Pengintegralan numeris dengan metode gauss legendre.
vii
ABSTRAK
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi berderajat n. Salah satu metode Newton-Cotes bentuk tertutup adalah metode trapesium. Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan nilai fungsi pada batas awal dan batas akhir.
Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal dan berakhir di ujung-ujung selang batas awal dan batas akhir. Berbeda dengan metode Newton Cotes, dalam metode Gauss untuk mengevaluasi luas daerah dibawah garis dipilih titik sembarang secara bebas. Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre. Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Dengan menggunakan translasi, batas-batas integral yang lain dapat diubah ke dalam bentuk baru dengan batas awal -1 dan batas akhir 1. Pemilihan titik-titik pada metode Gauss-Legendre menyebabkan kesalahan memperoleh nilai hampiran menjadi kecil.
(2)
viii
ABSTRACT
Numerical integration is a kind of method which is used by some scientists in gaining approaches to solve a certain integral, which cannot be solved analytically. There are some of numerical integral methods; they are Newton-Cotes method and Gauss method. Newton-Newton-Cotes method is a kind of numerical integration method, in which integral function is approached by n degrees interpolated polynomial. One of the Newton-Cotes closed methods is trapezoid method. Geometrically, trapezoid method is a kind of method which approaching the wide area of trapezoid below the straight line connecting the function numbers on the first limit and the last limit.
In the Newton-Cotes method, the condition before conducting integration we must decide the points with the same space limit. Those points have to start and stop on the points of interval between first and last limit. It becomes different when in Newton-Cotes method, in the Gauss method, to evaluate the wide area below the lines, it’s chosen a random point. One of the special formulas from Gauss is Gauss-Legendre. In the Gauss-Legendre method, before conducting integration, it’s decided the straight line which connecting the random points on the curve by stating the points randomly. By applying translation method, the other integral limits can be transformed into a new shape in first limit -1 and 1 as the last limit. The choosing of the points on Gauss-Legendre causes error in getting approaching value becoming smaller.
(3)
i
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Gigih Adiguna NIM: 063114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
(4)
ii
NUMERICAL INTEGRATION
USING GAUSS-LEGENDRE METHODS
A PAPER
Presented As Partial Fulfillment Of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree Of
Mathematics Study Program
Written by: Gigih Adiguna Student ID: 063114005
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
(5)
(6)
(7)
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
"if you think you are too small to
make a difference, try sleeping
with MOSQUITO"
Makalah ini kupersembahkan untuk Keluarga, Kawan, Kekasih dan Komunitas yang telah membantu.
(8)
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 31 Januari 2013 Penulis
(9)
vii
ABSTRAK
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi berderajat n. Salah satu metode Newton-Cotes bentuk tertutup adalah metode trapesium. Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan nilai fungsi pada batas awal dan batas akhir.
Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal dan berakhir di ujung-ujung selang batas awal dan batas akhir. Berbeda dengan metode Newton Cotes, dalam metode Gauss untuk mengevaluasi luas daerah dibawah garis dipilih titik sembarang secara bebas. Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre. Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Dengan menggunakan translasi, batas-batas integral yang lain dapat diubah ke dalam bentuk baru dengan batas awal -1 dan batas akhir 1. Pemilihan titik-titik pada metode Gauss-Legendre menyebabkan kesalahan memperoleh nilai hampiran menjadi kecil.
(10)
viii
ABSTRACT
Numerical integration is a kind of method which is used by some scientists in gaining approaches to solve a certain integral, which cannot be solved analytically. There are some of numerical integral methods; they are Newton-Cotes method and Gauss method. Newton-Newton-Cotes method is a kind of numerical integration method, in which integral function is approached by n degrees interpolated polynomial. One of the Newton-Cotes closed methods is trapezoid method. Geometrically, trapezoid method is a kind of method which approaching the wide area of trapezoid below the straight line connecting the function numbers on the first limit and the last limit.
In the Newton-Cotes method, the condition before conducting integration we must decide the points with the same space limit. Those points have to start and stop on the points of interval between first and last limit. It becomes different when in Newton-Cotes method, in the Gauss method, to evaluate the wide area below the lines, it’s chosen a random point. One of the special formulas from Gauss is Gauss-Legendre. In the Gauss-Legendre method, before conducting
integration, it’s decided the straight line which connecting the random points on the curve by stating the points randomly. By applying translation method, the other integral limits can be transformed into a new shape in first limit -1 and 1 as the last limit. The choosing of the points on Gauss-Legendre causes error in getting approaching value becoming smaller.
(11)
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama
Nomor Mahasiswa
: Gigih Adiguna : 063114005
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 31 Januari 2013 Yang menyatakan
(12)
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.
Dalam menulis makalah ini banyak hambatan dan kesulitan yang penulis temukan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya makalah ini dapat selesai. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus dosen pembimbing makalah yang telah meluangkan waktu, pikiran, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam menyusun makalah ini.
3. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing akademik sekaligus dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
6. Keluarga dan sahabat serta yang telah memberikan dukungan dalam segala hal.
(13)
xi
7. Teman-teman angkatan 2006 tanpa terkecuali yang telah memberikan semangat kepada penulis.
Yogyakarta, 31 Januari 2013
(14)
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……….. HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……… HALAMAN PENGESAHAN ……… HALAMAN PERSEMBAHAN ………. HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………
i iii iv v vi
ABSTRAK ……….. ABSTRACT ……… HALAMAN PUBLIKASI ……….. KATA PENGANTAR ……… DAFTAR ISI ………...
DAFTAR GAMBAR ………..
vii viii
ix x xii xiv
BAB I. PENDAHULUAN ………..
A. Latar Belakang ………...
B. Perumusan Masalah ………...
C. Pembatasan Masalah ………..
D. Tujuan Penulisan ………...
E. Manfaat Penulisan ………..
F. Metode Penulisan ………...
G. Sistematika Penulisan ………
1 1 3 3 4 4 4 4
(15)
xiii
BAB II. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE
NEWTON-COTES……….
A. Fungsi dan Integral Fungsi ..……….. B. Metode Newton-Cotes ………...
C. Metode Trapesium………..
6 6 33 38 BAB III. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE
GAUSS-LEGENDRE ……….………
A. Metode Gauss-Legendre………... B. Metode Koefisien Tak Tentu...………... C. Metode Gauss-Legendre Dua Titik……… D. Metode Gauss-Legendre Tiga Titik ………..
