Program Linear Penyelesaian masalah pemotongan rol kertas dengan metode penghasil kolom.
Dengan kendala ∑
=
, = , … , 2.6
, = , … , Maka dapat didefinisikan variabel pengetat
+
,
+
, … ,
+
dan fungsi tujuan sebagai berikut.
+
= − ∑
=
, = , … , 2.7
= ∑
=
2.8
Dengan notasi ini, masalah ini dapat diuraikan kembali menjadi Memaksimumkan dengan kendala
, , … ,
+
2.9 Setiap solusi layak
, , … , dari 2.6 ditunjukkan oleh + bilangan bulat tak negatif
, , … ,
+
dengan
+
,
+
, … ,
+
yang didefinisikan pada 2.7. Hal ini dapat dikatakan bahwa 2.7 menunjukkan kesamaanekuivalensi
antara 2.6 dan 2.9. Untuk lebih jelasnya yaitu sebagai berikut. 1. Setiap solusi layak
, , … , dari 2.6 dapat diperluas, dengan cara yang ditunjukkan oleh 2.7, menjadi
, , … ,
+
dari 2.9. 2. Setiap solusi layak
, , … ,
+
dari 2.9 dapat dipersempit dengan menghapus variabel pengetat, menjadi solusi layak
, , … , dari 2.6. 3. Solusi optimal 2.6 termuat dalam solusi layak 2.9, begitu sebaliknya.
Di setiap iterasi, metode simpleks mengganti solusi layak , , … ,
+
menjadi solusi layak lain ̅ , ̅ , … , ̅
+
yang lebih baik dari sebelumnya sehingga ∑
̅
=
∑
=
Sistem linear untuk menemukan solusi layak dengan menyatakan nilai-nilai variabel sisi kanan menjadi nilai-nilai yang sesuai dari variabel sisi kiri dan fungsi
tujuan disebut kamus dictionaries. Dengan demikian, setiap kamus dari 2.6 akan menjadi suatu sistem persamaan linear dalam variabel
, , … ,
+
dan . Pertama definisikan
+
,
+
, … ,
+
dan , serta + + variabel
yang saling bergantung. Saling ketergantungan ini harus didasarkan oleh setiap kamus terkait 2.6 dimana terjemahan harus tepat. Lebih tepatnya, kamus-kamus
harus memenuhi syarat-syarat berikut. 1. Setiap solusi dari himpunan persamaan yang memuat kamus harus juga solusi
dari 2.7, begitu sebaliknya. 2. Persamaan setiap kamus harus memperlihatkan variabel dari
, , … ,
+
dan fungsi tujuan dalam variabel tersisa. 3. Menetapkan variabel sisi kanan nol dan mengevaluasi variabel sisi kiri sampai
pada solusi layak. Kamus-kamus yang memenuhi ketiga syarat tersebut disebut kamus-kamus
layak. Dengan demikian, setiap kamus layak menunjukkan suatu solusi layak. Solusi layak yang dapat ditunjukkan dengan kamus-kamus disebut dasar basic.
Definisi 2.2 Variabel dasar basic adalah variabel yang diperoleh dari banyaknya persamaan
pada masalah program linear. Sedangkan variabel lainnya adalah variabel tidak dasar nonbasic. Variabel ini adalah variabel yang dihasilkan dari selisih
banyaknya variabel dengan banyaknya persamaan pada masalah program linear dan merupakan variabel yang bernilai nol.
Variabel yang muncul pada sisi kiri kamus disebut dasar dan variabel yang muncul pada sisi kanan disebut tidak dasar. Variabel dasar merupakan basis.
Basis berubah pada setiap iterasi. Pada setiap iterasi, dipilih variabel tidak dasar untuk masuk basis lalu mengeluarkan variabel dasar dari basis. Pemilihan variabel
masuk disebabkan oleh keinginan untuk meningkatkan nilai dan penentuan variabel keluar didasarkan pada persyaratan bahwa semua variabel harus
diasumsikan bernilai tak negatif. Variabel keluar adalah variabel dasar tak negatif yang menyebabkan batas atas terketat pada kenaikan variabel masuk. Rumus untuk
variabel keluar muncul di baris sumbu pivot row kamus. Proses perhitungan dari pembuatan kamus baru disebut berputar pivoting.
