Penyelesaian Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Waktu Menggunakan Teknik Pembangkitan Kolom

PENYELESAIAN MASALAH PENGAMBILAN DAN PENGIRIMAN

DENGAN KENDALA WAKTU

MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM

Oleh:

FAJAR DELLI WIHARTIKO

G54102035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

FAJAR DELLI WIHARTIKO. Penyelesaian Pengambilan dan Pengiriman dengan

Kendala Waktu

Menggunakan Teknik Pembangkitan Kolom. Dibimbing oleh

FARIDA HANUM dan DONNY CITRA LESMANA.

Masalah penentuan rute kendaraan merupakan persoalan yang sering dijumpai

oleh produsen, pemerintah maupun oleh penyedia jasa pengiriman barang. Salah

satu varian dari masalah penentuan rute kendaraan adalah masalah pengambilan

dan pengiriman dengan kendala waktu (

pick up and delivery problem with time

windows/

PDPTW). Dalam PDPTW sejumlah rute harus dikonstruksi guna

memenuhi semua

permintaan transportasi (

transportation request/TR).

Permintaan transportasi dapat diartikan sebagai suatu permintaan pengiriman

barang yang harus dibawa secara langsung dari lokasi pengambilan ke lokasi

pengiriman. Setiap permintaan transportasi memiliki kendala waktu dan kendala

kapasitas suatu kendaraan. Kendala waktu dalam PDPTW diartikan sebagai selang

waktu untuk menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat. Rute yang

dikonstruksi harus memenuhi syarat kefisibelan. Setelah semua rute fisibel

ditemukan, maka harus dicari bagaimana memenuhi semua permintaan

transportasi dengan biaya yang minimum.

Dalam karya ilmiah ini, pemilihan rute yang memenuhi semua permintaan

transportasi dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan (

set partitioning

problem/SPP). Penyelesaian masalah pemartisian himpunan

dalam skala yang

besar dapat menggunakan teknik pembangkitan kolom (column generation).

Teknik ini merupakan teknik untuk menyelesaikan suatu pemrograman linear (PL)

dengan hanya menggunakan sebagian variabel dari masalah keseluruhan.

PENYELESAIAN MASALAH PENGAMBILAN DAN PENGIRIMAN

DENGAN KENDALA WAKTU

MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

FAJAR DELLI WIHARTIKO

G54102035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 25 Maret 1984 sebagai anak kedua

dari dua bersaudara dari pasangan bapak Hari Harsono dan ibu Sri Wiedarti.

Pada tahun 2002 penulis lulus dari SMUN 2 Bogor dan berhasil menjadi

mahasiswa Jurusan Matematika (yang sekarang berganti menjadi Departemen

Matematika), Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian

Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten pada

mata kuliah Kalkulus I pada tahun 2003. Penulis juga aktif mengikuti kegiatan

Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA pada tahun 2003/2004. Selain itu penulis

juga pernah aktif dalam kepengurusan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa

Matematika) pada periode 2003/2004.

PRAKATA

Syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT, karena dengan rahmat dan

kekuasaan-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”P enyelesaian

Masalah P engambilan dan P engiriman dengan Kendala Waktu Menggunakan

Teknik Pembangkitan Kolom”.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1

Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si. selaku

dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan arahan sampai

penyelesaian skripsi.

2

Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc sebagai dosen penguji atas saran dan

masukannya.

3

Ayahanda, Ibunda dan kakakku atas dorongan semangat baik moril maupun

materiel.

4

Seluruh dosen beserta staf Departemen Matematika atas ilmunya yang tak

ternilai.

5

Teman-teman angkatan 39 atas kenangan yang indah selama masa

perkuliahan.

6

Seluruh rekan seperjuangan angkatan 35, 36, 37, 38, 40 dan 41.

7

Seluruh pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini yang tidak

dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari dalam penyusunan skripsi ini masih jauh dari sempurna.

Penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk kesempurnaan

skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat baik bagi penulis maupun pihak-pihak

lain yang memerlukannya.

Bogor, Januari 2006

Fajar Delli Wihartiko

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL …………...……….…… 7

DAFTAR GAMBAR ………...……… 7

DAFTAR LAMPIRAN……...……….………... 7

I PENDAHULUAN Latar Belakang ………..….... 8

Tujuan ………..…... 8

II LANDASAN TEORI Graf ……….... .. 8

Pemrograman Linear ……….… … 9

Masalah Dual ……… 11

Pemrograman Linear Bilangan Bulat ..………... 13

Masalah Pemartisian Himpunan ……….……... 13

III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Waktu ……….. 15

Formulasi Masalah sebagai Masalah Pemartisian Himpunan ………. 19

IV PENYELESAIAN MASALAH Teknik Pembangkitan Kolom ……….. 19

Pricing Problem ……….……….. 20

V CONTOH KASUS ………... 21

VI SIMPULAN ……… 29

DAFTAR PUSTAKA ... ... 30

DAFTAR TABEL

Halaman

1 TR dan kendala waktu ……… 15

2 Permintaan transportasi suatu perusahaan ………. 17

3 Contoh kasus masalah PDPTW ………. 21

4 Hasil setiap iterasi menggunakanteknik pembangkitan kolom . ... 29

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Graf G = (V, E) ……….. 8

2 Digraf D=(V,A)………. 9

3 Contoh 8 dalam bentuk graf ………. 15

4 Graf dari m tempat ……… 16

5 Graf dari Contoh 10 ……… 18

6 Graf dari Tabel 3 ……….. 23

7 Graf dari V₁∪S₁………... 25

8 Graf dari V₂∪S₂ ……… ……… 27

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Contoh penyelesaian suatu P L dengan menggunakan algoritme simpleks ……….. 32

2 Hasil perhitungan Contoh 5 menggunakan LINDO 6.1 ………... 33

3 Rute Fisibel PDPTW ……… 34

4 RMP0, P1,0 dan P2,0 ... 41

5 RMP₁, P_1,1 dan P_2,1 ……….. 45

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pendistribusian suatu barang merupakan persoalan yang sering dijumpai baik oleh pemerintah maupun oleh produsen. Dalam pelaksanaannya sering kali dihadapkan pada berbagai masalah seperti efisiensi biaya, efisiensi waktu ataupun masalah efektifitas kendaraan. Contoh pendistribusian barang adalah pengangkutan sampah oleh Dinas Kebersihan, pendistribusian produk perusahaan kepada agen, pengambilan surat di kotak pos oleh PT Pos Indonesia dan mas ih banyak lagi. Contoh-contoh tersebut termasuk dalam masalah pengambilan dan pengiriman (pick up and delivery problem / PDP).

Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu (pick up and delivery problem with time windows /PDPTW) merupakan pengembangan dari PDP. Kendala waktu dalam PDPTW diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat.

Masalah PDP dan PDPTW telah banyak dibahas dan dipelajari, di antaranya oleh Mitrofic-Minic (1998) yang membahas

metode heuristik untuk menyelesaikan

masalah PDPTW, Bruggen et al. (1993)

membahas PDPTW dengan satu depot, Dumas

et al. (1991) membahas penyelesaian PDPTW dengan menggunakan teknik pembangkitan

kolom yang dipandang sebagai masalah path

terpendek serta M. Sol & M.W.P. Savelsberg (1995) yang membahas PDP secara luas. Tulisan ini merupakan rekonstruksi dari tulisan M. Sol & M.W.P. Savelsberg (1994) yang berjudul “A Branch-and-Price Algorithm for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows”.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah pengambilan dan pengiriman berkendala waktu dengan menggunakan teknik pembangkitan kolom .

II LANDASAN TEORI

Beberapa konsep yang dibutuhkan dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu adalah sebagai berikut:

2.1 Graf Definisi 1 (Graf)

Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V himpunan takkosong dan hingga dan

E adalah himpunan pasangan takterurut yang

menghubungkan elem en-elemen V dan

dinotasikan dengan G=

(

V,E

)

.

Elemen V dinamakan simpul (node), dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai

{ }

i,j , yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan i,j∈V.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh 1 berikut:

Contoh 1 G:

Gambar 1 Graf G = (V, E).

Pada Gambar 1, V =

{

v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆

}

dan E=

{

{

v₁,v₂

}{

,v₁,v₆

} {

, v₂,v₃

}

,

{

v₃,v₆

}

,

{

v3,v4

} {

,v5,v6

}{

,v4,v5

}}

. Definisi 2 (Walk)

Suatu walk pada graf G=

( )

V,E adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk:

{

v v

} {

v v v

} {

vn vn

}

vn

v₁, ₁, ₂ , ₂, ₂, ₃,..., ₋₁, , , atau ditulis dengan ringkas : v₁,v₂,...,v_n atau

n

v v

v1, 2,..., . Walk tersebut menghubungkan

simpul v₁dengan v_n.

(Foulds, 1992)

Definisi 3 (Closed Walk, Cycle)

Suatu walk v1,v2,...,v_n pada suatu graf G dikatakan tertutup (closed walk) jika

n

v v₁= .

Suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda disebut cycle.

(Foulds, 1992)

Berikut ini diberikan ilustrasi dari walk

tertutup dan cycle. Salah satu contoh walk v4

v6

v1 v5

v3 v2

tertutup pada graf G dalam Contoh 1 adalah

1 2 1 6 1v v v v

v , _, , , , sedangkan v₁,v₂,v₃,v₆,v₁ adalah salah satu contoh cycle.

Definisi 4 (Digraf)

Digraf (directed graf/graf berarah) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari

elemen-elemen di V dan dinotasikan sebagai

( )

V A

D= , .

Elemen dari A disebut sisi berarah (arc) dan dituliskan sebagai

( )

i,j dengan i,j∈V.

(Foulds, 1992)

Contoh berikut merupakan ilustrasi digraf.

Contoh 2 D:

Gambar 2 Digraf D=(V,A). Pada Gambar 2, digraf D memiliki

{

v1v2 v3 v4 v5 v6

}

V = , , , , , dan

(

) (

) (

) (

) (

)

{

v1 v2 v6 v1 v2 v3 v3 v6 v3 v4

A= , , , , , , , , ,

(

v₅,v₆

) (

,v₄,v₅

)}

.

Definisi 5 (Walk berarah)

Suatu walk berarah pada digraf

( )

V A

D= , adalah suatu barisan simpul dan

sisi dari G dengan bentuk:

(

)

(

)

(

)

(

v1− v1,v2 −v2− v2,v3 −...− vn−1,vn −vn

)

atau ditulis dengan ringkas:

(

v₁−v₂−...−v_n

)

atau v1

-

v2

-

…

-

vn. Walk tersebut

menghubungkan simpul v₁dengan v_n. (Foulds, 1992)

Definisi 6 (Cycle berarah)

Suatu walk berarah

(

v₁−v₂−...−v_n

)

dengan v₁=v_n dan mempunyai setidaknya tiga simpul berbeda disebut sebagai cycle

berarah.

(Foulds, 1992)

Berikut ini diberikan ilustrasi mengenai

cycle berarah. Salah satu contoh cycle berarah pada digraf D dalam Contoh 2 adalah cycle

v₁

-

v₂

-

v₃

-

v₆

-

v₁, sedangkan cycle v₁

,

v₆

,

v₃

,

v₂

,

v₁

pada digraf D bukan merupakan cycle berarah.

Definisi 7 (Graf Berbobot)

Suatu graf G=

( )

V,E atau digraf

( )

V A

D= , dikatakan berbobot jika terdapat

fungsi w:E→ℜatau ϑ:A→ℜ (dengan

ℜ

adalah himpunan bilangan real) yang

memberikan bobot pada setiap elemen E atau elemen A.

(Foulds, 1992)

2.2 Pemrograman Linear

Pemrograman linear adalah kegiatan merencanakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Model pemrograman linear (P L) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear .

(Hillier & Lieberman, 1990)

Pada tulisan ini, suatu P L mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut:

Defi nisi 8 (Bentuk Standar Suatu PL)

Suatu pemrograman linear didefinisikan mempunyai bentuk standar:

Minimumkan z =cTx

terhadap Ax=b (1) x≥0

dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m×n yang disebut juga sebagai matriks kendala.

(Nash & Sofer, 1996)

2.2.1 Solusi S uatu Pemrograman linear

Untuk menyelesaikan suatu masalah pemrograman linear (PL), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Sejak perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah PL dalam bentuk standar.

Pada Pemrograman Linear (1), vektor x

yang memenuhi kendala Ax=b disebut

sebagai solusi P L (1). Misalkan matriks A

dapat dinyatakan sebagai A= (B N), dengan

B adalah matriks taksingular berukuran m×m

yang merupakan matriks yang elemennya

berupa koefisien variabel basis dan N

merupakan matriks yang elemennya berupa

v4

v2 v3

koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk P L.

Misalkan x dapat dinyatakan sebagai

vektor     = N B x x

x , dengan xB adalah vektor

variabel basis dan xN adalah vektor variabel

nonbasis. Maka Ax=b dapat dinyatakan

sebagai

(

)

    = N B x x

x B N

A

=?x_B+Nx_N =b. (2) Karena B adalah matriks taksingular, maka B

memiliki invers, sehingga dari (2) xBdapat dinyatakan sebagai:

. x b

xB B B N N 1

1 −

− ₋

= (3)

Definisi 9 (Solusi Basis)

Vektor x disebut solusi basis dari suatu pemrograman linear jika x memenuhi kendala dari PL dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari x adalah bebas linear.

(Nash & Sofer, 1996 )

Definisi 10 (Solusi Basis Fisibel)

Vektorxdisebut solusi basis fisibel jika x

merupakan solusi basis dan x≥0. (4)

(Nash & Sofer, 1996)

Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:

Contoh 3

Misalkan diberikan pemrograman linear berikut:

Minimumkan z=−x₁−2x₂ terhadap −2x1+x2+x3=2

−x₁+2x₂+x₄ =7 (5) 3

5 1+x =

x

x1,x2,x3,x4,x5 ≥0

Dari pemrograman linear tersebut didapatkan:

A =

          − − 1 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 2

,b =

          3 7 2 Misalkan dipilih

(

)

T

B

x = x3 x4 x5 dan xN =

(

x1 x2

)

T

maka matriks basis

          = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B

Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh

(

)

T

B b

x =B−1 = 2 7 3 ,x_N =

(

0 0

)

T. (6) Solusi (6) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada P L (5) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari (6) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (6) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol._

PL (1) dapat dinyatakan dalam xB dan xN

sebagai berikut:

Minimumkan z =c_BTx_B+c_NTx_N

terhadap BxB+NxN =b ≥

x 0

dengan c_Badalah koefisien variabel basis pada fungsi objektif, cN adalah koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif.

Jika P ersamaan (3) disubstitusikan ke fungsi objektif z=c_BTx_B+c_NTx_N maka akan didapat:

(

N

)

NT N

T

B b x c x

c

z= B−1 −B−1N +

(

NT BT

)

N T

B b c c x

c

z= B−1 + − B−1N . Jika didefinisikan y=

(

c_BTB−1

)

T =B−Tc_B maka z dapat dinyatakan dalam y:

(

NT T

)

N

T_{b c y x}

y

z= + − N . (7)

Vektor y disebut vektor pengali simpleks

(simplex multiplier).

Untuk suatu solusi basis, x_N =0 dan

b b

x_B =ˆ=B−1 , maka zˆ=c_BTB−1b. Notasi zˆadalah notasi untuk z optimal.

Koefisien cˆ_j disebut biaya tereduksi

(reduced cost) dari x_j dengan cˆ adalah j

elemen dari vektor cˆ_NT =

(

c_NT −c_BTB−1N

)

. Biaya tereduksi adalah penambahan nilai fungsi objektif jika suatu variabel nonbasis dijadikan variabel basis (artinya menjadi solusi taknol) pada suatu pemrograman linear.

2.2.2 Penyelesaian Pemrograman Linear dengan Algoritme S impleks

Solusi suatu pemrograman linear dapat diketahui optimal atau tidak untuk P L tersebut melalui algoritme sebagai berikut:

• Tes Keoptimalan

Vektor y=c_BTB−1 dihitung, kemudian dapat dihitung pula nilai biaya tereduksi

(

c y b

)

cˆ_NT = _NT− T .

Jika cˆ_NT ≥0 maka solusi yang diperoleh adalah solusi optimal.

Jika _cˆ_NT <0 maka variabel xt yang

memenuhi cˆ_t <0 dipilih sebagai variabel-masuk, yaitu variabel x_t yang akan masuk ke dalam basis.

• Langkah tertentu (t)

Kolom Aˆ_t =B−1A_t, yaitu kolom koefisien kendala yang berhubungan dengan

variabel-masuk ke t dihitung kemudian

ditentukan indeks s pada kolom kendala yang berhubungan dengan variabel-masuk yang memenuhi

   > 

   ≤ ≤

= ˆ : 0

1 min ˆ

, , ,

t i t i t

s

s _a

a i b m i a

b

. (8)

Pemilihan indeks dengan cara tersebut

disebut dengan uji nisbah minimum

(minimum ratio test).

Variabel yang menjadi variabel-keluar (variabel yang akan keluar dari basis, tergantikan oleh variabel -masuk) dan pivot entry adalah variabel yang berhubungan dengan aˆs,t.

Jika aˆ_i,t ≤0, (1≤i≤m) untuk semua i, maka masalah P L disebut masalah takterbatas (unbounded).

• Pivot

M atriks basis B dan vektor basis xB diperbaharui dan kemudian kembali ke tes keoptimalan.

Berikut ini diberikan contoh penggu naan algoritme simpleks:

Contoh 4

Misalkan diberikan PL(5) dalam Contoh 3. Dengan menggunakan algoritme simpleks akan diperoleh solusi x₁ = 3, x₂ = 5, x₃ = 3, x₄ =

x5 = 0 dengan z

= -

13 (lihat Lampiran 1). _ 2.3 Masalah Dual

Setiap masalah pemrograman linear memiliki padanan, yaitu masalah lain yang

disebut pemrograman linear dual.