BAB IV. PENUTUP ………
A. Kesimpulan ………
B. Saran ………..
DAFTAR PUSTAKA .……….
LAMPIRAN .………...
45 46 48 52 59 74 74 74 75 76
(16)
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 ………... 7
Gambar 2.2 ………...
Gambar 2.3 ………...
Gambar 2.4 ………...
Gambar 3.1 ………...
Gambar 3.2 ………...
Gambar 3.3 ………...
Gambar 3.4 ………...
27 38 39 47 48 49 50
(17)
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku, yakni rumus-rumus yang sudah dibuktikan kebenarannya dan memberikan hasil sebenarnya yang memiliki galat sama dengan nol. Integrasi numeris dilakukan dengan mengevaluasi integral tentu pada batas integrasi. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes terdiri dari metode trapesium dan metode Simpson. Cara kerja metode tersebut biasanya diawali dengan membagi interval integrasi menjadi beberapa subinterval dengan ukuran yang sama, kemudian mencari pendekatan luas dari setiap daerah yang terbentuk pada subinterval dan kemudian menjumlahkannya. Jika perhitungan dilakukan secara manual pada umumnya dipilih sehingga ujung setiap interval jatuh pada nilai yang mudah dihitung.
Metode trapesium adalah metode yang digunakan untuk menghitung nilai integrasi dengan menjumlahkan luas n buah trapesium. Cara ini
(18)
merupakan rumus paling sederhana untuk integrasi numeris. Galat rumus ini lebih besar dibandingkan dengan semua metode integrasi yang lainnya, tetapi karena kemudahan pada tekniknya, yakni fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan fungsi linear, membuat aturan ini menjadi menarik. Metode ini penting pada setiap kasus karena menunjukkan ide dasar rumus pengintegrasi dengan ukuran interval tertentu, yakni menghampiri fungsi
) (x
f dengan garis lurus yang menghubungkan f(a) dan f(b). Dalam penerapannya, metode ini membagi seluruh interval menjadi sub-subinterval dan mendekati kurva dalam beberapa subinterval dengan kurva yang lebih sederhana, yakni kurva linear, sehingga nilai integralnya dapat dihitung secara analitis.
Metode Simpson serupa dengan metode trapesium di mana keduanya membagi interval batas integrasi menjadi beberapa subinterval, dan integran dievaluasi pada ujung dari semua sub interval ini. Perbedaannya terjadi dalam hal bagaimana luas daerah di bawah kurva tersebut didekati nilainya. Dalam metode trapesium menggunakan luas trapesium untuk mendekati luas daerah satu interval kecil. Dalam metode Simpson menggunakan luas daerah di bawah suatu parabola, sebagai nilai pendekatan luas daerah dua interval yang berdekatan. Dengan demikian diharapkan bahwa metode trapesium tepat untuk polinomial berderajat satu, sedangkan metode Simpson tepat digunakan untuk polinomial berderajat satu, dua, atau tiga. Ini memang metode yang
(19)
relatif lebih teliti dan rumusnya tidak lebih kompleks daripada metode trapesium , yakni mendekati fungsi yang akan diintegralkan dengan parabola (polinom interpolasi berderajat dua atau tiga). Karakteristik inilah yang menyebabkan metode Simpson lebih luas penggunaannya.
Berbeda dengan metode Newton-Cotes, metode Gauss dalam menghitung luas daerah di bawah garis dipilih titik sembarang secara bebas. Titik-titik tersebut dipilih untuk meminimalkan galat. Jika galat minimum, maka nilai hampirannya akan mendekati nilai sebenarnya.
B. PERUMUSAN MASALAH
Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud metode Gauss-Legendre?
2. Bagaimana mengintegralkan secara numeris dengan metode Gauss-Legendre?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan makalah ini penulis hanya akan membahas pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre untuk mendapatkan pendekatan penyelesaian dengan ketelitian yang lebih tinggi.
(20)
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre dan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian integral tentu yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi dalam mendapatkan pendekatan penyelesaian integral tentu.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik makalah ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH B. RUMUSAN MASALAH
(21)
D. TUJUAN PENULISAN E. MANFAAT PENULISAN F. METODE PENULISAN G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB II PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE NEWTON-COTES
A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI B. METODE NEWTON-COTES
C. METODE TRAPESIUM
BAB III PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE GAUSS- LEGENDRE
A. METODE GAUSS-LEGENDRE B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK BAB IV PENUTUP
A. KESIMPULAN B. SARAN
(22)
6
BAB II
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE NEWTON-COTES
A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI
Definisi 2.1
Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari satu himpunan dengan elemen-elemen dari suatu himpunan kedua. Fungsi adalah relasi di mana setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f dan f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.
Daerah asal adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi, sedangkan daerah hasil adalah himpunan komponen keduanya. Fungsi belum dapat ditentukan bila daerah asalnya belum diberikan.
Contoh 2.1
Jika f(x)x34, tentukan daerah hasilnya untuk x2,x3,x4 dan 5
x
(23)
Penyelesaian
Gambar 2.1
Dari gambar 2.1 di atas himpunan
2,3,4,5
menunjukkan daerah asal fungsi, sedangkan himpunan
4,23,60,121
menunjukkan daerah hasil fungsi.Definisi 2.2
Fungsi f(x) dikatakan terbatas ke atas pada suatu interval jika terdapat konstanta M sedemikian hingga f(x)Muntuk setiap x pada interval tersebut. Dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat konstanta m sedemikian hingga f(x)m untuk setiap x pada interval tersebut. Sedangkan f(x)dikatakan terbatas jika f(x) terbatas ke atas dan terbatas ke bawah, MR sedemikian hingga f(x) M, xA
(24)
Contoh 2.2
Buktikan fungsi f dengan f(x)4x, pada interval 1x1 adalah terbatas
Penyelesaian
Jelas f(x) 5,x
1,1 . Jika dipilih M 5 maka f(x) 5 )(x f
terbatas untuk x
1,1Definisi 2.3
Missal AR, fungsi f adalah fungsi dari A ke R. Dikatakan bahwa
L x f
c
x ( )
lim berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
L
x
f( ) asalkan bahwa 0 xc ; yakni,
x c f(x) L
0
Teorema 2.1
Andaikan n bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c. Maka
1. k k
c x
(25)
2. x c
c x
lim ,
3. kf
x k f
xc x c
x lim
lim ,
4.
