PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013 MODUL
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
MODUL II
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
A. TUJUAN PRAKTIKUM
Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat:
1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang.
2. Menguji dan memahami central limit theorem.
3. Melakukan pengujian terhadap fungsi distribusi peluang dari suatu data.
B. TEORI PENDUKUNG PRAKTIKUM
1. Distribusi Peluang
Distribusi peluang merupakan tabel, grafik atau rumus yang
memberikan nilai peluang dari sebuah peubah/variabel acak. Berdasarkan
karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dapat dibedakan menjadi
dua, yakni distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu.
2. Distribusi peluang diskrit
Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta
peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya peubah acak
sebuah lemparan dadu bernilai 1 hingga 6. Apabila himpunan pasangan
terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau
distribusi peluang peubah acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan
hasil x berlaku:
a. f(x) > 0
b. f ( x) 1
c. P (X=x) = f(x)
Beberapa distribusi peluang diskrit adalah :
a. Distribusi seragam (Uniform)
Pada distribusi ini setiap peubah acak memiliki nilai peluang yang
sama. Jika X adalah adalah suatu peubah acak dengan nilai x1, x2, …, xk
13
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
masing-masing memiliki nilai peluang yang sama, maka distribusi
seragam dapat dituliskan:
( ; )=
1
,
=
,
,…,
.
Contoh distribusi seragam adalah distribusi peluang munculnya
angka dadu (1 hingga 6) ketika dilempar, yaitu 1/6.
b. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang yang dihasilkan
dari proses Bernoulli yang memiliki empat karakteristik utama, yaitu:
1) Percobaan dilakukan pengulangan sebanyak n kali.
2) Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: sukses atau gagal.
3) Peluang sukses (p) pada setiap percobaan adalah konstan.
4) Pengulangan percobaan harus bebas (independent) satu sama lain,
artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil
eksperimen yang lainnya.
Sebuah percobaan Bernoulli dengan peluang sukses p dan peluang
gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X
(jumlah kejadian sukses dalam n kali percobaan) dapat dituliskan:
n
b(x;n;p) = px q n-x, x = 0, 1, 2, ..., n.
x
Peluang terambilnya kartu As di setiap pengambilan satu kotak
kartu merupakan salah satu contoh percobaan Bernoulli.
c. Distribusi Hipergeometrik
Cara sederhana untuk membedakan distribusi Hipergeometrik
dengan distribusi Binomial adalah dengan melihat proses penarikan
sampelnya. Pada distribusi Binomial, antar percobaan bersifat bebas
sedangkan pada distribusi Hipergeometrik peluang sukses percobaan
saat ini bergantung pada hasil percobaan sebelumnya.
Percobaan Hipergeometrik memiliki sifat berikut:
1) Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
14
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
2) Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, Nk, diberi nama gagal, sehingga distribusi peluang peubah acak
Hipergeometrik X (banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n
yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan
N-k bernama gagal ialah:
k N k
n n x
h(x; N, n, k) =
N
n
Pengunaan distribusi Hipergeometrik
x = 1, 2, ..., n.
terdapat banyak bidang,
antara lain pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan
pengendalian mutu.
d. Distribusi Poisson
Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai
dari suatu peubah acak X, yaitu jumlah keluaran yang terjadi selama
satu selang waktu atau di antara suatu daerah. Misalkan, jumlah
panggilan telepon per jam yang diterima oleh suatu kantor, banyaknya
hari sekolah di tutup karena banjir, banyaknya kertas rijek karena
salah ketik dll.
Percobaan Poisson berasal dari proses Poisson yang memiliki sifat
sebagai berikut:
1) Jumlah keluaran yang muncul dalam suatu rentang waktu atau
suatu daerah tidak dipengaruhi (independent) terhadap jumlah
keluaran yang terjadi di rentang waktu atau daerah yang lain yang
terpisah.
2) Peluang bahwa yang satu keluaran akan muncul dalam selang
waktu yang sangat pendek atau daerah yang kecil adalah
proporsional dengan panjang selang waktu atau luas dari daerah.
