KNM XVI - 3-6 Juli 2012
– UNPAD, Jatinangor
nyimpangan asumsi dalam model regresi linear sehingga diperoleh model regresi yang sesuai. Bentuk atau fungsi dipilih melalui teknik
trial
dan
error
sehingga penggunaan transformasi yang tepat akan membawa pada metode pendugaan yang relatif mudah,
tetapi kesalahan penggunaan transformasi bisa juga membawa pada metode pendugaan dengan model yang lebih rumit, Neter et al [7]. Pendekatan kedua adalah pendekatan
nonparametrik. Estimasi fungsi regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan menggunakan teknik pemulusan
smoothing
. Terdapat beberapa teknik
smoothing
dalam model regresi nonparametrik antara lain histogram, estimator kernel, deret orthogonal, estimator
spline
, k-NN, deret fourier, dan wavelet, Eubank [2]. Macam-macam fungsi kernel meliputi kernel
Uniform
,
Triangle
,
Epanechnikov
,
Gaussian
, kuartik, dan cosines, Hardle [4]. Dalam regresi kernel pemilihan parameter pemulus
bandwidth
jauh lebih penting dibandingkan dengan memilih fungsi kernel. Fungsi kernel yang umum digunakan adalah kernel Gaussian dan kernel Epanechnicov,
Hastie dan Tibshirani [5]. Kernel
Triangle
sering digunakan karena lebih mudah dan cepat dalam perhitungan, Mathsoft [6]. Sedang salah satu bentuk estimator
spline
yang sering digunakan adalah
Penalized Spline
, Ruppert [8]. Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah membandingkan estimator
kernel dan estimator
spline
dalam mengestimasi model regresi nonparametrik pada data sekunder berdasarkan kriteria MSE, RMSE, dan MAD.
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Estimator Densitas Kernel
Estimator densitas kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram. Estimator kernel diperkenalkan oleh Rosenblatt 1956 dan Parzen 1962 sehingga
disebut estimator densitas kernel Rosenblatt-Parzen, Hardle [4]. Secara umum kernel
K
dengan
bandwith h
menurut Wand dan Jones [9] didefinisikan sebagai:
h
x K
h x
K
h
1
, untuk -
x
, h 2 serta memenuhi:
i
x K
, untuk semua
x
; ii
1 dx
x K
; iii
2 2
dx x
K x
; iv
0
dx x
xK
maka estimator densitas kernel untuk fungsi densitas x
f adalah:
n i
i i
n i
h h
h x
x K
nh x
x K
n x
f
1 1
1 1
ˆ
3 Dari persamaan 3 terlihat bahwa
ˆ x f
h
tergantung pada fungsi kernel
K
dan parameter h . Bentuk bobot kernel ditentukan oleh fungsi kernel
K
, sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus
h yang disebut
bandwidth.
Peran
bandwidth
seperti lebar interval pada histogram.
582
ISBN: 978-602-19590-2-2 Fungsi kernel
Triangle
dan
Gaussian
menurut Hardle [4] didefiniskan sebagai : a.
Kernel
Triangle
: K
x
=
x
1
I
1
x
b. Kernel Gaussian
: K
x
=
2
2 1
exp 2
1
x
x
Dengan I adalah fungsi indikator. Regresi kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk mengestimasi fungsi
regresi x
m pada model regresi nonparametrik
i i
i
x m
y
. Nadaraya dan Watson tahun 1964 mendefinisikan estimator regresi kernel
sehingga disebut estimator Nadaraya-Watson, Hardle [4], yaitu :
n i
i h
n i
i i
h
x x
K n
y x
x K
n x
m
1 1
1 1
ˆ
atau
ˆ x m
=
i n
i h i
y x
w
1
;
n i
i i
n i
i i
hi
h x
x K
h x
x K
h x
x K
h h
x x
K h
x w
1 1
1 1
Bandwidth h
adalah parameter pemulus
smoothing
yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari kurva yang diestimasi.
Bandwith
yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang
undersmoothing
yaitu sangat kasar dan sangat fluktuatif, dan sebaliknya
bandwith
yang terlalu lebar akan menghasilkan kurva yang
oversmoothing
yaitu sangat mulus, tetapi tidak sesuai dengan pola data, Hardle [4]. Oleh karena itu, harus dilakukan pemilihan
bandwidth
yang optimal. Salah satu metode untuk mendapatkan
h optimal adalah dengan menggunakan kriteria
Generalized Cross Validation
GCV, Eubank [2], yang didefinisikan sebagai berikut:
2
1
h
H I
tr n
MSE h
GCV
dengan MSE =
n i
i h
i
x m
y n
1 2
1
Dalam hal ini,
h
optimal yang terpilih adalah nilai
h
yang memberikan nilai
GCV h
minimum, kurva regresi yang dihasilkan cukup mulus dan sesuai dengan pola data.
2.2 Estimator