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
lim ,
5.
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
lim ,
6.
f
x g x
f
x g
xc x c x c
x . lim .lim
lim ,
7. Jika g
x Lc
x
lim dan lim f
x f(L)c
x , maka limxc f
g
x
f(L) 8.
x gx f x
g x f
c x
c x c
x
lim
lim
lim asalkan lim
0cg x
x ,
9. lim
x®céëf x
( )
ùû n= lim
x®c f(x)
é
ë ùû
n
, 10. lim
x®c f x
( )
n = lim
x®c f(x)
n asalkan lim
0c f x
x jika n genap.
Bukti
1. Akan dibuktikan 0 0 sehingga
0 xc kk
Ambil sebarang 0, akan dicari 0 sehingga
x R 0 x c k k
(26)
Diketahui 0 xc bila
1 jadi
k 0x c 0.1 k
Menurut definisi 2.3, maka
k k
c
x
lim
2. Akan dibuktikan 0 0 sehingga
0 xc xc
Ambil sebarang 0, akan dicari 0 sehingga
x R 0 x c x c
Ambil 0, perhatikan bahwa xc 1xc
Diketahui 0 xc bila jadi xc 1xc 1 Menurut definisi 2.3, maka
c x
c
x
lim
3. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga
x c kf(x) kL
0
ambil sebarang 0 pilih k
sehingga untuk 0 xc
Maka
k k L x f k kL x
kf( ) ( )
(27)
x k f
x kfc x c
x
lim lim
4. Missal f x L
c
x ( )
lim dan g x K
c
x ( )
lim
Akan dibuktikan 0 1 0 sehingga
2 )
(
0 xc 1 f x L
Akan dibuktikan 0 2 0 sehingga 2 ) (
0 x c 2 g x K x Perhatikan bahwa K x g L x f K L x g x f K L x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K x g L x
f
( ) ( )
Ambil sebarang 0, jika dipilih min
1,2
maka 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )(x g x L K f x L g x K
f
Menurut definisi 2.3, maka
f x g x
f
x g
xc x c
x c
x
lim lim lim
5. Akan dibuktikan
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
(28)
Menurut Teorema 2.1 ) ( lim ) ( lim ) 3 ( ) ( lim ) 1 ( ) ( lim ) 4 ( ) ( ) 1 ( lim ) ( lim )) ( ) 1 ( ) ( ( lim )) ( ) ( ( lim x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f c x c x c x c x c x c x c x c x
6. Akan dibuktikan 0 1 0 sehingga lim
x®c f(x)=L dan limx®cg(x)=M
) 1 ( 2 ) ( 0 1 M L x f c
x
Akan dibuktikan 0 2 0 sehingga
L M x g c x 2 ) (
0 2
Perhatikan bahwa
f(x)g(x)- LM
LM x Lg x Lg x g x
f
( ) ( ) ( ) ( ) LM x Lg x Lg x g x
f
( ) ( ) ( ) ( ) M x g L L x f x
g
( ) ( ) ( )
Akan dibuktikan g(x) M 1
(29)
- e < g(x)- M <e
M x
g
M ( )
- M - 1<M- e <g(x)<M+e < M +1 1
)
(x M g
Sehingga
f(x)g(x)- LM £ M +1 f(x)- L +L g(x)- M
Ambil sebarang 0, Jika dipilih min
1,2
maka
L L M
M
M x g L L x f M LM x g x f c
x
2 1 2
1
) ( )
( 1 )
( ) ( 0
Menurut definisi 2.3, maka
f
x g x
f
x g
xc x c x c
x . lim .lim
lim
7. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga
x c f g(x) f L
0
Dari f
y Lc
x
lim ambil sebarang 0 pilih 1 0 sehingga untuk 0 yL 1 Maka f
y f L ……(1)(30)
Dari g
x Lc
x
lim ambil sebarang 0 pilih 0 sehingga untuk
x c
0 Maka g
x L 1 atau yL 1 dimana
xg y
Dari (1) dapat dilihat bahwa
Jika 0 xc maka f
g
x
f L f
y f L 8. Misalkan g x L
c x ( )
lim dan lim
x®c f(x)=M
Akan dibuktikan 0 $
d
>0 sedemikian hingga 0< x- c <d Þ f(x)g(x)
-M L <e
Ambil sebarang 0 Akan dibuktikan lim
x®c
1
g(x)= 1
L
Diketahui 0
$
d
1>
0
sedemikian hingga 0< x- c <d 1Þ g(x)- L <aPerhatikan bahwa
- a < - g(x)- L < g(x)- L
Dipilih 0
2 1
L
- a < g(x) - L
(31)
- a + L < g(x)
g(x) >1 2 L 1
g(x) < 2
L
Jadi 1
g(x) -1
L =
L- g(x)
Lg(x)
= 1
Lg(x) L- g(x)
= 1
g(x) 1
L L- g(x)
< 2
L2 L- g(x)
Diketahui "
e
>0 $ d 2 >0 sedemikian hingga 0< x- c <d 2 Þ 0< g(x)- L <12 L 2
e
Ambil sebarang 0, Jika dipilih d =max
{
d 1,d 2}
maka 1g(x) -1
L <
2
L2 L- g(x) <
2
L2.
1 2 L
2 .e =e
jadi terbukti bahwa \ lim
x®c
1
g(x)= 1
L
Sehingga menurut Teorema 2.1 no. 6, misal 1
(32)
lim
x®c f(x).h(x)=limx®c f x
( )
. limx®ch x( )
=M.1
L
= M
L
=lim
x®c
f(x)
g(x)
c x
c x c
x g x
x f x
g x f
lim lim
lim asalkan lim
0cg x x
9. Misal
lim
x®c
f
(
x
)
=
L
Untuk n1 lim
x®c
[
f(x)]
1 =lim
x®c f(x)
= lim
x®c f(x)
(
)
1=
( )
L 1=L
Pn yaitu lim
x®c
[
f(x)]
n= lim
x®c f(x)
é
ë ùû
n
benar untuk n1
Diasumsikan Pn benar untuk n=kÎ N, yaitu lim
x®c
[
f(x)]
k= lim
x®c f(x)
é
ë ùû
k
=Lk, kÎN
(33)
1 1 . ) ( lim . ) ( lim ) ( lim . ) ( lim ) ( . ) ( lim ) ( lim k k c x k c x c x k c x k c x k c x L L L x f x f x f x f x f x f x fjadi Pn benar untuk n=k+1, maka menurut induksi matematika
f x
f x
n n Nc x n c
x
( ) lim ( )
lim
10. Misalkan n=2k, k=1 lim
x®cg(x)=L
k k
c
x g x L
2 2 ( )
lim
f(x)=2kx
Menurut Teorema 2.1 no 7 maka lim
x®c g(x)
2k =lim
x®c f(g(x))
= f lim
x®cg(x)
(
)
= lim
x®cg(x)
(34)
Contoh 2.3
Buktikan lim(3 7) 5
4
x
x
Penyelesaian
Menurut Teorema 2.1 lim
x®4(3x- 7)=limx®43x- limx®47 (5) =3lim
x®4x- 7 (3)dan(1)
=3.4- 7 (2)
=12- 7 =5
Definisi 2.4
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat c. Dikatakan bahwa f kontinu di c jika
lim f(x) f(c)
c
x .
Contoh 2.4
Apakah
2 4 )
(
2
x x x
f kontinu di titik x2
Penyelesaian
f(2)=0 0
(35)
maka f(2) tidak terdefinisi Jadi f tidak kontinu di x2
Definisi 2.5
Fungsi f adalah kontinu di kanan di a jika lim
x®a+ f(x)= f(a) dan
kontinu di
kiri pada b jika lim
x®b- f(x)= f(b)
Dikatakan bahwa f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut. Ia kontinu pada selang tertutup
[ ]
a,b jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di bContoh 2.5
x x
f( )1 kontinu pada I (0,1)
Definisi 2.6
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f' yang nilainya pada sebarang bilangan x adalah
h x f h x f x
f
h
) ( ) ( lim ) ( '
0
(36)
Jika limitnya ada, dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x. Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Secara umum turunan fungsi f , ditulis (n)
f , adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n1),n1,2,3,... dengan f(0)(x) f(x).Turunan ke-
n dari fungsi pada titik x dapat dihitung dengan definisi
) ( ) ( ,..., 3 , 2 , 1 , ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( x f x f n h x f h x f x t x f t f x f n n h n n x t n Contoh 2.6
Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x)13x6, untuk x4
Penyelesaian
Turunan pertama dari fungsi f(x)13x6 untuk x4 adalah
13 13 lim 13 lim 6 ) 4 ( 13 6 ) 4 ( 13 lim ) 4 ( ) 4 ( lim ) 4 ( ' 0 0 0 0 h h h h h h h h h f h f f(37)
Teorema 2.2
Jika f'(c) ada, maka f kontinu di c.
Bukti
Akan ditunjukan lim f(x) f(c)
c
x .
c x c x c x c f x f c f x
f
( ) ( ) ( ).( ), ) (
oleh karena itu, jika diambil limitnya di x®c
) ( 0 ). ( ' ) ( ) ( lim . ) ( ) ( lim ) ( lim ) .( ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim c f c f c f c x c x c f x f c f c x c x c f x f c f x f c x c x c x c x c x
Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f'. Misalnya, jika f(x)x2 adalah rumus untuk f , maka f'(x)2x adalah rumus untuk f'. Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f untuk menghasilkan f'. Seringkali digunakan huruf Dx untuk menunjukan operasi ini. Jadi dituliskan Dxf f' atau Dxf(x) f'(x). Teorema berikut dinyatakan dalam cara penulisan operator Dx.
(38)
Teorema 2.3
Jika f(x)k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f'(x)0, yakni
0 ) (k Dx
Bukti
0 0 lim lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0
0
h h
h
h k k
h x f h x f x
f
Teorema 2.4
Jika f(x)x, maka f'(x)1, yakni
1 ) (x Dx
Bukti
1 lim lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0
0
h h h
x h x
h x f h x f x
f
h h
(39)
Teorema 2.5
Jika n
x x
f( ) , dengan n bilangan bulat positif, maka f'(x)nxn1, yakni 1
) ( n n
x x nx
D Bukti h h nxh h x n n nx h h x h nxh h x n n h nx x h x h x h x f h x f x f n n n n h n n n n n n h n n h h 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 0 ... 2 ) 1 ( lim ... 2 ) 1 ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( '
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
1
) (
' x nxn f
Teorema 2.6
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka ) ( ' . ) ( )'
(40)
k.f(x)
k.D f(x)Dx x
Bukti
Andaikan F(x)k.f(x). Maka
) ( ' .
) ( ) ( lim .
) ( ) ( . lim
) ( . ) ( . lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0 0 0
x f k
h x f h x f k
h x f h x f k
h
x f k h x f k
h x F h x F x
F
h h h h
Teorema 2.7
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka )
( ' ) ( ' ) ( )'
(f g x f x g x yakni, Dx
f(x)g(x)
Dxf(x)Dxg(x)Bukti
(41)
) ( ' ) ( ' ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 0 x g x f h x g h x g h x f h x f h x g h x g h x f h x f h x g x f h x g h x f x F h h h h Teorema 2.8Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka ) ( ' ) ( ' ) ( )'
(f g x f x g x yakni, Dx
f(x)g(x)
Dxf(x)Dxg(x)Bukti
) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( x g D x f D x g D x f D x g D x f D x g x f D x g x f D x x x x x x x x Teorema 2.9Misalkan f C
a,b dan f terdeferensial pada
a,b . Jika f(a) f(b) , maka ada paling sedikit satu bilangan c
a,b sedemikian sehingga0 ) ( ' c f .
(42)
Bukti
Karena f(x) kontinu pada selang axb, berarti f(x) mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam
a,b , jadi m f(x)M dalam
a,b . Bila mM, maka f(x)= konstan, berarti f(x)0.Karena mM dan f(a) f(b), maka paling sedikit salah satu m atau M tidak sama dengan f(a) f(b), misalnya M f(a). Maka nilai maksimum
M tidak pada titik akhir dari
a,b , melainkan terletak di xc , (acb)dan berarti f'(c)0.