3) Peluang muncul lebih dari satu keluaran dalam selang waktu yang
amat pendek atau daerah yang kecil dapat diabaikan.
15
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
Distribusi peluang acak Poisson X yang menyatakan banyaknya
sukses yang terjadi dalam selang waktu tertentu dinyatakan dengan t
diberikan oleh:
e (t )
t
p(x;λt) =
x
x = 0, 1, 2, ....
x!
dimana t menyatakan banyaknya sukses yang terjadi per satuan
waktu atau daerah, sedangkan e = 2,71828 ....
Distribusi Poisson dianggap sebagai pendekatan pada distribusi
Binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan p
(probabilitas sukses) sangat kecil.
3. Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi peluang kontinyu adalah peubah acak yang dapat
memperoleh semua nilai pada skala kontinyu. Ruang sampel kontinyu
adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga
banyaknya. Syarat dari distribusi kontinyu adalah apabila fungsi f(x)
adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X yang didefinisikan di
atas himpunan semua bilangan riil R bila:
a. F(x) > 0 untuk semua x R
b.
f ( x)dx 1
c. P(a0
, untuk x lainnya
c. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan distribusi
Eksponensial, karena distribusi Eksponensial merupakan salah satu
bentuk khusus dari distribusi Gamma. Jika peubah acak kontinyu X
18
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
berdistribusi Gamma dengan parameter dan maka fungsi
densitasnya dapat dirumuskan sebagai berikut:
( )=
0
1
Γ( )
/
,
>0
untuk lainnya
dimana > 0 dan > 0, sedangkan () merupakan fungsi Gamma
yang dirumuskan sebagai
Γ( ) =
Pada kasus khusus, yaknik jika =1, maka fungsi distribusi
Gamma akan menjadi distribusi Eksponensial. Penerapan kedua
distribusi banyak dijumpai untuk menggambarkan permasalahanpermasalahan antrian dan keandalan.
d. Distribusi Chi-kuadrat
Distribusi ini memegang peranan penting dalam statistika inferensi,
terutama untuk uji hipotesis dan penaksiran parameter. Pada dasarnya
distribusi Chi-kuadrat juga merupakan bentuk khusus dari distribusi
Gamma, yakni ketika nilai = v/2 dan = 2, dimana v adalah derajat
kebebasan yang merupakan bilangan integer positif.
Peubah acak kontinyu X berdistribusi Chi-kuadrat (derajat
kebebasan v), jika fungsi densitasnya dapat dirumuskan dengan
1
( ) = 2 Γ( )
2
0
e. Distribusi Weibull
/
/
,
untuk
>0
lainnya
Seperti distribusi Eksponensial dan distribusi Gamma, distribusi
Weibull banyak diterapkan pada persoalan keandalan dan pengujian
panjang umur (life testing) suatu komponen.
Peubah acak kontinyu X berdistribusi Weibull dengan parameter
, jika fungsi densitasnya diberikan oleh
19
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
( )=
MODUL II
,
0
dimana > 0 dan > 0.
untuk
>0
lainnya
4. Uji Kebaikan-suai (Goodness-of-fit test)
Uji ini dilakukan untuk menentukan apakah suatu populasi mempunyai
suatu distribusi teoritis tertentu. Uji tersebut didasarkan atas sejauh mana
tingkat kedekatan/kesesuaian yang ada antara frekuensi pengamatan dan
frekuensi harapan. Uji kebaikan-suai ini didasarkan pada besaran:
(
=
−
)
dimana 2 merupakan nilai peubah acak yang distribusi samplingnya
dihampiri oleh distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = k-1,
sedangkan oi dan ei masing-masing menunjukkan frekuensi amatan dan
harapan ke-i.
C. ALAT DAN BAHAN
1. Komputer
2. Kancing
D. PROSEDUR PRAKTIKUM
1. Dalam praktikum ini anda melakukan melakukan percobaan Bernauli dan
melakukan pembuktian terhadap central limit theorem.
