Masalah Pemotongan Persediaan Cutting Stock Problem
Diasumsikan terdapat beberapa pola pemotongan
�
yang bukan bagian dari
model bagian pemotongan persediaan. Misalkan komponen dari vektor
�
. Setiap komponen berkorespondensi dengan banyaknya rol ukuran yang digunakan
pada pola pemotongan. Misalkan adalah koefisien pada fungsi tujuan yang
berhubungan dengan setiap keperluan permintaan pada model bagian pemotongan persediaan. Maka pola pemotongan
�
yang harus ditambahkan ke model bagian
sewaktu-waktu adalah − ∑
� =
Kondisi ini adalah syarat optimal pada metode simpleks direvisi ketika
diaplikasikan ke model pola pemotongan persediaan.
Perhatikan masalah pemotongan persediaan dimana rol jumbo berukuran �
dan banyaknya pesanan tiap rol kecil dengan lebar
= , , … , . Maka
masalah pemotongan persediaan dengan metode penghasil kolom dapat dimodelkan sebagai berikut.
Minimumkan Dengan kendala
= , Dimana adalah vektor kolom dengan komponen
, , … , dan adalah
vektor baris dengan komponen , , . . . , . Setiap kolom
�
=
[
, , … ,
]
�
dari
menunjukkan pola pemotongan rol jumbo menjadi rol kecil
dengan lebar = , , … ,
. Jadi
�
adalah kolom dari jika hanya jika
, , … ,
adalah bilangan bulat tak negatif sedemikian hingga ∑
�. Dengan metode PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
simpleks yang direvisi ditunjukkan adanya kolom tidak dasar dari di langkah 2 dari setiap iterasi, yaitu ketika kolom baru
�
kolom masuk ditemukan. Setelah
menghitung vektor baris harus berupa bilangan bulat tak negatif, kita mencari
, , … , bilangan bulat tak negatif sedemikian hingga
, untuk setiap bilangan bulat ∑
� =
�
− ∑
� =
3.3 3.4
3.5
Ketika ∑
� =
, maka pertidaksamaan 3.5 terpenuhi. Pertidaksamaan ini dapat ditulis sebagai fungsi tujuan dengan kendala pertama dan kedua dari
formulasi model 3.3 dan 3.4 di atas. Ketika nilai optimal dari program matematika lebih besar dari satu, maka pola pemotongan ditemukan. Ketika nilai
optimal kurang dari atau sama dengan satu, maka tidak terdapat pola pemotongan yang dapat meningkatkan nilai tujuan dari masalah pemotongan persediaan.
Sehingga model penghasil pola pemotongan dapat dituliskan sebagai berikut. Maksimumkan
= ∑
=
Dengan kendala
∑
=
�
, untuk setiap bilangan bulat Model ini yang nantinya akan diselesaikan menggunakan masalah Knapsack.
Dalam menyelesaikan masalah pemotongan persediaan dengan metode simpleks direvisi yang menggunakan metode penghasil kolom, perlu diawali
dengan solusi layak terdekat: jika nilai awal dari fungsi tujuan dekat dengan nilai optimum, maka banyaknya iterasi simpleks yang diperlukan untuk mencapai
optimum sedikit.
Mencari Nilai Awal
Misalkan rol jumbo dengan lebar � dan banyaknya pesanan rol kecil dengan
lebar adalah
. Diasumsikan lebar rol kecil diurutkan dari terbesar sampai terkecil:
Akan dibentuk nilai awal dan
∗
dengan iterasi. Dimulai iterasi ,
diketahui � terdiri − + dari subscript , , . . . , . Untuk setiap subscript di
�, terdapat
′
yang menunjukkan sisa permintaan rol kecil dengan lebar untuk
nilai awal kita tentukan
′
= untuk setiap i. Pada iterasi ke-j, kita definisikan kolom ke-j dengan
= [ , , … , ]
�
yang akan membentuk .
= {
, jika �
� − ∑
− =
⁄ , jika
�
Solusi awal
∗
akan menggunakan pola ini sampai sisa permintaan
′
terpenuhi. Nilai berkorespondensi dengan kolom ke-j dari dan merupakan nilai terkecil dari
′
⁄ dengan � dan . Sehingga
′
untuk setiap PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� dan =
′
untuk paling tidak suatu �. Kemudian hapus subscript dari
�, mengganti
′
dengan
′
− , dan memulai proses iterasi ke
+ .
Contoh 3.1
Misalkan rol jumbo ukuran 91 inchi dengan pesanan berikut: 78 rol kecil berukuran 25,5 inchi, 40 rol kecil berukuran 22,5 inchi, 30 rol kecil berukuran 20 inchi, dan
30 rol kecil berukuran 15 inchi. Pertama, kita urutkan lebar rol kecil dari yang terbesar sampai terkecil
sehingga diperoleh
Tabel 3.1 : Pesanan rol contoh 3.1 yang sudah diurutkan
inchi rol
25,5 78
22,5 40
20 30
15 30
Iterasi 1. Diketahui
= , = dan R terdiri dari 4 subscript i=1,2,3,4. Karena
�, maka kita peroleh =
, ⁄
=
= ⌊ − ∑
=
⁄ ⌋ = − , .
, ⁄
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI