UJI SEKUENSIAL HIPOTESIS TUNGGAL PADA DATA YANG BERDISTRIBUSI BINOMIAL

  

UJI SEKUENSIAL HIPOTESIS TUNGGAL PADA

DATA YANG BERDISTRIBUSI BINOMIAL

  SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  

Oleh:

BANI ADI NUGROHO

023114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  “ Lakukan lebih dari sekadar ada di dunia ini, hiduplah”.

  “Lakukan lebih dari sekadar menyentuh, rasakan”.

  “Lakukan lebih dari sekadar melihat, perhatikan”.

  “Lakukan lebih dari sekadar membaca, seraplah”. “Lakukan lebih dari sekadar mendengar, simaklah”. “Lakukan lebih dari sekadar berpikir, pikirkan dengan mendalam”.

  “Lakukan lebih dari sekadar bicara, katakan sesuatu”.

  ( John H. Roades ) Skripsi ini kupersembahkan kepada

Allah Bapa di Surga dan Bunda Maria yang mahakasih,

  Orang tuaku dan adek-adekku tercinta.

  ABSTRAK Uji sekuensial didesain sebagai alternatif uji dalam proses inferensi statistik bila dengan uji biasa dianggap kurang menguntungkan. Aturan dalam uji sekuensial dibuat sedemikian hingga meminimalkan ukuran sampel yang dibutuhkan dalam penelitian. Ada tiga keputusan yang bisa dibuat yaitu menolak hipotesis, menerima hipotesis, atau melanjutkan penelitian dengan mengambil sebuah pengamatan lagi. Proses pengujian berhenti bila terjadi keputusan menerima atau menolak hipotesis. Karena pengujian dilakukan langkah demi langkah sampai pengamatan ke-n dan banyaknya pengamatan tergantung hasil uji sekuensial pengamatan sebelumnya, maka banyaknya pengamatan adalah variabel random yang nilainya tidak dapat ditentukan sebelumnya. ABSTRACT Sequential test is designed as an alternative test in statistic inference while in current test there is unprofitable. The rules in sequential test is given for making decisions at any stage of the experiment so it can minimize sample size which is needed in the experiment. There are three decision can be made, i.e., reject the hypothesa, accept the hypotesa, or continue the experiment by take one more observation again. Process will be terminate if one of the decision i.e. accept or reject the hypotesa is made. The test is done step by step until the n of observation, depends on the outcome of the last sequential test, theerefore the number of obsevation is not predetermined.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Allah Bapa di surga, karena berkat dan rahmat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Ibu Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, serta sabar dalam membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dekan FMIPA dan dosen pembimbing akademik yang selalu setia memberikan nasehat dan saran untuk penulis.

  3. Bapak Y.G. Hartono, M. Sc, selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu dan memberikan saran.

  4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  5. Mas Tukijo, Ibu Linda, dan Ibu Suwarni yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

  6. Perpustakaan USD dan staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  7. Kedua orang tuaku tercinta, adekku (Gethuk dan Bulus) yang selalu

  8. Teman-teman geng selebor yang ancur: Aan, Ijup, Taim, Galih, Marcoes, Tato yang selalu memberikan warna dalam persahabatan Q-ta.

  9. Teman-teman angkatan 2002: Ika, Vida, Pengky, Priska, Retno, Sari, Lily, Lenta, Deby, Lia, Dani, Asih, Rita, Wuri, Aning, Feliks, Nunung, Desy, Deon, Chea, Palem yang selalu kompak dalam melewati kebersamaan di Matematika.

  10. Kost Kodok Ijo n’ Friends: Oky, Sumin, Gondronk, Didiet, Topan, Feliks, Tepe, Rt, Doghox, Robert yang selalu ceria berbagi kebersamaan dan selalu memberikan dukungan kepada penulis, serta Pak Harwani sekeluarga yang tidak pernah cape’ menghadapi kenakalan dan keisengan penulis.

  11. Kakak angkatan 1998-2001 dan Adek-adek angkatan 2003-2006 yang memberikan warna kehidupan kepada penulis selama kuliah.

  12. Mbak Indah yang memberikan nasehat dan mau membagi pengalamannya dalam menulis skripsi.

  13. Mas Kariyaman yang memberikan semangat dan berbagi pengalaman hidup.

  14. Merry atas pinjaman buku-bukunya, Djembat atas dukungan dan semangat yang diberikan, Katrin atas saran-sarannya, mehonk atas kekonyolannya.

  15. Marwan dan keluarga yang selalu mendukung dalam segala hal.

  16. Mr. Pow, Babi, Djaran, Bayu, Jacky, Trimbil, Djeruk, Senthot, Isaac, Khuri, djarir, Ucup, Era, Tika, Mia, Vina atas persahabatan masa SMA yang masih terjaga hingga sekarang.

  17. Iyha’ yang selalu mendukung dan mendoakanku, Ary yang selalu memberi semangat, dan Siti yang nun jauh disana, thanks atas semuanya.

  18. Teman-teman KKN XXXI kelompok 18: Udhik, Mbok Tien, Mbok Lemot, Mbok Toyib, Mbok Mesum, Sigit, Eyang, Nat Nat, Linda.

  Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan disini.

  Yogyakarta, April 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL......................................................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................ iii HALAMAN PENGESAHAN........................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA............................................................ v HALAMAN PERSEMBAHAN........................................................................ vi ABSTRAK......................................................................................................... vii ABSTRACT....................................................................................................... viii KATA PENGANTAR....................................................................................... x DAFTAR ISI..................................................................................................... xi

  BAB I. PENDAHULUAN................................................................................ 1 A. Latar Belakang Masalah........................................................................ 1 B. Rumusan Masalah................................................................................. 3 C. Pembatasan Masalah............................................................................. 3 D. Tujuan Penulisan................................................................................... 4 E. Metode Penulisan.................................................................................. 4 F. Manfaat Penulisan................................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan............................................................................ 4 BAB II. LANDASAN TEORI.......................................................................... 6 A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas....................................... 6 B. Distribusi Binomial............................................................................... 7

  D. Distribusi Sampling.............................................................................. 9

  E. Hipotesis Statistik................................................................................. 12

  F. Uji Mengenai proporsi.......................................................................... 16

  BAB III. UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI......................................... 19 A. Uji Hipotesis dan Statistik Uji.............................................................. 22 B. Kriteria Uji............................................................................................ 27 C. Hubungan Antara α , β , A , dan B ........................................................ 28 D. Penentuan Konstanta A dan B............................................................... 31 E. Fungsi Karakteristik Operasi................................................................ 42 F. Fungsi Rataan Ukuran Sampel............................................................. 59 BAB IV. APLIKASI UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI..................... 70 BAB V. PENUTUP.......................................................................................... 80 A. Kesimpulan........................................................................................... 80 B. Saran..................................................................................................... 81 DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 82

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Inferensi statistik adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang membahas

  tentang penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi berdasarkan pengamatan terhadap sampelnya. Saat ini begitu banyak bidang kehidupan yang memanfaatkan proses inferensi statistik untuk pengambilan keputusan mengenai permasalahan yang dihadapi. Misal dalam hal pengendalian mutu suatu produk.

  Perusahaan berharap produk itu sesuai dengan standar mutu yang telah ditetapkan, maka harus dilakukan pengendalian mutu yang melibatkan proses dalam inferensi statistik. Proses inferensi statistik di sini dibutuhkan dalam pengambilan keputusan apakah produk yang dihasilkan layak atau tidak untuk dipasarkan dan seberapa perlu meningkatkan faktor produksi (misal: mutu bahan baku, modal, mesin produksi) agar produk sesuai dengan standar mutu yang diharapkan..

  Salah satu metode dari inferensi statistik adalah analisis sekuensial. Analisis sekuensial adalah salah satu prosedur analisis dengan banyak pengamatan yang dilakukan tidak ditentukan sebelum penelitian dimulai. Prosedur analisis dilakukan ketika pengamatan yang dikumpulkan sudah cukup untuk membuat keputusan dengan tingkat resiko yang telah dipilih. Prosedur ini membutuhkan sedikit pengamatan dan penggunaannya tidak akan meningkatkan resiko α dan β.

  Untuk cara-cara pengujian hipotesis yang biasa, ukuran sampel yang digunakan besarnya telah ditentukan terlebih dahulu. Penentuannya dapat dilakukan berdasarkan besar resiko penolakan hipotesis yang seharusnya diterima dan penerimaan hipotesis yang seharusnya ditolak. Dengan kata lain, berdasarkan pada nilai-nilai α dan β yang mau diterima. Dalam kenyataannya, cara demikian sering mengakibatkan ukuran sampel cukup besar sehingga ditinjau dari segi biaya tidaklah ekonomis. Tentu saja hal ini tidak akan menjadikan persoalan apabila harga bahan yang diteliti murah dan biaya untuk melakukan pengujian tersebut tidak mahal, sehingga ukuran sampel yang minimum tidak menjadi penting.

  Kecuali alasan-alasan diatas, uji sekuensial sangat menguntungkan apabila: 1. Tiap obyek dapat diuji sendiri-sendiri.

  2. Waktu reaksi perlakuan terhadap obyek cukup pendek.

  3. Keadaan tidak mengijinkan untuk melakukan pengujian terhadap lebih dari satu obyek sekaligus.

  4. Tejadinya obyek atau kasus sangat jarang.

  Ciri utama dari uji sekuensial yang membedakannya dari uji statistik biasa adalah bahwa banyaknya pengamatan yang dibutuhkan dalam uji sekuensial ter- gantung dari hasil pengamatan sebelumnya dan banyaknya pengamatan tidak ditentukan sebelumnya. Jadi banyaknya pengamatan dalam uji sekuensial

  B. Perumusan Masalah

  Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Bagaimanakah bentuk hipotesis statistik untuk uji sekuensial?