2. Setiap praktikan akan diberikan 1 toples kancing dengan warna tertentu
yang merepresentasikan produk yang cacat.
3. Lakukan pengambilan:
a.
Sebuah kancing dengan pengembalian sebanyak 100 pengulangan
b.
Sebuah kancing tanpa pengembalian sebanyak 100 pengulangan
4. Lakukan pencatatan hasil dan hitung proporsi produk cacat di setiap
pengambilan.
5. Lakukan pengujian distribusi hasil dengan menggunakan uji goodness of
fit dan simpulkan.
20
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
6. Asisten akan memberikan data lengkap tentang lead time pengerjaan suatu
produk.
7. Dengan menggunakan Ms. Excel lakukan proses random sampling dengan
ukuran:
a.
10 sampel dengan 1000 pengulangan;
b.
30 sampel dengan 1000 pengulangan;
8. Catat nilai rata-rata lead time sampel dan buat histogram lalu lakukan
pengujian apakah sampling rata-rata berdistribusi normal.
E. TUGAS LAPANGAN
1. Lakukan pengamatan di lapangan terhadap kejadian kedatangan suatu
obyek pada suatu pelayanan. Diskusikan dengan asisten.
2. Lakukan pencatatan waktu kedatangan tiap obyek selama minimal 8 jam.
3. Buat histogram:
a.
waktu rata-rata kedatangan obyek
b.
waktu antar kedatangan obyek
4. Lakukan pengujian apakah data (a) mengikuti distribusi Poisson dan data
(b) mengikuti distribusi eksponensial, lakukan analisa dan laporkan.
5. Dikumpulkan dalam 1 minggu
F. REFERENSI
1. Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Penerbit LP3ES,
Jakarta.
2. Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Penerbit Erlangga,
Jakarta.
3. Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. PT Gramedia,
Jakarta.
21
Laboratorium Teknik Industri
MODUL II
MODUL II
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
A. TUJUAN PRAKTIKUM
Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat:
1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang.
2. Menguji dan memahami central limit theorem.
3. Melakukan pengujian terhadap fungsi distribusi peluang dari suatu data.
B. TEORI PENDUKUNG PRAKTIKUM
1. Distribusi Peluang
Distribusi peluang merupakan tabel, grafik atau rumus yang
memberikan nilai peluang dari sebuah peubah/variabel acak. Berdasarkan
karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dapat dibedakan menjadi
dua, yakni distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu.
2. Distribusi peluang diskrit
Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta
peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya peubah acak
sebuah lemparan dadu bernilai 1 hingga 6. Apabila himpunan pasangan
terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau
distribusi peluang peubah acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan
hasil x berlaku:
a. f(x) > 0
b. f ( x) 1
c. P (X=x) = f(x)
Beberapa distribusi peluang diskrit adalah :
a. Distribusi seragam (Uniform)
Pada distribusi ini setiap peubah acak memiliki nilai peluang yang
sama. Jika X adalah adalah suatu peubah acak dengan nilai x1, x2, …, xk
13
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
masing-masing memiliki nilai peluang yang sama, maka distribusi
seragam dapat dituliskan:
( ; )=
1
,
=
,
,…,
.
Contoh distribusi seragam adalah distribusi peluang munculnya
angka dadu (1 hingga 6) ketika dilempar, yaitu 1/6.
b. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang yang dihasilkan
dari proses Bernoulli yang memiliki empat karakteristik utama, yaitu:
1) Percobaan dilakukan pengulangan sebanyak n kali.
2) Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: sukses atau gagal.
3) Peluang sukses (p) pada setiap percobaan adalah konstan.
4) Pengulangan percobaan harus bebas (independent) satu sama lain,
artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil
eksperimen yang lainnya.