Pemrograman linearn y a sendiri disebut

sebagai masalah primal. Misalkan diberikan masalah primal:

Minimumkan z=cTx

terhadap Ax≥b (9)

0

≥ x Maka masalah dual dari (9) adalah

Maksimumkan w=bTy

terhadap ATy≤c

≥ y 0

Jika masalah primal memiliki n variabel

dan m kendala, maka masalah dual akan

memiliki m variabel dan n kendala. Koefisien fungsi objektif masalah primal merupakan nilai sisi kanan pada masalah dual, begitu pula sebaliknya. Jika masalah primal adalah masalah minimisasi maka masalah dual merupakan masalah maksimisasi.

Solusi optimal dari masalah dual merupakan pengali simpleks pada masalah primal. Pada kondisi optimal, solusi dari masalah dual dan masalah primal akan menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama. Hal ini dibuktikan dalam teorema dualitas kuat. Akibat dari teorema dualitas lemah digunakan untuk membuktikan teorema dualitas kuat.

Teorema 1 (Teorema Dualitas Lemah)

Misalkan diberikan pemrograman linear

primal dan masalah dualnya. Misalkan x

adalah sol usi fisibel untuk masalah primal

dalam bentuk standarnya dan misalkan y

solusi fisibel untuk masalah dual, maka nilai fungsi objektif dari masalah primal selalu lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif dari masalah dual.

Bukti: lihat (Nash & Sofer, 1996).

Akibat 1

Jika x adalah solusi fisibel untuk masalah primal, y adalah solusi fisibel untuk masalah dual, dan bTy=cTx, maka x dan y adalah solusi optimal berturut-turut untuk masalah primal dan dual.

Teorema 2 (Teorema Dualitas K uat)

Misalkan diberikan pemrograman linear primal dan masalah dualnya. Jika salah satu dari masalah primal atau masalah dual tersebut memiliki solusi optimal, maka masalah lainnya juga memiliki solusi optimal dan nilai fungsi objektif optimalnya adalah sama.

Bukti:

Misalkan diasumsikan bahwa masalah primal dalam bentuk standar dan mempunyai solusi x yang merupakan solusi basis fisibel optimal. Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor     = N B x x

x , dengan xB adalah vektor

variabel basis dan xN adalah vektor variabel nonbasis.

Selain itu, seperti telah dijelaskan

sebelumnya matriks A dapat dinyatakan

sebagai A=

(

B N

)

dan vektor koefisien

pada fungsi objektif c dapat dinyatakan

sebagai     = N B c c

c . Karena B adalah matriks

taksingular, maka B memiliki invers sehingga

xB dapat dinyatakan sebagai xB =B−1b.

Dari sebelumnya diketahui pula, jika x

optimal maka biaya tereduksinya adalah 0

≥ − T_BB−1N

T

N c

c atau

T N T

B c

c B−1N≤ (*) Misalkan y adalah vektor dari pengali simpleks yang berhubungan dengan solusi basis fisibel, dengan y=B−Tc_B atau

1 − = TBB

T _c

y . Akan ditunjukkan bahwa:

1 Nilai dari fungsi objektif masalah primal dan dual adalah sama, yaitu bTy=cTx. 2 yadalah optimal untuk masalah dual. Bukti:

1 Sebelumnya akan diperiksa terlebih

dahulu kefisibelan dari y:

A

yT =cT_BB−1

(

B N

)

=

(

TBB−1N

)

T

B c

c ≤

(

cTB cTN

)

dari (*)

=cT

Sehingga ATy≤c dan y fisibel untuk masalah dual, kemudian dihitung nilai objektif untuk masalah primal (z) dan dual (w):

b c x c x

cT T_{B B} T_B 1

z= = = B−

z.

w=bTy=yTb=cTBB−1b=

Jadi y adalah fisibel untuk masalah dual dan nilai fungsi objektif solusi optimal dari masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama.

2 Karena bTy=cTx maka y adalah solusi optimal untuk masalah dual (dari Akibat 1)._

Bukti dari teorema dualitas kuat

menghasilkan solusi optimal dual. Misalkan

    = N B x x

x , A=

(

B N

)

, dan

    = N B c c c

maka nilai optimal dari variabel dual diberikan oleh vektor pengali simpleks y=B−Tc_B.

Dari bukti teorema dualitas kuat terlihat bahwa kondisi primal optimal

0

≥ − TBB−1N

T N c

c

adalah ekivalen dengan kondisi fisibel dual

c y

T _≤

A atau c−ATy≥0.

Jadi vektor dari biaya tereduksi cˆ adalah vektor variabel slack dual

.

ˆ c y

c= −AT

Contoh 5

Misalkan diberikan pemrograman linear primal sebagai berikut:

Minimumkan

5 4 3 2

1 27 93 74 55

51x x x x x

z= + + + +

terhadap x1+x2≥1

x1+x2+x3+x4 ≥1 1

5 1+x ≥

x

1 3 2+x ≥

x

1 5 4 3+x +x ≥

x 1 4≥ x 0 ≥ i

x , untuk i=

{

1,2,3,4,5

}

. Masalah dual dari masalah tersebut adalah sebagai berikut: Maksimumkan 6 5 4 3 2

1 y y y y y

y

w= + + + + +

terhadap y1+y2+y3≤51

27

4 2 1+y + y ≤ y

93 5 4 2 +y +y ≤

y

74 6 5 2 +y +y ≤

y

55 5 3+y ≤

y 0 ≥

i

y , untuk i=

{

1,2,3,4,5,6

}

.

Dengan menggunakan LINDO 6.1,

diperoleh solusi dari masalah primal sebagai berikut:

0 ,

1 _{3 5}

4 2

1= x =x = x = x = x

dengan nilai fungsi objektifnya z=152 (lihat Lampiran 2). Nilai pengali simpleks untuk masing-masing kendala adalah sebagai berikut: 70 , 4 , 27 , 51 ,

0 3 4 5 6

2

1=y = y = y = y = y =

y

dengan yi adalah nilai pengali simpleks

Solusi dari masalah dual tersebut juga dapat dicari dengan menggunakan LINDO 6.1 yang menghasilkan solusi:

74 27 51

0 _{3 4 6}

5 2

1= y =y = y = y = y =

y , , ,

dengan nilai fungsi objektif w = 152 (lihat Lampiran 2). Dari penghitungan tersebut, terlihat bahwa fungsi objektif dar i masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama seperti dinyatakan dalam Teorema 2. _

2.4 Pemrograman Linear Bilangan Bulat

Model pemrograman linear bilangan bulat (Integer Linear Programming/ILP) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa bilangan bulat, maka masalah tersebut disebut ILP-murni. Jika hanya sebagian yang harus bilangan bulat maka disebut ILP-campuran. ILP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 I LP.

Definisi 11 (Pemrograman Linear Relaksasi)

PL-relaksasi dari suatu ILP merupakan pemrograman linear yang diperoleh dari ILP tersebut dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada variabelnya.

(Winston, 1995)

Model yang digunakan pada tulisan ini yang berkaitan dengan masalah ILP adalah model masalah pemartisian himpunan.

2.5 Masalah Pemartisian Himpunan Definisi 12 (Partisi)

Misalkan diberikan dua himpunan, yaitu

{

m

}

I= 1,2,..., dan P=

{

P₁,P₂,...,P_n

}

dengan

Pj adalah suatu himpunan bagian dari I,

{

n

}

J

j∈ = 1,2,..., .

Himpunan P_j , j∈ J*⊆J adalah partisi dari

I jika:

Υ

*

J j

j I

P

∈ =

dan

untukj,k∈J*, j≠k⇒P_j∩P_k =

ø.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972)

Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada Contoh 6 berikut:

Contoh 6

Misalkan diberikan himpunan

{

1,2,3,4,5,6

}

=

I dan kelas-kelas himpunan

{ }

1,6 1=

P , P2 =

{ }

3,4 , P3=

{ }

1,4,6 , P4=

{ }

2 ,

{ }

2,3,5

5=

P .

Partisi dari I di antaranya adalah

{

P₃,P₄

}

, karena untuk himpunanJ*=

{ }

3,5 memenuhi:

Υ

*

J j

j I

P

∈ =

dan

untuk j,k∈J*, j≠k⇒P_j∩P_k =

ø

. _

Masalah pemartisian himpunan (set

partitioning problem/SPP) adalah masalah menentukan partisi dari himpunan I dengan biaya minimum. Untuk mendapatkan partisi tersebut, misalkan didefinisikan variabel 0-1 sebagai berikut:

1, jika Pj termasuk dalam partisi

x_j=

0, selainnya

Bentuk umum SPP:

Minimumkan

∑

=

n j

j jx

c 1

terhadap

∑

( )

=

= j

n j

x j A

1

1

xj=0 atau 1

dengan c_jadalah biaya P_j, A(j)adalah matriks koefisien kendala, dan 1 adalah vektor dengan

dimensi n dengan semua komponennya sama

dengan 1.

Model ini memiliki beberapa sifat penting, yaitu:

Sifat 1 Masalah pada model memiliki

kendala berupa persamaan.

Sifat 2 Nilai sisi kanan semua kendala

adalah 1.

Sifat 3 Semua elemen matriks koefisien A(j) adalah 0 atau 1.

Contoh 7 (Masalah pemartisian himpunan)

Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas -kelas P seperti pada Contoh 6. Misalkan diketahui biaya dari masing-masing kelas P_j, yaitu cj, dengan

17 , 18 , 19 , 10 ,

15 2 3 4 5

1 = c = c = c = c =

c .

Diinginkan himpunan dari Pj yang dapat

memartisi I dengan biaya minimum. Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan. Misalkan didefinisikan variabel 0-1 sebagai berikut:

1, jika Pj termasuk dalam partisi

xj =

1, jika elemen ke-j di I merupakan elemen Pj, dengan j=1,2,...,5

A(j) =

0, selainnya

Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai SPP berikut:

Minimumkan

5 4 3 2

1 10 19 18 17

15x + x + x + x + x

terhadap x₁+x₃=1 (elemen 1)

1 5 4+x =

x (elemen 2)

1

5 2+x =

x (elemen 3)

1 3 2+x =

x (elemen 4)

1 5=

x (elemen 5)

1 3 1+x =

x (elemen 6)

0 =

j

x atau 1, untuk j=

{

1,2 ,3,4 ,5

}

.

Dengan mengunakan LINDO 6.1

diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai berikut:

1 ,

0 3 5

4 2

1=x =x = x =x =

x , dan nilai

fungsi objektif sebesar 36. Jadi partisi dari

{

1,2,3,4,5,6

}

=

I dengan biaya minimum

adalah P3=

{ }

1,4,6 dan P5=

{ }

2,3,5 .

III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Dalam masalah pengambilan dan pengiriman (PDP) sejumlah rute harus dikonstruksi guna memenuhi semua

permintaan transportasi (transportation request/TR). Permintaan transportasi dapat diartikan sebagai suatu permintaan pengiriman barang yang harus dibawa secara langsung dari lokasi pengambilan barang (tempat asal) ke lokasi pengiriman (tempat tujuan). Setiap permintaan transportasi memiliki kuantitas barang yang dibawa oleh suatu kendaraan. Kuantitas barang yang dibawa ke tempat tujuan belum tentu semuanya diturunkan pada tempat tujuan. Bisa jadi hanya sebagian barang yang diturunkan atau bahkan tidak diturunkan sama sekali. Barang yang tidak diturunkan kemudian dikirimkan ke tempat tujuan selanjutnya. Bisa jadi dalam pengiriman tersebut ditambah dengan barang yang diangkut pada tempat penurunan barang.

Kuantitas barang dalam permintaan

transportasi terkadang tidak selalu diketahui pada masalah pengambilan dan pengiriman. Kuantitas tersebut dapat dicari melalui kuantitas suatu barang yang harus diangkut atau diturunkan pada suatu tempat

Armada kendaraan sangat dibutuhkan dalam PDP. Armada kendaraan dapat beroperasi dalam berbagai rute. Suatu armada dapat memiliki berbagai macam tipe kendaraan. Setiap tipe kendaraan memiliki depot dan kapasitas pengangkutan barang. Depot merupakan tempat di mana kendaraan tersebut diberangkatkan dan kembali setelah perjalanan usai.

Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu (pick up and delivery problem with time windows/PDPTW) merupakan pengembangan dari PDP, dengan

kendala waktu diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat. Sebagai ilustrasi pada pengambilan surat oleh PT Pos Indonesia. Misalkan saja waktu pengambilan surat di suatu kotak pos adalah tepat pukul 9.00. Sering kali dalam pelaksanaannya dihadapkan pada berbagai masalah perjalanan, sehingga diperkirakan kendaraan tersebut akan tiba sekitar pukul 8.50 sampai pukul 9.10. Perkiraan waktu tersebut digunakan sebagai kendala waktu pada PDPTW.

Dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu, setiap permintaan transportasi memiliki kendala waktu yang ada pada saat pengambilan maupun pengiriman. Hal ini berarti setiap kendaraan harus mengunjungi setiap tempat sesuai dengan kendala waktu yang ada. Di depot, s etiap tipe kendaraan dalam armada juga memiliki kendala waktu, sehingga kendaraan tersebut berangkat dan pulang ke depot sesuai dengan waktu yang tersedia. Jika rute-rute dalam PDPTW yang memenuhi permintaan transportasi telah dikonstruksi, maka harus dicari bagaimana cara memenuhi semua permintaan transportasi tersebut dengan biaya minimum.

Beberapa asumsi digunakan dalam model PDPTW ini. Asumsi tersebut adalah:

1 Barang yang diambil dan dikirim

merupakan barang yang homogen.

2 Barang tersebut dikirimkan oleh satu

kendaraan dari lokasi pengambilan ke lokasi pengiriman tanpa adanya biaya pengangkutan di tengah lokasi.

3 Waktu yang diperlukan untuk bongkar

muat barang pada lokasi pengambilan dan lokasi pengiriman dapat dengan mudah

digabungkan pada waktu perjalanan, sehingga tid ak akan dibahas secara eksplisit.

3.1 Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Waktu

Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu dapat dimodelkan sebagai berikut:

Misalkan S adalah himpunan permintaan

transportasi. Untuk setiap permintaan

transportasi i

∈

S, muatan qi? ∈Ν ∪

{ }

0 akan

diantarkan dari tempat asal i+ ke tempat tujuan i-, dengan Ν adalah himpunan bilangan asli. Misalkan didefinisikan Sˆ ={+ i+¦ i

∈

S}

sebagai himpunan tempat asal dan

} {

ˆ _{i i S}

S− = − ∈ sebagai himpunan tempat

tujuan. Untuk s etiap i

∈

S, misalkan kendala

waktu pengambilan pada tempat i+

dinotasikan sebagai [ei+, li+] dan kendala

waktu pada saat pengiriman di tempat i

-dinotasikan dengan [ ei-,li-].

Misalkan M adalah himpunan dari tipe kendaraan. Setiap kendaraan dengan tipe

k

∈

M, mempunyai kapasitas muatan Qk

∈

Ν,,

memiliki depot k+ dan dapat digunakan dalam selang waktu [ek+, lk+]. Banyaknya kendaraan

bertipe k dinotasikan sebagai mk. Didefinisikan

M+= {k+¦ k

∈

M} sebagai himpunan dari depot.

Misalkan didefinisikan himpunan

S+={ i+ i∈Sˆ+−M+}, himpunan S−=

}

{i− i∈Sˆ−−M+ dan himpunan V = S+

∪

S

-∪

M+. Untuk setiap i,j

∈

V, k

∈

M

didefinisikan:

• tk_ij sebagai waktu perjalanan yang

ditempuh oleh kendaraan tipe k dari tempat i ke tempat j.

• k

j i

c sebagai biaya perjalanan yang

ditempuh oleh kendaraan tipe k dari tempat i ke tempat j.

3.1.1 Pemodelan Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Waktu ke dalam Suatu Graf

Masalah pengambilan dan pengiriman dapat dimodelkan ke dalam suatu graf berbobot, dengan:

• Sisi berarah melambangkan permintaan transportasi dengan bobot melambangkan muatan sebes ar q, dan untuk set iap sisi

S

i∈ dilabeli dengan i,q_i.

• Simpul melambangkan tempat asal dan

tempat tujuan.

Contoh 8 berikut merupakan ilustrasi untuk memodelkan PDPTW ke dalam suatu graf.

Contoh 8

Suatu perusahaan harus mendistribusikan produknya ke tiga agen penjualan. Misalkan setiap tempat saling berhubungan sehingga

membentuk cycle berarah. Misalkan pula

hanya ada satu kendaraan dengan muatan maksimum sebesar 70 kg. Kendaraan tersebut beroperasi dari pukul 1.00 selama 4 jam. Kendala waktu di setiap agen diberikan seperti pada Tabel 1.

Tabel 1. TR dan kendala waktu

M aka masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut:

Gambar 3. Contoh 8 dalam bentuk graf.

Dari contoh tersebut, depot perusahaan

dilambangkan oleh v₁. Kendaraan beroperasi dari pukul 1.00 sampai pukul 5.00. Himpunan permintaan transportasi adalah S = {a, b, c,

d}. Setiap kendaraan yang melewati

permintaan transportasi akan membawa

barang dari tempat asal ke tempat tujuannya. Sebagai contoh, kendaraan yang melewati permintaan transportasi a (TR a) akan membawa barang sebesar 70 kg dari tempat asal a+(atau v1) ke tempat tujuan a- (atau v2)._ 3.1.2 Kuantitas Barang di Tempat

Pengambilan dan Pengiriman Barang

Misalkan didefinisikan Qi

∈

Ζ sebagai

kuantitas barang yang ada di tempat

i

∈

W=S+ ∪S−, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat dan W adalah himpunan seluruh

TR qi Tempat Batas Waktu (i) (kg) Asal Tujuan Pengambilan Pengiriman

a 70 v1 v2 1.00 - 1.10 1.45 - 1.55 b 30 v2 v3 2.00 - 2.10 2.45 - 2.55 c 50 v3 v4 3.00 - 3.10 3.45 - 3.55 d 50 v4 v1 4.00 - 4.10 4.45 - 4.55

a,70

c, 50

b, 30

d,50

v

2

v

1

v

3

tempat pengambilan dan pengiriman tanpa adanya suatu depot. Terdapat tiga kasus untuk kuantitas barang Qi.

• Jika Qi < 0, maka barang sebanyak Qi .

harus diangkut di tempat i.

• Jika Qi > 0, maka barang sebanyak Qi.

harus diturunkan di tempat i.

• Jika Qi = 0, maka pada tempat i tidak

akan dilakukan pengangkutan maupun penurunan barang.

Misalkan terdapat j tempat dalam PDP.

Misalkan pula vi adalah suatu tempat

sedemikian sehingga untuk v1, v2, …, vi-1

merupakan tempat asal bagi vi yang

dihubungkan oleh TR 1, 2,… i-1, sedangkan

v_i+1,v_i+2, …,v_j adalah tempat tujuan dari v_i

yang dihubungkan oleh TR i+1, i+2, …, j. Setiap TR memiliki kuantitas barang sebesar

q1, q2,…, qi-1, qi+1, qi+2, …, qj

.

Masalah PDP

ini dapat dimodelkan dalam bentuk graf berikut.

_______________________________________________________________________________

Gambar 4. Graf dari m tempat.

_______________________________________________________________________________

Karena barang yang dikirimkan merupakan barang yang homogen, maka

banyaknya barang pada tempat vi dapat

dimodelkan sebagai berikut:

i v

Q =

∑

∑

+ = −

= −

j i n

n i

n

n q

q 2 1

1

. (10) Hal ini berarti kuantitas barang yang masuk pada tempat vi harus sama dengan jumlah

barang di tempat vi ditambah jumlah barang

yang keluar dari vi. Persamaan (10) belum

tentu berlaku pada suatu depot. Karena kuantitas barang pada saat kendaraan berangkat dari depot belum tentu sama dengan kuantitas barang setelah perjalanan usai. Ilustrasi mengenai kuantitas barang di suatu tempat dapat dilihat dalam Contoh 9.

Contoh 9

Perhatikan masalah PDPTW dalam

Contoh 8. TR a mengirimkan 70 kg barang

dari v₁ ke v₂, sehingga pada tempat v₂ terdapat 70 kg barang. Lalu barang tersebut diambil kembali sebesar 30 kg dan dikirimkan ke tempat v3 sesuai dengan TR b. Akibatnya

kuantitas barang yang diturunkan pada tempat

v₂ sebesar 40 kg. Dengan cara yang sama

dapat dicari nilai kuantitas barang pada tempat

v3 dan v4. Pada tempat v3 dilakukan

pengangkutan barang sebesar 20 kg, sedangkan pada tempat v4 tidak dilakukan

pengangkutan maupun penurunan barang. Setelah perjalanan usai, kendaraan masuk ke depot dengan membawa barang yang akan diturunkan sebesar 50 kg. _

Dalam PDP, kuantitas barang dalam permintaan transportasi terkadang harus dicari melalui kuantitas barang pada tempat asal dan tempat tujuan. Kuantitas barang pada TR tidak selalu mencerminkan kuantitas pada tempat pengambilan maupun tempat pengiriman karena pada dasarnya kuantitas pada TR adalah kuantitas barang yang dibawa oleh suatu kendaraan dari tempat asal ke tempat tujuan.

Untuk mencari nilai kuantitas barang dalam TR dari suatu PDP secara keseluruhan, dapat dimulai dengan memilih arah perjalanan. Perjalanan dimulai dan diakhiri dari suatu depot. Kuantitas TR dapat dicari dengan menggunakan Persamaan (10). Pencarian dihentikan setelah semua TR ditemukan.

j,q j

i+2, q_i+2 i+1, qi+1

i-1, q_i-1

2, q2

.

.

.

vi+2

v_j v_i+1

.

.

.

v_i-1

1, q1

vi

v1

3.1.3Rute dalam Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Waktu

Ada banyak cycle y ang dapat dibuat dari PDPTW. Namun cycle-cycle tersebut belum tentu menjadi rute dalam PDPTW.

Misal kan didefinisikan: • Vk = S

+

∪

S -

∪

{k+}

• S_k = Himpunan TR yang berpadanan dengan V_k

• k

i

D₊ = waktu pengambilan/waktu keberangkatan kendaraan tipe k

pada tempat i+

• k

i

D₋ = waktu pengiriman/waktu tiba kendaraan tipe k pada tempat i− • k

i

t = tik+i−

•

selainnya 0,

tempat ke tempat melewati

tipe kendaraan jika

1,

   

= i j

k

k j i x

Rute dalam PDPTW didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 13 (Rute Fisibel PDPTW)

Rute pengambilan dan pengiriman Rk untuk

kendaraan tipe k yang fisibel untuk PDPTW adalah cycle berarah pada V_k′

⊆

Vk yang

memenuhi:

1 Dalam rut e Rk kendaraan berangkat dari

depot k+ dan tidak berangkat sebelum waktu pemberangkatan kendaraan yang ditentukan (e_k+).

2 Setiap i

∈

S_k′ harus memenuhi i+

∈

V_k′ jika dan hanya jika i−

∈

V_k′, dengan S_k′adalah

himpunan permintaan transportasi dalam rute Rk.

3 Setiap i

∈

S_k′, jika {i+,i−}

⊆

V_k′ maka i+

dikunjungi terlebih dahulu dari pada i−.

4 Setiap tempat di V_k′ (kecuali depot k+) dikunjungi tepat 1 kali.

5 Setiap tempat di V_k′ (kecuali depot k+)

dikunjungi sesuai dengan kendala

waktuny a. Ini berarti:

i S , D [e ,l ] Dk [ei ,li ]

i i i k i

k ∃ ₊∈ + + ∧ ₋∈ − −

′ ∈

∀

sedemikian sehinggaharus memenuhi: ? D_ik+ +t_ik ≤D_ik−

? x_ik+_i− =xk_j+_j− =1⇒D_i− ≤D_j+

dengan j∈S_k′ dan i−= j+.

6 Muatan kendaraan tidak pernah melebihi

Qk, dengan Qk adalah kapasitas kendaraan

tipe k .

7 Dalam rute R_k kendaraan berhenti pada depot k+ _{dan tidak melebihi waktu tiba}

kendaraan ( lk+) pada depot k+.

Contoh berikut ini adalah ilustrasi mengenai suatu rute dalam PDPTW.

Contoh 10: Pencarian rute PDPTW

Misalkan diketahui permintaan

transportasi (TR) dari suatu perusahaan seperti pada Tabel 2. Misalkan hanya terdapat satu depot dan dilambangkan dengan Tempat 1. T erdapat satu kendaraan berkapasitas maksimum 100 kg dari satu tipe kendaraan yang beroperasi dalam PDPTW ini. Kendaraan tersebut hanya dapat dioperasikan mulai pukul 7.00 pagi sampai dengan pukul 10.00 pagi.

_______________________________________________________________________________

Tabel 2. Permintaan transportasi suatu perusahaan

TR qi Tempat Batas Waktu

1

i

t

( i ) (kg) Asal T ujuan Pengambilan Pengiriman (menit)

a 120 1 2 7.00 – 7.05 7.25 - 7.35 20

b 100 1 3 7.00 – 7.05 7.15 - 7.20 15

c 90 3 2 7.25 – 7.30 7.50 - 7.55 25

d 100 2 4 7.40 – 7.45 7.50 - 8.05 15

e 70 4 3 8.15 – 8.20 8.30 - 8.35 10

f 70 4 5 8.15 – 8.20 8.50 - 9.05 40

g 10 3 5 8.40 – 8.45 8.55 - 9.00 17

Untuk mempermudah pencarian rute, masalah pada Contoh 10 dapat dimodelkan dalam suatu graf berikut.

Gambar 5. Graf dari Contoh 10. Dalam Gambar 5, himpunan tempat asal, tempat tujuan dan Depot 1 adalah V1 = S+

∪

S -

∪

{1} = {1,2,3,4,5}. Terdapat empat cycle

berarah yang berawal dan berakhir di Simpul 1. C ycle tersebut adalah 1-3-5-1, 1-3-2-4-5-1, 1-2-4-3-5-1, dan 1-2-4-5-1. Ke empat cycle

tersebut belum tentu menjadi suatu rute dalam PDPTW. Suatu cycle dapat dikatakan rute PDPTW jika memenuhi seluruh persyaratan dalam Definisi Rute Fisibel PDPTW.