  2. Bagaimanakah cara menentukan daerah kritis untuk uji sekuensial?

  3. Bagaimana penyusunan rencana samplingnya?

  4. Seperti apakah bentuk fungsi karakteristik operasi untuk uji sekuensial?

  5. Bagaimana rata-rata ukuran sampelnya?

  C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut:

  1. Skripsi ini hanya akan membahas tentang uji sekuensial terutama uji sekuensial untuk parameter tunggal. p

  2. Teorema limit pusat tidak dibuktikan.

  3. Nilai L p untuk nilai p = yang berkaitan dengan h = +∞ dan nilai p =

  ( )

  1

  yang berkaitan dengan h = −∞ hanya dijabarkan secara logis saja, tidak secara matematis karena membutuhkan kalkulus yang lebih lanjut.

  4. Rataan ukuran sampel pada persamaan (3.84) tidak dibuktikan karena membutuhkan kalkulus yang lebih lanjut.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan skripsi ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang uji se- kuensial dan memahami konsep-konsep dasar yang terdapat didalamnya.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, makalah-makalah yang telah dipublikasi- kan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Penulisan skripsi ini diharapkan dapat berguna untuk menambah wawasan tentang uji sekuensial. Uji sekuensial ini memiliki keuntungan jika berada pada kondisi tertentu, sehingga dapat digunakan sebagai alternatif uji statistik ketika dengan kondisi itu lebih menguntungkan untuk menggunakan metode ini.

  G. Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan, pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang

  masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

Bab II. Landasan Teori , pada bagian ini akan dibahas tentang variabel

  random dan distribusi probabilitas, distribusi binomial, populasi dan sampel, distribusi sampling, uji hipotesis, dan uji mengenai proporsi.

  Bab III. Uji Sekuensial untuk Proporsi, pada bagian ini akan dibahas

  tentang uji hipotesis dan statistik uji sekuensial, kriteria uji sekuensial, hubungan α β antara , , A dan B , penentuan konstanta A dan B, fungsi karakteristik operasi, dan fungsi rataan ukuran sampelnya.

  Bab IV. Aplikasi Uji Sekuensial untuk Proporsi, pada bagian ini akan dibahas penyelesaian masalah tentang lapisan pelindung pada peluru. Bab V. Penutup, berisi kesimpulan dan saran

BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas Variabel random, misal X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang

  a ∈ ke suatu bilangan real. Variabel S

  sampel S yang memetakan setiap elemen random ini dinotasikan dengan:

  X a = , x a ∈ S ( ) a

  0 ú dengan

  X a = Variabel random ( ) x = Nilai variabel random

  Variabel random diskret adalah variabel random yang nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang.

  Jika pada sebuah pengamatan probabilitas didaftarkan seluruh keluaran yang mungkin dari variabel random diskret

  X , yaitu x , x , x , K , x dan kemudian _{1 2 3 n}

  didaftarkan pula nilai probabilitas yang berkaitan dengan keluaran tersebut, yaitu

  P X = x , P X = x , P ( X = x ) ,...., P ( X = x ) maka telah dibentuk suatu ( ) ( ) n _{1 2 3}

  distribusi probabilitas diskret dari variabel X .

  f x

  Pernyataan ( ) disebut sebagai fungsi probabilitas dari variabel random

  X f x = P

X = x f x

  dengan ( ) ( ) . Terdapat dua hal yang harus dipenuhi ( ) , yaitu:

  1. Nilai-nilai dari suatu fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada dalam interval antara 0 dan 1. Jadi nilai nilai fungsi yang mungkin akan selalu ≤ f x ≤ berada dalam interval ( )

  1

  f x

  2. Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1, sehingga = 1

  ( ) ∑

  X Jika menyatakan suatu variabel random diskret yang dapat mengambil

  nilai x , x , x , K , x yang masing-masing mempunyai probabilitas _{1 2 3 n} K K

  f x , f x , f x , , f x dengan f ( ) ( ) ( ) x , f x , f x , f ( ) x = ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + _{1 2 3 n 1 2 3 n} 1 , maka

  X

  nilai harapan dari yang dinyatakan dengan E

  X didefinisikan sebagai: _n ( ) E ( ) X = x f ( ) x _{i i}

  ∑ _{i = 1} B. Distribusi Binomial

  Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probabilitas diskret yang paling sering digunakan dalam analisis statistik modern. Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu pengamatan binomial. Pengamatan ini merupakan kali n percobaan Bernoulli sehingga harus memenuhi kondisi:

  n 1. Jumlah percobaan adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya.

  2. Setiap pengulangan pengamatan yang biasa disebut percobaan, hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, yaitu sukses atau gagal.

  −

  3. Probabilitas sukses p dan probabilitas gagal adalah q = 1 p selalu konstan dalam setiap percobaan.

  n

  Dalam sebuah pengamatan binomial dengan kali percobaan, maka

  p −

  probabilitas sukses adalah dan probabilitas gagal adalah q = 1 p . Jika suatu variabel random

  X menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada n percobaan

  tersebut, maka dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas dengan fungsi probabilitasnya: _{n x n − x}

  P ( x ; n ; p ) = C p q ; _{b x}

  dengan

• x = K n ; n = K ; dan ≤ p ≤

  1 , 2 , 3 , , 1 , 2 , 3 ,

  1 ⁿ

• C = kombinasi dari n objek pengamatan dengan setiap pemilihan _x

  x diambil objek.

C. Populasi dan Sampel

  Analisis statistik dilakukan untuk mengambil kesimpulan tentang parameter populasinya berdasarkan pengamatan terhadap sampel. Dengan demikian harus diusahakan agar diperoleh sampel sedemikian sehingga merupakan gambaran dari populasinya. Dalam berbagai penyelidikan yang dilakukan, sering dijumpai populasi yang berbeda-beda keadaanya. Oleh karena itu, agar dapat memperoleh sampel yang dapat memberikan gambaran yang tepat untuk masing-masing populasinya, maka harus digunakan sampel yang berbeda-beda pula macamnya. Salah satu macam sampel yang dianggap dapat menggambarkan keadaan dari populasi yang tidak terlalu heterogen adalah sampel random. Sampel random sampel ini bersifat bebas satu dengan yang lain. Dengan demikian variabel K random

  X , ₁ X , , ₂ X akan merupakan sampel random berukuran n jika variabel- _n variabel itu saling bebas dan berdistribusi probabilitas identik.

  Suatu sampel random berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai fungsi probabilitas f x adalah himpunan n variabel random bebas

  X , X , K ,

  X ( ) _{1 2} ⁿ yang masing-masing berdistribusi probabilitas f x .

  ( )

  Suatu harga yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik. Karena banyak sampel bisa diambil dari populasi yang sama, maka diharapkan bahwa harga statistik yang dihitung dari masing-masing sampel itu akan berbeda-beda satu dengan yang lain. Sehingga statistik adalah variabel random dan mempunyai distribusi probabilitas.

D. Distribusi Sampling

  Distribusi probabilitas suatu statistik dinamakan distribusi sampling harga statistik. Deviasi standar distribusi sampling suatu statistik dinamakan kesalahan standar statistik itu.

  Pengertian mengenai distribusi sampling dapat dijelaskan dengan menunjukkan bagaimana distribusi itu dibentuk. Misal ada populasi dengan N ₂

  p

  elemen dan mempunyai mean μ , variansi σ , dan proporsi , maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

  1. Diambil sampel random dengan elemen

  X , ₁ X , K , _{2 n} X . Selanjutnya dihitung

  2 (dilambangkan S ), proporsi (dilambangkan dengan p ) dan sebagainya. ₁ Setelah itu elemen-elemen yang terambil dalam sampel ini dikembalikan lagi ke dalam populasinya sehingga populasi itu tetap mempunyai N elemen.

  2. Diambil lagi sampel random dengan n elemen, yang lain dengan sampel random yang pertama tadi. Dua sampel dikatakan berbeda apabila minimal ada satu elemen yang berbeda. Dari sampel kedua ini juga dihitung harga- harga statistiknya. Kemudian elemen-elemen yang telah diambil dalam sampel ini dikembalikan lagi ke dalam populasinya, sehingga populasi itu tetap seperti semula.

  3. Pekerjaan pengambilan sampel ini dan perhitungan harga-harga statistiknya dilakukan terus menerus sampai semua sampel random berelemen n yang berlainan satu dengan yang lain, yang mungkin dapat diambil dari populasi itu telah dihabiskan. Elemen-elemen sampel (setelah dihitung harga-harga statistiknya) dikembalikan ke dalam populasinya , sebelum sampel berikutnya diambil. Oleh karena itu populasi itu tetap mempunyai N elemen setiap kali sampel random baru diambil.

  4. Harga-harga statistik sampel pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya ini dikumpulkan. Himpunan-himpunan dari harga statistik ini dinamakan distribusi sampling.

  Jika harga –harga statistik ini adalah mean, maka distribusi samplingnya dinamakan distribusi sampling mean, yaitu himpunan harga-harga

  2 ²

²

  yaitu himpunan harga-harga { S , S , S , K } . Jika harga-harga statistik yang _{1 2 3} dihitung itu harga-harga proporsi, maka distribusi samplingnya dinamakan distribusi sampling proporsi.

  Untuk distribusi sampling proporsi, jika dalam sebuah populasi berukuran N

  p

  yang didalamnya terdapat probabilitas sukses adalah dan probabilitas gagalnya

  − n

  adalah q = 1 p , maka dari sampel random berukuran yang diambil dari populasi itu terdapat nilai proporsinya. Distribusi proporsi-proporsi dari seluruh sampel random berukuran n yang mungkin diambil dari populasi dapat dicari nilai mean dan standar deviasinya sebagai berikut:

• Jika populasinya berhingga

  μ = p _p

  pq N − n

  σ = _p

  n N −

  1

• Jika populasinya tak berhingga

  μ = p _p

  pq

  σ = _p

  n

  dengan : μ = mean dari distribusi sampling proporsi _p

  σ = deviasi standar dari distribusi sampling proporsi _p

  N = ukuran populasi

  Distribusi sampling mempunyai sifat-sifat yang sangat penting terutama dalam hubungannya dengan sampel dan populasi. Sifat-sifat ini sangat perlu untuk diketahui karena peranan distribusi sampling dalam inferensi statistik.

  Untuk ukuran sampel n cukup besar berlaku sifat bahwa jika populasi

  

p

  berdistribusi binomial dengan parameter , maka distribusi sampling proporsinya mendekati distribusi normal. Hal ini dikenal sebagai teorema limit pusat.

E. Hipotesis Statistik

  Pengujian hipotesis statistik merupakan bidang paling penting dalam statistika inferensi. Hipotesis statistik sendiri adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Benar atau salahnya suatu hipotesis tidak akan diketahui dengan pasti kecuali bila seluruh populasi diperiksa. Tentu saja, dalam kebanyakan situasi hal itu tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, dapat diambil suatu sampel random dari populasi tersebut. Informasi yang dikandung dari sampel itu digunakan untuk memutuskan apakah hipotesis itu kemungkinan besar benar atau salah. Bukti yang tidak konsisten dengan hipotesis yang dinyatakan akan membawa pada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti yang mendukung hipotesis akan membawa pada penerimaannya. Penerimaan suatu hipotesis merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, tetapi tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar. Hipotesis yang ingin diuji kebenarannya dalam suatu penelitian dengan data kuantitatif pada umumnya ada hipotesis yang lain yaitu hipotesis nol. Hipotesis alternatif dilambangkan dengan H dan hipotesis nol dilambangkan dengan H . ₁ Misal n menyatakan banyaknya pengamatan yang merupakan dasar pengambilan keputusan (menolak hipotesis, menerima hipotesis). Setiap n- pengamatan merupakan sampel berukuran n. Setiap prosedur pengujian adalah suatu aturan untuk menolak hipotesis atau menerima hipotesis berdasarkan sampel. Prosedur pengujiannya merupakan pemecahan semua sampel yang mungkin menjadi dua bagian yang saling lepas, namakan daerah 1 dan daerah 2. hipotesis ditolak apabila sampel berada di daerah 1 dan hipotesis diterima bila sampel berada di daerah 2. Daerah 1 dinamakan daerah kritis. Karena daerah 2 berisi semua sampel yang tidak termasuk di daerah 1, maka daerah 2 diperoleh dari daerah 1. Jadi, pemilihan prosedur pengujian setara dengan penentuan daerah kritis.

  Prosedur pengujian hipotesis dalam pengambilan keputusan dapat membawa pada dua kesimpulan yang salah. Keputusan yang diambil untuk menerima atau menolak suatu hipotesis mempunyai resiko kesalahan, yaitu :

• Kesalahan tipe I yaitu menolak H H sedangkan sebenarnya itu benar.

  Probabilitas untuk melakukan kesalahan tipe I ini dilambangkan dengan α .

• Kesalahan tipe II yaitu menerima H sedangkan sebenarnya H itu salah.

  Probabilitas melakukan kesalahan tipe II ini dilambangkan dengan β .

  Untuk ukuran sampel yang tetap, penurunan probabilitas melakukan kesalahan tersebut dapat diperkecil secara bersama-sama dengan memperbesar ukuran sampel. Dengan kata lain α dan β dapat diperkecil secara bersama-sama dengan cara memperbesar ukuran sampelnya.

  Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu arah seperti

  H : θ = θ , H : θ > θ . ₁ Atau H : ,

  θ = θ H : θ < θ . ₁ disebut uji satu arah. Wilayah kritis bagi hipotesis θ > teletak seluruhnya di θ bagian kanan. Sedangkan wilayah kritis bagi hipotesis alternatif θ < terletak θ seluruhnya di bagian kiri. Dalam pengertian ini, tanda ketaksamaan menunjuk ke wilayah kritisnya.

  Uji hipotesis yang alternatifnya bersifat dua arah, yaitu :

  H : ,

  θ = θ H : θ ≠ θ . ₁ disebut uji dua arah, karena wilayah kritisnya dibagi menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor distribusi statistiknya. Hipotesis alternatif

  θ ≠ menyatakan bahwa θ θ < atau θ θ > . θ Hipotesis nol, H , akan selalu dituliskan dengan tanda kesamaan sehingga arah bergantung pada kesimpulan yang akan ditarik bila H ditolak. Lokasi wilayah kritisnya dapat ditentukan hanya setelah hipotesis alternatif

  H dinyatakan. ₁ Misal dalam pengujian suatu obat baru, dapat dibuat hipotesis bahwa obat

  baru itu tidak lebih baik daripada obat-obat serupa yang beredar di pasaran. Diuji melawan hipotesis alternatif bahwa obat baru tersebut lebih unggul. Hipotesis alternatif yang demikian ini selalu menghasilkan uji satu arah dengan wilayah kritisnya di ekor sebelah kanan. Tetapi bila membandingkan suatu teknik mengajar yang baru dengan teknik mengajar yang biasa, maka hipotesis alternatifnya harus memungkinkan bahwa teknik mengajar yang baru tersebut bersifat lebih baik atau lebih buruk daripada teknik mengajar yang biasa. Dengan demikian uji itu bersifat dua arah dengan wilayah kritisnya dibagi dua sama besar di ekor sebelah kiri dan kanan.

  Dalam pengujian hipotesis yang statistik ujinya bersifat diskret, wilayah

  α

  kritisnya dapat ditentukan. Bila terlalu besar dapat diperbesar ukuran sampelnya untuk mengimbangi membesarnya β . Dalam uji hipotesis yang

  α

  statistik ujinya bersifat kontinu, biasanya nilai ditentukan lebih dahulu, baru kemudian menentukan wilayah kritisnya.

  Langkah-langkah pengujian hipotesis mengenai parameter populasi θ lawan suatu hipotesis alternatif dapat dituliskan sebagai berikut :

  1. Dari data yang dimiliki dan pernyataan-pernyataan ( hipotesis ) yang tiap-tiap pernyataan dalam bentuk rentang harga-harga parameter θ model probabilitas itu.

  2. - Nyatakan hipotesis nolnya bahwa H : θ = θ .

• Pilih hipotesis alternatif yang sesuai, H : θ ≠ θ , H : θ < θ ,
_{1 1} H atau : θ > θ . ₁

  α 3. Tentukan taraf nyata ujinya ( ).

  4. Pilih statistik uji yang sesuai dan kemudian tentukan wilayah kritisnya.

  5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampel.

  H

  6. Keputusan : tolak bila nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah kritisnya, sedang bila jatuh di luar wilayah kritisnya H diterima.

F. Uji Mengenai Proporsi

  Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Pengujian hipotesis bahwa proporsi keberhasilan dalam suatu percobaan binom sama dengan

  H p p

  suatu nilai tertentu. Hal ini berarti bahwa akan diuji hipotesis : = dengan

  

p adalah parameter distribusi binomial. Hipotesis alternatifnya dapat yang bersifat

satu sisi maupun yang dua sisi.

  Statistik yang akan digunakan sebagai landasan kriteria pengambilan keputusan adalah variabel random binom X, meski dapat digunakan statistik ˆ

  X P = sama baiknya. Nilai-nilai X yang jauh dari nilai tengah μ = np akan n

  1

  = ₁ : p p H >

  ≤ k x dan ₂ ^α k x

  : p p H ≠ Wilayah kritis sebesar α diberikan oleh _{' 2 α}

  Dan yang terakhir untuk menguji hipotesis : p p H = ₁

  ∑ ₌ ⁿ _{k x}

P p n x b p p bila k x ) ; ; ( ) (

  α _{α α} ≤ = = ≥

  k

  Sedang dalam hal ini adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat _α

  ≥ k x

  Wilayah kritis yang berukuran α diberikan oleh _α

  H p p

  : p p H < Wilayah kritis berukuran α diberikan oleh _{' α}

  Begitu pula untuk menguji hipotesis :

  X P

  p n x b p p bila k

  ) ; ; ( ) ( ^k _x

  ∑ ₌ ^{' '}

  α ^α _α ≤ = = ≤

  k

  Sedang adalah bilangan bulat terbesar yang bersifat ^' _α

  ≤ k x

  ≥ Karena X merupakan variabel random binom yang bersifat diskret maka Langkah-langkah pengujian proporsi dapat dituliskan sebagai berikut :

  1. H : p = p

  2. H : alternatifnya adalah p < p , p > p , atau p ≠ p ₁

  3. Tentukan taraf nyata α

  4. Wilayah kritis _'

  x ≤ k , bila hipotesis alternatifnya p < p _α x ≤ k , bila hipotesis alternatifnya p > p _{α α x ≥ k '} x ≤ k dan α , bila hipotesis alternatifnya p ≠ p _{2 2}

  5. Perhitungan : hitunglah x yaitu banyaknya keberhasilan

  6. Keputusan : Tolak H bila x jatuh dalam wilayah kritis ; bila tidak demikian terima H .

BAB III UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI Dalam uji hipotesis biasa, banyaknya pengamatan yaitu ukuran sampel,

  diperlakukan sebagai konstanta. Jadi dalam hal ini bisa ditentukan berapa besarnya ukuran sampel yang akan diteliti sebagai dasar pengambilan keputusan.

  Uji sekuensial mempunyai ciri khusus yang membedakannya dari uji biasa, yaitu banyaknya pengamatan yang diperlukan tergantung dari hasil uji terhadap pengamatan sebelumnya. Misalnya ingin diamati sebuah populasi di suatu tempat. Diambil sampel pertama, kemudian diproses dengan aturan dalam uji sekuensial. Keputusan apakah akan menambah pengamatan dengan sampel kedua ditentukan oleh hasil proses uji sekuensial tehadap pengamatan pertama tadi. Proses penambahan sampel pengamatan ini akan berlanjut sampai diperoleh keputusan yang sesuai dengan aturan dalam uji sekuensial. Jadi berdasar dari ciri tersebut, maka mengakibatkan besarnya sampel untuk pengamatan tidak dapat ditentukan sebelumnya, sehingga merupakan variabel random.

  H Metode sekuensial untuk menguji hipotesis mempunyai beberapa aturan.

  Pertama lakukan pengamatan tehadap objek penelitian, kemudian diproses berdasarkan aturan dalam uji sekuensial yaitu:

  H

  1. Menerima

  2. Menolak H

  Keputusan yang diambil berdasarkan pada hasil uji sekuensial pengamatan K ke- m m =

  1 , 2 , 3 , . Jika keputusan (1) atau keputusan (2) diperoleh maka proses

  ( )

  berakhir. Jika keputusan (3) yang diperoleh maka harus dilakukan pengamatan yang kedua. Selanjutnya setelah dilakukan pengamatan yang kedua, diproses lagi untuk memperoleh satu dari tiga keputusan yang ada. Jika kembali diperoleh keputusan (3), maka harus dilakukan lagi pengamatan yang ketiga. Proses ini akan berlanjut terus sampai diperoleh keputusan (1) atau (2). Hal ini menyebabkan banyaknya n pengamatan tergantung dari hasil uji sekuensial terhadap pengamatan sebelumnya,.

  Untuk setiap bilangan bulat m , dimisalkan M adalah kumpulan semua _m

  m sampel berukuran m yang mungkin. Sampel dinotasikan ( x , x ,..... x ) . _{1 2 m}

  Himpunan M dapat dipandang sebagai ruang berdimensi m dengan setiap _m

  x x x M

  sampel ( , ,..... ) merupakan satu vektor di . Aturan dalam pengambilan _{1 2 m m} keputusan untuk setiap tahap pengambilan keputusan dapat dipandang sebagai ₁ pemecahan ruang M menjadi tiga bagian yang saling lepas, yaitu: R , R , dan _{1 m m m}

  ∪ ∪ = R dengan R R R M . Lakukan pengamatan pertama . Hipotesis x _{m m m m m 1 1} H diterima bila x ∈ R , ditolak bila x ∈ R , lanjutkan dengan pengamatan _{1 1}

₁

₁

  kedua x bila x ∈ R . Hipotesis H diterima atau ditolak atau lanjutkan dengan _{2 1 1 1}

  x R x R

  pengamatan ketiga bila , x di R , R , atau . Jika , x di maka

  ( ) ( ) _{1 2 2 2 2 1 2 2}

  lanjutkan dengan pengamatan ketiga. Proses lagi apakah ( x , x , x ) berada di _{1 2 3}

  1 =

  keputusan (2). Jadi uji sekuensial ditentukan oleh R , R , R dengan m _{1 m m m} 1 , 2 , 3 , K Himpunan R , R , R saling lepas dan gabungannya merupakan ruang sampel _{m m m 1} M , maka cukup didefinisikan dua dari tiga himpunan R , R , dan R . _{m m m m}

  Sampel ( x , x ,..... x ) kita sebut tidak efektif jika dalam sampel tersebut _{1 2 m}

  m < m

  memuat sampel ( x , x ,....., x ) dengan ' , sehingga sampel ( x , x ,....., x ) _{1 1 2 ' m 1 2 ' m} berada di R atau R . Suatu sampel yang bukan sampel tak efektif dinamakan _{m ' m '} sampel efektif. Pada uji sekuensial selalu diperoleh sampel efektif untuk setiap ₁ R tahap percobaan. Jadi dalam mendefinisikan himpunan R , R , dan bisa _{m m m} diabaikan adanya sampel yang tidak efektif. Jika sampel tak efektif tidak pernah terjadi selama proses sekuensial, cukup untuk mendefinisikan letak setiap sampel ₁ efektif ( x , x ,..... x ) harus berada di salah satu dari R , R , atau R , _{1 2 m m m m}

  Contoh 3.1

  Misalkan satu partai barang diajukan untuk menjalani pemeriksaan. Tiap unit dikelompokkan atas rusak atau tak rusak. Proporsi rusak tidak diketahui. Partai p

  ≤ >

  diterima bila p p ' dengan p ' suatu bilangan diketahui. Bila p p ' , partai

  ≤

  barang ditolak. Jadi diuji hipotesis H : p p ' . Prosedur pengujian H

  n n

  merupakan suatu contoh uji sekuensial. Misal suatu bilangan bulat. Jika unit pertama yang diperiksa ternyata tidak ada yang rusak, pemeriksaan barang dihentikan dan partai diterima. Jika untuk suatu nilai m ≤ n , unit ke- m ternyata rusak diberi nilai 1 dan unit tak rusak diberi nilai 0. Sampel ( x , x ,..... x ) efektif _{1 2 m} jika dan hanya jika m ≤ n , dan x = K = x = . Penerimaan tidak mungkin _{1 − m 1} dilakukan untuk m < n , dengan kata lain R memuat sampel tak efektif untuk _m

  0 K , , ,

  

m < n . R hanya mengandung satu sampel efektif yaitu ( ) . Untuk

_{n 1}

  sebarang m ≤ n , R memuat tepat satu sampel efektif, yaitu

  0 K , , , , 1 . _{m 1} ( )

  m K

  Himpunan R , R , dan R = _{m m m ( )} 1 , 2 , 3 , yang didefinisikan dengan uji sekuensial dapat dipilih dengan berbagai cara dan masalah dasar dalam teori uji sekuensial adalah pemilihan yang layak terhadap himpunan ini.

