KNM XVI - 3-6 Juli 2012
– UNPAD, Jatinangor
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
1 1
1 2
1 1
1 2
1
1 1
1
K p
p p
p K
n p
n p
n n
n p
K p
p p
K p
p
n
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
m x
m x
m
sehingga
X X
m
Estimator penalized spline dari
X m
dapat dituliskan sebagai
ˆ ˆ
X X
m
Nilai
ˆ
diperoleh dengan menggunakan Estimator Penalized Spline yaitu meminimumkan fungsi Penalized Least Square PLS:
K k
k p
n i
i i
x m
y
1 2
2
4 dengan
adalah suatu parameter pemulus,
K
adalah jumlah knot, dan
p
adalah orde polinomial.
Dengan meminimumkan fungsi PLS pada persamaan 4, sehingga diperoleh
ˆ
, yaitu:
Y X
D X
X
T T
1
ˆ
Bentuk estimasi dari fungsi
ˆ X m
menurut Wand dan Jones [9], secara matriks dituliskan sebagai :
Y X
D X
X X
X m
T T
1
ˆ
2.3 Pemilihan Parameter Pemulus
Optimal
Parameter
merupakan pengontrol keseimbangan antara kecocokan terhadap data goodness of fit dan kemulusan kurva penalty. Jika
besar maka estimasi fungsi yang diperoleh akan semakin mulus, namun kemampuan untuk memetakan data tidak terlalu baik.
Sebaliknya, jika
kecil maka estimasi fungsi yang diperoleh akan semakin kasar, Fahrmeir dan Tuhtz [3]. Oleh karena itu, dalam memilih nilai
diharapkan nilainya optimal agar diperoleh estimasi fungsi yang mulus dan pemetaan data yang baik.
Suatu kriteria untuk
akan dibatasi pada kelas estimator linier, yaitu:
Y H
m
dengan
T T
X D
n X
X X
H
1
dimana untuk setiap
ada matriks pemulus H
berukuran n × n dengan H
simetri dan semidefinit positif. Identik dengan penentuan bandwith h optimal dalam estimator Kernel, untuk
mendapatkan
optimal digunakan metode Generalized Cross Validation GCV, Eubank [2] yang didefinisikan sebagai berikut:
2 1
] [
H I
tr n
MSE GCV
dengan
n i
i i
x m
y n
MSE
1 2
1
2.4 Pemilihan Jumlah Knot Optimal
Jumlah knot
K
merupakan banyaknya titik knot atau banyaknya titik dimana terjadi perubahan perilaku fungsi pada interval yang berbeda. Dengan knot ke-k adalah
kuantil ke-j dari nilai tunggal variabel prediktor
n i
i
x
1
, dimana
1
K
k j
yang dibulatkan pada bilangan bulat terdekat. Sehingga dalam penalized spline, penentuan jumlah knot
sangat berpengaruh untuk menentukan titik knot dalam fungsi tersebut. Algoritma yang dapat digunakan untuk memilih jumlah knot
K
optimal adalah algoritma Full-Search, Ruppert [8]. Dalam algoritma Full-Search, jumlah knot yang dihitung
584
ISBN: 978-602-19590-2-2
diurut dari
1
K sampai dengan
1
p n
K
uniq
, dimana
uniq
n
adalah banyaknya nilai tunggal dari variabel prediktor
n i
i
x
1
, sehingga jumlah knot
K
kurang dari jumlah pengamatan.
2.5 Ukuran Ketepatan Estimator
Untuk menentukan kebaikan suatu estimator dapat dilihat dari tingkat kesalahannya. Semakin kecil tingkat kesalahannya semakin baik estimasinya. Menurut Aydin [1], kriteria untuk
menentukan estimator terbaik dalam model regresi nonparametrik, antara lain:
a.
Mean Square Error
MSE, MSE =
n i
i i
n i
i
y y
n e
n
1 2
1 2
ˆ 1
1
b. Root Mean Square Error RMSE, RMSE =
MSE
c. Mean Absolute Deviation MAD, MAD =
n y
y n
e
n t
i i
n t
t
1 1
ˆ
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, hasil penelitian yang dilakukan oleh Schmidt, Mattern, dan Schuler pada tahun 1981 yaitu data simulasi
tabrakan sepeda motor pada suatu
Post Mortem Human Test Object
PTMO, Hardle [4] untuk melihat kurva hubungan antara percepatan setelah tabrakan dengan waktu setelah
terjadinya tabrakan dengan estimator Kernel Gaussian. Variabel dalam penelitian ini adalah variabel prediktor X yaitu waktu dalam milidetik setelah simulasi tabrakan, dan
variabel respon Y yaitu percepatan
g
= 9,81 ms
2
setelah tabrakan yang disimulasikan. Model regresi nonparametrik dalam penelitian ini, diestimasi menggunakan
estimator kernel dengan fungsi kernel
Triangle
dan kernel Gaussian, serta estimator
penalized spline
. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: i
Mengestimasi kurva regresi nonparametrik dengan estimator kernel
Triangle
. ii
Mengestimasi kurva regresi nonparametrik dengan estimator kernel Gaussian. iii
Mengestimasi model regresi nonparametrik dengan estimator
penalized spline
. iv
Membandingkan hasil estimasi antara estimator kernel dan estimator
spline
berdasarkan kriteria MSE, RMSE, dan MAD, serta membandingkan plot estimasi kurva regresi bersama-sama dengan plot data.
3. Hasil