FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI

6

BAB II PENGINTEGRALAN NUMERIS

DENGAN METODE NEWTON-COTES

A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI

Definisi 2.1 Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari satu himpunan dengan elemen-elemen dari suatu himpunan kedua. Fungsi adalah relasi di mana setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f dan x f menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x . Daerah asal adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi, sedangkan daerah hasil adalah himpunan komponen keduanya. Fungsi belum dapat ditentukan bila daerah asalnya belum diberikan. Contoh 2.1 Jika 4 3   x x f , tentukan daerah hasilnya untuk 4 , 3 , 2    x x x dan 5  x Penyelesaian Gambar 2.1 Dari gambar 2.1 di atas himpunan   5 , 4 , 3 , 2 menunjukkan daerah asal fungsi, sedangkan himpunan   121 , 60 , 23 , 4 menunjukkan daerah hasil fungsi. Definisi 2.2 Fungsi x f dikatakan terbatas ke atas pada suatu interval jika terdapat konstanta M sedemikian hingga M x f  untuk setiap x pada interval tersebut. Dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat konstanta m sedemikian hingga m x f  untuk setiap x pada interval tersebut. Sedangkan x f dikatakan terbatas jika x f terbatas ke atas dan terbatas ke bawah, R M   sedemikian hingga A x M x f    , Contoh 2.2 Buktikan fungsi f dengan x x f   4 , pada interval 1 1    x adalah terbatas Penyelesaian Jelas   1 , 1 , 5     x x f . Jika dipilih 5  M maka 5  x f x f  terbatas untuk   1 , 1   x Definisi 2.3 Missal R A  , fungsi f adalah fungsi dari A ke R . Dikatakan bahwa L x f c x   lim berarti bahwa untuk tiap   yang diberikan betapapun kecilnya, terdapat   yang berpadanan sedemikian sehingga    L x f asalkan bahwa     c x ; yakni,         L x f c x Teorema 2.1 Andaikan n bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c . Maka 1. k k c x   lim , 2. c x c x   lim , 3.     x f k x kf c x c x    lim lim , 4.           x g x f x g x f c x c x c x       lim lim lim , 5.           x g x f x g x f c x c x c x       lim lim lim , 6.           x g x f x g x f c x c x c x     lim . lim . lim , 7. Jika   L x g c x   lim dan   lim L f x f c x   , maka     lim L f x g f c x   8.         x g x f x g x f c x c x c x     lim lim lim asalkan   lim   x g c x , 9. lim x c f x   n = lim x c f x     n , 10. lim x c f x n = lim x c f x n asalkan   lim   x f c x jika n genap. Bukti 1. Akan dibuktikan       sehingga           k k c x Ambil sebarang   , akan dicari   sehingga             k k c x R x Ambil   , perhatikan bahwa c x k k     Diketahui     c x bila   1  jadi        1 . c x k k Menurut definisi 2.3, maka k k c x    lim 2. Akan dibuktikan       sehingga           c x c x Ambil sebarang   , akan dicari   sehingga             c x c x R x Ambil   , perhatikan bahwa c x c x    1 Diketahui     c x bila    jadi        1 1 c x c x Menurut definisi 2.3, maka c x c x    lim 3. Akan dibuktikan       sedemikian hingga         kL x kf c x ambil sebarang   pilih k    sehingga untuk     c x Maka          k k L x f k kL x kf Menurut definisi 2.3, maka     x f k x kf c x c x     lim lim 4. Missal L x f c x   lim dan K x g c x   lim Akan dibuktikan    1    sehingga 2 1         L x f c x Akan dibuktikan    2    sehingga              2 2   K x g c x x Perhatikan bahwa K x g L x f K L x g x f K L x g x f            K x g L x f     Ambil sebarang   , jika dipilih   2 1 , min     