Perhatikan cycle pertama (1-3-5-1). Ambil {1,3,5}

⊆

V1. Cycle tersebut

memenuhi ketujuh syarat dalam Definisi Rute Fisibel PDPTW.

1 Dalam cycle pertama, kendaraan berangkat dari Depot 1 antara pukul 7.00 – 7.05. Waktu keberangkatan kendaraan pada Depot 1 adalah pukul 7.00, sehingga batas waktu pengambilan tidak mendahului waktu pemberangkatan kendaraan pada Depot 1.

2 Untuk setiap permintaan transportasi

i

∈

{b,g,h} memenuhi i+

∈

{1,3,5} jika dan hanya jika i−

∈

{1,3,5}.

3 Untuk setiap permintaan transportasi

i

∈

{b,g,h} d a n {i+,i−}

⊆

{1,3,5}, berlaku

i+dikunjungi terlebih dahulu dari pada i−.

4 T empat 3 dan 5 dikunjungi tepat 1 kali.

5 Tem pat 3 dan 5 dikunjungi sesuai dengan kendala waktunya.. Operasi penjumlahan pada langkah ini merupakan penjumlahan antara waktu keberangkatan dengan lamanya perjalanan dalam satuan menit.

Cycle 1-3-5-1 memenuhi:

Untuk i=b, ∃ 1₊ =7.00∈[7.00,7.05] b

D

∧Db1− =7.15∈[7.15,7.20]

∋

? 7.00+15≤7.15

? 1 1

5 , 3 1

3 ,

1 =x =

x ⇒ 1₋

b

D ≤ D1g+

⇒7.15≤D1g+

Untuk i = g, ∃D1g+ =8.40∈[8.40 ,8.45] ∧ 1 ₌8.57_∈[8.55 ,9.00]

−

g

D

∋

? x₁1_,3=x₃1_,5=1

⇒

7.15≤8.40 ? 8.40+17≤8.57

? x₃1_,5 =x₅1_,1=1 ⇒ D1g− ≤ D1h+

⇒8.57≤D1_h+

Untuk i = h, ∃D1h+ =9.08∈[9.05 ,9.10]

∧ Dh1− =9.58∈[9.50,10.00]

∋

? 1 1

1 , 5 1

5 ,

3 =x =

x ⇒8.57≤9.08

? 9.08+50≤9.58.

6 Muatan barang yang dibawa oleh

kendaraan tidak pernah melebihi 100 kg, karena kuantitas maksimum pada TR

i

∈

{b,g,h} adalah sebesar 100 kg.

7 Rute kendaraan cycle pertama berhenti

pada Depot 1 pada pukul 9.58. Batas

waktu maksimum kedatangan kendaraan pada Depot 1 adalah pukul 10.00. Rute tersebut tidak melewati batas waktu tiba kendaraan di Depot 1.

Akibatnya cycle pertama merupakan rute

fisibel PDPTW.

Berbeda dengan cycle pertama, cycle

kedua (1-3-2-4-5-1) bukan merupakan rute fisibel PDPTW, karena tidak memenuhi syarat kelima dalam Definisi Rute Fisibel PDPTW.

Ambil {1,2,3,4,5}

⊆

V1. Perhatikan

permintaan transportasi c dan d. Pada TR c, muatan sebesar 90 kg akan dikirimkan ke Simpul 2 (c−) dengan batas waktu pukul 7.50

- 7.55. Kendaraan tersebut diharuskan

memenuhi TR selanjutnya, yakni TR d.

Kendala waktu p emberangkatan pada Simpul 2 (d+_{) adalah pukul 7.40 - 7.45, yang tidak}

mungkin dipenuhi jika kendala waktu pada −

c adalah 7.50 - 7.55. Ini berarti cycle kedua bukan merupakan rute fisibel PDPTW.

Perhatikan cycle ketiga (1-2-4-3-5-1) dan

cycle keempat (1-2-4-5-1). Ambil {1,2,3,4,5}

⊆

V1 untuk cycle ketiga dan

{1,2,4,5}

⊆

V1 untuk cycle keempat. Kedua

cycle tersebut bukan suatu rute fisibel dalam

PDPTW, karena muatan barang yang

e,70

f,70

g,10

h,5

c,90

1

5

2

3

4

a,120

b,100

dikirimkan melalui TR a melebihi kapasitas kendaraan. _

3.2 Formulasi Masalah sebagai Masalah Pemartisian Himpunan

Untuk memformulasikan PDPTW sebagai masalah pemartisian himpunan, Misalkan didefinisikan:

?k = himpunan semua rute pengambilan

dan pengiriman yang fisibel untuk tipe kendaraan k.

selainnya , 0 rute dalam ada jika , 1  

 ∈ ∈Ω

= k k ir r S i δ selainnya , 0 digunakan rute jika , 1  

 ∈Ω

= k

k r

r x

ck_r = biaya dari rute r

∈

?k .

Biaya dari rute yang fisibel dapat di definisikan sebagai penjumlahan seluruh biaya pada TR yang digunakan pada rute tersebut, yaitu:

ck_r = _ijk

V i j V

k ijx

c

∑ ∑

∈ ∈

= _irk

S i k i i c δ

∑

∈ − + .

Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu diformulasikan sebagai

pemrograman linear bilangan bulat (ILP) berikut: (12) ; 1 terhadap (11) minimumkan O S i x d x c k r M k r k ir k r M k r k r k k ∈ ∀ =

∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈

∈ ∈Ω

(13)

x mk k M

r k r k ∈ ∀ ≤

∑

Ω ∈ ;

xk_r∈{0,1};∀k∈M,r∈Ω_k. Fungsi objektif (11) menyatakan bahwa akan dicari rute yang memiliki biaya minimum dari semua rute yang ada pada kendaraan tipe k. Kendala (12) menyatakan setiap permintaan transportasi hanya di lewati oleh satu rute kendaraan tipe k. Kendala ini disebut sebagai kendala pemartisian. Kendala (13) menyatakan rute kendaraan tipe k dapat

dilewati oleh maksimum mk kendaraan.

Kendala (13) ini disebut sebagai kendala ketersediaan kendaraan. Kolom pada matriks kendala menyatakan rute pengambilan dan pengiriman yang fisibel untuk kendaraan bertipe k .

IV PENYELESAIAN MASALAH

4.1 Teknik Pembangkitan Kolom

M asalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu (PDPTW) berskala besar sering m elibatkan rute dalam jumlah yang banyak. Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan algoritme simpleks, namun memerlukan banyak waktu dalam pengerjaannya. Alternatif lain penyelesaian masalah ini adalah t eknik pembangkitan kolom (column generation).

Teknik pembangkitan kolom merupakan teknik untuk menyelesaikan suatu pemrograman linear dengan hanya menggunakan sebagian variabel dari masalah kes eluruhan. Masalah PL dengan sebagian variabel tersebut diselesaikan hingga mendapatkan solusi yang optimal. Jika kondisi tersebut belum mencapai kondisi optimal pada masalah keseluruhan, maka P L dari sebagian variabel akan ditambahkan dengan variabel yang memenuhi suatu kriteria tertentu, kemudian diselesaikan untuk mendapatkan solusi yang optimal bagi P L tersebut. Hal ini terus dilakukan hingga mencapai kondisi optimal pada masalah keseluruhan atau telah mencapai suatu kriteria pemberhentian.

Dalam teknik pembangkitan kolom masalah PDPTW diselesaikan melalui P L-relaksasinya. P L-relaksasi dari masalah PDPTW didapatkan dengan cara mengganti batasan xkr∈{0,1} dengan ≥0

k r

x , sehingga

PL-relaksasi dari masalah PDPTW adalah:

(14) ; 1 terhadap minimumkan O S i x d x c k r M k r k ir k r M k r k r k k ∈ ∀ =

∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈

∈ ∈Ω

x mk; k M

r k r k ∈ ∀ ≤

∑

Ω ∈ (15) k k

r k M r

x ≥0;∀ ∈ , ∈Ω .

Masalah PL-relaksasi disebut sebagai

masalah induk (master problem/MP). Dalam teknik pembangkitan kolom digunakan

masalah indu k terbatas (restricted master problem/RMP), yaitu masalah pemrograman linear dengan menggunakan sebagian variabel dari MP. Misalkan RMP pada langkah tertentu

t, dinotasikan dengan RMPt, dapat dinyatakan

RMP_t: ; 1 terhadap minimumkan O S i x d x c k r M k r k ir k r M k r k r k k ∈ ∀ =

∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈ ′

∈ ∈Ω′

x mk k M

r k r k ∈ ∀ ≤

∑

Ω′ ∈ ;

x_rk≥0;∀k∈M,r∈Ω'_k⊆Ω_k. Misalkan masalah induk (MP) dari

PDPTW mempunyai solusi fisibel x. Jika

biaya tereduks i dari masalah MP tersebut adalah taknegatif maka x merupakan solusi optimal bagi MP. Biaya tereduksi dari masalah PL dapat ditemukan melalui masalah dualnya. Untuk mencari masalah dual dari MP, misalkan variabel dual u_i (i

∈

S) diasosiasikan dengan Kendala (14) dan variabel dual vk (k

∈

M) diasosiasikan dengan

Kendala (15). Maka masalah dual dari MP adalah:

maksimumkan _k

M k

k S

i

i mv

u

∑

∑

∈ ∈ + terhadap (16) ,

; r k M

c v u k k r k i S i k

ir + ≤ ∀ ∈Ω ∈

∑

∈ δ

ui takterbatas dan vk ≤0.