Teorema 2.10
Jika f kontinu pada selang tertutup
a,b dan terdefinisikan pada titik-titik dalam dari
a,b , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam
a,b dengan) ( ' ) ( ) (
c f a
b a f b f
Bukti
Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik A(a,f(a)) dan B(b,f(b)), (Gambar 2.2), maka fungsinya
(43)
) ( ) ( ) ( ) ( )
( x a
a b
a f b f a f x
g
Selisih antara grafik f dan g pada x adalah
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( x a
a b
a f b f a f x f x g x f x
h
Dari persamaan tersebut, maka h(a)h(b)0. Oleh karena fungsi-fungsi
) (x
f dan (xa) adalah kontinu dalam a xb dan terdeferensial dalam
)
(a xb , maka menurut Teorema 2.9 ada nilai x yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk xc, acb berlaku h'(c)0.
(44)
diperoleh
a b
a f b f x f x h
( ) ( ) ( )
)
( '
'
Untuk persamaan xc, menjadi
a b
a f b f c f c h
( ) ( ) ( )
)
( '
'
a b
a f b f c f
( ) ( ) ( )
0 '
a b
a f b f c f
( ) ( )
) ( '
Definisi 2.7
Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika )
( ) (
' x f x
F untuk semua xdi I .
Leibniz menggunakan lambang
...dxuntuk menunjukkan anti turunan terhadap x, sama seperti Dx menunjukkan turunan terhadap x. Perhatikan bahwa Dx
f(x)dx f(x).Teorema 2.11
(45)
1 ,
1
1 1
n c x n dx
xn n
Bukti
Untuk menunjukkan hasil berbentuk
f(x)dxF(x)cmaka ditunjukan
F(x) c
f(x)Dx
n
n n
x
x n n c n
x Dx
) 1 ( 1 1 1
1
c
n x dx x
n
n
11Teorema 2.12
Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta maka
kf(x)dxk
f(x)dx.Bukti
(46)
Berdasarkan Teorema 2.6
) (
) ( )
(
x kf
x f kDx dx
x f k Dx
Teorema 2.13
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
f(x)g(x) dx
f(x)dx
g(x)dx.Bukti
Diferensialkan ruas kanan Berdasarkan Teorema 2.7
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
x g x f
dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx
Teorema 2.14
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
f x g x
dx f x dx g x dx(47)
Bukti
Berdasarkan Teorema 2.8
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
x g x f
dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx
Definisi 2.8
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup
a,b . Jika
n
i
i i
P f x x
1 0 ( )
lim ada maka f dikatakan terintegralkan pada
a,b .selanjutnya
ba
dx x
f( ) disebut integral tentu f dari a ke b dan diberikan oleh
n
i
i i P
b
a
x x f dx
x f
1 0 ( ) lim
)
(
Teorema 2.15
Andaikan f kontinu pada
a,b dan andaikan F sebarang anti turunan dari f di selang
a,b . Maka) ( ) ( )
(x dx F b F a f
b
a
(48)
Bukti
Andaikan P:ax0x1x2...xn1xnb adalah partisi sebarang dari
a,b . Maka
n i i i n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F 1 1 0 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( .... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Menurut Teorema 2.10 yang diterapkan pada F pada selang
xi1,xi
, i i i i i ii F x F x x x f x x
x
F( ) ( 1) '( )( 1) ( )
untuk suatu pilihan xi dalam selang terbuka
xi1,xi
. Jadi
n i i i x x f a F b F 1 ) ( ) ( ) (Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk P 0, diperoleh
b a n i i iP f x x f x dx
a F b
F( ) ( ) lim ( ) ( )
1 0
Contoh 2.7
Tentukan
x2dx dan
30 2
dx x
(49)
Penyelesaian
c x dx
x
2 33 1
dan
3
0
3
3 3 0 9
3 1 dx x
B. METODE NEWTON-COTES
Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi pn(x).
Definisi 2.9
Misal n0. Diberikan fungsi bernilai real f , terdefinisi dan kontinu pada selang tertutup
a,b , dan titik-titik interpolasinya xi
a,b,i0,...,n,polinomial pn didefinisikan dengan
n
k
h k
n x L x f x
p
0
dengan
n
i k i
i k
k i
x x
x x x
L
0
Adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat n dengan titik-titik interpolasi xi,i0,...,n untuk fungsi f .
(50)
Contoh 2.8
Akan disusun polinom interpolasi Lagrange berderajat 2 untuk fungsi x
x
f : 3 pada interval
1,1 , dengan titik-titik interpolasi1 , 0 ,
1 1 2
0 x x
x
Penyelesaian
Karena n2, maka
1
21
2 0 1 0
2 1
0
x x
x x x x
x x x x x L
21 x 1 x
L
1
2 1 2 x x x L
Oleh karena itu
1
31 21 0 3 1 1 3 1 2
1 2
2 x x x x x x
p
1
2 3 1 2
3
2 x x x x x
p
Teorema 2.16
Misalkan n0 dan f adalah fungsi bernilai real, terdefinisi dan kontinu pada interval tertutup
a,b , sedemikian sehingga turunan ke- n1 dari f(51)
ada dan kontinu pada
a,b . Maka untuk setiap x
a,b , terdapat
a bx c
c ( ) , sedemikian hingga
) ( )! 1 (
) ( )
( )
( 1
1
x n
c f x p x
f n
n
n
(2.1)
dengan
) )...( (
)
( 0
1 n
n x xx xx
(2.2)
Bukti
Jika xxi, untuk suatu i, i0,1,...,n, kedua ruas pada persamaan (2.1) sama dengan 0, dan persamaan tersebut akan dipenuhi secara trivial. Misalkan x
a,b dan x xi,i0,1,...,n. Untuk nilai x yang demikian,pertimbangkan sembarang fungsi tg
t , yang terdefinisi pada interval
a,b dengan
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1
1
t x
x p x f t p t f t
g n
n n
n
(2.3)
Jelas bahwa g(xi)0,i0,1,...,n dan g(x)0. Jadi fungsi g akan bernilai nol pada n2 titik yang berbeda pada selang
a,b . Akibatnya berdasarkan Teorema Rolle, g(t)'0 pada n1 titik pada selang
a,b , satu diantara setiap bagian dari titik-titik berturut-turut dimana g0(52)
Khususnya, jika n0, maka berdasarkan Teorema Rolle, ada cc
x pada interval
a,b sehingga g'
c 0. Karena p0
x f x0 dan
01 t tx
, menurut persamaan (2.3) maka
) ( ) ( ' ) ( ' 0 ) ( ) ( ' ) ( ' 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 x x p x f c f c g x x f x f c f c g c x x f x f x f c f c g t x x p x f t p t f t g Sekarang misalkan n1. Karena g'(t) bernilau nol pada n1 titik di
a,b , berdasarkan Teorema Rolle, g" bernilai nol di n titik yang berbeda. Jika langkah ini dilakukan sebanyak n1 maka g(n1) akan bernilai nol di suatu titik c
a,b , nilai dari ctergantung pada nilai x. Dengan menurunkan fungsi g(t) sebanyak n1kali maka
! 1 ) ( ) ( ) ( 0 1 0 ) 1 (1
n x x p x f c f c g n n n Karenanya ( ) )! 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 x n c f x p x f n n n
(53)
Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. Gagasannya adalah menghampiri fungsi f(x) dengan polinom interpolasi pn
x . Secara umum integral suatu fungsi didekati dengan persamaan berikut
b a
b
a
n x dx p dx x f
I ( ) ( ) (2.4) dimana
n n n n
n x a a x a x a x a x
p ( ) 0 1 2 2... 1 1 (2.5) adalah polinomial berderajat n.
Terdapat dua bentuk rumus Newton-Cotes, yaitu bentuk terbuka dan bentuk tertutup. Bentuk tertutup adalah bentuk dimana titik data pada awal dan akhir batas integrasi diketahui. Sedangkan bentuk terbuka mempunyai batas integrasi yang melewati daerah dari data. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.3. Pada Gambar 2.3 (a) untuk menghitung nilai hampiran dari integrasi numeris dari a ke b digunakan polinom interpolasi dengan batas awal a dan batas akhir b. Sedangkan Gambar 2.3 (b) untuk menghitung nilai hampiran integrasi tersebut digunakan polinom interpolasi yang melalui 3 titik yang bukan merupakan batas awal dan akhir.
(54)
(a) M Newton-Cotes tertutup (b) M Newton-Cotes terbuka
Gambar 2.3
Salah satu metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk terbuka adalah metode titik tengah, sedangkan metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk tertutup adalah metode Simpson, Boole, dan trapesium. Selanjutnya akan dibahas metode Newton Cotes bentuk tertutup, yaitu metode trapesium.
C. METODE TRAPESIUM
Metode trapesium merupakan salah satu bentuk metode Newton Cotes tertutup. Metode ini berhubungan dengan persamaan (2.4), dimana polinom interpolasi yang digunakan adalah polinomial berderajat 1 seperti diilustrasikan pada Gambar 2.4.
(55)
Gambar 2.4 Metode Trapesium
Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan
) (a
f dan f(b) seperti pada Gambar 2.4. Rumus untuk menghitung luas daerah trapesium adalah dengan mengalikan tinggi dengan rata-rata alasnya. Dalam kasus metode trapesium ini integral dapat ditafsirkan dengan Luas
)
(I = lebar x rata-rata tinggi, dimana lebar ditafsirkan sebagai (ba) dan rata-rata tinggi ditafsirkan sebagai
f(a) f(b)
/2 karena rata-rata tinggi adalah rata-rata dari nilai fungsi pada titik batas.Teorema 2.17
(56)
3 ) )( ( '' 12 1 2 ) ( ) ( ) ( )
(x b a f a f b f c b a
f b a
, dengan c(a,b) (2.6)Bukti
Pada Gambar 2.4 fungsi f(x) dihampiri dengan garis lurus yang melalui titik
a,f(a)
dan
b, f(b)
. Persamaan garis lurus yang melalui kedua titik tersebut adalah a b a x a f b f a f x f ) ( ) ( ) ( ) ( atau
f(x) f(a)
ba
xa
f(b) f(a)
a b a f b f a x a f x f ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( x a
a b a f b f a f x f
(2.7)
dengan demikian persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai dx a x a b a f b f a f dx x f I b a b a
( ) ( ) ( ) ( )( ) b a a x a b a f b f x a f 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) )(( b a
a b a f b f a b a f
(57)
2 ) ( ) ( ) ( )
(b a f a f b f a
2 ) ( ) ( )
(ba f b f a
sehingga menghasilkan persamaan
2 ) ( ) ( )
(b a f a f b
I (2.8)
Persamaan (2.8) disebut metode Trapesium.
Ketika bekerja pada daerah integral di bawah garis lurus untuk menghampiri integral di bawah kurva, akan memunculkan sebuah galat. Penafsiran untuk galat pemotongan dari penggunaan metode trapesium adalah
( ) ( )
2)
(x dx h f a f b f
E b
a
t
, dengan hbaMenguraikan f(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xa a diperoleh ...
'' )' ( 6 1 ' )' ( 2 1 )' ( ) ( )
(x f a xf a x2f a x3f a f
Menguraikan f(b) f(xb) f(h) ke dalam deret Taylor di sekitar xa a diperoleh
( )''2 1 ) ( ) ( )
( )
(b f x f h f a hf a ' h2f a
f b +...
(58)
... ' )' ( 2 1 )' ( ) ( 2 ) ( 2 ... '' )' ( 6 1 | ' )' ( 2 1 )' ( ) ( 2 3 2 a f h a hf a f h a f h dx a f x a f x a xf a f E b a ... )" ( 4 1 )' ( 2 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( 3 2 3 2 3 2 a f h a f h a hf a f a a f a a af a f b a f b a bf ( )" ...
4 1 )' ( 2 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( 3 2 3 2 a f h a f h a hf a f h a f h a hf ... )" ( 12 1 3
h f a
b c a c
f
h
"( ), 12 1 3 Jadi 3 '' ) )( ( 12 1 a b c f
Et (2.9)
dimana c berada pada selang interval ake b. Persamaan (2.9) menunjukkan bahwa jika fungsi yang diintegrasikan linear maka metode trapesium akan memperoleh hasil yang tepat karena turunan kedua dari garis lurus adalah nol. Sebaliknya, untuk fungsi dengan derajat dua dan derajat lebih tinggi, galatnya akan muncul.
