6
BAB II PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE NEWTON-COTES
A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI
Definisi 2.1 Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari satu himpunan dengan
elemen-elemen dari suatu himpunan kedua. Fungsi adalah relasi di mana
setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal
seperti f dan x
f menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada
x
.
Daerah asal adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi, sedangkan daerah hasil adalah himpunan komponen
keduanya. Fungsi belum dapat ditentukan bila daerah asalnya belum diberikan.
Contoh 2.1
Jika
4
3
x
x f
, tentukan daerah hasilnya untuk 4
, 3
, 2
x
x x
dan 5
x
Penyelesaian
Gambar 2.1
Dari gambar 2.1 di atas himpunan
5 ,
4 ,
3 ,
2 menunjukkan daerah asal fungsi,
sedangkan himpunan
121 ,
60 ,
23 ,
4 menunjukkan daerah hasil fungsi.
Definisi 2.2
Fungsi x
f dikatakan terbatas ke atas pada suatu interval jika terdapat
konstanta
M
sedemikian hingga M
x f
untuk setiap
x
pada interval
tersebut. Dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat konstanta
m
sedemikian hingga
m x
f
untuk setiap
x
pada interval
tersebut. Sedangkan
x f
dikatakan terbatas jika
x f
terbatas ke atas dan terbatas ke bawah,
R M
sedemikian hingga
A x
M x
f
,
Contoh 2.2
Buktikan fungsi
f
dengan x
x f
4
, pada interval 1
1
x
adalah terbatas
Penyelesaian
Jelas
1 ,
1 ,
5
x
x f
. Jika dipilih 5
M
maka 5
x f
x f
terbatas untuk
1 ,
1
x
Definisi 2.3
Missal
R A
, fungsi
f
adalah fungsi dari
A
ke
R
. Dikatakan bahwa
L x
f
c x
lim
berarti bahwa untuk tiap
yang diberikan betapapun kecilnya,
terdapat
yang
berpadanan sedemikian
sehingga
L
x f
asalkan bahwa
c
x
; yakni,
L x
f c
x
Teorema 2.1
Andaikan
n
bilangan bulat positif,
k
adalah konstanta, dan f dan
g
adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di
c
. Maka 1.
k k
c x
lim
,
2.
c x
c x
lim
, 3.
x f
k x
kf
c x
c x
lim lim
, 4.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
, 5.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
, 6.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
. lim
. lim
, 7.
Jika
L x
g
c x
lim
dan
lim L
f x
f
c x
, maka
lim L
f x
g f
c x
8.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
asalkan
lim
x g
c x
,
9. lim
x c
f x
n
= lim
x c
f x
n
, 10.
lim
x c
f x
n
= lim
x c
f x
n
asalkan
lim
x f
c x
jika
n
genap.
Bukti
1. Akan
dibuktikan
sehingga
k k
c x
Ambil sebarang
, akan
dicari
sehingga
k k
c x
R x
Ambil
, perhatikan bahwa
c x
k k
Diketahui
c x
bila
1
jadi
1 .
c x
k k
Menurut definisi 2.3, maka
k k
c x
lim
2. Akan
dibuktikan
sehingga
c x
c x
Ambil sebarang
, akan
dicari
sehingga
c x
c x
R x
Ambil
, perhatikan bahwa
c x
c x
1
Diketahui
c x
bila
jadi
1
1
c x
c x
Menurut definisi 2.3, maka
c x
c x
lim
3. Akan dibuktikan
sedemikian hingga
kL x
kf c
x
ambil sebarang
pilih
k
sehingga untuk
c x
Maka
k k
L x
f k
kL x
kf
Menurut definisi 2.3, maka
x f
k x
kf
c x
c x
lim lim
4. Missal
L x
f
c x
lim
dan
K x
g
c x
lim
Akan dibuktikan
1
sehingga
2
1
L x
f c
x
Akan dibuktikan
2