Misalkan didefinisikan d_rk sebagai biaya tereduksi dari masalah MP dengan

. ,

; r k M

v u c

d _{i k k}

S i k ir k r k

r = −

∑

− ∀ ∈Ω ∈

∈δ

Keoptimalan solusi RMP untuk masalah keseluruhan dapat diperiksa dengan mencari nilai biaya tereduksi dari seluruh rute yang fisibel. Masalah pencarian biaya tereduksi dari masalah keseluruhan disebut sebagai pricing problem. Pricing problem untuk masalah PDPTW adalah sebagai berikut:

.

, }

{

minimumkanc ui vk r k k M

S i

k ir k

r−

∑

− ∀ ∈Ω ∈

∈δ

M isalkan z adalah solusi dari pricing problem. Misalkan kz adalah tipe kendaraan k yang

berpadanan dengan z dan rz adalah rute yang

berpadanan dengan z. Jika z≥0, tidak ada lagi rute yang dapat dioptimalkan, sehingga solusi optimal RMP merupakan solusi optimal untuk MP. Sebaliknya jika z<0, maka z

z k r x merupakan variabel yang dapat masuk ke dalam basis, sehingga kolom (rute) rz untuk

kendaraan tipe kz ditambahkan ke dalam Ω′kz.

Secara ringkas teknik pembangkitan kolom untuk optimasi PDPTW dapat dituliskan sebagai berikut:

1 H impunan awal Ω′k ditentukan sehingga

anggota dari himpunan tersebut

mempunyai solusi fisibeluntuk vektor x.

2 M asalah induk terbatas diselesaikan

dengan menggunakan algoritme simpleks.

3 Pricing problem diselesaikan. Jika z≥0

maka proses berakhir. Jika z<0, maka }

{z k k =Ω′_z∪ r

Ω′ dan kembali ke Langkah

2.

4.2 Pricing Problem

Pricing problem dalam PDPTW dapat didekomposisi menjadi beberapa submasalah, berdasarkan tipe kendaraan untuk mempermudah pencarianbiaya tereduksi jika dihadapkan pada tipe kendaraan yang beragam. Misalkan pricing problem P_k adalah masalah mencari biaya tereduksi dari rute fisibel untuk kendaraan bertipe k, sehingga Pk

adalah masalah: meminimumkan     

 _{− − ∈Ω}

∑

∈S k

i k i k ir k

r u v r

c δ .

Masalah pricing problem P_k dapat

dimodifikasi menjadi masalah pemrograman linear, dengan tujuan mempermudah pencarian biaya tereduksi untuk kendaraaan bertipe sama dalam skala besar.

Misalkan didefinis ikan _ik_{i i}

i

i c u

c′+ − = + − − ,

k j k j

k c v

c′′+ = ′+ − dan biaya rute fisibel r oleh

kendaraan bertipe k didefinisikan sebagai:

ck_r= _ijk

V i j V

k ijx

c

∑ ∑

∈ ∈

= _irk

S i k i i c δ

∑

∈ −

+ . (17)

Biaya tereduksi dari rute fisibel r oleh kendaraan bertipe k dapat dituliskan menjadi:

k r

d = _{i k}

S i

k ir k

r u v

c −

∑

−

∈δ

= _ijk

V i j V

k ijx

c

∑ ∑

∈ ∈ i S i k

k iru −v

−

_∑

∈δ

= _ik_i

S i

k i i x

c+ − +−

∑

∈ i S i k

k iru −v

−

_∑

∈δ .

Karena nilai x_ik+_i− akan sama dengan nilai δirk

untuk rute fisibel yang sama, maka:

k r

d =

(

)

_ik_{i k}

S i

i k

i

i u x v

c+ −− + −−

∑

∈

= _ijk _k

V i jV

ijx v

c′ −

∑ ∑

∈ ∈

(18)

Biaya Tereduksi (18) dapat digunakan untuk mencari rute fisibel dengan biaya tereduksi minimum, namun perlu dijamin agar TR yang dipilih akan membentuk suatu rute fisibel, sehingga pricing problem P_k dapat diformulasikan sebagai berikut:

c.5) x6,3 - Yb = 0 x3,5 + x3,4 - Yb = 0 c.6) x3,4 - Ye = 0

x4,5 - Ye = 0

c.7) x2,7 + x2,12 + x2,6 - Yj = 0 x5,2 + x8,2 + x11,12 - Yj = 0 c.8 ) x2,7 - Yk = 0

x7,9 - Yk = 0 c.9) x7,9 - Yl = 0

x9,8 + x9,10 - Yl = 0 c.1 0) x9,8 + x10,8 - Ym = 0

x8,2 - Ym = 0 c.1 1) x7,9 - Yo = 0

x9,8 + x9,10 - Yo = 0 c.1 2) x9,10 - Yp = 0

x10,8 - Yp = 0

c.13) x2,7 + x2,12 + x2,6 - Yz = 0 x5,2 + x8,2 + x11,12 - Yz = 0 c.1 4) x2,12 - Yaa = 0

x12,11 - Yaa = 0 c.1 5) x12,11 - Ybb = 0

x11,12 - Ybb = 0 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) -70.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X3,4 0.000000 0.000000 X4,5 0.000000 50.000000 X2,6 0.000000 70.000000 X6,3 0.000000 0.000000 X3,5 0.000000 0.000000 X5,2 0.000000 0.000000 X2,7 1.000000 0.000000 X7,9 1.000000 0.000000 X9,8 0.000000 70.000000 X8,2 1.000000 0.000000 X9,10 1.000000 0.000000 X10,8 1.000000 0.000000 X2,12 0.000000 0.000000 X12,11 0.000000 70.000000 X11,12 0.000000 0.000000 YF 1.000000 0.000000 YG 0.000000 0.000000 YH 0.000000 0.000000 YI 0.000000 0.000000 YB 0.000000 0.000000 YE 0.000000 0.000000 YD 0.000000 0.000000 YJ 1.000000 0.000000 YK 1.000000 0.000000 YL 1.000000 0.000000 YM 1.000000 0.000000 YO 1.000000 0.000000 YP 1.000000 0.000000

ZQ 1.000000 0.000000 YZ 1.000000 0.000000 YAA 0.000000 0.000000 YBB 0.000000 0.000000

Rute yang dihasilkan adalah rute 2-7-9-10-8-2. Rute ini merupakan rute yang fisibel (lihat hasil perhitungan P2,0 pada Lampiran 4).

Lampiran 6 RMP2, P1,2 dan P2,2 • Hasil perhitungan RMP2 : •

min 330 x1,1 + 550 x1,2 + 440 x1,3 + 240 x1,4 + 170 x1,5 + 260 x1,6 + 260 x2,1 + 300 x2,2 + 290 x2,3 + 380 x2,4

subject to: a) x1,1 = 1 b) x1,1 = 1 c) x1,1 = 1 d) x1,1 = 1 e) x1,1 = 1 f) x2,1 = 1 g) x2,1 = 1 h) x2,1 = 1 i) x2,1 = 1

j) x2,2 + x2,3 = 1 k) x2,2 + x2,3 = 1 l) x1,3 + x2,2 = 1 m) x2,2 + x2,3 = 1 n) x1,2 + x1,3 = 1 o) x1,2 + x2,3 = 1 p) x1,2 + x2,3 = 1

q) x1,2 + x1,3 = 1 r) x1,2 + x1,3 = 1 s) x1,4 + x1,5 = 1 t) x1,4 = 1

u) x1,4 = 1 v) x1,6 = 1 w) x1,6 = 1

x) x1,5 + x1,6 = 1 y) x1,5 + x1,6 = 1 z) x2,4 = 1

aa) x2,4 = 1 bb) x2,4 = 1

1) x1,1 + x1,2 + x1,3 + x1,4 + x1,5 + x1,6 <= 4

2) x2,1 + x2,2 + x2,3 + x2,4 <= 4

end

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2200.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1,1 1.000000 0.000000 X1,2 0.000000 0.000000 X1,3 1.000000 0.000000 X1,4 1.000000 0.000000 X1,5 0.000000 0.000000 X1,6 1.000000 0.000000 X2,1 1.000000 0.000000 X2,2 0.000000 120.000000 X2,3 1.000000 0.000000 X2,4 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES A) 0.000000 -330.000000 B) 0.000000 0.000000 C) 0.000000 0.000000 D) 0.00 0000 0.000000 E) 0.000000 0.000000 F) 0.000000 -260.000000

