Model Inventori-Produksi Diskret Solusi Numerik

Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012 Gambar 2 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu.

3.5 Model Inventori-Produksi Diskret

Misalkan waktu perencanaan dibagi menjadi N selang yang sama panjang. Perubahan tingkat persediaan dinyatakan dalam persamaan beda ܫሺ݇ ൅ ͳሻ െ ܫሺ݇ሻ ܶ ݏ ൌ ܲሺ݇ሻ െ ܦሺ݇ሻ െ ߙߚ݇ ߚെͳ ܫሺ݇ሻ 12 dengan ܶ ݏ adalah panjang subinterval. Dengan menyusun ulang persamaan 12 diperoleh ܫሺ݇ ൅ ͳሻ ൌ ൣͳ െ ܶ ݏ ߙߚ݇ ߚെͳ ൧ܫሺ݇ሻ ൅ ܶ ݏ ሾܲሺ݇ሻ െ ܦሺ݇ሻ 13 Jika ܫመ†ƒܲ෠ memenuhi 13 maka didapatkan ܫመ ൌ ൣͳ െ ܶ ݏ ߙߚ݇ ߚെͳ ൧ܫመ ൅ ܶ ݏ ൣܲ෠ሺ݇ሻ െ ܦሺ݇ሻ൧ 14 Didefinisikan operator ο sebagai berikut: οܫሺ݇ሻ ൌ ܫሺ݇ሻ െ ܫመ, dan οܲ ൌ ܲሺݐሻ െ ܲ෠. Jika persamaan 13 dikurangi dengan persamaan 14 didapatkan οܫሺ݇ ൅ ͳሻ ൌ ܽሺ݇ሻοܫሺ݇ሻ ൅ ܶ ݏ οܲሺ݇ሻ 15 dengan ܽሺ݇ሻ ൌ ͳ െ ܶ ݏ ߙߚ݇ ߚെͳ . Masalah kontrol optimum diskret ialah meminimumkan fungsional objektif Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012 ‹ ܬ ൌ ͳ ʹ ෍ ሾ݄ο ʹ ܫሺ݇ሻ ൅ ܭο ʹ ܲሺ݇ሻሿ ܰ Ͳ Ǥ 13 dengan kendala ܲሺ݇ሻ ൒ Ͳ, ܫሺͲሻ ൌ ܫ Ͳ , ܫሺܶሻ ൌ ܫ ܶ , dan persamaan 15.

3.6 Solusi Numerik

Didefinisikan pengali Lagrange ߣሺ݇ሻ dengan fungsi lagrange: ܮ ൌ ͳ ʹ ෍ ሼ݄ο ʹ ܫሺ݇ሻ ൅ ܭο ʹ ܲሺ݇ሻሽ ൅ ܰെͳ Ͳ ߣሺ݇ ൅ ͳሻሾെȟܫሺ݇ ൅ ͳ ൅ ܽሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ൅ ܶ ݏ οܲሺ݇ሻሿ 17 sehingga diperoleh syarat perlu: ׏ οܲሺ݇ሻ ܮ ൌ Ͳǡ ׏ οܫሺ݇ሻ ܮ ൌ Ͳǡ׏ ߣሺͳ൅݇ሻ ܮ ൌ Ͳǡ yang masing-masing setara dengan: οܲሺ݇ሻ ൌ െ ܶ ݏ ܭ ߣሺ݇ ൅ ͳሻ 18 ߣሺ݇ሻ ൌ ݄ȟܫሺ݇ሻ ൅ ܽሺ݇ሻߣሺ݇ ൅ ͳሻ 19 dan persamaan 3.15. Untuk mendapatkan solusi optimum, digunakan metode sweep [6]. Untuk ݇ ൌ Ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ܰ, dinotasikan ݏሺ݇ሻ sehingga ߣሺ݇ሻ ൌ ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻǤ 20 Dengan menyubstitusi persamaan 20 ke dalam persamaan 18 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ െ ܶ ݏ ܭ ݏ ሺ݇ ൅ ͳሻȟܫሺ݇ ൅ ͳሻǤ 21 Kemudian, dengan menyubstitusikan 15 ke dalam 21 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ െ ܶ ݏ ܭ ݏ ሺ݇ ൅ ͳሻሾܽሺ݇ሻοܫሺ݇ሻ െ ܶ ݏ οܲሺ݇ሻሿ 22 Dengan menyelesaikan persamaan 22 didapatkan οܲሺ݇ሻ ൌ ܶ ݏ ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ൅ ͳሻ ܭ ൅ ܶ ݏ ʹ ݏሺ݇ ൅ ͳሻ οܫሺ݇ሻǤ 23 Substitusi 20 ke dalam 19 menghasilkan ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ൌ ݄ȟܫሺ݇ሻ ൅ ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ൅ ͳሻȟܫሺ݇ ൅ ͳሻ 24 Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012 Dengan menyubstitusikan 15 ke dalam 24 didapatkan juga ݏሺ݇ሻȟܫሺ݇ሻ ൌ ሾ݄ ൅ ܽሺ݇ሻ ʹ ݏሺ݇ ൅ ͳሻሿȟܫሺ݇ሻ ൅ ܶ ݏ ܽሺ݇ሻݏሺ݇ ൅ ͳሻȟܲሺ݇ሻ 25 dan menyubstitusikan 23 ke dalam 25 diperoleh persamaan Ricatti ݏሺ݇ሻ ൌ ݄ ൅ ܭݏሺ݇ ൅ ͳሻ ܭ ൅ ܶ ݏ ʹ ݏሺ݇ ൅ ͳሻ ܽሺ݇ሻ ʹ 26 yang dapat diselesaikan secara rekursif mundur, dimulai dari ݏሺܰሻ ൌ ݄Ǥ Tingkat inventori optimum dapat diperoleh dengan menyubstitusikan 23 ke dalam 15. Tingkat produksi optimum dapat ditentukan dari 16.

3.4 Simulasi Model Diskret