Program Linear Penyelesaian masalah pemotongan rol kertas dengan metode penghasil kolom.

Dengan kendala ∑ = , = , … , 2.6 , = , … , Maka dapat didefinisikan variabel pengetat + , + , … , + dan fungsi tujuan sebagai berikut. + = − ∑ = , = , … , 2.7 = ∑ = 2.8 Dengan notasi ini, masalah ini dapat diuraikan kembali menjadi Memaksimumkan dengan kendala , , … , + 2.9 Setiap solusi layak , , … , dari 2.6 ditunjukkan oleh + bilangan bulat tak negatif , , … , + dengan + , + , … , + yang didefinisikan pada 2.7. Hal ini dapat dikatakan bahwa 2.7 menunjukkan kesamaanekuivalensi antara 2.6 dan 2.9. Untuk lebih jelasnya yaitu sebagai berikut. 1. Setiap solusi layak , , … , dari 2.6 dapat diperluas, dengan cara yang ditunjukkan oleh 2.7, menjadi , , … , + dari 2.9. 2. Setiap solusi layak , , … , + dari 2.9 dapat dipersempit dengan menghapus variabel pengetat, menjadi solusi layak , , … , dari 2.6. 3. Solusi optimal 2.6 termuat dalam solusi layak 2.9, begitu sebaliknya. Di setiap iterasi, metode simpleks mengganti solusi layak , , … , + menjadi solusi layak lain ̅ , ̅ , … , ̅ + yang lebih baik dari sebelumnya sehingga ∑ ̅ = ∑ = Sistem linear untuk menemukan solusi layak dengan menyatakan nilai-nilai variabel sisi kanan menjadi nilai-nilai yang sesuai dari variabel sisi kiri dan fungsi tujuan disebut kamus dictionaries. Dengan demikian, setiap kamus dari 2.6 akan menjadi suatu sistem persamaan linear dalam variabel , , … , + dan . Pertama definisikan + , + , … , + dan , serta + + variabel yang saling bergantung. Saling ketergantungan ini harus didasarkan oleh setiap kamus terkait 2.6 dimana terjemahan harus tepat. Lebih tepatnya, kamus-kamus harus memenuhi syarat-syarat berikut. 1. Setiap solusi dari himpunan persamaan yang memuat kamus harus juga solusi dari 2.7, begitu sebaliknya. 2. Persamaan setiap kamus harus memperlihatkan variabel dari , , … , + dan fungsi tujuan dalam variabel tersisa. 3. Menetapkan variabel sisi kanan nol dan mengevaluasi variabel sisi kiri sampai pada solusi layak. Kamus-kamus yang memenuhi ketiga syarat tersebut disebut kamus-kamus layak. Dengan demikian, setiap kamus layak menunjukkan suatu solusi layak. Solusi layak yang dapat ditunjukkan dengan kamus-kamus disebut dasar basic. Definisi 2.2 Variabel dasar basic adalah variabel yang diperoleh dari banyaknya persamaan pada masalah program linear. Sedangkan variabel lainnya adalah variabel tidak dasar nonbasic. Variabel ini adalah variabel yang dihasilkan dari selisih banyaknya variabel dengan banyaknya persamaan pada masalah program linear dan merupakan variabel yang bernilai nol. Variabel yang muncul pada sisi kiri kamus disebut dasar dan variabel yang muncul pada sisi kanan disebut tidak dasar. Variabel dasar merupakan basis. Basis berubah pada setiap iterasi. Pada setiap iterasi, dipilih variabel tidak dasar untuk masuk basis lalu mengeluarkan variabel dasar dari basis. Pemilihan variabel masuk disebabkan oleh keinginan untuk meningkatkan nilai dan penentuan variabel keluar didasarkan pada persyaratan bahwa semua variabel harus diasumsikan bernilai tak negatif. Variabel keluar adalah variabel dasar tak negatif yang menyebabkan batas atas terketat pada kenaikan variabel masuk. Rumus untuk variabel keluar muncul di baris sumbu pivot row kamus. Proses perhitungan dari pembuatan kamus baru disebut berputar pivoting. Contoh 2.1 Maksimumkan + + Dengan kendala + + − + − + + − , , Pada contoh ini, kamus layak awal dapat dituliskan sebagai berikut. = − − − = + − = − + − = − − + = + + 2.10 Kamus layak ini menunjukkan variabel keputusan , , merupakan variabel tidak dasar diberi nilai nol dan variabel pengetat , , , merupakan variabel dasar. Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah = , = , = , = , = , = , = , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Pada iterasi pertama, kita mencoba meningkatkan nilai dengan membuat salah satu variabel sisi kanan positif. Terdapat tiga variabel , , yang akan dipilih. Biasanya akan dipilih variabel pada yang memiliki koefisien terbesar sehingga nilai lebih cepat meningkat. Pada contoh ini akan dipilih sebarang variabel antara dan . Di sini dipilih positif. Karena nilai meningkat dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI nilai , , , dan tidak satupun diizinkan menjadi negatif, maka diberikan batas pada tiap variabel yaitu = − − − = − + − = − − + Dimana nilai meningkat sehingga tidak menjadi batas atas kenaikan dan = . Sehingga kendala adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan . Dalam meningkatkan solusi layak diperoleh = dan = . Variabel masuk menjadi basis dan variabel keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Persamaan keempat 2.10 dapat dituliskan sebagai berikut. = − + − 2.11 Substitusikan 2.11 ke dalam persamaan yang tersisa dari 2.10. = − + − = − − + = − − − = + − + = − + − 2.12 Kamus 2.12 menyelesaikan iterasi pertama metode simpleks. Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar , , diberi nilai nol dan variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah = , = , = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , = , = , = , = , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Pada iterasi kedua, untuk meningkatkan nilai dipilih positif. Hal ini karena adalah satu-satunya variabel tidak dasar yang memiliki koefisien positif pada di 2.12. Karena nilai meningkat, maka begitu juga nilai = . Namun, nilai , , dan menurun, dan tidak satu pun diizinkan menjadi negatif. Ketiga kendala , , memberikan batas atas pada kenaikan , diberikan batas tiap variabel yaitu = , = , = sehingga kendala adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan . Dalam meningkatkan solusi layak diperoleh = dan = . Variabel masuk menjadi basis dan variabel keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Dengan cara substitusi seperti iterasi pertama, maka dapat dituliskan kamus ketiga sebagai berikut. = + + − = − − − = − + = − − + = + − − 2.13 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Kamus 2.13 menyelesaikan iterasi kedua metode simpleks. Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar , , diberi nilai nol dan variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah = , = , = , = , = , = , = , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Pada iterasi ketiga, untuk meningkatkan nilai dipilih positif. Hal ini karena adalah satu-satunya variabel tidak dasar yang memiliki koefisien positif pada di 2.13. Karena nilai meningkat, maka nilai , , , dan menurun, dan tidak satu pun diizinkan menjadi negatif. Keempat kendala , , , memberikan batas atas pada kenaikan , diberikan batas tiap variabel yaitu = , = , = , = sehingga kendala adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan . Dalam meningkatkan solusi layak diperoleh = dan = . Variabel masuk menjadi basis dan variabel keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Dengan cara substitusi seperti iterasi pertama, maka kamus yang dihasilkan. = − + − = − − − = − − + = + − + 2.14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = − − − Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar , , diberi nilai nol dan variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah = , = , = , = , = , = , = , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Pada kamus 2.14 tidak terdapat variabel tidak dasar yang dapat dimasukkan basis. Sedemikian hingga kamus terakhir 2.14 menunjukkan solusi optimal, yaitu = , = , = dan menghasilkan = . Hal ini memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Untuk setiap pilihan bilangan , , , , , , dan , berikut pernyataan ekuivalen yang memenuhi syarat pertama dalam kamus: 1. , , , , , , dan merupakan solusi 2.10 2. , , , , , , dan merupakan solusi 2.12 3. , , , , , , dan merupakan solusi 2.13 4. , , , , , , dan merupakan solusi 2.14

B. Metode Simpleks Direvisi