sehingga
2
2
K x
g c
x x
Perhatikan bahwa
K x
g L
x f
K L
x g
x f
K L
x g
x f
K x
g L
x f
Ambil sebarang
, jika dipilih
2 1
, min
maka
2
2
K x
g L
x f
K L
x g
x f
Menurut definisi 2.3, maka
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim lim
lim
5. Akan dibuktikan
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
Menurut Teorema 2.1
lim lim
3 lim
1 lim
4 1
lim lim
1 lim
lim
x g
x f
x g
x f
x g
x f
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
6. Akan dibuktikan
1
sehingga
lim
x c
f x =
L
dan
lim
x c
gx =
M
1 2
1
M L
x f
c x
Akan dibuktikan
2
sehingga
L M
x g
c x
2
2
Perhatikan bahwa f xgx
- LM
LM x
Lg x
Lg x
g x
f
LM x
Lg x
Lg x
g x
f
M x
g L
L x
f x
g
Akan dibuktikan 1
M x
g
gx -
M
e
-
e
gx -
M
e
M x
g M
- M
- 1
M -
e
gx M
+
e
M +
1 1
M x
g
Sehingga f xgx
- LM
£ M
+ 1 f x
- L
+ L gx
- M
Ambil sebarang
, Jika dipilih
2 1
, min
maka
L L
M M
M x
g L
L x
f M
LM x
g x
f c
x 2
1 2
1 1
Menurut definisi 2.3, maka
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
. lim
. lim
7. Akan dibuktikan
sedemikian hingga
L f
x g
f c
x
Dari
L y
f
c x
lim
ambil sebarang
pilih
1
sehingga untuk
1
L y
Maka
L f
y f
……1
Dari
L x
g
c x
lim
ambil sebarang
pilih
sehingga untuk
c x
Maka
1
L x
g
atau
1
L y
dimana
x g
y
Dari 1 dapat dilihat bahwa
Jika
c x
maka
L f
y f
L f
x g
f
8. Misalkan
L x
g
c x
lim
dan
lim
x c
f x =
M
Akan dibuktikan
d
sedemikian hingga
x -
c d Þ
f x gx
- M
L e
Ambil sebarang
Akan dibuktikan lim
x c
1 gx
= 1
L Diketahui
d
1
sedemikian hingga
x -
c
d
1
Þ gx
- L
a
Perhatikan bahwa -
a
- gx
- L
gx -
L Dipilih
2 1
L
-
a
gx -
L
- a +
L gx
gx 1
2 L
1 gx
2 L
Jadi 1
gx -
1 L
= L
- gx
Lgx =
1 Lgx
L -
gx =
1 gx
1 L
L -
gx 2
L
2
L -
gx
Diketahui
e d
2
sedemikian hingga
x -
c
d
2
Þ gx
- L
1 2
L
2
e
Ambil sebarang
, Jika dipilih
d
= max
d
1
,
d
2
{ }
maka 1
gx -
1 L
2 L
2
L -
gx 2
L
2
. 1
2 L
2
. e =e
jadi terbukti bahwa \
lim
x c
1 gx
= 1
L Sehingga menurut Teorema 2.1 no. 6, misal
1 gx
= hx
lim
x c
f x.hx =
lim
x c
f x . lim
x c
h x =
M. 1
L =
M L
= lim
x c
f x gx
c x
c x
c x
x g
x f
x g
x f
lim lim
lim asalkan
lim
x g
c x
9. Misal
lim
x c
f x =
L
Untuk
1
n
lim
x c
f x
[ ]
1
= lim
x c
f x =
lim
x c
f x
1
= L
1
= L
Pn yaitu lim
x c
f x
[ ]
n
= lim
x c
f x
n
benar untuk
1
n
Diasumsikan Pn benar untuk
n =
k Î
N
, yaitu lim
x c
f x
[ ]
k
= lim
x c
f x
k
= L
k
, k
N sehingga untuk
n =
k +
1
berlaku
1 1
. lim
. lim
lim .
lim .
lim lim
k k
c x
k c
x c
x k
c x
k c
x k
c x
L L
L x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f
jadi Pn benar untuk
n =
k +
1
, maka menurut induksi matematika
N n
x f
x f
n c
x n
c x
lim lim
10. Misalkan
n =
2k, k =
1 lim
x c
gx =
L
k k
c x
L x
g
2 2
lim
f x =
x
2k
Menurut Teorema 2.1 no 7 maka lim
x c
gx
2 k
= lim
x c
f gx =
f lim
x c
gx =
lim
x c
gx
2 k
Contoh 2.3
Buktikan
5 7
3 lim
4
x
x
Penyelesaian
Menurut Teorema 2.1 lim
x 4
3x -
7 =
lim
x 4
3x -
lim
x 4
7 5
= 3lim
x 4
x -
7 3 dan 1
= 3.4
- 7
2 =
12 -
7 =
5
Definisi 2.4
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat
c
. Dikatakan
bahwa f kontinu di
c
jika
lim c
f x
f
c x
.