A. Uji Hipotesis dan Statistik Uji

  Dalam rencana sampling yang didasarkan atas pemeriksaan dari suatu partai barang dapat membawa pada keputusan yang salah. Keputusan yang salah itu terjadi jika p kurang dari atau sama dengan p ' partai barang ditolak, dengan p ' batas toleransi proporsi rusak yang ditentukan dan parameter proporsi rusak p yang tidak diketahui. Demikian juga sebaliknya jika proporsi parameter yang p tidak diketahui lebih besar dari p ' tetapi partai barang diterima. Keputusan yang salah ini dapat dituliskan sebagai :

  Menolak ' H : p ≤ yang benar dan p

  H p p Menerima : > ' yang salah. ₁

  Contoh 3.2

  Misal ditentukan bahwa proporsi rusak unit barang yang masih bisa ditoleransi adalah 0,2; sehingga nilai p ' = ,

  2 . Setelah dilakukan pengamatan ternyata = <

  diperoleh bahwa nilai parameter p , 1 , maka diperoleh kesimpulan p p ' .

  H

  Berdasar atas kesimpulan tadi, maka keputusan yang salah akan terjadi jika

  H ditolak dan diterima. ₁ Tentunya tidak diharapkan bahwa proporsi rusak barang melebihi ketentuan yang telah ditetapkan.

  Seringkali pemeriksaan terhadap tiap unit barang merupakan hal tidak mungkin dengan alasan barang akan menjadi rusak, biaya terlalu tinggi, dan waktu yang dibutuhkan cukup lama. Oleh karena itu dengan kondisi seperti ini resiko untuk membuat keputusan yang salah masih dapat ditolerir asal tidak melebihi batas yang telah ditetapkan. Untuk merancang sampling yang baik, perlu ditetapkan resiko maksimum dalam membuat keputusan yang salah agar masih dapat ditolerir.

  =

  Berdasar pada teori uji sekuensial, jika p p ' adalah mutu partai barang yang diperiksa berada di batas maka keputusan tidak dapat diambil. Untuk

  >

p p ' , kecenderungan untuk menolak partai lebih besar dan pilihan ini akan

  <

  meningkat dengan bertambahnya nilai p. Untuk p p ' , kecenderungan untuk menerima partai lebih besar dan pilihan ini akan meningkat seiring dengan

  Jika p tidak terlalu jauh diatas p ' , keputusan untuk menerima partai merupakan kesalahan yang dapat diabaikan. Demikian juga jika p tidak terlalu jauh dibawah p ' , kesalahan menolak partai bukan merupakan kesalahan yang serius. Sehingga secara tidak langsung terdapat dua bilangan yang menjadi batas

  p

  kesalahan maksimum. Bilangan itu dinotasikan dengan dan p sehingga ₁ diperoleh

  p < sebagai toleransi bawah dan p ' p > p ' sebagai toleransi atas. ₁ Penerimaan partai dianggap sebagai keputusan yang salah jika p ≥ p dan ₁ penolakan barang dianggap sebagai keputusan yang salah jika p ≤ p . Jika p < p < p tidak terlalu peduli keputusan mana yang dibuat. ₁ Setelah p dan p dipilih, resiko dalam membuat keputusan yang salah dan ₁ masih dapat ditolerir dapat dirumuskan dengan probabilitas menolak partai jika

p ≤ p tidak melebihi α . Demikian pula probabilitas untuk menerima partai jika

p ≥ p tidak melebihi β . ₁ Jadi resiko yang masih dapat ditolerir dikenali dengan empat bilangan yaitu :

p , p , α dan β . Pemilihan p , p , α dan β bukan merupakan masalah

_{1 1}

  statistika, melainkan dipilih berdasar alasan praktis. Setelah keempat bilangan dipilih dapat ditentukan suatu rencana sampling.

  Suatu rencana sampling yang memenuhi syarat bahwa probabilitas menolak tidak melebihi β diberikan oleh uji sekuensial dengan kekuatan ( α, untuk β )

  p = p

  menguji p = p melawan . Sehingga dengan kata lain hipotesis pada uji ₁ sekuensial dengan kekuatan ( α, dapat dituliskan sebagai berikut: β )

  H : p = p , melawan H : p = p _{1 1} Misal X menyatakan hasil pemeriksaan unit ke-i. Jika unit yang diperiksa _i

  ternyata rusak maka nilai

  X = _{i i}

  1 . Misal nilai-nilai

  X ini dimasukkan dalam

  kategori I. Banyaknya pengamatan yang masuk dalam kategori I dilambangkan

  n

  dengan . Demikian juga jika unit yang diperiksa ternyata tidak rusak maka nilai ₁ X

  X _{i i} = . Nilai-nilai yang tidak rusak ini dimasukkan dalam pengamatan yang bukan termasuk kategori I. Banyaknya pengamatan yang bukan termasuk kategori