Sebuah percobaan Bernoulli dengan peluang sukses p dan peluang
gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X
(jumlah kejadian sukses dalam n kali percobaan) dapat dituliskan:
n
b(x;n;p) = px q n-x, x = 0, 1, 2, ..., n.
x
Peluang terambilnya kartu As di setiap pengambilan satu kotak
kartu merupakan salah satu contoh percobaan Bernoulli.
c. Distribusi Hipergeometrik
Cara sederhana untuk membedakan distribusi Hipergeometrik
dengan distribusi Binomial adalah dengan melihat proses penarikan
sampelnya. Pada distribusi Binomial, antar percobaan bersifat bebas
sedangkan pada distribusi Hipergeometrik peluang sukses percobaan
saat ini bergantung pada hasil percobaan sebelumnya.
Percobaan Hipergeometrik memiliki sifat berikut:
1) Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
14
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
2) Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, Nk, diberi nama gagal, sehingga distribusi peluang peubah acak
Hipergeometrik X (banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n
yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan
N-k bernama gagal ialah:
k N k
n n x
h(x; N, n, k) =
N
n
Pengunaan distribusi Hipergeometrik
x = 1, 2, ..., n.
terdapat banyak bidang,
antara lain pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan
pengendalian mutu.
d. Distribusi Poisson
Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai
dari suatu peubah acak X, yaitu jumlah keluaran yang terjadi selama
satu selang waktu atau di antara suatu daerah. Misalkan, jumlah
panggilan telepon per jam yang diterima oleh suatu kantor, banyaknya
hari sekolah di tutup karena banjir, banyaknya kertas rijek karena
salah ketik dll.
Percobaan Poisson berasal dari proses Poisson yang memiliki sifat
sebagai berikut:
1) Jumlah keluaran yang muncul dalam suatu rentang waktu atau
suatu daerah tidak dipengaruhi (independent) terhadap jumlah
keluaran yang terjadi di rentang waktu atau daerah yang lain yang
terpisah.
2) Peluang bahwa yang satu keluaran akan muncul dalam selang
waktu yang sangat pendek atau daerah yang kecil adalah
proporsional dengan panjang selang waktu atau luas dari daerah.
3) Peluang muncul lebih dari satu keluaran dalam selang waktu yang
amat pendek atau daerah yang kecil dapat diabaikan.
15
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
Distribusi peluang acak Poisson X yang menyatakan banyaknya
sukses yang terjadi dalam selang waktu tertentu dinyatakan dengan t
diberikan oleh:
e (t )
t
p(x;λt) =
x
x = 0, 1, 2, ....
x!
dimana t menyatakan banyaknya sukses yang terjadi per satuan
waktu atau daerah, sedangkan e = 2,71828 ....
Distribusi Poisson dianggap sebagai pendekatan pada distribusi
Binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan p
(probabilitas sukses) sangat kecil.
3. Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi peluang kontinyu adalah peubah acak yang dapat
memperoleh semua nilai pada skala kontinyu. Ruang sampel kontinyu
adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga
banyaknya. Syarat dari distribusi kontinyu adalah apabila fungsi f(x)
adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X yang didefinisikan di
atas himpunan semua bilangan riil R bila:
a. F(x) > 0 untuk semua x R
b.
f ( x)dx 1
c. P(a0
, untuk x lainnya
c. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan distribusi
Eksponensial, karena distribusi Eksponensial merupakan salah satu
bentuk khusus dari distribusi Gamma. Jika peubah acak kontinyu X
18
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
berdistribusi Gamma dengan parameter dan maka fungsi
densitasnya dapat dirumuskan sebagai berikut:
( )=
0
1
Γ( )
/
,
>0
untuk lainnya
dimana > 0 dan > 0, sedangkan () merupakan fungsi Gamma
yang dirumuskan sebagai
Γ( ) =
Pada kasus khusus, yaknik jika =1, maka fungsi distribusi
Gamma akan menjadi distribusi Eksponensial. Penerapan kedua
distribusi banyak dijumpai untuk menggambarkan permasalahanpermasalahan antrian dan keandalan.
d. Distribusi Chi-kuadrat
Distribusi ini memegang peranan penting dalam statistika inferensi,
terutama untuk uji hipotesis dan penaksiran parameter. Pada dasarnya
distribusi Chi-kuadrat juga merupakan bentuk khusus dari distribusi
Gamma, yakni ketika nilai = v/2 dan = 2, dimana v adalah derajat
kebebasan yang merupakan bilangan integer positif.
Peubah acak kontinyu X berdistribusi Chi-kuadrat (derajat
kebebasan v), jika fungsi densitasnya dapat dirumuskan dengan
1
( ) = 2 Γ( )
2
0
e. Distribusi Weibull
/
/
,
untuk
>0
lainnya
Seperti distribusi Eksponensial dan distribusi Gamma, distribusi
Weibull banyak diterapkan pada persoalan keandalan dan pengujian
panjang umur (life testing) suatu komponen.
Peubah acak kontinyu X berdistribusi Weibull dengan parameter
, jika fungsi densitasnya diberikan oleh
19
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
( )=
MODUL II
,
0
dimana > 0 dan > 0.
untuk
>0
lainnya
4. Uji Kebaikan-suai (Goodness-of-fit test)
Uji ini dilakukan untuk menentukan apakah suatu populasi mempunyai
suatu distribusi teoritis tertentu. Uji tersebut didasarkan atas sejauh mana
tingkat kedekatan/kesesuaian yang ada antara frekuensi pengamatan dan
frekuensi harapan. Uji kebaikan-suai ini didasarkan pada besaran:
(
=
−
)
dimana 2 merupakan nilai peubah acak yang distribusi samplingnya
dihampiri oleh distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = k-1,
sedangkan oi dan ei masing-masing menunjukkan frekuensi amatan dan
harapan ke-i.
C. ALAT DAN BAHAN
1. Komputer
2. Kancing
D. PROSEDUR PRAKTIKUM
1. Dalam praktikum ini anda melakukan melakukan percobaan Bernauli dan
melakukan pembuktian terhadap central limit theorem.
2. Setiap praktikan akan diberikan 1 toples kancing dengan warna tertentu
yang merepresentasikan produk yang cacat.
3. Lakukan pengambilan:
a.
Sebuah kancing dengan pengembalian sebanyak 100 pengulangan
b.
Sebuah kancing tanpa pengembalian sebanyak 100 pengulangan
4. Lakukan pencatatan hasil dan hitung proporsi produk cacat di setiap
pengambilan.
5. Lakukan pengujian distribusi hasil dengan menggunakan uji goodness of
fit dan simpulkan.
20
Laboratorium Teknik Industri
PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013
MODUL II
6. Asisten akan memberikan data lengkap tentang lead time pengerjaan suatu
produk.
7. Dengan menggunakan Ms. Excel lakukan proses random sampling dengan
ukuran:
a.
10 sampel dengan 1000 pengulangan;
b.
30 sampel dengan 1000 pengulangan;
8. Catat nilai rata-rata lead time sampel dan buat histogram lalu lakukan
pengujian apakah sampling rata-rata berdistribusi normal.
E. TUGAS LAPANGAN
1. Lakukan pengamatan di lapangan terhadap kejadian kedatangan suatu
obyek pada suatu pelayanan. Diskusikan dengan asisten.
2. Lakukan pencatatan waktu kedatangan tiap obyek selama minimal 8 jam.
3. Buat histogram:
a.
waktu rata-rata kedatangan obyek
b.
waktu antar kedatangan obyek
4. Lakukan pengujian apakah data (a) mengikuti distribusi Poisson dan data
(b) mengikuti distribusi eksponensial, lakukan analisa dan laporkan.
5. Dikumpulkan dalam 1 minggu
F. REFERENSI
1. Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Penerbit LP3ES,
Jakarta.
2. Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Penerbit Erlangga,
Jakarta.
3. Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. PT Gramedia,
Jakarta.
21
Laboratorium Teknik Industri