(59)
Contoh 2.9
Gunakan metode trapesium untuk menghampiri nilai integral 5 4 3 2 400 900 675 200 25 2 . 0 )
(x x x x x x
f
dari a0ke b0.8
Penyelesaian
Nilai fungsi f(x) di titik a0dan b0,8 masing-masing adalah 5 4 3 2 ) 0 ( 400 ) 0 ( 900 ) 0 ( 675 ) 0 ( 200 ) 0 ( 25 2 . 0 ) 0 ( f 2 . 0 dan 5 4 3 2 ) 8 . 0 ( 400 ) 8 . 0 ( 900 ) 8 . 0 ( 675 ) 8 . 0 ( 200 ) 8 . 0 ( 25 2 . 0 ) 8 . 0 ( f 232 . 0 072 . 131 64 . 368 6 . 345 128 20 2 . 0
Bila kedua hasil diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8) maka diperoleh 1728 . 0 2 232 . 0 2 . 0 ) 0 8 . 0 ( I
Bila
8 , 0 0 ) (xf ditentukan secara analitik maka diperoleh
x x x x x dx8 , 0 0 5 4 3 2 400 900 675 200 25 2 . 0
(60)
0,8
0 6 5 4 3 2 6 400 5 900 4 675 3 200 2 25 2 .
0 x x x x x x
6438 , 1 48 , 17 9824 , 58 12 , 69 13 , 34 8 16 ,
0
Dengan demikian nilai analitiknya adalah 1,6438
Menghampiri nilai galat sangat diperlukan agar dapat diketahui besar kesalahan perhitungan. Untuk mendapatkan nilai hampiran galat tersebut, turunan kedua fungsi pada interval dapat ditentukan dengan menurunkan fungsi asli dua kali sehingga menghasilkan
4 512 1728 1620 400 ) 8 . 0 , 0 ( ), 4 . 0 ( 8000 ) 4 . 0 ( 10800 ) 4 . 0 ( 4050 400 8000 10800 4050 400 ) ( 3 2 3 2 '' x dengan x x x x f 1706 . 0 ) 8 . 0 )( 4 ( 12
1 3
t E Sehingga 00213 . 0 1706 . 0 1728 .
0
Et
(61)
45
BAB III
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
Metode yang umum untuk memperoleh nilai hampiran dengan metode integrasi numeris adalah metode Newton-Cotes. Metode ini dijabarkan dengan mengintegralkan polinom interpolasi. Polinom interpolasi digunakan karena suku-suku polinom mudah diintegralkan dengan rumus integral yang sudah baku. Metode Newton-Cotes memiliki 3 metode integrasi numeris yaitu metode trapesium, metode Simpson 1/3, dan metode Simpson 3/8 yang masing-masing menghampiri fungsi f(x)dengan polinom interpolasi derajat 1, derajat 2, dan derajat 3. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal dan berakhir di ujung-ujung selang a yang disebut batas awal dan b yang disebut batas akhir. Selanjutnya akan dibahas metode integrasi numeris yang juga digunakan untuk memperoleh nilai hampiran, metode tersebut adalah metode Gauss.
Berbeda dengan metode Newton Cotes, metode Gauss dalam mengevaluasi luas daerah dibawah garis dipilih titik sembarang secara bebas.
(62)
Titik- titik x1,x2,...,xn pada interval
a,b dan koefisien c1,c2,...,cn dipilih untuk meminimalkan galat sehingga diperoleh rumus hampiran
b
an
i
i if x c dx x f
1
) ( )
( (3.1)
Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre.
A. METODE GAUSS-LEGENDRE
Metode Gauss-Legendre digunakan untuk menemukan luas daerah dibawah kurva y f(x), 1x1. Pada metode trapesium telah dijelaskan mengenai metode untuk mencari luas daerah dibawah kurva yang menggunakan dua fungsi pada titik ujung (1,f(1))dan (1,f(1)). Metode trapesium menghasilkan galat yang cukup besar yaitu seluruh bagian yang berada diantara kurva dan garis yang memotong titik seperti ditunjukan pada daerah terarsir Gambar 3.1.
(63)
Gambar 3.1
Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Jika menggunakan dua titik x1 dan x2 yang berada di dalam interval
1,1 maka garis yang melalui dua titik (x1,f(x1))dan
x2,f
x2
memotong kurva dan luas daerah di bawah garis lebih mendekati luas daerah di bawah kurva sehingga galat yang dihasilkan dengan metode Gauss-Legendre cukup kecil seperti ditunjukan pada Gambar 3.2.(64)
Gambar 3.2
Dalam metode Gauss-Legendre tidak lagi ditentukan titik-titik diskret yang berjarak sama seperti pada metode Newton-Cotes. Pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan mengenai pemilihan titik-titik tersebut untuk memperkecil kesalahan memperoleh nilai hampiran.
B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Persamaan garis yang melalui dua titik (a,f(a))dan
b,f
b
adalaha b
a x a f b f
a f y
) ( ) (
) (
(3.2) atau
a b
a f b f a x a f y
(65)
dan luas daerah trapesium di bawah garis adalah
2 b f a f a b
I (3.4) Persamaan (3.4) dapat dinyatakan sebagai
) ( )
( 1 2 2
1f x c f x c
I (3.5) dimana c1 dan c2 adalah konstanta.
Metode trapesium dapat menghasilkan hasil yang tepat ketika fungsi yang diintegrasikan tersebut adalah suatu konstanta atau garis lurus. Dua persamaan yang sederhana ditunjukan pada kasus y 1 dan y x. Keduanya diilustrasikan pada Gambar 3.3.
(66)
Gambar 3.4. Metode Trapesium untuk nilai y x
Konstanta c1 dan c2 tersebut akan ditentukan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu yang dipaparkan sebagai berikut.
