PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK 1. Harga Mutlak

BAB I RINGKASAN MATERI

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

A. PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK 1. Harga Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif. Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x ditulis │x│dan x , x 0 │x│= -x , x 0 1 Contoh: a│3│ = 3 b│-3│= --3= 3 c │ 1 2 │= 1 2 d │0│= 0 e ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│= 4 f 13 + │-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8 = 13 + 5 - 3 - 8 = 7

2. Persamaan dan Kesamaan Teorema 1

Jika Px, Qx, dan Rx bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana Px, Qx dan Rx real, kalimat terbuka Px = Rx adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut : A. Px +Rx = Qx +Rx untuk x € {x Rx ≠ 0 B. Px .Rx = Qx .Rx C. P x R x Qx Rx

3. Persamaan Harga Mutlak

Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional, bahwamuntuk setiap bilangan real x, bahwa √x 2 real dan tidak negatif, dan juga jika x ≥ 0 maka √x 2 = x karena x adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x 2 . Jika x 0, maka √x 2 = -x, karena -x 0 dan -x 2 = x 2 . Jadi untuk setiap bilangan real x √x 2 = │x│= x jika x ≥ 0 = -x jika x 0 Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat. Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitannya dengan penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya: 2 Teorema 2 Untuk setiap bilangan real x berlaku a │x│=│-x │ b│x 2 │= │-x 2 │= x Bukti a : │x │= √x 2 = √-x 2 = │-x│ Bukti b : │x│ 2 = √x 2 2 = x 2 jika x 0 = -x 2 jika x 0 = x 2 ………………1 │x 2 │= √x 2 2 = x 2 sebab x 2 = x 2 ……………..2 Dari 1 dan 2 │x│ 2 │x 2 │= x 2 Teorema 3 Untuk setiap x € R dan y € R himpunan bilangan real, maka berlaku a │xy│=│x│.│y│ b | x y | = │ x │ │ y │ 3

B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK 1. Pertidaksamaan