G) 0.000000 0.000000 H) 0.000000 0.000000 I) 0.000000 0.000000 J) 0.000000 -290.000000 K) 0.000000 0.000000 L) 0.000000 110.000000 M) 0.000000 0.000000 N) 0.000000 -550.000000 O) 0.000000 0.000000 P) 0.000000 0.000000 Q) 0.000000 0.000000 R) 0.000000 0.000000 S) 0.000000 -240.000000 T) 0.000000 0.000000 U) 0.000000 0.000000 V) 0.000000 -330.000000 W) 0.000000 0.000000 X) 0.000000 0.000000 Y) 0.000000 70.000000 Z) 0.000000 -380.000000 AA) 0.000000 0.000000 BB) 0.000000 0.000000 1) 0.000000 0.000000 2) 1.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

• Hasil perhitungan P1,2 :

Masalah P1,2 diselesaikan dengan menggunakan kendala-kendala seperti pada masalah P′1,1

dalam Lampiran 5.Hasil perhitungannya adalah sebagai berikut:

MIN -230 x1,3 + 90 x3,4 + 70 x4,5 + 40 x5,6 + 30 x6,1 + 80 x3,5 - 370 x1,9 + 90 x9,10 + 0 x10,8 + 140 x8,7 + 140 x7,1 - 190 x1,14 + 90 x14,16 + 100 x16,1 - 240 x1,13 + 50 x13,14 + 70 x14,15 + 120 x15,1 + 10 x7,9 + 90 x9,8

a) x1,3 + x1,9 + x1,13 + x1,14 = 1 b) x16,1 + x15,1 + x7,1 + x6,1 = 1 c.1) x1,3 + x1,9 + x1,13 + x1,14 - Ya = 0

x16,1 + x15,1 + x7,1 + x6,1 - Ya = 0 c.2) x1,3 - Yb = 0

x3,4 + x3,5 - Yb = 0 c.3) x3,4 - Yc = 0

x4,5 - Yc = 0

c.4) x4,5 + x3,5 - Yd = 0 x5,6 - Yd = 0

c.5) x5,6 - Ye = 0 x6,1 - Ye = 0 c.6) x1,3 - Yh = 0

x3,4 + x3,5 - Yh = 0 c.7) x1,9 - Yl = 0

x9,8 + x9,10 - Yl = 0

c.8) x1,3 + x1,9 + x1,13 + x1,14 - Yn = 0 x16,1 + x15,1 + x7,1 + x6,1 - Yn = 0 c.9) x1,9 - Yo = 0

x9,10 + x9,8 - Yo = 0 c.1 02) x9,10 - Yp =0

c.1 1) x9,8 + x10,8 - Yq = 0 x8,7 - Yq = 0

c.1 2) x8,7 - Yr = 0 x7,1 - Yr = 0

c.1 3) x1,3 + x1,9 + x1,13 + x1,14 - Ys = 0 x16,1 + x15,1 + x7,1 + x6,1 - Ys = 0 c.1 4) x1,14 + x13,14 - Yt = 0

x14,16 + x14,15 - Yt = 0 c.15) x14,16 - Yu = 0

x16,1 - Yu = 0

c.16) x1,3 + x1,9 + x1,13 + x1,14 - Yv = 0 x16,1 + x15,1 + x7,1 + x6,1 - Yv = 0 c.17) x1,13 - Yw = 0

x13,14 - Yw = 0

c.18) x1,14 + x13,14 - Yx = 0 x14,16 + x14,15 - Yx = 0 c.19) x14,15 - Yy = 0

x15,1 - Yy = 0 g.9) x3,5 + x5,6 <= 1 End

Inte Ya Inte Yb

LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST S OLUTION...

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 0.0000000E+00

VARIABLE VALUE REDUCED COST YA 1.000000 -30.000000 YB 1.000000 80.000000 X1,3 1.000000 0.0000 00 X3,4 1.000000 0.000000 X4,5 1.000000 0.000000 X5,6 1.000000 0.000000 X6,1 1.000000 0.000000 X3,5 0.000000 0.000000 X1,9 0.00 0000 0.000000 X9,10 0.000000 0.000000 X8,7 0.000000 0.000000 X7,1 0.000000 0.000000 X1,14 0.000000 0.000000 X14,16 0.000000 0.000000 X16,1 0.000000 0.000000 X1,13 0.000000 0.000000 X13,14 0.000000 0.000000 X14,15 0.000000 0.000000 X15,1 0.000000 0.000000 X7,9 0.000000 240.000000 X9,8 0.000000 0.000000 YC 1.000000 0.000000 YD 1.000000 0.000000 YE 1.000000 0.000000 YG 1.000000 0.000000 YH 1.000000 0.000000 YN 1.000000 0.000000 YO 0.000000 0.000000 YP 0.000000 0.000000

X10,8 0.000000 0.000000 YQ 0.000000 0.000000 YR 0.000000 0.000000 YS 1.000000 0.000000 YT 0.000000 0.000000 YU 0.000000 0.000000 YV 1.000000 0.000000 YW 0.000000 0.000000 YX 0.000000 0.000000 YY 0.000000 0.000000

Rute yang dihasilkan adalah rute 1-3-4-5-6-1 dengan biaya sebesar 0, artinya tidak ada lagi rute-rute yang memiliki biaya tereduksi negatif termasuk rute yang fisibel, sehingga rute 1-3-4-5-6-1 tidak perlu diperiksa kefisibelannya.

• Hasil perhitungan P2,2 :

Masalah P2,1 diselesaikan dengan menggunakan kendala -kendala seperti pada masalah P2,1

dalam Lampiran 5., sehingga diperoleh hasil berikut:

MIN 60 x3,4 + 50 x4,5 - 180 x2,6 + 70 x6,3+ 70 x3,5 + 40 x5,2 - 250 x2,7 + 60 x7,9 + 90 x9,8 + 100 x8,2 + 40 x9,10 + 200 x10,8 - 250 x2,12 + 100 x12,11 + 150 x11,12

a) x2,7 + x2,12 + x2,6 = 1 b) x5,2 + x8,2 + x11,12 = 1

c.1) x2,7 + x2,12 + x2,6 - Yf = 0 x5,2 + x8,2 + x11,12 - Yf = 0 c.2) x2,6 - Yg = 0

x6,3 - Yg = 0 c.3) x6,3 - Yh = 0

x3,5 + x3,4 - Yh = 0 c.4) x4,5 + x3,5 - Yi = 0

x5,2 - Yi = 0 c.5) x6,3 - Yb = 0

x3,5 + x3,4 - Yb = 0 c.6) x3,4 - Ye = 0

x4,5 - Ye = 0

c.7) x2,7 + x2,12 + x2,6 - Yj = 0 x5,2 + x8,2 + x11,12 - Yj = 0 c.8 ) x2,7 - Yk = 0

x7,9 - Yk = 0 c.9) x7,9 - Yl = 0

x9,8 + x9,10 - Yl = 0 c.10) x9,8 + x10,8 - Ym = 0

x8,2 - Ym = 0 c.1 1) x7,9 - Yo = 0

x9,8 + x9,10 - Yo = 0 c.1 2) x9,10 - Yp = 0

x10,8 - Yp = 0

c.13) x2,7 + x2,12 + x2,6 - Yz = 0 x5,2 + x8,2 + x11,12 - Yz = 0 c.1 4) x2,12 - Yaa = 0

x12,11 - Yaa = 0 c.15) x12,11 - Ybb = 0

x11,12 - Ybb = 0 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 0.0000000E+00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X3,4 0.000000 0.000000 X4,5 0.000000 50.000000 X2,6 1.000000 0.000000 X6,3 1.000000 0.000000 X3,5 1.000000 0.000000 X5,2 1.000000 0.000000 X2,7 0.000000 0.000000 X7,9 0.000000 0.000000 X9,8 0.000000 0.000000 X8,2 0.000000 0.000000 X9,10 0.000000 0.000000 X10,8 0.000000 150.000000 X2,12 0.000000 0.000000 X12,11 0.000000 0.000000 X11,12 0.000000 0.000000 YF 1.000000 0.000000 YG 1.000000 0.000000 YH 1.000000 0.000000 YI 1.000000 0.000000 YB 1.000000 0.000000 YE 0.000000 0.000000 YD 1.000000 0.000000 YJ 1.000000 0.000000 YK 0.000000 0.000000 YL 0.000000 0.000000 YM 0.000000 0.000000 YO 0.000000 0.000000 YP 0.000000 0.000000 ZQ 0.000000 0.000000 YZ 1.000000 0.000000 YAA 0.000000 0.000000 YBB 0.000000 0.000000

Rute yang dihasilkan adalah rute 2-6-3-5-2 dengan biaya sebesar 0, artinya tidak ada lagi rute-rute yang memiliki biaya tereduksi negatif termasuk rute-rute yang fisibel, sehingga rute-rute 2-6-3-5-2 tidak perlu diperiksa kefisibelannya.