Contoh 2.4
Apakah 2
4
2
x x
x f
kontinu di titik 2
x
Penyelesaian
f 2 =
maka
f 2
tidak terdefinisi Jadi f tidak kontinu di
2
x
Definisi 2.5 Fungsi f adalah kontinu di kanan di
a
jika lim
x a
+
f x =
f a dan kontinu di kiri pada
b
jika lim
x b
-
f x =
f b
Dikatakan bahwa f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut. Ia kontinu pada selang tertutup
a, b
[ ]
jika kontinu pada
a, b
, kontinu kanan di
a
dan kontinu kiri di
b
Contoh 2.5
x x
f
1 kontinu pada
1 ,
I
Definisi 2.6 Turunan fungsi f adalah fungsi lain
f yang nilainya pada sebarang bilangan
x
adalah
h x
f h
x f
x f
h
lim
asalkan limitnya ada dan bukan atau
Jika limitnya ada, dikatakan bahwa f terdiferensialkan di
x
. Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Secara umum turunan fungsi f ,
ditulis
n
f
, adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi
,..... 3
, 2
, 1
,
1
n f
n
dengan
. x
f x
f
Turunan ke-
n
dari fungsi pada titik
x
dapat dihitung dengan definisi
,..., 3
, 2
, 1
, lim
lim
1 1
1 1
x f
x f
n h
x f
h x
f x
t x
f t
f x
f
n n
h n
n x
t n
Contoh 2.6
Hitunglah turunan pertama dari fungsi 6
13
x x
f , untuk
4
x
Penyelesaian
Turunan pertama dari fungsi 6
13
x x
f untuk
4
x
adalah
13 13
lim 13
lim 6
4 13
6 4
13 lim
4 4
lim 4
h h
h h
h h
h h
h f
h f
f
Teorema 2.2
Jika c
f ada, maka f kontinu di
c
.
Bukti
Akan ditunjukan
lim c
f x
f
c x
.
c x
c x
c x
c f
x f
c f
x f
, .
oleh karena itu, jika diambil limitnya di
x c
. lim
. lim
lim .
lim lim
c f
c f
c f
c x
c x
c f
x f
c f
c x
c x
c f
x f
c f
x f
c x
c x
c x
c x
c x
Turunan suatu fungsi
f
adalah fungsi lain
f
. Misalnya, jika
2
x x
f
adalah rumus untuk
f
, maka
x x
f 2
adalah rumus untuk
f
. Pengambilan turunan dari
f
adalah pengoperasian pada
f
untuk menghasilkan
f
. Seringkali digunakan huruf
x
D
untuk menunjukan operasi ini. Jadi dituliskan
f f
D
x
atau
x f
x f
D
x
. Teorema berikut
dinyatakan dalam cara penulisan operator
x
D
.
Teorema 2.3
Jika k
x f
dengan
k
suatu konstanta, maka untuk sebarang
x
,
x f
, yakni
k
D
x
Bukti
lim lim
lim
h h
h
h k
k h
x f
h x
f x
f
Teorema 2.4
Jika x
x f
, maka
1
x f
, yakni
1
x D
x
Bukti
1 lim
lim lim
h h
h x
h x
h x
f h
x f
x f
h h
h
Teorema 2.5
Jika
n
x x
f
, dengan
n
bilangan bulat positif, maka
1
n
nx x
f
, yakni
1
n n
x
nx x
D
Bukti
h h
nxh h
x n
n nx
h h
x h
nxh h
x n
n h
nx x
h x
h x
h x
f h
x f
x f
n n
n n
h n
n n
n n
n h
n n
h h
1 2
2 1
1 2
2 1
... 2
1 lim
... 2
1 lim
lim lim
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
h
sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
h
mendekati nol. Jadi
1
n
nx x
f
Teorema 2.6
Jika
k
suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka .
x f
k x
kf
yakni,
. .
x f
D k
x f
k D
x x
Bukti
Andaikan .
x f
k x
F
. Maka
. lim
. .
lim .
. lim
lim
x f
k h
x f
h x
f k
h x
f h
x f
k h
x f
k h
x f
k h
x F
h x
F x
F
h h
h h
Teorema 2.7
Jika f dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka x
g x
f x
g f
yakni,
x g
D x
f D
x g
x f
D
x x
x
Bukti
Andaikan x
g x
f x
F
. Maka
lim lim
lim lim
x g
x f
h x
g h
x g
h x
f h
x f
h x
g h
x g
h x
f h
x f
h x
g x
f h
x g
h x
f x
F
h h
h h
Teorema 2.8
Jika f dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka x
g x
f x
g f
yakni,
x g
D x
f D
x g
x f
D
x x
x
Bukti
1 1
1
x g
D x
f D
x g
D x
f D
x g
D x
f D
x g
x f
D x
g x
f D
x x
x x
x x
x x
Teorema 2.9
Misalkan
b a
C f
,
dan
f
terdeferensial pada
b a
, . Jika
b f
a f
, maka ada paling sedikit satu bilangan
b a
c
,
sedemikian sehingga
c
f
.
