Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012
Gambar 2 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu.
3.5 Model Inventori-Produksi Diskret
Misalkan waktu perencanaan dibagi menjadi N selang yang sama panjang. Perubahan tingkat persediaan dinyatakan dalam persamaan beda
ܫሺ݇ ͳሻ െ ܫሺ݇ሻ ܶ
ݏ
ൌ ܲሺ݇ሻ െ ܦሺ݇ሻ െ ߙߚ݇
ߚെͳ
ܫሺ݇ሻ 12
dengan ܶ
ݏ
adalah panjang subinterval. Dengan menyusun ulang persamaan 12 diperoleh
ܫሺ݇ ͳሻ ൌ ൣͳ െ ܶ
ݏ
ߙߚ݇
ߚെͳ
൧ܫሺ݇ሻ ܶ
ݏ
ሾܲሺ݇ሻ
െ ܦሺ݇ሻ
13
Jika ܫመܲ memenuhi 13 maka didapatkan
ܫመ ൌ ൣͳ െ ܶ
ݏ
ߙߚ݇
ߚെͳ
൧ܫመ ܶ
ݏ
ൣܲሺ݇ሻ െ ܦሺ݇ሻ൧ 14
Didefinisikan operator ο sebagai berikut: οܫሺ݇ሻ ൌ ܫሺ݇ሻ െ ܫመ, dan οܲ ൌ ܲሺݐሻ െ ܲ. Jika
persamaan 13 dikurangi dengan persamaan 14 didapatkan
οܫሺ݇ ͳሻ ൌ ܽሺ݇ሻοܫሺ݇ሻ ܶ
ݏ
οܲሺ݇ሻ 15
dengan ܽሺ݇ሻ ൌ ͳ െ ܶ
ݏ
ߙߚ݇
ߚെͳ
. Masalah kontrol optimum diskret ialah meminimumkan fungsional objektif
Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012 ܬ ൌ
ͳ ʹ
ሾ݄ο
ʹ
ܫሺ݇ሻ ܭο
ʹ
ܲሺ݇ሻሿ
ܰ Ͳ
Ǥ 13
dengan kendala ܲሺ݇ሻ Ͳ, ܫሺͲሻ ൌ ܫ
Ͳ
, ܫሺܶሻ ൌ ܫ
ܶ
, dan persamaan 15.
3.6 Solusi Numerik
Didefinisikan pengali Lagrange ߣሺ݇ሻ dengan fungsi lagrange:
ܮ ൌ ͳ
ʹ ሼ݄ο
ʹ
ܫሺ݇ሻ ܭο
ʹ
ܲሺ݇ሻሽ
ܰെͳ Ͳ
ߣሺ݇ ͳሻሾെȟܫሺ݇ ͳ ܽሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ܶ
ݏ
οܲሺ݇ሻሿ
17
sehingga diperoleh syarat perlu:
οܲሺ݇ሻ
ܮ ൌ Ͳǡ
οܫሺ݇ሻ
ܮ ൌ Ͳǡ
ߣሺͳ݇ሻ
ܮ ൌ Ͳǡ yang masing-masing setara dengan:
οܲሺ݇ሻ ൌ െ ܶ
ݏ
ܭ ߣሺ݇ ͳሻ
18
ߣሺ݇ሻ ൌ ݄ȟܫሺ݇ሻ ܽሺ݇ሻߣሺ݇ ͳሻ
19
dan persamaan 3.15. Untuk mendapatkan solusi optimum, digunakan metode sweep [6]. Untuk
݇ ൌ Ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ܰ, dinotasikan ݏሺ݇ሻ sehingga ߣሺ݇ሻ ൌ ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻǤ
20
Dengan menyubstitusi persamaan 20 ke dalam persamaan 18 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ െ
ܶ
ݏ
ܭ ݏ ሺ݇ ͳሻȟܫሺ݇ ͳሻǤ
21
Kemudian, dengan menyubstitusikan 15 ke dalam 21 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ െ
ܶ
ݏ
ܭ ݏ ሺ݇ ͳሻሾܽሺ݇ሻοܫሺ݇ሻ െ ܶ
ݏ
οܲሺ݇ሻሿ
22
Dengan menyelesaikan persamaan 22 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ
ܶ
ݏ
ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ͳሻ ܭ ܶ
ݏ ʹ
ݏሺ݇ ͳሻ οܫሺ݇ሻǤ
23
Substitusi 20 ke dalam 19 menghasilkan ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ൌ ݄ȟܫሺ݇ሻ ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ͳሻȟܫሺ݇ ͳሻ
24
Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012
Dengan menyubstitusikan 15 ke dalam 24 didapatkan juga ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ൌ ሾ݄ ܽሺ݇ሻ
ʹ
ݏሺ݇ ͳሻሿȟܫሺ݇ሻ ܶ
ݏ
ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ͳሻȟܲሺ݇ሻ
25
dan menyubstitusikan 23 ke dalam 25 diperoleh persamaan Ricatti ݏሺ݇ሻ ൌ ݄
ܭݏሺ݇ ͳሻ ܭ ܶ
ݏ ʹ
ݏሺ݇ ͳሻ ܽሺ݇ሻ
ʹ
26
yang dapat diselesaikan secara rekursif mundur, dimulai dari ݏሺܰሻ ൌ ݄Ǥ Tingkat
inventori optimum dapat diperoleh dengan menyubstitusikan 23 ke dalam 15. Tingkat produksi optimum dapat ditentukan dari 16.
3.4 Simulasi Model Diskret