maka              2 2 K x g L x f K L x g x f Menurut definisi 2.3, maka           x g x f x g x f c x c x c x        lim lim lim 5. Akan dibuktikan           x g x f x g x f c x c x c x       lim lim lim Menurut Teorema 2.1 lim lim 3 lim 1 lim 4 1 lim lim 1 lim lim x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f c x c x c x c x c x c x c x c x                     6. Akan dibuktikan    1    sehingga lim x c f x = L dan lim x c gx = M 1 2 1        M L x f c x   Akan dibuktikan    2    sehingga L M x g c x 2 2         Perhatikan bahwa f xgx - LM LM x Lg x Lg x g x f     LM x Lg x Lg x g x f     M x g L L x f x g     Akan dibuktikan 1   M x g gx - M e - e gx - M e M x g M       - M - 1 M - e gx M + e M + 1 1   M x g Sehingga f xgx - LM £ M + 1 f x - L + L gx - M Ambil sebarang   , Jika dipilih   2 1 , min     maka                        L L M M M x g L L x f M LM x g x f c x 2 1 2 1 1 Menurut definisi 2.3, maka            x g x f x g x f c x c x c x     lim . lim . lim 7. Akan dibuktikan       sedemikian hingga             L f x g f c x Dari   L y f c x   lim ambil sebarang   pilih 1   sehingga untuk 1     L y Maka        L f y f ……1 Dari   L x g c x   lim ambil sebarang   pilih   sehingga untuk     c x Maka   1    L x g atau 1    L y dimana   x g y  Dari 1 dapat dilihat bahwa Jika     c x maka                L f y f L f x g f 8. Misalkan L x g c x   lim dan lim x c f x = M Akan dibuktikan    d sedemikian hingga x - c d Þ f x gx - M L e Ambil sebarang   Akan dibuktikan lim x c 1 gx = 1 L Diketahui    d 1 sedemikian hingga x - c d 1 Þ gx - L a Perhatikan bahwa - a - gx - L gx - L Dipilih 2 1   L  - a gx - L - a + L gx gx 1 2 L 1 gx 2 L Jadi 1 gx - 1 L = L - gx Lgx = 1 Lgx L - gx = 1 gx 1 L L - gx 2 L 2 L - gx Diketahui e d 2 sedemikian hingga x - c d 2 Þ gx - L 1 2 L 2 e Ambil sebarang   , Jika dipilih d = max d 1 , d 2 { } maka 1 gx - 1 L 2 L 2 L - gx 2 L 2 . 1 2 L 2 . e =e jadi terbukti bahwa \ lim x c 1 gx = 1 L Sehingga menurut Teorema 2.1 no. 6, misal 1 gx = hx lim x c f x.hx = lim x c f x . lim x c h x = M. 1 L = M L = lim x c f x gx         c x c x c x x g x f x g x f      lim lim lim asalkan   lim   x g c x 9. Misal lim x c f x = L Untuk 1  n lim x c f x [ ] 1 = lim x c f x = lim x c f x 1 = L 1 = L Pn yaitu lim x c f x [ ] n = lim x c f x     n benar untuk 1  n Diasumsikan Pn benar untuk n = k Î N , yaitu lim x c f x [ ] k = lim x c f x     k = L k , k  N sehingga untuk n = k + 1 berlaku             1 1 . lim . lim lim . lim . lim lim              k k c x k c x c x k c x k c x k c x L L L x f x f x f x f x f x f x f jadi Pn benar untuk n = k + 1 , maka menurut induksi matematika     N n x f x f n c x n c x       lim lim 10. Misalkan n = 2k, k = 1 lim x c gx = L k k c x L x g 2 2 lim   f x = x 2k Menurut Teorema 2.1 no 7 maka lim x c gx 2 k = lim x c f gx = f lim x c gx = lim x c gx 2 k Contoh 2.3 Buktikan 5 7 3 lim 4    x x Penyelesaian Menurut Teorema 2.1 lim x 4 3x - 7 = lim x 4 3x - lim x 4 7 5 = 3lim x 4 x - 7 3 dan 1 = 3.4 - 7 2 = 12 - 7 = 5 Definisi 2.4 Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat c . Dikatakan bahwa f kontinu di c jika lim c f x f c x   . Contoh 2.4 Apakah 2 4 2    x x x f kontinu di titik 2  x Penyelesaian f 2 = maka f 2 tidak terdefinisi Jadi f tidak kontinu di 2  x Definisi 2.5 Fungsi f adalah kontinu di kanan di a jika lim x a + f x = f a dan kontinu di kiri pada b jika lim x b - f x = f b Dikatakan bahwa f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut. Ia kontinu pada selang tertutup a, b [ ] jika kontinu pada a, b , kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b Contoh 2.5 x x f 1  kontinu pada 1 ,  I Definisi 2.6 Turunan fungsi f adalah fungsi lain f yang nilainya pada sebarang bilangan x adalah h x f h x f x f h lim     asalkan limitnya ada dan bukan  atau   Jika limitnya ada, dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x . Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Secara umum turunan fungsi f , ditulis n f , adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi ,..... 3 , 2 , 1 , 1   n f n dengan . x f x f  Turunan ke- n dari fungsi pada titik x dapat dihitung dengan definisi ,..., 3 , 2 , 1 , lim lim 1 1 1 1 x f x f n h x f h x f x t x f t f x f n n h n n x t n               Contoh 2.6 Hitunglah turunan pertama dari fungsi 6 13   x x f , untuk 4  x Penyelesaian Turunan pertama dari fungsi 6 13   x x f untuk 4  x adalah     13 13 lim 13 lim 6 4 13 6 4 13 lim 4 4 lim 4                h h h h h h h h h f h f f Teorema 2.2 Jika c f ada, maka f kontinu di c . Bukti Akan ditunjukan lim c f x f c x   . c x c x c x c f x f c f x f       , . oleh karena itu, jika diambil limitnya di x c . lim . lim lim . lim lim c f c f c f c x c x c f x f c f c x c x c f x f c f x f c x c x c x c x c x                       Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f . Misalnya, jika 2 x x f  adalah rumus untuk f , maka x x f 2  adalah rumus untuk f . Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f untuk menghasilkan f . Seringkali digunakan huruf x D untuk menunjukan operasi ini. Jadi dituliskan f f D x  atau x f x f D x  . Teorema berikut dinyatakan dalam cara penulisan operator x D . Teorema 2.3 Jika k x f  dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x ,  x f , yakni  k D x Bukti lim lim lim           h h h h k k h x f h x f x f Teorema 2.4 Jika x x f  , maka 1  x f , yakni 1  x D x Bukti 1 lim lim lim            h h h x h x h x f h x f x f h h h Teorema 2.5 Jika n x x f  , dengan n bilangan bulat positif, maka 1   n nx x f , yakni 1   n n x nx x D Bukti h h nxh h x n n nx h h x h nxh h x n n h nx x h x h x h x f h x f x f n n n n h n n n n n n h n n h h                                    1 2 2 1 1 2 2 1 ... 2 1 lim ... 2 1 lim lim lim Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi 1   n nx x f Teorema 2.6 Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka . x f k x kf  yakni,   . . x f D k x f k D x x  Bukti Andaikan . x f k x F  . Maka . lim . . lim . . lim lim x f k h x f h x f k h x f h x f k h x f k h x f k h x F h x F x F h h h h                  Teorema 2.7 Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka x g x f x g f    yakni,   x g D x f D x g x f D x x x    Bukti Andaikan x g x f x F   . Maka     lim lim lim lim x g x f h x g h x g h x f h x f h x g h x g h x f h x f h x g x f h x g h x f x F h h h h                             Teorema 2.8 Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka x g x f x g f    yakni,   x g D x f D x g x f D x x x    Bukti       1 1 1 x g D x f D x g D x f D x g D x f D x g x f D x g x f D x x x x x x x x             Teorema 2.9 Misalkan   b a C f ,  dan f terdeferensial pada   b a , . Jika b f a f  , maka ada paling sedikit satu bilangan   b a c ,  sedemikian sehingga  c f . Bukti Karena x f kontinu pada selang b x a   , berarti x f mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam   b a , , jadi M x f m   dalam   b a , . Bila M m  , maka x f = konstan, berarti  x f . Karena M m  dan b f a f  , maka paling sedikit salah satu m atau M tidak sama dengan b f a f  , misalnya a f M  . Maka nilai maksimum M tidak pada titik akhir dari   b a , , melainkan terletak di c x  , b c a   dan berarti  c f . Teorema 2.10 Jika f kontinu pada selang tertutup   b a , dan terdefinisikan pada titik-titik dalam dari   b a , , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam   b a , dengan c f a b a f b f    Bukti Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik , a f a A dan , b f b B , Gambar 2.2, maka fungsinya a x a b a f b f a f x g      Selisih antara grafik f dan g pada x adalah a x a b a f b f a f x f x g x f x h         Dari persamaan tersebut, maka   b h a h . Oleh karena fungsi-fungsi x f dan a x  adalah kontinu dalam b x a   dan terdeferensial dalam b x a   , maka menurut Teorema 2.9 ada nilai x yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk c x  , b c a   berlaku  c h . Gambar 2.2 Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh a b a f b f x f x h     Untuk persamaan c x  , menjadi a b a f b f c f c h     a b a f b f c f     a b a f b f c f    Definisi 2.7 Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika x f x F  untuk semua x di I . Leibniz menggunakan lambang  dx ... untuk menunjukkan anti turunan terhadap x , sama seperti x D menunjukkan turunan terhadap x . Perhatikan bahwa   x f dx x f D x . Teorema 2.11 Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka        1 , 1 1 1 n c x n dx x n n Bukti Untuk menunjukkan hasil berbentuk    c x F dx x f maka ditunjukan   x f c x F Dx   n n n x x n n c n x Dx              1 1 1 1 1  c n x dx x n n      1 1 Teorema 2.12 Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta maka    dx x f k dx x kf . Bukti Diferensialkan ruas kanan Berdasarkan Teorema 2.6   x kf x f kDx dx x f k Dx     Teorema 2.13 Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka         dx x g dx x f dx x g x f . Bukti Diferensialkan ruas kanan Berdasarkan Teorema 2.7   x g x f dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx          Teorema 2.14 Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka   dx x g dx x f dx x g x f       Bukti Berdasarkan Teorema 2.8   x g x f dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx          Definisi 2.8 Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup   b a , . Jika     n i i i P x x f 1 lim ada maka f dikatakan terintegralkan pada   b a , . selanjutnya  b a dx x f disebut integral tentu f dari a ke b dan diberikan oleh       n i i i P b a x x f dx x f 1 lim Teorema 2.15 Andaikan f kontinu pada   b a , dan andaikan F sebarang anti turunan dari f di selang   b a , . Maka a F b F dx x f b a    Bukti Andaikan b x x x x x a P n n        1 2 1 ... : adalah partisi sebarang dari   b a , . Maka                   n i i i n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F 1 1 1 2 1 1 .... Menurut Teorema 2.10 yang diterapkan pada F pada selang   i i x x , 1  , i i i i i i i x x f x x x F x F x F        1 1 untuk suatu pilihan i x dalam selang terbuka   i i x x , 1  . Jadi      n i i i x x f a F b F 1 Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk  P , diperoleh         b a n i i i P dx x f x x f a F b F lim 1 Contoh 2.7 Tentukan  dx x 2 dan  3 2 dx x Penyelesaian c x dx x    3 2 3 1 dan     3 3 3 9 3 3 1 dx x

B. METODE NEWTON-COTES