Bukti
Karena
x f
kontinu pada selang
b x
a
, berarti
x f
mempunyai nilai maksimum
M
dan nilai minimum
m
dalam
b a
, , jadi
M x
f m
dalam
b a
, . Bila
M m
, maka
x f
= konstan, berarti
x
f
. Karena
M m
dan
b f
a f
, maka paling sedikit salah satu
m
atau
M
tidak sama dengan
b f
a f
, misalnya
a f
M
. Maka nilai maksimum
M
tidak pada titik akhir dari
b a
, , melainkan terletak di
c x
,
b c
a
dan berarti
c
f
.
Teorema 2.10
Jika f kontinu pada selang tertutup
b a
, dan terdefinisikan pada titik-titik
dalam dari
b a
, , maka terdapat paling sedikit satu bilangan
c
dalam
b a
, dengan
c f
a b
a f
b f
Bukti
Gambar grafik
f
sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik
, a
f a
A
dan
, b
f b
B
, Gambar 2.2, maka fungsinya
a x
a b
a f
b f
a f
x g
Selisih antara grafik
f
dan
g
pada
x
adalah
a x
a b
a f
b f
a f
x f
x g
x f
x h
Dari persamaan tersebut, maka
b
h a
h
. Oleh karena fungsi-fungsi
x f
dan
a x
adalah kontinu dalam
b x
a
dan terdeferensial dalam
b x
a
, maka menurut Teorema 2.9 ada nilai
x
yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk
c x
,
b c
a
berlaku
c
h
.
Gambar 2.2 Teorema Nilai Rata-Rata
diperoleh
a b
a f
b f
x f
x h
Untuk persamaan
c x
, menjadi
a b
a f
b f
c f
c h
a b
a f
b f
c f
a b
a f
b f
c f
Definisi 2.7
Fungsi
F
dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang
I
jika x
f x
F
untuk semua
x
di
I
.
Leibniz menggunakan lambang
dx ...
untuk menunjukkan anti turunan terhadap
x
, sama seperti
x
D
menunjukkan turunan terhadap
x
. Perhatikan bahwa
x
f dx
x f
D
x
.
Teorema 2.11
Jika
n
adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
1 ,
1 1
1
n c
x n
dx x
n n
Bukti
Untuk menunjukkan hasil berbentuk
c x
F dx
x f
maka ditunjukan
x f
c x
F Dx
n n
n
x x
n n
c n
x Dx
1 1
1 1
1
c n
x dx
x
n n
1
1
Teorema 2.12
Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dan
k
suatu konstanta maka
dx
x f
k dx
x kf
.
Bukti
Diferensialkan ruas kanan
Berdasarkan Teorema 2.6
x kf
x f
kDx dx
x f
k Dx
Teorema 2.13
Jika f dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
dx
x g
dx x
f dx
x g
x f
.
Bukti
Diferensialkan ruas kanan Berdasarkan Teorema 2.7
x g
x f
dx x
g Dx
dx x
f Dx
dx x
g dx
x f
Dx
Teorema 2.14
Jika f dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
dx x
g dx
x f
dx x
g x
f
Bukti
Berdasarkan Teorema 2.8
x g
x f
dx x
g Dx
dx x
f Dx
dx x
g dx
x f
Dx
Definisi 2.8
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup
b a
, . Jika
n i
i i
P
x x
f
1
lim
ada maka f dikatakan terintegralkan pada
b a
, .
selanjutnya
b a
dx x
f
disebut integral tentu f dari
a
ke
b
dan diberikan
oleh
n i
i i
P b
a
x x
f dx
x f
1
lim
Teorema 2.15
Andaikan f kontinu pada
b a
, dan andaikan
F
sebarang anti turunan dari f di selang
b a
, . Maka
a F
b F
dx x
f
b a
Bukti
Andaikan
b x
x x
x x
a P
n n
1 2
1
... :
adalah partisi sebarang dari
b a
, . Maka
n i
i i
n n
n n
x F
x F
x F
x F
x F
x F
x F
x F
a F
b F
1 1
1 2
1 1
....
Menurut Teorema 2.10 yang diterapkan pada
F
pada selang
i i
x x
,
1
,
i i
i i
i i
i
x x
f x
x x
F x
F x
F
1 1
untuk suatu pilihan
i
x
dalam selang terbuka
i i
x x
,
1
. Jadi
n i
i i
x x
f a
F b
F
1
Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk
P
, diperoleh
b a
n i
i i
P
dx x
f x
x f
a F
b F
lim
1
Contoh 2.7
Tentukan
dx x
2
dan
3 2
dx x
Penyelesaian
c x
dx x
3 2
3 1
dan
3 3
3
9 3
3 1
dx x
B. METODE NEWTON-COTES