perpanjangan lajur yang dihasilkan oleh gaya-gaya S, kita
menganggap bahwa regangan lateral lajur ini dalam arah y mengalami suatu penahan, dan dengan mempergunakan persamaan 3.4 kemudian:
3.12b
Dengan mensubstitusikan w dari persamaan 3.11 dan dengan mengintegrasikannya, kita dapat memperoleh persamaan untuk menghitung S :
3.12c
Atau mensubstitusikan S = 4 D , dari persamaan 3.9b, dan pernyataan D dari
persamaan 3.6 akhirnya kita akan memperoleh persamaan:
Dimana =
3.13
Nilai u dapat diperoleh dengan coba-coba taupun dengan grafik hubungan antara nilai u dengan
.
Dari persamaan 3.7,besar momen lentur maksimal adalah
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
3.14 Dimana
Gambar 3.4 grafik hubungan nilai u dengan .
Sumber : Teori Pelat dan Cangkang, S. Timoshenko
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Tegangan tarik langsung dan tegangan lentur maksimum
sekarang siap untuk dinyatakan dalam suku-suku u, q dan konstanta-konstanta pelat sebagai
berikut: 3.15
= 3.16
Kemudian tegangan dalam pelat adalah:
Jika kita memasukkan nilai x=l2 ke dalam persamaan 3.11, akan diperoleh: 3.17
Dengan 3.18
Nilai dan
dapat ditentukan dengan grafik hubungan antara nilai u dengan
, ,
berikut.
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Gambar 3.5 Grafik hubungan nilai u dengan ,
dan .
Sumber : Teori Pelat dan Cangkang, S. Timoshenko
III.3 Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Sederhana dan Dibebani Merata Dengan Cara M. Levy Two Way Slab
Dalam membahas persoalan lenturan pelat persegi panjang yang memiliki dua tepi sederhana yang saling berhadapan dan ditumpu secara sederhana, M .Levy
menyarankan unutk mengambil bentuk penyelesaian suatu deret: 3.19
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Gambar 3.6
Dimana merupakan fungsi y saja. Di sini diasumsikan bahwa sisi-sisi
dan gambar gambar 3.6 ditumpu secara sederhana. Maka setiap suku dari deret
yang ada persamaan 3.19 memenuhi kondisi batas: ;
. Kemudian ditetapkan dengan cara sedemikian agar memenuhi kondisi batas pada sisi
dan juga persamaan permukaan lendutan:
Dalam metode ini beban merata dapat disederhanakan lebih lanjut dengan membuat
persamaan 29 di atas menjadi dalam bentuk :
3.20
Dengan mengambil :
3.21
sehingga persamaan harus memenuhi persamaan :
3.22
x y
a b2
b2
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Dengan mengambil persamaan dalam bentuk deret dimana dari sifat simetri
m=1,3,5,…, dan disubstitusikan ke dalam persamaan 3.22 maka akan diperoleh :
Persamaan ini dapat dipenuhi untuk semua nilai hanya bila fungsi memenuhi
persamaan :
Integral umum dari persamaan ini dapat diambil dalam bentuk : 3.23
Karena lendutan adalah simetri terhadap sumbu x, maka hanya fungsi genap y dalam persamaan 3.33 yang dipertahankan dan mengambil konstanta-konstanta integrasi
.
Sehingga persamaan lendutan dinyatakan sebagai :
]
Nilai-nilai konstanta dan
kemudian ditentukan dengan cara sedemikian sehingga memenuhi kondisi batas :
pada sisi .
Dengan menotasikan : , persamaan 3.34 disubsitusikan ke dalam
kondisi batas sehingga diperoleh persamaan-persamaan berikut ini untuk menentukan konstanta
dan :
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
Kedua persaman diatas diselesaikan sehingga diperoleh : 3.25
Nilai-nilai dan
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 3.34 sehingga diperoleh persamaan umum untuk lendutan pada pelat yang ditumpu
sederhana pada ke empat sisinya yaitu:
3.26 Nilai lendutan masksimum dicapai pada:
dimana: ;
; Sehingga :
Nilai lendutan maksimum juga dapat dinyatakan suatu bentuk deret lain seperti berikut :
3.28 Dengan menggunakan persamaan 3.35 kita dapat menggambarkan lendutan
maksimum pelat dalam bentuk : 3.29
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
dimana merupakan suatu faktor bilangan yang tergantung pada perbandingan dari sisi pelat.
Untuk mendapatkan persamaan untuk menentukan nilai-nilai dan
, kita mensubstitusikan persamaan umum lendutan 76 ke dalam persamaan 27 sehingga
diperoleh :
3.30
3.31
Pada tengah bentang yaitu pada dan
, besar momen lentur dapat ditentukan dengan :
3.32 3.33
3.34
3.35
Kedua deret di atas konvergen dengan cepat dan digambarkan dalam bentuk : 3.36
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
3.37
Nilai maksimum dari momen-momen ini dinyatakan dengan : 3.38
Hendri Sitohang : Analisa Pelat Satu Arah One Way Slab Dari Teori M. Levy, 2008. USU Repository © 2009
BAB IV APLIKASI ANALISA PELAT SATU ARAH ONE WAY SLAB
