Teori Maxwell Kegiatan Belajar 3

174

4. Teori Maxwell

Untuk mengatasi rasa bosan seperti yang dijelaskan di atas maka Maxwell memperkenalkan suatu metoda yang disebutnya sebagai metoda arus-arus loop current-loop untuk menyelesaikan permasalahan jaringan listrik yang rumit. Dalam metode ini Maxwell mengembangkan aturan-aturan yang telah dikemukaan oleh Kirchoff dalam Hukum Kirchoff tegangan dan menerapkanya melalui loop-loop yang yang dibentuk pada rangkaian yang bersangkutan. Dengan menerapkan arah arus loop maka arah arus pada setiap cabang resistor secara otomatis dapat mengikuti arah loop tersebut. Sehingga kita tidak perlu memperkirakan lagi secara khusus arah arus setiap cabang. Berikut ini diberikan contoh aplikasinya. Gambar 4.6 Sirkit Paralel 3 loop Dari gambar diketahui suatu rangkaian listrik yang terdiri dari dua buah sumber tegangan betere U 1 dan U 2 dan lima buah resistor R 1 , R 2 , R 3 , R 4 dan R 5 yang tersambung secara seri dan parallel. Untuk menyelesaikan masalah ini, maka Maxwell membuat perkiraan arus loop sebanyak tiga buah loop dengan arah arus searah jarum jam, yaitu loop pertama dengan arus I 1 , loop kedua dengan arus I 2 dan loop ketiga dengan arus I 3 . Di unduh dari : Bukupaket.com 175 Dengan arus loop ini kita akan mudah menentukan arus pada setiap cabangnya. Misalnya : arus pada R 1 adalah I 1 , pada R 4 adalah I 1 – I 2 , pada R 2 adalah I 2 , pada R 5 adalah I 2 – I 3 dan pada R 3 adalah I 3 . Dengan menerapkan hukum tegangan dari Kirchoff kepada ketiga loop tersebut maka kita dapatka : Loop I U 1 – I 1 .R 1 – I 1 – I 2 .R 4 = 0 I 1 R 1 + R 4 – I 2 . R 4 – U 1 = 0 Loop II -I 2 .R 2 – I 2 – I 3 . R 5 – I 2 – I 1 .R 4 = 0 I 1 .R 4 – I 2 . R 2 + R 4 + R 5 + I 3 .R 5 = 0 Loop III - I 3 .R 3 – U 2 – I 3 – I 2 .R 5 = 0 I 2 .R 5 – I 3 R 3 + R 5 – U 2 = 0 Dengan menyelesaikan ketiga persamaan loop tersebut akan kita dapatkan semua arus cabang yang ada pada rangkaian tersebut. Arus Mata Jala dan Matriks Persamaan simultan n dari sebuah jaringan mata jala dapat dituliskan dalam bentuk matriks. Elemen-elemen matriks dapat digunakan dalam bentuk umum sebagai berikut : Di unduh dari : Bukupaket.com 176 Bila kita terapkan ke contoh aplikasi metoda loop dari Maxwell di atas maka kita dapatkan sebagai berikut : Elemen R 11 baris 1, kolom 1 adalah jumlah dari semua tahanan di mana arus mata jala I 1 melewatinya yakni R 1 dan R 4 . Dengan cara yang sama, elemen R 22 baris 2, kolom 2 dan R 23 baris 2, kolom 3 adalah jumlah dari semua tahanan di mana arus I 2 dan I 3 melewatinya. Elemen R 12 baris 1, kolom2 adalah jumlah dari semua tahanan di mana arus mata jala I 1 dan I 2 melewatinya. Tanda R 12 adalah positif jika kedua arus dalam arah yang sama melalui masing-masing tahanan dan negatif bila mereka dalam arah yang berlawanan. Dalam contoh di atas R 4 adalah satu-satunya tahanan milik bersama bagi arus I 1 dan I 2 dan arah-arah arusya adalah melawan arah dalam R 4 sehingga tandanya adalah negatif. Dengan cara yang sama, elemen R 21 , R 23 , R 13 dan R 31 adalah penjumlahan dari tahanan-tahanan bersama bagi kedua arus mata jala yang ditunjukkan oleh angka subskrip-nya. Matrik arus tidak memerlukan penjelasan, karena elemen-elemen berada dalam sebuah kolom tunggal dengan angka subskrip 1, 2 dan 3. untuk memperlihatkan arus mata jala yang bersangkutan. Elemen U 1 dalam matriks tegangan adalah penjumlahan dari semua sumber tegangan yang mengerakkan arus mata jala I 1 . Di dalam menghitung penjumlahan, sebuah tegangan dihitung positif bila I 1 lewat dari terminal negatif ke terminal positif dari sumber, jika tidak maka dihitung negatif. Dengan kata lain, sebuah tegangan adalah positif jika sumber menggerakkan arus dalam arah yang sama dengan arus mata jala. Dalam contoh di atas, mata jala 1 memiliki satu sumber tegangan U 1 menggerakkan arus dalam arah I 1 , mata jala 2 tidak memiliki sumber dan mata jala 3 memiliki Di unduh dari : Bukupaket.com 177 sumber U 2 menggerakkan arus beralwanan dengan arah I 3 sehingga membuat U 3 menjadi negatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan hasil berikut ini: Persamaan matriks yang didapat dari metode arus mata jala dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu yang banyak disukai adalah metode determinan dari Cramer, sebagai berikut: Arus I 1 yang tidak diketahui diperoleh sebagai perbandingan antara dua determina. Determinan penyebut memiliki elemen-elemen dari matriks tahanan Ini bisa ditunjukkan sebagai determinan dari koefisien-koefisien dan diberi simbol R. Determinan pembilang meiliki elemen yang sama seperti R kecuali dalam kolom pertama di mana elemen matriks tegangan menggantikan elemen determinan koefisien. Jadi dapat dituliskan sebagai berikut : Dengan cara yang sama kita dapatkan harga arus mata jala lainya, yaitu: Di unduh dari : Bukupaket.com 178             33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 1 R U R R U R R U R R I             3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 1 U R R U R R U R R R I Contoh Soal : Tentukan parameter arus mata jala pada rangkaian berikut ini : Penyelesaian : Penerapan hukum tegangan Kirchoff pada masing-masing mata jala menghasilkan persamaan sebagai berikut : 60 = 7I 1 + 12 I 1 -I 2 0 = 12I 2 –I 1 + 6I 2 -I 3 0 = 6I 3 -I 2 + 12I 3 Di unduh dari : Bukupaket.com 179 Persamaan Matriks-nya didapat sebagai berikut :                                    60 18 6 6 18 12 12 19 3 2 1 I I I Sesuai aturan Cramer kita dapatkan harga I 1 Yaitu : A I 6 2880 17280 18 6 6 18 12 12 19 18 6 6 18 12 60 1                               Tugas: Berikan Komentarmu tentang aplikasi determinan untuk menyelesaikan masalah rangkaian listrik seperti contoh di atas.

5. Transformasi Star-Delta