Untuk f(x)1, persamaan (3.5) menjadi
2 1 2 / ) (
2 / ) (
1dx c c
a b
a b
(3.6)
dan untuk f(x) xpersamaan (3.5) menjadi
2
2 2
1 2
/ ) (
2 / ) (
a b c a b c xdx
a b
a b
(3.7) Selanjutnya mengevaluasi integral pada persamaan (3.6) menjadi
(67)
2 2
2 1
a b a b c
c
a b c
c1 2 (3.8)
dan untuk persamaan (3.7) menjadi
2 2
2 1
2 2 1 2
2 1 2
2
c b a c b a b a b a
0 2
2 2
1
c b a c b a (3.9)
Persamaan (3.8) dan (3.9 ) merupakan dua persamaan dengan dua koefisien yang tidak diketahui. Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut untuk c1danc2adalah
2
2 2
1
a b c a b
c
2 1 c c
2 2 c c a b
2 2c a b
2
2 c
a b
2 2 1
a b c
c (3.10)
Ketika hal tersebut disubtitusikan kembali ke persamaan (3.5) akan memberikan hasil
(68)
) ( 2 ) (
2 1 f x2
a b x f a b
I (3.11)
Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK
Seperti halnya metode trapesium, tujuan metode Gauss-Legendre 2-titik adalah menentukan koefisien sebuah persamaan dalam bentuk
) ( )
( 1 2 2
1f x c f x c
I (3.12)
Teorema 3.1 Gauss-Legendre Dua Titik
Jika f fungsi kontinu pada
1,1 maka dengan metode Gauss-Legendre2-titik ) ( )
3 1 ( ) 3 1 ( )
( 2
1
1
f E f
f dx x
f
, dimana
135 ) ( )
(
) 4 ( 2
c f f
E , dengan
) 1 , 1 ( c
Bukti
Persamaan (3.12) merupakan persamaan metode Gauss-Legendre. Persamaan tersebut mengandung empat peubah yang tidak diketahui. Maka harus dipilih
2 1 2 1,x ,c ,c
x sedemikian hingga galat integrasinya minimum. Karena ada empat peubah yang tidak diketahui maka harus terdapat empat buah persamaan yang mengandung x1,x2,c1,c2.
(1)
2 ) ( ) ( 9 5 5 3 0 2 ) ( ) ( 9 8 2 ) ( ) ( 9 5 5 3 2 ) ( a b b a f a b b a f a b b a f a b dt t f b a Contoh 3.3Hitunglah
6 0dx
ex dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik
Penyelesaian
Dengan menggunakan persamaan (3.42) untuk a0dan b6, maka diperoleh
x x
t . 3 3.
2 0 6 2 0 6
dan diferensial dari persamaan tersebut adalah dt 3dx
Kedua bentuk persamaan di atas disubtitusikan ke dalam persamaan (3.46) maka diperoleh
1 1 . 3 3 1 1 . 3 3 6 0 33dx e dx
e dt
et x x
Dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik diperoleh 1
1
c , x1 0,577350269 1
2
c , x2 0,577350269 sehingga
(2)
2451166 , 351 5844443 , 340 66067227 , 10 . 3 .
3 3 3( 0,577350269) 3 3(0,577350269)
6 0
etdt e eSedangkan dengan menggunakan metode analitik, hasilnya adalah 0 6 6 0 e e dx ex
=402,4287935Bila menggunakan rumus galat metode Gauss-Legendre 2-titik, maka menurut Teorema 3.1 02013542 , 0 135 135 ) ( ) ( 1 ) 4 (
2
e c f f
E , dengan c(1,1)
Sehingga 265252 , 351 02013542 , 0 2451166 , 351 ) ( 2451166 , 351 2 1 1
f E dx ex Contoh 3.4Hitunglah
6 0dx
ex dengan metode Gauss-Legendre menggunakan
pemrograman MATLAB
Penyelesaian
masukan batas integrasi a=0
(3)
masukan fungsi yang akan diintegralkan f(x)=exp(x)
nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 2 titik =351.245117
nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 3 titik =398.77206
(4)
74
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Pemilihan titik-titik pada metode Gauss-Legendre menyebabkan kesalahan memperoleh nilai hampiran menjadi kecil. Jika galat yang dihasilkan kecil maka nilai hampirannya mendekati nilai sebenarnya. Metode Gauss-Legendre dengan derajat yang semakin tinggi akan menghasilkan galat yang semakin kecil. Dibandingkan dengan metode trapesium, pendekatan penyelesaian dengan metode Gauss-Legendre mempunyai ketelitian yang lebih tinggi.
B. SARAN
Penulis sadar bahwa dalam penyusunan makalah ini masih ada kekurangan. Pada makalah ini belum dibahas lebih lanjut mengenai metode Gauss-Legendre dengan derajat yang lebih tinggi dan pada makalah ini metode Gauss-Legendre belum dibandingkan tingkat ketelitiannya dengan metode integrasi numeris yang lain. Semoga selanjutnya akan dibahas lebih mendalam.
(5)
75
DAFTAR PUSTAKA
Conte, S.D. dan de Boor, C. (1980). Dasar-Dasar Analisis Numerik. Suatu Pendekatan Algoritma. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Mathews, J.H. (1992). Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering. Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc.
Mathews, J.H. dan Fink, K.D. (2004). Numerical Methods Using Matlab.
Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc.
Munir, Rinaldi. (2008). Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika. Suli, E. dan Mayers, D. (2006). An Introduction to Numerical Analysis. New
York: Cambridge University Press.
Varberg, D. dan Purcell, E. J. (2001). Kalkulus. Edisi 7. Penerbit Interaksara Varberg, D, Purcell, E. J dan Rigdon, S. E. (2001). Kalkulus. Edisi 8. Jilid 1.
(6)
76
Lampiran : Program ini untuk menentukan nilai integral suatu fungsi meng
gunakan metode Gauss-Legendre
clear all
clc
% a= batas awal; % b= batas akhir;
fprintf('masukan batas integrasi \n') a=input (' a=');
b=input (' b='); h=(b-a)/2;
fprintf('masukan fungsi yang akan diintegralkan \n') fprintf('f(x)=exp(x) \n')
c1=1; c2=1;
x1=-0.577350269; x2=0.577350269; t1=(b+a)/2+(h*x1); t2=(b+a)/2+(h*x2);
c_1=5/9; c_2=8/9; c_3=c_1;
x_1=-0.774596669; x_2=0;
x_3=0.774596669; t_1=(b+a)/2+(h*x_1); t_2=(b+a)/2+(h*x_2); t_3=(b+a)/2+(h*x_3);
GL(h,c1,c2,c_1,c_2,c_3,t1,t2,t_1,t_2,t_3)
function y = GL(h,c1,c2,c_1,c_2,c_3,t1,t2,t_1,t_2,t_3) GL2=h*((c1*exp(t1))+(c2*exp(t2)));
GL3=h*((c_1*exp(t_1))+(c_2*exp(t_2))+(c_3*exp(t_3)));
fprintf('nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 2 titik \n=%f\n',GL2)
fprintf('nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 3 titik \n=%f\n',GL3)