Contoh 2.1
Maksimumkan +
+ Dengan kendala
+ +
− + −
+ +
− , ,
Pada contoh ini, kamus layak awal dapat dituliskan sebagai berikut. = −
− −
= + −
= − +
− = −
− +
= +
+ 2.10
Kamus layak ini menunjukkan variabel keputusan , , merupakan variabel
tidak dasar diberi nilai nol dan variabel pengetat , , , merupakan variabel
dasar. Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah = ,
= , = ,
= ,
= , = ,
= , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus.
Pada iterasi pertama, kita mencoba meningkatkan nilai dengan membuat
salah satu variabel sisi kanan positif. Terdapat tiga variabel , , yang akan
dipilih. Biasanya akan dipilih variabel pada yang memiliki koefisien terbesar sehingga nilai lebih cepat meningkat. Pada contoh ini akan dipilih sebarang
variabel antara dan
. Di sini dipilih positif. Karena nilai meningkat dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
nilai , , , dan tidak satupun diizinkan menjadi negatif, maka diberikan
batas pada tiap variabel yaitu = −
− −
= − +
− = −
− +
Dimana nilai meningkat sehingga tidak menjadi batas atas kenaikan
dan =
. Sehingga kendala adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan
. Dalam meningkatkan solusi layak diperoleh = dan
= . Variabel masuk menjadi basis dan variabel
keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Persamaan keempat 2.10 dapat dituliskan sebagai berikut.
= − +
− 2.11
Substitusikan 2.11 ke dalam persamaan yang tersisa dari 2.10. = −
+ −
= − −
+
= − −
− = +
− +
= − +
− 2.12
Kamus 2.12 menyelesaikan iterasi pertama metode simpleks. Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar
, , diberi nilai nol dan variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah
= , = ,
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
, = ,
= , = ,
= , dan = . Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus.
Pada iterasi kedua, untuk meningkatkan nilai dipilih
positif. Hal ini karena adalah satu-satunya variabel tidak dasar yang memiliki koefisien positif pada
di 2.12. Karena nilai meningkat, maka begitu juga nilai
= . Namun, nilai
, , dan menurun, dan tidak satu pun diizinkan menjadi negatif. Ketiga kendala
, ,
memberikan batas atas pada kenaikan , diberikan
batas tiap variabel yaitu = ,
= , = sehingga kendala
adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan
. Dalam meningkatkan solusi layak diperoleh
= dan = . Variabel masuk menjadi basis dan
variabel keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Dengan cara
substitusi seperti iterasi pertama, maka dapat dituliskan kamus ketiga sebagai berikut.
= + +
−
= − −
−
= − +
= − −
+
= +
− −
2.13 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kamus 2.13 menyelesaikan iterasi kedua metode simpleks. Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar
, , diberi nilai nol dan variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah
= , = ,
= ,
= , = ,
= , = , dan =
. Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus.
Pada iterasi ketiga, untuk meningkatkan nilai dipilih
positif. Hal ini karena adalah satu-satunya variabel tidak dasar yang memiliki koefisien positif pada
di 2.13. Karena nilai meningkat, maka nilai
, , , dan menurun, dan tidak satu pun diizinkan menjadi negatif. Keempat kendala
, ,
, memberikan batas atas pada kenaikan
, diberikan batas tiap variabel yaitu
= ,
= ,
= , = sehingga kendala
adalah batas atas terketat dan mengimplikasikan . Dalam meningkatkan
solusi layak diperoleh = dan = . Variabel masuk menjadi basis dan
variabel keluar menjadi variabel tidak dasar diberi nilai nol. Dengan cara
substitusi seperti iterasi pertama, maka kamus yang dihasilkan. =
− +
−
= −
− −
= −
− +
= +
− +
2.14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= −
− −
Kamus layak ini menunjukkan variabel tidak dasar , , diberi nilai nol dan
variabel dasar , , , . Jadi solusi layak yang bersesuaian adalah
= ,
= , =
, = ,
= , = ,
= , dan = .
Sehingga memenuhi syarat kedua dan ketiga dalam kamus. Pada kamus 2.14 tidak terdapat variabel tidak dasar yang dapat dimasukkan basis.
Sedemikian hingga kamus terakhir 2.14 menunjukkan solusi optimal, yaitu =
, = ,
= dan menghasilkan = . Hal ini memenuhi syarat kedua dan
ketiga dalam kamus. Untuk setiap pilihan bilangan
, , , , , , dan , berikut pernyataan ekuivalen yang memenuhi syarat pertama dalam kamus:
1. , , , , , , dan merupakan solusi 2.10
2. , , , , , , dan merupakan solusi 2.12
3. , , , , , , dan merupakan solusi 2.13
4. , , , , , , dan merupakan solusi 2.14