Metode ini menggunakan langkah-langkah yang sama dengan metode simpleks. Perbedaannya terdapat dalam perincian perhitungan variabel masuk dan variabel keluar. Tidak hanya itu untuk masalah yang lebih besar metode simpleks direvisi bekerja lebih cepat dibandingkan dengan metode simpleks. Iterasi dari metode simpleks direvisi kurang dari sama dengan iterasi dari metode simpeks. Kita dapat menuliskan masalah program linear bentuk standar sebagai berikut. Maksimumkan = Dengan kendala Dimana = , , … , � , = , , … , , = [ , ⋱ , ], dan = [ ]. Setelah ditambahkan dengan variabel pengetat + , + , … , + maka masalah ini menjadi sebagai berikut. Maksimumkan = 2.15 Dengan kendala = 2.16 Dimana = , , … , + � , = , , … , + , = [ , + ⋱ , + ], dan = [ ]. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Pendekatan umum dari metode simpleks dan metode simpleks direvisi adalah memperoleh suatu urutan solusi-solusi layak yang semakin baik sampai tercapai suatu solusi optimal. Salah satu ciri pokok dari metode simpleks direvisi mencakup dengan cara mana setiap solusi layak akan diselesaikan, yaitu setelah variabel- variabel dasar dan tidak dasar diketahui. Untuk setiap solusi layak ∗ yaitu , , … , + dibagi ke dalam variabel dasar dan variabel tidak dasar. Contohnya, membagi vektor menjadi dan � sehingga matriks terbagi menjadi dan � , dan menjadi dan � . Dengan demikian kita dapat menuliskan = menjadi [ � ] [ � ] = = − � � 2.17 Dengan = = [ � ] [ � ] = + � � Dimana matriks adalah nonsingular. Teorema 2.1 Matriks adalah nonsingular. Bukti: Kita tunjukkan bahwa matriks adalah nonsingular dengan menunjukkan = tepat memiliki satu solusi. Karena solusi layak ∗ memenuhi persamaan ∗ = dan � ∗ = , maka persamaan tersebut memenuhi persamaan ∗ = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∗ − � � ∗ = . Untuk memeriksa bahwa tidak ada solusi lain, dimisalkan terdapat sebarang solusi layak ̃ sedemikian hingga ̃ = dan ̃ � = . Dengan demikian vektor ̃ memenuhi ̃ = ̃ + � ̃ � = , itu harus memenuhi persamaan di kamus yang bersesuaian dengan ∗ . Tetapi karena ̃ � = maka ̃ = ∗ . Jadi, terbukti matriks adalah nonsingular. █ Matriks disebut juga matriks basis atau basis. Matriks basis dapat kita notasikan menjadi matriks . Karena adalah matriks nonsingular maka − akan selalu ada. Sehingga kita dapat menuliskan persamaan dan menjadi = − − − � � dan = − + � − − � � . Tentunya − tak lain adalah vektor ∗ yang menentukan nilai dari variabel dasar dan haruslah − . Pada metode simpleks direvisi akan dilakukan dengan iterasi yang terus berulang sampai diperoleh solusi yang optimal. Di setiap iterasi metode simpleks direvisi, pertama-tama kita memilih variabel masuk lalu mencari variabel keluar dan akhirnya memperbaharui solusi layak. Untuk memilih variabel masuk dengan koefisien positif, maka perhatikan vektor baris � − − � . Dalam metode simpleks direvisi, vektor ini dihitung melalui dua langkah. Pertama, menemukan = − dengan menyelesaikan sistem = . Kedua, menghitung � − � kemudian dipilih elemen dari vektor � − � yang paling positif untuk menjadi variabel masuk kolom . Jika semua elemen bernilai negatif maka iterasi berhenti dan solusi optimal. Untuk menentukan variabel keluar, maka variabel masuk dinaikan sebesar � dari nol sampai suatu nilai positif. Nilai variabel dasar berubah sampai nilai variabel turun ke nol meninggalkan basis. Pada persamaan = ∗ − − � � , berubah dari ∗ menjadi ∗ − � dengan merupakan kolom − � yang bersesuaian dengan variabel masuk atau dapat dituliskan = − . Jika terdapat elemen yang memenuhi ∗ − � = maka variabel tersebut menjadi variabel keluar. Berikut iterasi dari metode simpleks direvisi yaitu sebagai berikut. 1. Selesaikan sistem = dimana adalah matriks basis awal, sehingga ditemukan vektor . 2. Tentukan kolom yang masuk, yaitu jika variabel tidak dasar berhubungan dengan elemen dari � dan kolom dari � , maka � − � = − . Untuk masalah maksimum minimum, kolom dipilih yang memiliki − paling positif negatif. Untuk masalah maksimum minimum jika semua elemen − − , maka tidak terdapat kolom masuk dan iterasi berhenti sehingga didapatkan solusi optimal. Jika tidak, maka lanjut ke langkah 3. 3. Selesaikan sistem = , sehingga didapat vektor . 4. Tentukan kenaikan nilai � terbesar dari nol sampai suatu nilai positif dengan cara mencari nilai paling minimum dari ∗ sedemikian hingga ∗ − � . Jika tidak terdapat nilai � atau terdapat elemen di , maka solusi optimal PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI